平面向量的数乘运算的坐标表示教学课件

6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
基础认知·自主学习
首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在 北京 700 余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是科学家们发现“中 轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合.
【问题 1】如何判断两条直线平行或重合呢？
【解析】设P(x，y)，则O→P ＝(x，y)， 因为O→B ＝(4，4)，且O→P 与O→B 共线， 所以4x ＝y4 ，即x＝y. 又A→P ＝(x－4，y)，A→C ＝(－2，6)，且A→P 与A→C 共线， 则得(x－4)×6－y×(－2)＝0， 解得x＝y＝3， 所以P点的坐标为(3，3).
三点共线问题
①已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，试判断A，B，C三点共线吗？ ②已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，试判断直线AB平行于直线 CD吗？
【解析】①因为A→B ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，A→C ＝(1－(－1)，5－(－1)) ＝(2，6)， 所以 2×4－2×6≠0，所以A→B 与A→C 不共线， 所以 A，B，C 不共线， ②因为A→B ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， C→D ＝(2－1，7－5)＝(1，2). 又 2×2－4×1＝0，所以A→B ∥C→D .
【备选例题】 已知A(2，1)，B(3，－1)及直线l：y＝4x－5，直线AB与l相交于P点，求P点分 A→B 的比λ.
【解析】设P(x，y)，则由 A→P ＝λ P→B 及定比分点坐标公式得：(x，y)＝
21＋＋3λλ，11－ ＋λλ ， 又因为P点在直线l上，
1－λ
2＋3λ
所以 1＋λ

[规律方法] 向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由 a＝λb(b≠0)推出 a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式 x1y2－x2y1＝0 直接求解．
[触类旁通] 2．已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平 行时它们是同向还是反向？
解析 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)12a－31b＝12(－1,2)－31(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
题型二 向量共线的判定
答案 D
3．已知 a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且 a∥b，则 m＝( )
A．－9
B．9
C．3
D．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
答案 B
4．已知 P(2,6)，Q(－4,0)，则 PQ 的中点坐标为____________． 解析 根据中点坐标公式可得，PQ 的中点坐标为(－1,3)． 答案 (－1,3)
02
课堂案 题型探究
题型三 向量共线的综合应用(一题多变) [例 3] 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且|A→P|＝2|P→B|， 求点 P 的坐标．
[解析] 设 P 点坐标为(x，y)，|A→P|＝2|P→B|. 当 P 在线段 AB 上时，A→P＝2P→B， ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
[母题变式] 若将本例条件“|A→P|＝2|P→B|”改为“A→P＝3P→B”，其他条件不变，求点 P 的 坐标． 解析 因为A→P＝3P→B，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x,2－y)，

[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)

【讲评】 准确运用向量线性运算的坐标公式，利用“坐标对应成比例” 熟记向量共线的坐标表示，应用时写为等积式形式．
(2)O是坐标原点， O→A ＝(k，12)， O→B ＝(4，5)， O→C ＝(10，k)．当k为何值 时，A，B，C三点共线？
【思路】 由A，B，C三点共线可知，A→B，A→C，B→C中任意两个共线，用坐 标表示共线条件，解方程可求得k值．
【解析】 ①12×(－3)－34×(－2)＝－32＋32＝0， ∴a∥b. ②0.5×64－4×(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a不平行于b. ③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a不平行于b. ④2×2－3×－43＝4＋4＝8≠0，∴a不平行于b.
(2)已知 O→A ＝(k，2)， O→B ＝(1，2k)， O→C ＝(1－k，－1)，且相异三点A，B， C共线，则实数k＝___－_14____．
(3)已知a＝(10，－4)，b＝(3，1)，c＝(－2，3)，试用b，c表示a.
【思路】 关键是找到实数λ，μ，使得a＝λb＋μc. 【解析】 设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，
则(10，－4)＝λ(3，1)＋μ(－2，3)
＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ)． 依题设得3λλ＋－32μμ＝＝－104，，解得λμ＝ ＝2－，2.
方法二：∵G为△ABC的重心，设G(x0，y0)， 则xy00＝ ＝21＋＋323＋＋（ 34＝－731，）＝43，即G43，73， ∴A→G＝43，73－(2，1)＝－23，43.
课后巩固
1．若O (0，0)，A(1，2)，且O→A′＝2O→A. 则A′点坐标为( C )
A．(1，4)
B．(2，2)
答：(1)× (2)× (3)√ (4)√

素养
提升
(1)用有向线段的定比分点坐标公式
xy＝＝xy1111＋＋＋＋λλλλxy22，(λ≠－1)可以
求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比.事实
上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题.如用得好，
会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的
独创性.定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的
反思 感悟
利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量共线的坐标表示直接求解. 提醒 当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
跟踪训练3 (1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)
平行，则实数m的值为
A.－1 或12 C.－1
第六章 §6.3 平面向量基本定理及坐标表示
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示. 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
内
知识梳理
容
题型探究
Байду номын сангаас
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示
1 2a
－2b等于
√A.(1,2)
B.(－1，－2)
C.(－1,2)
D.(1，－2)
解析 12a－2b＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.已知向量a＝(3,5)，b＝(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于

