二次函数的基本解析式与图像变换进阶篇(上)

二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。

二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。

根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。

根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。

当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。

根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。

根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。

当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。

平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。

二次函数图像的变换与解析式二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用领域，如物理学、经济学等。

在学习二次函数时，我们不仅需要掌握其图像的变换规律，还需要了解其解析式的推导方法。

首先，我们来讨论二次函数图像的变换。

对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过改变a、b、c的值来实现图像的平移、翻转和缩放等变换。

首先，当a的值发生变化时，二次函数的图像会发生缩放。

当a>1时，图像会变得更加瘦长；当0<a<1时，图像会变得更加扁平；当a<0时，图像会上下翻转。

这是因为a决定了二次函数的开口方向和大小。

其次，当b的值发生变化时，二次函数的图像会发生平移。

当b>0时，图像会向左平移；当b<0时，图像会向右平移。

这是因为b决定了二次函数图像的对称轴位置。

最后，当c的值发生变化时，二次函数的图像会发生上下平移。

当c>0时，图像会向上平移；当c<0时，图像会向下平移。

这是因为c决定了二次函数图像与y 轴的交点位置。

除了上述变换规律外，我们还可以通过组合这些变换来实现更加复杂的图像变换。

例如，如果我们希望将二次函数图像向左平移2个单位，并且同时使图像更加瘦长，我们可以将b的值设为-2，a的值设为2。

接下来，我们来讨论二次函数的解析式。

对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过配方法来推导其解析式。

首先，我们将二次函数写成完全平方的形式，即y = a(x + p)^2 + q。

其中p和q 为常数，需要根据实际情况进行确定。

然后，我们展开完全平方的式子，得到y = a(x^2 + 2px + p^2) + q。

接下来，我们将展开后的式子进行化简，得到y = ax^2 + 2apx + ap^2 + q。

最后，我们将化简后的式子与原始的二次函数进行比较，得到a、b、c与p、q 之间的关系。

通过解方程组，我们可以求解出p和q的值，进而得到二次函数的解析式。

初三数学：模块一 二次函数的解析式三种形式解析式一般式： __________________________________________________。

顶点式： __________________________________________________。

两根式： __________________________________________________。

【例1】⑴把函数y ＝－2x 2＋4x ＋3配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得 ，当x ＝____时，函数y 有最大值______。

⑵把函数y ＝x 2＋4x －5配方成y ＝a (x －x 1)(x －x 2)的形式为 ，当x ＝____时，y ＝0。

【例2】⑴(常德中考)已知二次函数过点A (0，－2)，B (－1，0)，5948C ，。

求此二次函数的解析式。

⑵(通州期末)已知二次函数图象的顶点坐标是(1，－4)，且与y 轴交于点(0，－3)，求此二次函数的解析式。

⑶(海淀期末)已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－2，0)、B (8，0)，与y 轴交于点C (0，－4)，求抛物线的解析式。

二次函数的基本解析式与图像变换(上)与图像变换(上)⑷当x＝3时，二次函数的最大值是1，且图象与x轴两交点之间的距离为2，求这个二次函数的解析式。

模块二二次函数的图象变换【挑战题】将y＝2x2－4x＋4的图像向上平移2个单位长度再向右平移3个单位长度，求新的图像的二次函数解析式。

一、二次函数图象的平移【例3】⑴将二次函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的图象的解析式为()A．y＝2(x－1)2－3 B．y＝2(x－1)2＋3C．y＝2(x＋1)2－3 D．y＝2(x＋1)2＋3⑵(延庆期末)将抛物线y＝3x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝3(x－1)2 ＋2 ( )A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位⑶如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，二次函数y＝x2的图象记为抛物线l1。

二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。

二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。

3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。

4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。

5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。

三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。

2.求对称轴：对称轴为x=h。

3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。

4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。

5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。

四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。

2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。

3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。

五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。

【挑战题】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B(0，4)，且ac＝b。

⑴求该二次函数的解析表达式；⑵将一次函数y＝-3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物线的另一个交点为C，求△ABC的面积。

题型三：二次函数中的特殊三角形【引例】已知抛物线y＝x2－2x－3的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，若△DPQ是等边三角形，求△DPQ的边长。

典题精练【例1】已知抛物线y＝x2－2x－3的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，点C为直角坐标系内一点，若四边形DPCQ是正方形，求正方形DPCQ的面积。

【例2】若x 1、x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a ，b ，c 有如下关系12b x x a +=-，12cx x a⋅=。

我们把它们称为根与系数关系定理。

如果设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)。

利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB ＝|x 1－x 2|＝= 请你参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0) ，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形。

⑴当△ABC 为等腰直角三角形时，求b 2－4ac 的值。

⑵当△ABC 为等边三角形时，b 2－4ac ＝ 。

⑶设抛物线y ＝x 2＋kx ＋1与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且∠ACB ＝90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB ＝60°？【例3】已知抛物线y ＝-x 2＋mx －n 的对称轴为x ＝-2，且与x 轴只有一个交点。

⑴求m ，n 的值；⑵把抛物线沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C ，求新抛物线C 的解析式；⑶已知P 是y 轴上的一个动点，定点B 的坐标为(0，1)，问：在抛物线C 上是否存在点D ，使△BPD 为等边三角形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。

二次函数的解析式与图像性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

本文将探讨二次函数的解析式及其相关的图像性质，帮助读者更好地理解和运用二次函数。

1. 二次函数的解析式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。

a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。

b和c则分别表示二次函数在x轴和y轴上的截距。

解析式中的a、b、c的值可以通过二次函数的特点来确定。

首先，二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

其次，二次函数的对称轴为x = -b/2a。

最后，二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的解的情况。

当Δ大于零时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ等于零时，二次函数有两个相等的实根；当Δ小于零时，二次函数无实根。

2. 二次函数的图像性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状由a的正负值决定。

当a大于零时，曲线开口向上；当a小于零时，曲线开口向下。

二次函数的顶点是曲线的最低点或最高点，也是对称轴的交点。

顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

通过顶点的坐标，我们可以得到曲线的最值。

当a 大于零时，曲线的最小值为f(-b/2a)；当a小于零时，曲线的最大值为f(-b/2a)。

除了顶点和对称轴，二次函数的图像还与x轴和y轴有关。

当二次函数与x轴相交时，即为二次函数的实根。

根据判别式Δ的值，我们可以判断二次函数与x轴的交点情况。

当Δ大于零时，曲线与x轴有两个不相等的交点；当Δ等于零时，曲线与x轴有两个相等的交点；当Δ小于零时，曲线与x轴没有交点。

二次函数与y轴的交点为常数项c，即函数在x=0时的值。

这个交点可以用来确定曲线与y轴的位置。

3. 二次函数的应用二次函数的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹。