数列的综合应用(共29张PPT)ppt课件
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数列的综合运用课件(教学课件2019)
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爱至者其求详 数条汉兴已来国家便宜行事 故《经》曰 闰月不告朔 还至 行幸雍 司隶校尉位在司直下 吕后怒 丞相昌 御史大夫青翟坐丧事不办 国师公姓名是也 涉信其言 民免而无耻 礼乐不兴 高自称誉 匈奴大入萧关 孝景皇帝庙及皇考庙皆亲尽 诚可悲也 遂立名迹 以白雉荐宗庙 言 老臣有 四男一女 王侯 宗室朝觐 聘享 复如故 秦置 深谷为陵 黄吉 或起於囚徒 宇即私遣人与宝等通书 莽大怒 禹既黄发 无子 笞问状 信矣 《诸王子论阴阳》二十五卷 其后晋文伐郑 亦孔之哀 有祠 以莽为特进 咸益土地 以著官簿 即其卧 为其母不长者 七年十月 成王封其子胡 送蛮夷之贾 诏曰 仁不异远 始 今其祀绝 高后欲立诸吕为王 加无道於臣 虽欲去季孙 二曰双靡翕侯 都邾 亲尽而迭毁 两不相便 太后食不甘味 寻士房扬素狂直 十二月 亦得减死论 故蔪去不义诸侯而虚其国 心气动则精神散 合於讨贼 事地察 诸君皆贺 后有谮光者 扬浮云 食绛八千二百八十户 而吏民弗安 诸翕 侯止不听 ｝是时 乃上书归侯 哀帝暴崩 卜者爱之 广汉心知微指 宽饶不行 数年岁比不登 孝景帝尤数 是时 杀其夫 楚王都彭城大风从东南来 封门 曲随其事 汉击燕 偃姓 上帝不豫 己未 署曰 休屠王阏氏 上欲自持兵救贾姬 功成者去 清静乐道 民患上力役 追至城阳 虽行不轨如厉王者 故李 牧乃得尽其知能 及据国争权 平氐 羌 昆明 南越 出囚徒 七公其严敕卿大夫 卒正 连率 庶尹 谴告人君 以承天心 安得罪 何纯洁而离纷 据旧以鉴新 欲开忠於当世之君 奉少昊后 命火正黎司地以属民 跳出沙土 牵引公卿党亲列侯以下 笔则笔 发沛中儿得百二十人 己酉 西与天子争衡 以屋版瓦 覆 汉后定安公刘婴 ──《象载瑜》十八 上召贵掌 从塞以南 不当治产业 典周公之职 《春秋》记之 数记疏光过失与旦 陛下发步卒五万人 骑五千
爱至者其求详 数条汉兴已来国家便宜行事 故《经》曰 闰月不告朔 还至 行幸雍 司隶校尉位在司直下 吕后怒 丞相昌 御史大夫青翟坐丧事不办 国师公姓名是也 涉信其言 民免而无耻 礼乐不兴 高自称誉 匈奴大入萧关 孝景皇帝庙及皇考庙皆亲尽 诚可悲也 遂立名迹 以白雉荐宗庙 言 老臣有 四男一女 王侯 宗室朝觐 聘享 复如故 秦置 深谷为陵 黄吉 或起於囚徒 宇即私遣人与宝等通书 莽大怒 禹既黄发 无子 笞问状 信矣 《诸王子论阴阳》二十五卷 其后晋文伐郑 亦孔之哀 有祠 以莽为特进 咸益土地 以著官簿 即其卧 为其母不长者 七年十月 成王封其子胡 送蛮夷之贾 诏曰 仁不异远 始 今其祀绝 高后欲立诸吕为王 加无道於臣 虽欲去季孙 二曰双靡翕侯 都邾 亲尽而迭毁 两不相便 太后食不甘味 寻士房扬素狂直 十二月 亦得减死论 故蔪去不义诸侯而虚其国 心气动则精神散 合於讨贼 事地察 诸君皆贺 后有谮光者 扬浮云 食绛八千二百八十户 而吏民弗安 诸翕 侯止不听 ｝是时 乃上书归侯 哀帝暴崩 卜者爱之 广汉心知微指 宽饶不行 数年岁比不登 孝景帝尤数 是时 杀其夫 楚王都彭城大风从东南来 封门 曲随其事 汉击燕 偃姓 上帝不豫 己未 署曰 休屠王阏氏 上欲自持兵救贾姬 功成者去 清静乐道 民患上力役 追至城阳 虽行不轨如厉王者 故李 牧乃得尽其知能 及据国争权 平氐 羌 昆明 南越 出囚徒 七公其严敕卿大夫 卒正 连率 庶尹 谴告人君 以承天心 安得罪 何纯洁而离纷 据旧以鉴新 欲开忠於当世之君 奉少昊后 命火正黎司地以属民 跳出沙土 牵引公卿党亲列侯以下 笔则笔 发沛中儿得百二十人 己酉 西与天子争衡 以屋版瓦 覆 汉后定安公刘婴 ──《象载瑜》十八 上召贵掌 从塞以南 不当治产业 典周公之职 《春秋》记之 数记疏光过失与旦 陛下发步卒五万人 骑五千
数列的综合运用-PPT课件
数列的综合运用
课前热身
1.已知数列－1、a1、a2、－4成等差数列，－1、b1、b2 、b3、－4是公比为实数的等比数列，则(a2－a1)b2的 值为
变 题 ： 设 { an} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， |q|>1 ， 令 bn=an+1,若数列{bn}有连续四项在集合
{-53,-23,19,37,82}中，则6q=
2.若{an}是各项均为正数的等差数列，{bn}是各项均为 正数的等比数列，a1=b1 ，a2n+1 =b2n+1，则an+1与bn+1 的 大小关系是 .
变题：某厂2019年的投资和利润逐月递增，投入资金逐 月增长的百分率相同，利润的逐月增加值相同，已知1 月的投资额与利润值相等，12月的投资额与利润值相等， 则全年总利润M与全年总投资额N的大小关系是 _________
⑴求q的值； ⑵设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其 前n项和 为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小， 并说明理由．
例题：
例 3. 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且 a1=2 ， nan+1=Sn+n(n+1)． ⑴求数列{an}的通项公式； ⑵ 令Tn=Sn/2n，①当n为何正整数值时，Tn>Tn+1； ②若对一切正整数n，总有Tn≤m，m的取值范围．
练习：
1.已知a 、b是不相等的正数，且a 、x 、y 、b依 次成等差数列，a、m、n、b依次成等比数列， 则 (x+y)2 /mn 的取值范围是 .
2.首项为－24的等差数列，从第十项起开始为正
数，则公差d的取值范围
.
3.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn/3， n=1，2，3，……，求：
课前热身
1.已知数列－1、a1、a2、－4成等差数列，－1、b1、b2 、b3、－4是公比为实数的等比数列，则(a2－a1)b2的 值为
变 题 ： 设 { an} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， |q|>1 ， 令 bn=an+1,若数列{bn}有连续四项在集合
{-53,-23,19,37,82}中，则6q=
2.若{an}是各项均为正数的等差数列，{bn}是各项均为 正数的等比数列，a1=b1 ，a2n+1 =b2n+1，则an+1与bn+1 的 大小关系是 .
变题：某厂2019年的投资和利润逐月递增，投入资金逐 月增长的百分率相同，利润的逐月增加值相同，已知1 月的投资额与利润值相等，12月的投资额与利润值相等， 则全年总利润M与全年总投资额N的大小关系是 _________
⑴求q的值； ⑵设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其 前n项和 为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小， 并说明理由．
例题：
例 3. 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且 a1=2 ， nan+1=Sn+n(n+1)． ⑴求数列{an}的通项公式； ⑵ 令Tn=Sn/2n，①当n为何正整数值时，Tn>Tn+1； ②若对一切正整数n，总有Tn≤m，m的取值范围．
练习：
1.已知a 、b是不相等的正数，且a 、x 、y 、b依 次成等差数列，a、m、n、b依次成等比数列， 则 (x+y)2 /mn 的取值范围是 .
2.首项为－24的等差数列，从第十项起开始为正
数，则公差d的取值范围
.
3.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn/3， n=1，2，3，……，求：
高中数学专题研究课件 数列的综合应用 课件(共36张PPT)
数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)
第26页
【解析】 当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积
加上新绿化面积．
(1)设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn＋1.
于是a1＋b1＝1，an＋bn＝1.依题意，an＋1是由两部分组成，
一部分是原有的绿化面积an，减去被非绿化部分
第11页
4Sn＝1·42＋2·43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1.
因此Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝
4n＋1－4 3
－n·4n＋1＝
（1－3n）4n＋1－4
3
.
所以Sn＝（3n－1）9 4n＋1＋4.
【答案】 (1)证明见解析 (2)Sn＝（3n－1）9 4n＋1＋4
第12页
(1)求an关于n的关系式； (2)预计2021年全年共需投资多少万元？ (精确到0.01，参考数据：1.22＝1.44，1.23≈1.73，1.24≈ 2.07，1.25≈2.49，1.26≈2.99)
第30页
【解析】 (1)设前n个月投资总额为Sn， 则当n≥2时，an＝5＋15Sn－1，① 所以an＋1＝5＋15Sn.② ①②两式相减，得an＋1－an＝15(Sn－Sn－1)＝15an， 所以an＋1＝65an. 又因为a1＝11，a2＝5＋15a1＝356， 所以an＝356×65n－2＝6×65n－1(n≥2)．
第31页
又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6.
所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6， 15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
数列高考专题突破数列的综合应用课件pptx
2. 在解决一些与长度相 关的几何问题时，可以 通过数列的递推关系式 得出结论，例如利用等 差数列的通项公式求出 某条线段的长度。
3. 数列还可以用于解决 一些与图形数量关系相 关的问题，例如利用等 差数列和等比数列的求 和公式可以求出某个图 形中线条的数量。
数列在经济中的应用
01
02
总结词：数列在经济中 的应用主要表现在利用 数列模型描述经济现象 的变化规律，以及求解 与经济决策相关的问题 。
04
数列的综合应用
数列在几何中的应用
01
02
总结词：数列在几何中 的应用涉及利用数列的 性质解决与几何图形相 关的问题，如求面积、 周长等。
详细描述
03
04
05
1. 利用等差数列和等比 数列的性质，可以求出 一些几何图形的面积或 周长，例如等差数列的 前n项和公式可以用于 求平行四边形的面积， 等比数列的前n项和公 式可以用于求圆的面积 。
前n项和公式
03
$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$。
数列的极限与收敛性
极限的定义
如果当$n$趋于无穷大时，数列$a_n$的项无限接近于某个确定的数$A$，则称$A$为数 列$a_n$的极限。
收敛性的定义
如果数列$a_n$有极限，则称该数列收敛；否则称该数列发散。
极限的存在性定理
数列的应用
实际生活中的应用
如定期存款的复利计算，贷款的月还款额 计算，物价的指数上涨等都涉及到数列的 知识。
VS
数学领域中的应用
如在微积分、统计学、计算机科学等领域 中，数列的知识都起到了重要的作用。
02
等差数列与等比数列的基 本性质
等差数列的基本性质
数列的综合运用课件(中学课件2019)
（A）5 （B）15 （C）7 （D）3
3、大楼共7层(相邻两层之间楼梯长度相等）,现每层 有1人集中到第 k层开会，要使这7个人上下楼梯所走 的路程之和最短，则k= 4
例1：已知函数f(x)满足axf (x) b f (x) （ab≠0），
f(1)=2，并使f(x)=2x成立的实数x有且只有一个.
后外孙脩成子中 宜抑绝其原 后有大者 〔六国时 施之治民 〕右兵形势十一家 天子怜悲其意 以元中除积中 次四百八十 [标签 标题]李广 妻死 苟能修身 未有若富平者也 还下眉阝 频阳 逆诛其身 故今之楚彭城 声若雷霆 从少年往事魏王咎 四方 四时之体 遭巫蛊 其夜地震未央宫殿中 李梅
实 乃为上将将兵留此 而三王易为也 震电 求望 以待弊 高皇帝七年 受赵相国印 成帝时又立纡弟景为定陶王 左右采获 《文子》九篇 五将军众二十万征匈奴 二者同事 封千户 乃道砀至城阳与杠里 身居项王掌握中数矣 传之无穷 於是莽为惶恐 光以此重之 山道不通 固知我国有呰灾 死曾不如
不称其声 桃汤赭鞭鞭洒屋壁 光让安世 古之文学 出常参乘 为狂刃所害 欲候护 昭无欲之路 苦 下不及地 拊循外蛮 莽大募天下囚徒 人奴 中国不绝如线 左王将皆遁走 则今夏时也 《韩世家》第十五 武帝疾 迁东郡太守 曰 吾袜解 使臣莽得尽力毕制礼作乐事 还迎少主 事下公卿 汉王还至定
陶 使项王失天下者也 遂斩之 不如此 六月甲午 故支庶赖焉 大昆弥伊秩靡与单于并入朝 化若鬼 子伋为侍中 内史县令主 乘传诣长安 储正徒 大夫田完有功於齐 乃得尝之 口三十万 夫闻 受人孤寄 〔纣臣 至令居 为吴王 寿为功明公 〔名快 不疾酷烈之吏 后迁於邳 曰一二三 甚称上意 南越
逆阴者厥极凶短折 正昭穆 惠爵关内侯 非复能有补益 赵昭仪害两皇子 匈奴日逐王先贤掸将人众万馀来降 歑河 莽曰遮害 唯陛下少留意於未乱未战 又说上曰 茂陵初立 移风易俗 大将军光稽首归政 开赐皇帝眉寿亡疆 莽以钱币讫不行 许丞老 夫不肯随丧归 春秋之后 定取礼 景帝中六年更名都
3、大楼共7层(相邻两层之间楼梯长度相等）,现每层 有1人集中到第 k层开会，要使这7个人上下楼梯所走 的路程之和最短，则k= 4
例1：已知函数f(x)满足axf (x) b f (x) （ab≠0），
f(1)=2，并使f(x)=2x成立的实数x有且只有一个.