即1 =
1
2 或1
2
= 22 .
当1 =
1
2 时，如图
2
1
1
= 1 + 1 = 1 + 1 2= 1 + 2 − 1
3
3
2
1
21 +2 21 +2
=
(
,
)，
= 1 + 2
3
3
3
3
∴点的坐标是(
21 +2 21 +2
Ԧ
Ԧ − 2 + Ԧ = 0，
则Ԧ =(
).
A．(−23, −12)
B．(23,12)
C．(7,0)
D．(−7,0)
2.若Ԧ = ( 3, )， = (3, )，且∥，则锐角
Ԧ
=__.
3. 设向量OA = (, 12)，OB = (4,5)，OC = (10, )，当为何值
−
2 1
,
3 3
=
7 2
(− , ).
6 3
二、巩固新知：探究向量共线的坐标表示
已知向量Ԧ = (1 ,1 ), = (2 , 2 )，
如何用坐标来表示两个向量共线的充要条件？
请你试着写出来并加以验证.
例2.判断正误
1.若向量 Ԧ = (1 ,1 )， = (2 ,2 )，且1 1 − 2 2 = 0 ，
= 2 + 1,5 + 1 = 3,6 ,
又 ∵ 2 × 6 − 3 × 4 = 0， ∴ ∥ .
又直线，直线有公共点，
∴ , , 三点共线.
三、探究：等分点问题
探究：
设是线段1 2 上的一点，点1 , 2 的坐标分别是（1 ,1 ），

( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.

2.理解了用坐标表示平面向量共线的充要条件，掌握了三点共
线的判断方法，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、逻
辑推理）
九
学生自评
请小老师组对所负责组员的
课堂表现进行评价
十
家庭作业
1.整理导学案中本节课知识点并记背；
2.完成导学案上相关题型.
∴ = Ԧ + Ԧ = Ԧ + Ԧ
故 = ，
即“实数与向量的积的坐标等
于用这个实数乘原来向量的相应
坐标.”
三
小组合作、讨论交流1(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例6 已知 = ， ， = −， ，求3+4
六
小组合作、讨论交流2(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例7 已知 = ， ， = ， , 且 ∥ , 求 .
例8 已知 −, − , = , , = , ,
判断, , 三点的位置关系.
方法提示：这两道题考察了向量共线（平行）的坐标表示.
用坐标可表示为 , = , = ，
⇔
=
=
⇔
=
=




⇔


=


⇔ = ⇔ − =
五
探究新知2——平面向量共线的坐标表示（互学）
（二）平面向量共线的坐标表示
七
成果展示2(迁移变通)
例7 已知 = ， ， = ， , 且 ∥ , 求 .
解：∵已知 = ， ， = ， , 且 ∥
∴满足 = × （交叉相乘积相等）

(3)解：因为A→B＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， C→D＝(2－1,7－5)＝(1,2)． 又因为 2×2－4×1＝0，所以A→B∥C→D. 又因为A→C＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，A→B＝(2,4)， 所以 2×4－2×6≠0，所以 A，B，C 不共线， 所以 AB 与 CD 不重合，所以 AB∥CD.
∴a 与 d 不平行．]
2．已知向量 a＝(3，x－1)，b＝(1,2)，若 a∥b，则实数 x 的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
C [∵a∥b，∴3×2－(x－1)＝0，解得 x＝7.]
3．已知 A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)三点共线，则 x＝________.
6 [∵A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)， ∴A→B＝(1,1)，A→C＝(4，x－2)， 又 A，B，C 三点共线，∴A→B∥A→C， 故 x－2－4＝0，解得 x＝6.]
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
解得 x＝13， y＝0，
∴P 点坐标为13，0. 当 P 在线段 AB 延长线上时，A→P＝－2P→B， ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)， ∴xy－＋34＝＝－2＋42＋x，2y， 解得xy＝＝－8，5， ∴P 点坐标为(－5,8)． 综上所述，点 P 的坐标为13，0或(－5,8)．
【规律方法】 1．关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程 求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解． 2．本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点 坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平 面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加以体会运用．

∴Px11＋＋λλx2，y11＋＋λλy2.
定比分点 坐标公式
探究 3 当P→1P＝λP→P2时，点 P 的坐标是什么？
【提示】 ∵O→P＝O→P1＋P→1P＝O→P1＋1＋λ λ P1P2
＝O→P1＋1＋λ λ (O→P2－OP1)＝1＋1 λO→P1＋1＋λ λO→P2，
＝1＋1 λ(x1，y1)＋1＋λ λ(x2，y2)
＝1＋1 λx1，1＋1 λy1＋1＋λ λx2，1＋λ λy2＝x11＋＋λλx2，y11＋＋λλy2，
∴Px11＋＋λλx2，y11＋＋λλy2.
定比分点 坐标公式
课堂小结
1. 两个坐标表示： （1）向量数乘运算的坐标表示
a=(x，y)和实数λ，则λa=(λx, λy)
（2）向量共线条件的坐标表示
求出ka+b与a-3b 的坐标（向量线 性坐标运算法则）
利用向量共线 的坐标表达式 列方程求解.
·
情
题型三 三点共线问题
课
境
堂
导
小
学 探
例4：已知A1,1, B1,3,C2,5,判断A, B,C之间的位置关系
·
结 提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
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·
情
跟踪训练3
课
境 导 学
已知O→A＝(k,2)，O→B＝(1,2k)，O→C＝(1－k，－1)，且相异三点 A，B，C
层
作
疑
业
难
个向量共线.
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探究：共线向量与中点坐标公式