二次函数的基本解析式与图像变换进阶篇(上)

题型一：二次函数的解析式

【引例】

如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，若OB＝OC＝3OA，则抛物线的解析式为__________。

【例1】

⑴抛物线y＝ax2－2ax＋a2－1的顶点在直线y＝x上，则抛物线的解析式为________。

⑵如图，抛物线223

y ax ax

=-+经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC。则抛物线的解析式为___________。

二次函数的基本解析式

与图像变换进阶篇（上）

⑶设抛物线y＝-x2＋(m＋4)x－4m，其中0＜m＜4，与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0，-2)，且AD·BD＝10，求抛物线的解析式。

【例2】

对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线。(例如：y＝x2＋2x＋2)。

⑴请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式__________。(不必证明)

⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于1

2

的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛

物线的解析式；若不存在，请说明理由。

题型二：二次函数的图象变换

【引例】

在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)。

⑴求该二次函数的解析式；

⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。

【例3】

已知抛物线C1：y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋1(a＞0，m＞1)的顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为点B，且抛物线C1和C2关于点P(1，3) 成中心对称。

⑴用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标；

⑵求m的值和抛物线C2的解析式；

⑶设抛物线C2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值。

【挑战题】

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B(0，4)，且ac＝b。

⑴求该二次函数的解析表达式；

⑵将一次函数y＝-3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物

线的另一个交点为C，求△ABC的面积。

在线测试题

温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．下列说法不正确的是( )

A ．抛物线23y ax bx =+-与y 轴的交点为()03-，

B ．抛物线2221y ax ax a =-+-的对称轴为1x =

C ．抛物线()21y ax a m x ma =-++与x 轴的交点为()0m ，

和()10， D ．抛物线()2

πy a x x =+-的顶点坐标为()πx -，

2．将一抛物线向右平移4个单位后，再向上平移4个单位得抛物线y ＝x 2＋4，则平移前抛物线的解析式是( )

A ．()24y x+=

B ．()24y x =-

C ．()24y x+=-

D ．()2

4y x =--

3．已知二次函数的解析式为222y x x =-+，则该二次函数的图象经过( )的平移，可使平移后的顶点在坐标原点上。

A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位

B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位

C ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位

D ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位

4．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若3OB OC OA ==,则抛物线的解析式为( ) A ．223y x +x =- B ．223y x +x+=

C ．223y x x+=-

D ．223y x x =--

y

x

O C

B A 5．将一抛物线向左平移4个单位后，再向下平移2个单位得抛物线y ＝的解析式是( )

A ．2818y x x =-+

B ．2818y x x =++

C ．2818y x x =--+

D ．2818y x x =--

6．如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，，且与抛物线221y ax ax =--相交于

A B ，两点．则a 的值为( )

A ．12-

B ．1

2

C ．0

D ．1

7．将抛物线21y x =+向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是( )

A ．21y x =--

B ．21y x =+

C ．21y x =-+

D ．21y x =-

8．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为( )

A ．2(1)3y x =---

B ．2(1)3y x =-++

C ．2(1)3y x =--+

D ．2(1)3y x =-+-

9．把抛物线2y x bx c =++的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为235y x x =-+，则下列正确的是( )

A ．3b =，7c =

B ．9b =-，5c =-

C ．6b =，3c =

D ．9b =-，21c =

10．把抛物线22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点()13，和()49，

，求p 、q 的值为( ) A ．21p q =⎧⎨=⎩，，

B ．21p q =-⎧⎨=-⎩

，，

C ．21p q =-⎧⎨=⎩，，

D ．21p q =⎧⎨=-⎩

，，

11．已知二次函数()()2

21y x a a =-+-(a 为常数)，当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”。下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象。它们的顶点

在一条直线上，则这条直线的解析式是( )

A ．y =112x

+

B ．y =1

12x -

C ．y =112x -+

D ．y =1

12x --

O

a=2a=1a=0a=-1

y

x

12．如图，已知抛物线2y ax =上的点D ，C 与x 轴上的点()50A ,-，()30B ,构成平行四边形

ABCD ，DC 与y 轴交于点()06E ,，则BC 所在直线的方程为

A ．618y x =-

B ．618y x =+

C ．618y x =--

D ．618y x =-+