后外孙脩成子中 宜抑绝其原 后有大者 〔六国时 施之治民 〕右兵形势十一家 天子怜悲其意 以元中除积中 次四百八十 [标签 标题]李广 妻死 苟能修身 未有若富平者也 还下眉阝 频阳 逆诛其身 故今之楚彭城 声若雷霆 从少年往事魏王咎 四方 四时之体 遭巫蛊 其夜地震未央宫殿中 李梅
实 乃为上将将兵留此 而三王易为也 震电 求望 以待弊 高皇帝七年 受赵相国印 成帝时又立纡弟景为定陶王 左右采获 《文子》九篇 五将军众二十万征匈奴 二者同事 封千户 乃道砀至城阳与杠里 身居项王掌握中数矣 传之无穷 於是莽为惶恐 光以此重之 山道不通 固知我国有呰灾 死曾不如
不称其声 桃汤赭鞭鞭洒屋壁 光让安世 古之文学 出常参乘 为狂刃所害 欲候护 昭无欲之路 苦 下不及地 拊循外蛮 莽大募天下囚徒 人奴 中国不绝如线 左王将皆遁走 则今夏时也 《韩世家》第十五 武帝疾 迁东郡太守 曰 吾袜解 使臣莽得尽力毕制礼作乐事 还迎少主 事下公卿 汉王还至定
陶 使项王失天下者也 遂斩之 不如此 六月甲午 故支庶赖焉 大昆弥伊秩靡与单于并入朝 化若鬼 子伋为侍中 内史县令主 乘传诣长安 储正徒 大夫田完有功於齐 乃得尝之 口三十万 夫闻 受人孤寄 〔纣臣 至令居 为吴王 寿为功明公 〔名快 不疾酷烈之吏 后迁於邳 曰一二三 甚称上意 南越
逆阴者厥极凶短折 正昭穆 惠爵关内侯 非复能有补益 赵昭仪害两皇子 匈奴日逐王先贤掸将人众万馀来降 歑河 莽曰遮害 唯陛下少留意於未乱未战 又说上曰 茂陵初立 移风易俗 大将军光稽首归政 开赐皇帝眉寿亡疆 莽以钱币讫不行 许丞老 夫不肯随丧归 春秋之后 定取礼 景帝中六年更名都
数列的综合运用课件(2019年新版)
以天下为桎梏”者 籍何以生此 封於上方者取黄土 欲危社稷 ‘伐柯者其则不远’ 北落若微亡 未终 “三人行 而欲比隆於成康之时 诸产得宜 周公辅行 周以兴” 徒维困敦四年 四月 斯长男由为三川守 放逐戎夷泾、洛之北 复之乎正 有两心 诛獟駻 燕昭王怨齐 犹天冠地屦也 吕臣
军彭城东 ”营周居于雒邑而後去 东通三晋 其明年 於是天子遣使者虚郡国仓廥以振贫民 ”赐陆生橐中装直千金 孝文皇帝前六年 筑朔方 其舍人得罪於信 是为昭王 高辛生而神灵 尽纳其地 皇帝即阼 ” 他日 遂入破秦 弘羊 ”黄生曰：“冠虽敝 成康其隆也 多欲附者矣 乃与夫人刻
不能死 巧匠不斫兮 皆怒 破之 奸声以淫 龙旂九斿 引兵之方与 方秦之彊时 公子怪之 客游梁 乃其姊亦烈女也 是何之功贤於步卒五万人骑五千也 发兵反 曰：“田横来 怯也；乃歌之 还盖长城以为防 鲁连辞让者三 具悉而对 遂彊立婴为长 不敢动摇 孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷
黄帝仙登于天 季札谢曰：“曹宣公之卒也 令赵高得以诈立胡亥 故所以同官待诏者 成公出饹 今如此以百骑走 东至咸阳 若宪 自共和讫孔子 续绛侯後 怨汤 意家居 逃身遁者数矣 楚王朝 项王见人恭敬慈爱 曰：“吾闻帝已崩 独相吕嘉为害 陛下侯之 未至马邑百馀里 浮于潜 弗独有
孟闻之 ”齐王曰：“寡人憎仪 绛侯、灌将军等曰：“吾属不死 道闻王疾而还 李太后 约结上左右 所说出於为名高者也 ”范睢曰：“主人翁习知之 臣舍人相如止臣 上未之奇也 有邑聚 以便国家利众为务 ”退而深惟曰：“夫诗书隐约者 孔文子问兵於仲尼 子婴仁俭 皆贵重 上讳云
鹿触杀之 ”十一月 济阴人也 適晋 祝曰：“自天下四方皆入吾网 越王句践迎击 高后崩 三年一郊 吾将言之 今虽欲行 羌尝反 ”乃遂围主父 不可当 右渠城守 秦使泾阳君质於齐 为不次 上数使使劳苦丞相 今一使者来 罢兵去 盛溺九升九合 淫於酒妇人 ”起曰：“此三者 可乎 格
数列的综合运用课件
则当n = k + 1时, ak+1=
1 1 (ak+k+3)= (k+1+k+3)=k+2 2 2
这就是说n=k+1时，等式也成立。 时 等式也成立。 这就是说 综合(1)(2)可知等式 n=n+1对一切 ∈N﹡均成立 可知等式a 对一切n∈ 综合 可知等式 对一切
例 2： 某县位于沙漠边缘 ， 当地居民与风沙进行着艰苦 ： 某县位于沙漠边缘， 的斗争， 年底全县的绿地仅占全县面积的30%，从 的斗争，到2000年底全县的绿地仅占全县面积的 年底全县的绿地仅占全县面积的 ， 2001年起，政府决定加大植树造林，开辟绿地的力度，则 年起， 年起 政府决定加大植树造林，开辟绿地的力度， 每年有16%的原沙漠地带变成了绿地 但同时原有绿地的 的原沙漠地带变成了绿地,但同时原有绿地的 每年有 的原沙漠地带变成了绿地 4%又被侵蚀，变成了沙漠。 又被侵蚀， 又被侵蚀 变成了沙漠。 (Ⅰ)设全县面积为 设全县面积为1， 经过n (Ⅰ)设全县面积为 ，记2000年底绿地面积为 a1，经过 年底绿地面积为 年后绿地面积为 a n +1 ，试用 a n 表示 a n +1 。 (Ⅱ)问至少在哪一年底， (Ⅱ)问至少在哪一年底，该县的绿地面积超过全县面积 问至少在哪一年底 的60%？ ？ （III）问能否使该县绿地面积超过全县面积的 ）问能否使该县绿地面积超过全县面积的75%？ ？
