6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示优质教学材料课件PPT本课件最终会根据新教材最终修订版调整· 课件编辑说明·1. 本课件需用office2010及以上版本打开，如果您的电脑是office200 7及以下版本或者WPS软件，可能会出现不可编辑的文档，建议您安装office2010及以上版本。
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高中数学必修第二册RJA6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示【目标认知】知识点一平面向量数乘运算的坐标表示设a=(x,y),则λa=(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. ?(λx,λy)【诊断分析】判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为-1,2. ( )(2)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),则3a=(-3,6),2a+3b=(7,-11). ( )√[解析] 由解得√知识点二平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则向量a,b共线的充要条件是.?x1y2-x2y1=0【诊断分析】判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=. ( )(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y1-x2y2=0,则a∥b. ()(3)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y2-x2y1=0,则a∥b. ()(4)已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),若a∥b,则必有a1b2=a2b1.( )(5)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. ( )××√√√1.在进行向量坐标运算的线性运算时,若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.2.三点共线问题(1)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A,B,C三点共线的条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.(2)若已知三点的坐标,则判断其是否共线可采用以下两种方法:①直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)·(y2-y1)是否为0.②任取两点构成向量,计算出两向量如,,再通过两向量共线的条件进行判断.探究点一向量的数乘运算例1 已知a=(-1,2),b=(2,1),求:(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).(3)a-b=(-1,2)-(2,1)=(-,1)-(,)=(-,).变式(1)已知三点A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则3+2= ,-2=.?(11,13)(-7,-14)(2)已知a=(-2,3),b=(3,1),c=(10,-4),试用a,b表示c.解:设c=xa+yb,x,y∈R,则(10,-4)=x(-2,3)+y(3,1)=(-2x+3y,3x+y),∴解得∴c=-2a+2b.[素养小结](1)已知两点坐标求向量的坐标时,一定要注意是终点坐标减去起点坐标;(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算;(3)如果两个向量是相等向量,那么它们的坐标一定对应相等.例2 (1)下列各组向量是平行向量的有.(填序号) ?①a=(,),b=(-2,-3);②a=(0.5,4),b=(-8,64);③a=(2,3),b=(3,4);④a=(2,3),b=(-,2).[解析] ①×(-3)-×(-2)=-+=0,∴a∥b.②0.5×64-4×(-8)=32+32=64≠0,∴a,b 不平行.③2×4-3×3=8-9=-1≠0,∴a,b不平行.④2×2-3×(-)=4+4=8≠0,∴a,b不平行.①探究点二向量共线的判定及应用(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?解:方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得解得k=λ=-.∵λ=-<0,∴ka+b与a-3b反向.(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?方法二:由题知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),∵ka+b与a-3b平行,∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.故ka+b与a-3b反向.变式 (1)下列向量组中,能作为平面内所有向量的基底的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=[解析]A中,向量e1为零向量,∴e1∥e2,不符合题意;C中,e1=e2,∴e1∥e2,不符合题意;D中,e1=4e2,∴e1∥e2,不符合题意.故选B.B(2)已知向量a=(2,-1),b=(x-1,2),若a∥b,则实数x的值为 ( )A.2 B.-2C.3D.-3[解析]因为a∥b,所以2×2-(-1)×(x-1)=0,得x=-3.D[素养小结]向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.探究点三三点共线的判定及应用[探索] 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB平行于直线CD吗?解:易知=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2),因为2×2-4×1=0,所以∥.因为=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2,4),所以2×4-2×6≠0,所以A,B,C不共线,所以直线AB与直线CD不重合,所以AB∥CD.例3 (1)已知=(3,4),=(7,12),=(9,16),求证:A,B,C三点共线.(2)设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?解:(1)证明:∵=-=(4,8),=-=(6,12),∴=,即与共线,又与有公共点A,∴A,B,C三点共线.(2)若A,B,C三点共线,则,共线,∵=-=(4-k,-7),=-=(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11.