第18讲 利用导数研究函数的单调性(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)>x
D．f(x)<x
(2)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数 f(x)，其导函数为 f′(x)，对任意正实数 x 满足 xf′(x)>－2f(x)，若 g(x)＝x2f(x)，
则不等式 g(x)<g(1)的解集是( )
A．(－∞，1)
B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1)
5、定义在 R 上的可导函数 y f (x) 的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是 ( )
A． 3 是 f (x) 的一个极小值点 B． 2 和 1 都是 f (x) 的极大值点 C． f (x) 的单调递增区间是 (3, ) D． f (x) 的单调递减区间是 (, 3) 6、函数 f(x)＝x3－6x2 的单调递减区间为________．
23
A. (－∞，－2]
1，＋∞ B. 2
第 3 题图
C. [－2，3)
9，＋∞ D. 8
4、已知
f(x)＝aln
x＋1x2(a>0)，若对任意两个不相等的正实数 2
x1，x2，都有f（x1）－f（x2）>2 x1－x2
恒成立，则 a 的取值范围为( )
A.(0，1]
B.(1，＋∞)
C.(0，1)
D.[1，＋∞)
（1）讨论 f (x) 的单调性； 10、【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 f (x) ae2x (a 2)e x x . （1）讨论 f (x) 的单调性；
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32 (1)求 b，c 的值； (2)设函数 g(x)＝f(x)＋2x. ①若 g(x)在区间(2，3)上单调递增，求实数 a 的取值范围； ②若 g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减的区间，求实数 a 的取值范围．
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习 变式 2、设函数 f(x)＝1x3－ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
f (a 1) f (2a2 ) 0 ，则实数 a 的取值范围是
．
7、【2017 年高考山东理数】若函数 ex f (x) （ e 2.71828是自然对数的底数）在 f (x) 的定义域上单调
递增，则称函数 f (x) 具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为
.
① f (x) 2x
数的符号．
变式 1、已知函数 f(x)＝x＋a－ln x－3，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝1x.
4x
2
2
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间．
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习 变式 2、已知函数 f(x)＝ln x＋k(k 为常数)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行.
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第 18 讲：利用导数研究函数的单调性
一、课程标准 1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系； 2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
二、基础知识回顾 1. 利用导数研究函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)≥0 且在(a，b)的任意子区间上不恒为 0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调 递增；如果 f′(x)≤0 且在(a，b)的任意子区间上不恒为 0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数 y＝f(x)的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为 f′(x)≥0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不 恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间． 函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为 f′(x)≤0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒 为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间． (2)函数 y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为 f′(x)＞0 的解集是(a，b)； 函数 y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为 a，b 是 f′(x)＝0 的两根．
② f (x) 3x
③ f (x) x3
④ f (x) x2 2
8、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数 f (x) 2x3 ax2 b . （1）讨论 f (x) 的单调性；
9、【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 f (x) 1 x a ln x ． x
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7、(多填题)已知函数 f(x)＝x3＋mx2＋nx－2 的图象过点(－1，－6)，函数 g(x)＝f′(x)＋6x 的图象关于 y 轴对 称.则 m＝________，f(x)的单调递减区间为________.
四、例题选讲 考点一、求函数的单调区间 例 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－1x2－2x＋3；
(5)对于不等式 xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数 F(x)＝xf(x)； (6)对于不等式 xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数 F(x)＝f x (x≠0)．
x
变式 1、(1)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f′(x)，且 2f(x)＋xf′(x)>x2，则下列不等式在 R 上恒成立的是( )
ex (1)求实数 k 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间.
考点二、给定区间求参数的范围 例 2、已知函数 f (x) 1 x3 x2 ax 1 . （Ⅰ）若曲线 y f ( x) 在点(0,1) 处切线的斜率为3 ，求函数 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间[2, a ] 上单调递增，求 a 的取值范围. 【点评】 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力． 2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决 问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵． 变式 1、设函数 f(x)＝1x3－ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
；
2、【2017 年高考浙江】函数 y=f(x)的导函数 y f (x) 的图象如图所示，则函数 y=f(x)的图象可能是
3、【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】函数
f
x
ex
ex x2
的图像大致为
4、【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】函数 y x4 x2 2 的图像大致为
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5、【2019 年高考北京理数】设函数 f x ex aex （a 为常数）．若 f（x）为奇函数，则 a=________；
若 f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________．
6、【2017
年高考江苏】已知函数
f
(x)
x3
2x
ex
1 ex
，其中
e
是自然对数的底数．若
三、自主热身、归纳总结
1、若函数 y＝f(x)的图像如下图所示，则函数 y＝f′(x)的图像有可能是(
来自百度文库
)
第 1 题图
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A
B
C
D
2、函数 f(x)＝－2lnx－x－3的单调递增区间是( ) x
A. (0，＋∞) B. (－3，1) C. (1，＋∞) D. (0，1) 3、函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图像如图，则函数 y＝ax2＋3bx＋c的单调递增区间是( )
() 6
2
f
() 3
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B．
f
(ln
3
)
0
D．
f
( 4
)
2f( )
3
五、优化提升与真题演练
1、【2018 年高考天津理数】已知函数 f (x) ax ， g(x) loga x ，其中 a>1.
则函数 h(x) f (x) x ln a 的单调区间
2 (2)g(x)＝x2－2lnx.
方法总结：1. 利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导函数 f′(x)；
(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)＞0 和 f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间．
2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函
方法总结 1. 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因． 2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根 的大小等都是引起分类讨论的原因． 变式 1、已知函数 f(x)＝a(x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论 f(x)的单调性．
2
考点四 构造函数研究单调性 例 4、(1)设 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，则使得 f(x)>0 成立的 x
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的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
(2)设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且 g(－3)＝0，则不
D．(－1,0)∪(0,1)
变式
2 、（ 2019
秋 • 滨 州 期 末 ） 已 知 定 义 在 [0, )
上的函数
f (x)
的导函数为
f (x)
，且
f (0) 0
，
2
f (x) cos x f (x)sin x 0 ，则下列判断中正确的是 ( )
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A．
f
(
)
6
f
(
)
6 24
C．
f
等式 f(x)g(x)<0 的解集是________________．
方法总结：(1)对于不等式 f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数 F(x)＝f(x)＋g(x)； (2)对于不等式 f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)； 特别地，对于不等式 f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数 F(x)＝f(x)－kx. (3)对于不等式 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数 F(x)＝f(x)g(x)； (4)对于不等式 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数 F(x)＝错误!(g(x)≠0)；
32 (1)求 b，c 的值； (2)设函数 g(x)＝f(x)＋2x，且 g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围．
考点三、函数单调区间的讨论 例 3 已知函数 f(x)＝lnx＋a(1－x)，a∈R. (1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调性； (2)讨论 f(x)的单调性．