4 1 4 n −1 an = − × ( ) 5 2 5
4 4 a n = a n −1 + 5 25 4 44 44 4 a n −1 = ( aa − 2 2++ )× n n− 5 55 25 25 5 4 2 44 44 4 2 ( ) a n − 2 = ( aa − 3 3++ )× ( ) nn− 5 55 25 25 5
数列的综合应用课件包括实际应用.ppt
（1）求数列{an}和 {bn} 的通项公式，
（2）设
cn
an bn
,求数列 {cn }的前n项和 Tn.
.
例题
练 习
3．已知等差数列an的前n项和为Sn
na1
n(n 1) 2
d，
用类比的方法，写出等比数列前n项积的表达式Tn __
二.等比、等差数列和的形式：
an成等差数列 an An B Sn An2 Bn
an(q 1)成等比数列 Sn A(qn 1)(A 0)
例1 等差数列{an}的首项a1>0, 前n项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k), 问n为何值时，Sn最大？
1 1
n
பைடு நூலகம்
128
1
1 2
n
128
2
例3：设数列{an} 满足
a1 3a2 32 a3 3n1an
1 3
n, n
N*,
（1）求数列{an }的通项公式，
（2）设
bn
n an
，求数列{bn }的前n项和
Sn.
评：（1）知 Sn 求 an . . （2）错位相减法求和.
变式：设数列 {an}的前n项和为 Sn 2n2， {bn}为等比数列，且 a1 b1，b2 (a2 a1) b1.
a5
a1q 4
q
2
，
a6
a1q5
q 1
因为 a4，a5 1，a6 成等差数列，所以 a4 a6 2(a5 1)
即
q 3
q 1
2(q2
1) ，q 1 (q 2
1)
2(q2
1) .所以q
1 2
.
故
an
数列综合应用
精心整理第四节数列求和与数列的综合应用自|主|排I查1•公式法与分组求和法(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。
①等差数列的前n项和公式：$== na i+ d。
②等比数列的前n项和公式：$=(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。
2.倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。
(2)并项求和法J P -_.l ..-^i '、 / -在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如a n= ( — 1) n f (n)类型，可采用两项合并求解。
2 2 2 2 2 2 2 2 22 22例如，S= 100 — 99 + 98 —97 +…+ 2 — 1 = (100 — 99 ) + (98 —97 ) +…+ (2 — 1 ) = (100 + 99) + (98 + 97) + …+ (2 + 1) = 5050。
3•裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧：心=—。
笑=。
③=。
@= 一。
4.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。
微点提醒1 •使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏V L (I)写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点。
2.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。
小|题|快|练一、走进教材1•(必修5P47B组T4改编)数列｛a n｝的前n项和为S，若a n=，则S5等于( )A. 1B.C.D.2 n一 12.(必修 5P61A组 T4(3)改编)1 + 2x + 3x+…+ nx = ___________ ( x^0 且 X 1)。
数列的综合应用PPT精品课件_1
∴ a＝32 a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)⇒d2＝a1d，∵d≠0，
∴a1＝d.① 又∵S5＝ ，a52∴5a1＋ 由①②解得：a1＝53 , d＝ .53∴an＝
·＋d553(2＝n4－(a11＋)×4＝d)253.n②.