变式已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x,使向量,共线.解:(1)易得=(x,1),=(4,x).因为,共线,所以x2-4=0,解得x=±2,所以当x=±2时,向量,共线.变式已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(2)当∥时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?解:(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),因为6×1-(-3)×(-2)=0,所以∥,又与有公共点B,所以A,B,C三点共线.因为∥,所以当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.当x=2时,=(-2,1),=(2,1),因为(-2)×1-1×2=-4≠0,所以与不共线,即A,B,C三点不共线,所以A,B,C,D四点不共线.[素养小结]三点共线的条件以及判断方法(1)已知A,B,C三点共线时可转化为∥,可利用向量共线的条件求解.(2)利用向量平行证明三点共线时需分两步完成:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.拓展已知向量=(2,-1),=(3,2),=(m,2m+1),若A,B,C三点能够作为三角形的三个顶点,求实数m满足的条件.解:由题意知A,B,C三点不共线,即向量与不共线,因为向量=(1,3),=(m-2, 2m+2),所以2m+2≠3m-6,解得m≠8,故实数m满足的条件是m≠8.探究点四向量共线的应用[探索] 已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),若=λ(λ≠-1),则P点的坐标为. ?(,)例4 (1)已知A(-1,2),B(-3,1),点P为线段AB上靠近A的四等分点,则P点坐标为. ?[解析] 由题可知=,设P点坐标为(x,y),则x==-,y==,故P点坐标为(-,).(2)已知直角坐标平面上四点A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),求证:四边形ABCD是等腰梯形.证明:由已知得=(4,3)-(1,0)=(3,3),=(0,2)-(2,4)=(-2,-2).∵3×(-2)-3×(-2)=0,∴与共线.=(0,2)-(1,0)=(-1,2),=(2,4)-(4,3)=(-2,1),∵(-1)×1-2×(-2)≠0,∴与不共线,∴四边形ABCD是梯形.又||==||,即BC=AD,∴四边形ABCD是等腰梯形.变式 (1)已知A(3,5),B(6,9),M是直线AB上一点,且||=3||,求点M的坐标.解:(1)设点M的坐标为(x,y).由||=3||,得=3或=-3.由题意得=(x-3,y-5),=(6-x,9-y).当=3时,(x-3,y-5)=3(6-x,9-y),∴解得当=-3时,(x-3,y-5)=-3(6-x,9-y),∴解得故点M的坐标是(,8)或(,11).(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),试判断四边形ABCD的形状.解:(2)=(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6),∵(-2)×(-6)-3×4=0,∴,共线.=(3, -4),=(1, -1),∵(-1)×3-1×(-4)≠0,∴与不共线.∴四边形ABCD是梯形.[素养小结](1)两个向量共线就是两个向量的方向相同或相反,也就是表示向量的有向线段所在的直线平行或重合.(2 )利用两个向量共线可以求平面内相关点的坐标,可以证明两直线平行,进而可以判断与直线平行相关的几何图形的形状,如判断一个四边形是平行四边形或梯形等.1.向量坐标运算的方法:(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[例1] 已知点A(-1,2),B(2,8),=,=-,求点C,D和的坐标.解:设C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由题可得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).∵=,=-,∴∴解得解得∴C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0),因此=(-2,-4).2.用坐标判定向量共线当两个向量用坐标表示时,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0,而不能盲目使用=.[例2] 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),那么与是否共线?线段AB与线段AC是否共线?解:∵=(2,4),=(3,6),且2×6-3×4=0,∴∥,∴与共线.∵直线AB与直线AC有公共点A,∴A,B,C三点共线,∴线段AB与线段AC共线.3.几个结论:(1)线段中点坐标公式:设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标是(,).(2)已知△ABC的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心坐标为(,).(3)定比分点坐标公式:若P1(x1,y1),P2(x2,y2),且=λ(λ≠-1),则P(,).1.已知向量a=(1,2),b=(-1,1),则2a-b= ( )A.(3,0) B.(2,1)C.(-3,3)D.(3,3)[解析] 向量a=(1,2),b=(-1,1),则2a-b=2(1,2)-(-1,1)=(2+1,4-1)=(3,3),故选D.D2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量的坐标是( )A. B.C.(-8,1)D.(8,1)[解析] ∵=-=(-8,1),∴=(-4,).A3.已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为( )A.-13 B.9 C.-9 D.13C[解析] 由题知=(-8,8),设C(6,y),则=(3,y+6).∵A,B,C三点共线,∴∥,∴-8(y+6)-3×8=0,∴y=-9.4.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么 ( )A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向D[解析] 由题意知c=(k,1),d=(1,-1).∵c∥d,∴-k-1=0,∴k=-1,此时c=-a+b=-(a-b)=-d,故c与d反向,故选D.5.已知点A(3,-4)与点B(-1,2),若点P在直线AB上,且=2,则点P的坐标为.?[解析] 因为=2,所以P点坐标为(,),即点P的坐标为(,0).。
