道路交通运输系统网络分析技术

——如果图中两点之间的联线
有方向之别，称之为有向边
（一般用箭头表示方向），
相应的图称为有向图，记为D=
（V，E）。
v1
V={v1,…,vn} E={e1,…,em} e=(u,v)(v,u)
x1
v2
y1
x2
v3
y2
8
二、树及其性质
（一）树的概念
（1）树：不含圈的连通图，即无回路且连通的无
向图，记为“TFra Baidu bibliotek；
P[1]=0
P[2]=2 T3(3)=4
1 2 2 23
P[24]=2
2
P[5]=3
2
T1(6)=∞
41 51 6
2
2
2
7
8
9
2
2
T4(7)=4 T1(8)=∞ T1(9)=∞
18
步骤5 修改6、8点的T 标号
T5(6)=min{T (6)，P(5)+d56} =min{∞,3+1}=4
T5(8)=min{T(8)，P(5)+d58} =min{∞,3+2}=5
交通运输系统网络分析技术
学生：刘洋 杨暖 张凌雪
第二节 图与网络的基本概念
引例（1）哥尼斯堡七桥问题
C
A
D
B
C
A
D
B
问：从岸上某点出发，能否恰好经过每座桥 一次又回到出发点？如果可以，路线如何？
2
引例（2）铁路运输网络图
v1
x1
v2
y1
x2
v3
y2
3
一、图和网络图
图：由一个表示事物的“点的集合(V)”和一 个表示事物之间关联关系的“线的集合(E)” 组成的点线图（V，E）。 网络图：图中各边赋予一定的物理量，这样的图 称为网络图。 权：与各边有关的物理量称为该边的权。
v1 e1 v2
x
v5 e4 e2
e3
11
v4 v3
第二节 最短路问题
v2
v5
v1
v3
v4
12
v7 v6
求最短路问题的基本思路
Dijkstra法
1959年首先提出，称为标号法。常用于 计算从某一指定点（起点）到另一指定（终 点）之间的最短路径。
13
算法思想
1、首先从起点O开始，给每个节点一个标号， 分别为T标号和P标号； T是临时标号，表示从起点O到该点的最短路权 的上限；P是固定标号，表示从起点O到该点的 最短路径。
(4)有向树：若有向图T中顶点x到任意其他顶点
v都恰有一条路径，则称T为以x为根的有向树。
x
x
10
（二）树的基本性质 （1）T连通且无回路； （2）T无回路且有边； （3）T连通且有(n-1)条边； （4）T无回路，但不相邻的两个顶点联以一边 恰得一个回路； （5）T连通，但去掉任意一条边，T就不连通； （6）T的任意顶点之间恰有一条初等链。
2、标号过程中，T 标号一直在变，P 标号不变 ，凡没有标上P 标号的，都标T 标号；
3、算法的每一步把某一点的T标号改变为P标 号，直到所有的T标号都改为P标号，即得到从 始点O到其他各点的最短路权，标号过程结束。
14
用Dijkstra法计算图示路网从节点1到节点9 的最短路径。
1
2
2
2
3
2 1
T3(3)=min{T(3)，P(2)+d23} =min{∞,2+2}=4
T3(5)=min{T(5)，P(2)+d25} =min[∞,2+2]=4
在所有的T标号中，找出最 小标号,节点4为最小，即 P[4]=2
P[1]=0
P[2]=2 T3(3)=4
1 2 2 23
2
2
2
41 51 6
P[4]=2
e3
e5
e7
e10
e8
C
E
A
e1
S
e2
e3
6
C
e6
T
e4 e5
e7
D e9
e8
E
相邻 关联
无向图与有向图 1、无向图
——如果图中两点之间的联线
无方向之别，称之为无向边，
相应的图称为无向图，记为G=
（V，E）。
C
V={v1,…,vn} E={e1,…,em} e=(u,v)=(v,u)
7
A
D
B
2、有向图
在所有的T标号中，找出最小 标号。2、4均为最小，任选其 一，如节点2，即P[2]=2
16
P[1]=0
P[2]=2 T1(3)=∞
1 2 2 23
2
2
2
41 51 6
T2(4)=2
2
T1(5)=∞ T1(6)=∞
2
2
7
8
9
2
2
T1(7)=∞ T1(8)=∞ T1(9)=∞
步骤3 修改3、5点的T标 号
2
T3(5)=4
2
T1(6)=∞
2
7
8
9
2
2
T1(7)=∞ T1(8)=∞ T1(9)=∞
17
步骤4 修改5、7点的T 标号
T4(5)=min{T (5)，P(4)+d45} =min{∞,2+1}=3
T4(7)=min{T(7)，P(4)+d47} =min{∞,2+2}=4
在所有的T标号中，节点5 为最小，即P[5]=3
4
链：在图中任意两点之间由顶点和边相互交替构成的一 个序列。
路：在有向图中，如果链中的每条边的方向是和链的走 向一致，则该链称为路。
闭链（圈）：起点和终点相同的链。 回路：起点和终点相同的路。 连通图：任意两点之间都有一条链相连。
权
5
A
e11
T
e1
S
e2
e4
e9
B e6
e12
D e13
（2）生成树：若T=（V，E’）是无向图G=（V，E）
的生成子图，且T=（V，E’）是一个树，则称T是G的
生成树。
v1 e1 v2 v5 e7 e6 e4 e2 e3
v1 e1 v2
v5 e4 e2
e3
v4 e5 v3
v4 v3
9
(3)根树：若有向图T中顶点x到任意其他顶点v
都恰有一条初等链，则T为以x为根的根树。
在所有的T标号中，节点3 为最小，即P[3]=4
19
P[1]=0
P[2]=2 P[3]=4
1 2 2 23
P[24]=2
2
P[5]=3
2
T1(6)=4
41 51 6
2
2
2
7
8
9
2
2
T4(7)=4 T5(8)=5
T1(9)=∞
步骤6 修改6的T标号
T6(6)=min{T (6)，P(3)+d36} =min{4,4+2}=4
4
2
2
1
5
6
2
2
2
7 2
8
9
2
15
交通网络示意图
步骤1 给定起点1的标号
P[1]=0，其他节点标上了标号 ：T1(2)=…=T1(9)=∞
步骤2 修改2、4点的T标 号
T2(2)=min{T1(2)，P(1)+d12} =min{∞,0+2}=2
T2(4)=min{T1(4)，P(1)+d14} =min{∞,0+2}=2
在所有的T标号中，节点6 为最小，即P[6]=4
20
P[1]=0
P[2]=2 P[3]=4
1 2 2 23
P[24]=2
2
2
P[5]=3 P[6]=4
41 51 6
2
2
2
7
8
9
2
2
T4(7)=4 T5(8)=5
T1(9)=∞
步骤7 修改9的T标号