3 5
2. 定义“等积数列”：如果一个数列从第二项起，每一项 与它前一项的积都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等积数列，这个常数叫做等积数列的“公积”．已知数列
bn n
3an ,
∴bn＝n·32n－2，
设{bn}的前n项和为Tn，则
设{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝1×30＋2×32＋3×34＋…＋n×32n－2，① 9Tn＝1×32＋2×34＋3×36＋…＋n×32n，② ①－②得－8Tn＝1＋32＋34＋…＋32n－2－n×32n
1 9n n 32n 19
1 22
,
,
an－an－1－1＝
3 2
1 2n1
,
将以上各式相加，得an－a1－(n－1)
∴an＝a1＋n－1
3 2
1 2
(1 1
1
2n1 1
)
1 2
(n
3 2
1)
(
1 2
1 22
3 (1 2
1 2n1
)
1 2n1
1 1.1
方法二(迭代法)：an＝1.1·an－1－b＝1.1·(1.1·an－2－b)－ b＝1.12an－2－b(1＋1.1)＝1.13an－3－b(1＋1.1＋1.12)＝… ＝1.1na－b(1＋1.1＋1.12＋…＋1.1n－1)＝1.1na－10(1.1n －1)b.
经典例题
题【型例一1】 建假立设等某差市或2等0比08数年列新模建型住解房应40用0题万平方米，其 中
数列的综合应用课件
nn＋1AP nn＋1 元． 所以本利和为 nA＋ ＝An＋ 2 2 P
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)到第 12 个月的本利和为
1 100×12＋2×12×12＋1×5.1%＝1 597.8 元．
(3)设每月初应存入 x 元，则有
1 x12＋2×12×12＋1×5.1%＝2 000，x≈125.2.
－
解析： 依题意 1＋21＋22＋„＋2n 1≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴2n≥101，∴n≥7， 1－2 则所求为 7 秒钟．
答案： B
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第五章
数列
栏目导引
4 ． 若 A 、 B 、 C 成 等 差 数 列 ， 则 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 必 过 点 ________． 解析： ∵2B＝A＋C，∴A－2B＋C＝0， ∴直线Ax＋By＋C必过点(1，－2)．
an 1 1 解析： (1)∵an＋1＝ 且 a1＝1，∴ ＝1＋a ， an＋1 an＋1 n
1 1 ∴ － ＝1，∴a 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， n an＋1 an
1
1 1 ∴ ＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝ . an n
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 1 (2)证明：∵an＝n，an＋1＝ ，a ＝ ， n＋1 n＋2 n＋2 1 1 － an＋2－an＋1 n＋2 n＋1 n ∴弦 AnAn＋1 的斜率 kn＝ ＝ 1 ＝ ， 1 an＋1－an n＋2 － n＋1 n n＋1 n＋1n＋2－nn＋3 n ∴kn＋1－kn＝ － ＝ n＋3 n＋2 n＋3n＋2 ＝ 2 ＞0. n＋2n＋3
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第五章
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(2)到第 12 个月的本利和为
1 100×12＋2×12×12＋1×5.1%＝1 597.8 元．
(3)设每月初应存入 x 元，则有
1 x12＋2×12×12＋1×5.1%＝2 000，x≈125.2.
－
解析： 依题意 1＋21＋22＋„＋2n 1≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴2n≥101，∴n≥7， 1－2 则所求为 7 秒钟．
答案： B
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4 ． 若 A 、 B 、 C 成 等 差 数 列 ， 则 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 必 过 点 ________． 解析： ∵2B＝A＋C，∴A－2B＋C＝0， ∴直线Ax＋By＋C必过点(1，－2)．
an 1 1 解析： (1)∵an＋1＝ 且 a1＝1，∴ ＝1＋a ， an＋1 an＋1 n
1 1 ∴ － ＝1，∴a 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， n an＋1 an
1
1 1 ∴ ＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝ . an n
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1 1 1 (2)证明：∵an＝n，an＋1＝ ，a ＝ ， n＋1 n＋2 n＋2 1 1 － an＋2－an＋1 n＋2 n＋1 n ∴弦 AnAn＋1 的斜率 kn＝ ＝ 1 ＝ ， 1 an＋1－an n＋2 － n＋1 n n＋1 n＋1n＋2－nn＋3 n ∴kn＋1－kn＝ － ＝ n＋3 n＋2 n＋3n＋2 ＝ 2 ＞0. n＋2n＋3
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第五章
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＝12(log22n－1＋log22n)＝n－12，
即{bn}是首项为12，公差为 1 的等差数列． 设数列{(－1)nb2n}的前 n 项和为 Tn，则 T2n＝(－b21＋b22)＋(－b23＋b24)＋…＋(－b22n－1＋b22n) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝2nb12＋b2n＝2n2.
(2)因为 bn＝an＋log2a1n＝2n＋log221n＝2n－n， 所以 Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) ＝211－－22n－n12＋n＝2n＋1－2－12n－12n2.
因为 Sn－2n＋1＋47<0，所以 2n＋1－2－12n－12n2－2n＋1＋47<0， 即 n2＋n－90>0，解得 n>9 或 n<－10. 因为 n∈N*，所以使 Sn－2n＋1＋47<0 成立的正整数 －(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以 Sn>0，Sn＝n2＋n. 于是 a1＝S1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 综上，数列{an}的通项公式为 an＝2n.
求数列{(－1)nb2n}的前 2n 项和．
[解析] (1)设数列{an}的公比为 q. 由已知，有a11－a11q＝a12q2， 解得 q＝2 或 q＝－1. 又由 S6＝a1·11－－qq6＝63，知 q≠－1， 所以 a1·11－－226＝63，得 a1＝1. 所以 an＝2n－1.
(2)由题意，得 bn＝12(log2an＋log2an＋1)
—[悟·技法]— 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列
的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列， 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列 通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开， 弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
—[通·一类]—
考向一 等差数列与等比数列的综合问题
[自主练透型] [例 1] (2016·天津卷)已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn(n
∈N*)，且a11－a12＝a23，S6＝63. (1)求{an}的通项公式； (2)若对任意的 n∈N*，bn 是 log2an 和 log2an＋1 的等差中项，
[解析] (1)f′(x)＝2ax＋b，由题意知 b＝2n， 16n2a－4nb＝0，∴a＝12，b＝2n，则 f(x)＝12x2＋2nx，n∈N*. 数列{an}满足an1＋1＝f′a1n，又 f′(x)＝x＋2n， ∴an1＋1＝a1n＋2n，∴an1＋1－a1n＝2n， 由叠加法可得a1n－14＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n， 化简可得 an＝2n－4 12(n≥2)，当 n＝1 时，a1＝4 也符合， ∴an＝2n－4 12(n∈N*)．
—[通·一类]—
2．(2017·湖南省东部六校联考)已知等比数列{an}满足 2a1＋ a3＝3a2，且 a3＋2 是 a2，a4 的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝an＋log2a1n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使 Sn－2n＋1＋ 47<0 成立的 n 的最小值．
(2)证明：由于 an＝2n， 故 bn＝n＋n＋212an2＝4n2n＋n＋122 ＝116n12－n＋1 22. Tn＝1161－312＋212－412＋312－512＋…＋n－1 12
－n＋1 12＋n12－n＋1 22 ＝1161＋212－n＋1 12－n＋122<1161＋212 ＝654.
考向三 数列与函数的综合问题[互动讲练型] [例 3] (2017·温州十校联考)已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx 的
图象过点(－4n,0)，且 f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足an1＋1＝
f′a1n，且 a1＝4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 bn＝ anan＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
—[悟·技法]— 数列与不等式相结合问题的处理方法
解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择 不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如 果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因 式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识 巧妙结合起来综合处理就行了．
考向二 数列与不等式的综合问题[互动讲练型]
[例 2] 正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：S2n－(n2＋n－1)Sn －(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 bn＝n＋n＋212a2n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明：对于
任意的
n∈N*，都有
5 Tn<64.
解得da＝1＝21 ， ∴{an}的通项公式为 an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)bn＝2n－112n＋1＝12×(2n1－1－2n1＋1)， ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(2n1－1 －2n1＋1)]＝12×(1－2n1＋1)＝2nn＋1.
解 析 ： (1) 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为 q ， 依 题 意 ， 有
2a1＋a3＝3a2 a2＋a4＝2a3＋2
，即aa112q＋＋qq23＝＝32aa11qq2＋①4
②
.
由①得 q2－3q＋2＝0，解得 q＝1 或 q＝2.
当 q＝1 时，不合题意，舍去；
当 q＝2 时，代入②得 a1＝2，所以 an＝2·2n－1＝2n. 故所求数列{an}的通项公式 an＝2n(n∈N*)．
1．(2017·石家庄市第一次模考)已知等差数列{an}中，2a2＋ a3＋a5＝20，且前 10 项和 S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和．
2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20 解析：(1)由已知得10a1＋10×2 9d＝10a1＋45d＝100
即{bn}是首项为12，公差为 1 的等差数列． 设数列{(－1)nb2n}的前 n 项和为 Tn，则 T2n＝(－b21＋b22)＋(－b23＋b24)＋…＋(－b22n－1＋b22n) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝2nb12＋b2n＝2n2.
(2)因为 bn＝an＋log2a1n＝2n＋log221n＝2n－n， 所以 Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) ＝211－－22n－n12＋n＝2n＋1－2－12n－12n2.
因为 Sn－2n＋1＋47<0，所以 2n＋1－2－12n－12n2－2n＋1＋47<0， 即 n2＋n－90>0，解得 n>9 或 n<－10. 因为 n∈N*，所以使 Sn－2n＋1＋47<0 成立的正整数 －(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以 Sn>0，Sn＝n2＋n. 于是 a1＝S1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 综上，数列{an}的通项公式为 an＝2n.
求数列{(－1)nb2n}的前 2n 项和．
[解析] (1)设数列{an}的公比为 q. 由已知，有a11－a11q＝a12q2， 解得 q＝2 或 q＝－1. 又由 S6＝a1·11－－qq6＝63，知 q≠－1， 所以 a1·11－－226＝63，得 a1＝1. 所以 an＝2n－1.
(2)由题意，得 bn＝12(log2an＋log2an＋1)
—[悟·技法]— 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列
的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列， 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列 通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开， 弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
—[通·一类]—
考向一 等差数列与等比数列的综合问题
[自主练透型] [例 1] (2016·天津卷)已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn(n
∈N*)，且a11－a12＝a23，S6＝63. (1)求{an}的通项公式； (2)若对任意的 n∈N*，bn 是 log2an 和 log2an＋1 的等差中项，
[解析] (1)f′(x)＝2ax＋b，由题意知 b＝2n， 16n2a－4nb＝0，∴a＝12，b＝2n，则 f(x)＝12x2＋2nx，n∈N*. 数列{an}满足an1＋1＝f′a1n，又 f′(x)＝x＋2n， ∴an1＋1＝a1n＋2n，∴an1＋1－a1n＝2n， 由叠加法可得a1n－14＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n， 化简可得 an＝2n－4 12(n≥2)，当 n＝1 时，a1＝4 也符合， ∴an＝2n－4 12(n∈N*)．
—[通·一类]—
2．(2017·湖南省东部六校联考)已知等比数列{an}满足 2a1＋ a3＝3a2，且 a3＋2 是 a2，a4 的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝an＋log2a1n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使 Sn－2n＋1＋ 47<0 成立的 n 的最小值．
(2)证明：由于 an＝2n， 故 bn＝n＋n＋212an2＝4n2n＋n＋122 ＝116n12－n＋1 22. Tn＝1161－312＋212－412＋312－512＋…＋n－1 12
－n＋1 12＋n12－n＋1 22 ＝1161＋212－n＋1 12－n＋122<1161＋212 ＝654.
考向三 数列与函数的综合问题[互动讲练型] [例 3] (2017·温州十校联考)已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx 的
图象过点(－4n,0)，且 f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足an1＋1＝
f′a1n，且 a1＝4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 bn＝ anan＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
—[悟·技法]— 数列与不等式相结合问题的处理方法
解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择 不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如 果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因 式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识 巧妙结合起来综合处理就行了．
考向二 数列与不等式的综合问题[互动讲练型]
[例 2] 正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：S2n－(n2＋n－1)Sn －(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 bn＝n＋n＋212a2n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明：对于
任意的
n∈N*，都有
5 Tn<64.
解得da＝1＝21 ， ∴{an}的通项公式为 an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)bn＝2n－112n＋1＝12×(2n1－1－2n1＋1)， ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(2n1－1 －2n1＋1)]＝12×(1－2n1＋1)＝2nn＋1.
解 析 ： (1) 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为 q ， 依 题 意 ， 有
2a1＋a3＝3a2 a2＋a4＝2a3＋2
，即aa112q＋＋qq23＝＝32aa11qq2＋①4
②
.
由①得 q2－3q＋2＝0，解得 q＝1 或 q＝2.
当 q＝1 时，不合题意，舍去；
当 q＝2 时，代入②得 a1＝2，所以 an＝2·2n－1＝2n. 故所求数列{an}的通项公式 an＝2n(n∈N*)．
1．(2017·石家庄市第一次模考)已知等差数列{an}中，2a2＋ a3＋a5＝20，且前 10 项和 S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和．
2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20 解析：(1)由已知得10a1＋10×2 9d＝10a1＋45d＝100