浙江省高二上学期数学10月月考试卷

高一数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设全集{}22,3,4U m m =+-，集合{},2A m =，∁u =3，则m =（）A ．2±B ．2C ．2-D ．4-【答案】C2．命题“20,1x x x ∀>-≤”的否定是（）A ．20,1x x x ∀≤-≤B ．20,1x x x ∀>->C ．20,1x x x ∃≤-≤D ．20,1x x x ∃>->【答案】D3．已知a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中一定成立的是（）A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．ac (a -c )>0【答案】A4．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，则下列选项正确的是（）A ．0a b c ++=B ．a<0C ．0b >且0c <D ．不等式20ax cx b ++>的解集是R【答案】AB【解析】由于不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，所以a<0，B 选项正确，且1212b ac a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即12b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则,2==-b a c a ，所以20a b c a a a ++=+-=，A 选项正确，0,20b a c a =<=->，C 选项错误，不等式20ax cx b ++>，即220ax ax a -+>，即()222110x x x -+=-<，无解，D 选项错误.故选：AB12．设非空集合={|≤≤}满足：当∈时，有2∈.给出如下命题，其中真命题是()A.若=1，则B.若，则≤≤1C.若，则D.若=1，则【答案】BC【解析】【分析】本题考查了集合的新定义问题．先由非空集合={|≤≤}满足：当∈时，有2∈，判断出≥1或≤0，0≤≤1，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可．【解答】解：∵非空集合={|≤≤}满足：当∈时，有2∈.∴当∈时，有2∈，即2≥，解得：≥1或≤0;同理：当∈时，有2∈，即2≤，解得：0≤≤1.对于:=1，必有2=1∈，故必有≥0≤≤1解得：==1，所以={1}，故A 错误;对于:=−12，必有2=14∈，故必有≥20≤≤1，解得：14≤≤1，故B 正确;对于:若=12，有≤12≤2,解得:−22≤≤0,故正确;2≤12对于:若=1，有≤1≤22≤1，解得：−1≤≤0或=1，故D 错误．故选：B三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分14.对于集合A,B ，用card(A)表示有限集合A 中元素的个数，已知card(A)=M,card(B)=N(M<N),集合C 满足A ⊆C ⊆B,则符合条件的集合C 的个数是____________.【答案】2N-M 15.已知集合={|K1r1<0}，={|(−)2<}，若“=1”是“∩≠⌀”的充分条件，则实数的取值范围是．【答案】(−2,2)【解答】解：由={|K1r1<0}={|(−1)·(+1)<0}={|−1<<1}，当=1时，={|(−)2<1}={|−1<<+1}，此时，∩≠⌀，所以+1>−1−1<1,解得−2<<2．故答案为：(−2,2)．三、解答题17．设全集R U =，集合{}|15A x x =≤≤，集合{|122}B x a x a =--≤≤-．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【详解】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A B ，又{}|15A x x =≤≤，{|122}B x a x a =--≤≤-，A=-∞，求B（2）若(),120．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司用一条长度为1m的铁丝，首尾相连做成一个直角三角形的海报纸，求：（1）海报纸的斜边最短是多少？（2）若在该海报纸画一个内切圆，则直角三角形内切圆半径最大值是多少？【答案】解：(1)假设直角三角形两条直角边为，，(0<<1,0<<1)，斜边长为2+2，++2+2=1，∵(+)2≤2(2+2)，∴1=++2+2⩽(2+1)2+2，∴2+2≥2+1=2−1当且仅当==2−22时等号成立，所以斜边2+2最短是2−1;(2)由直角三角形的内切圆半径=2又++2+2=1，∴=2(rp−12=+−12，∵2(2+2)≥(+)2，∴2+2≥2(rp2∴++2+2≥++22(+)=(1+22)(+)，即1≥(1++)，=2−2，∴+≤当且仅当==∴=+−12≤32−2，该直角三角形内切圆半径最大值是32−2．21．设函数JB2+K AR,AR.(1)若J1，且集合UJ0中有且只有一个元素，求实数的取值集合；(2)解关于的不等式I K12+r2K2；(3)当K0,K1时，记不等式K0的解集为，集合J{U−2−II−2+V.若对于任意正数shk∅，求1−1的最大值.【解答过程】（1）由题设JB2+K1AR，又UJ0有且只有一个元素，所以B2+K1=0有且仅有一个根，当J0时，K1=0，即J1，则UJ0={1}，满足题设；当k0时，Δ=1+4J0，即J−14，则UJ0={2}，满足题设；所以的取值集合为{−14,0}.（2）由题设B2+KI K12+r2K2，整理得2−(r1)rJ(Kp(K1)<0，当I1时，解集为{UII1}；当J1时，解集为∅；当K1时，解集为{U1<IV；（3）由K0，恒有K2>−K2，故k∅，Jop=B2+KK0且K0,K1，故op开口向上且o0)=−I0，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧，因为hk∅，即op>0在(−2−s−2+p上有解，且∀A(0,+∞)，又区间(−2−s−2+p关于J−2对称，且区间长度2A(0,+∞)，综上，只需保证o−2)=4K2−J0，则4KJ2，且J4K2>1，即K34，所以1−1=12(2−2)=12(4K−4K)=52−12(+4)≤5212，当且仅当J2，即J1>34,J2>1时等号成立，故1−1的最大值为12.22.已知二次函数=B2+B+2(,为实数)(1)若=1时，=1且对∀∈(2,5)，>0恒成立，求实数的取值范围；(2)若=1时，=1且对∀∈−2,−1，>0恒成立，求实数的取值范围；(3)对∀∈，>0时，≥0恒成立，求r2的最小值．【答案】解：(1)∵=1时=1，∴++2=1，即=−1−，∵∀∈(2,5)，>0恒成立，即B2−(1+)+2>∴B(−1)>−2恒成立，∵∈(2,5)，∴>K2oK1)对∀∈(2,5)恒成立，∴>．令=−2，则∈(0,3)，则K2oK1)=(r2)(r1)=2+3r2=1r2+3≤2=3−22，当且仅当=2，即=2，此时=2+2时取“=”，所以实数的取值范围时(3−22,+∞)．(2)∵=1时=1，∴++2=1，即=−1−，∵∀∈−2,−1，>0恒成立，即B2−(1+)+2>0对∀∈−2,−1恒成立，∴(2−)−+2>0对∀∈−2,−1恒成立．−2++2>0−2+2>0,∴1−174<<1+174,所以实数(3)对∀∈，>0时，≥0恒成立，∴>0=2−8≤0，则≥28．∴r2≥28+2=8+2≥=1，当且仅当8=2且=28，即=4,=2时取等号，所以r2最小值是1．。

2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

AA 1DCB B 1C 1 图（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（共10小题，每小题5分）1、已知点A(-4,8,6),则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( ).A. (4,8,-6)B. (-4,-8,6)C. (-4,-8,-6)D. (-6,- 8,4) 2、若三点A (3,1)，B (－2, b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．—9 D ．9 3、下列四个命题中的真命题是( )A ．∀x ∈N ，x 2≥1B ．∀x ∈R ，x 2＋3<0C ．∃x ∈Q ，x 2＝3D ．∃x ∈Z ，使x 5<14、给出以下四个命题:①若x 2-3x+2=0,则x=1或x=2; ②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0; ③若x=y=0,则x 2+y 2=0;④若x ,y ∈N *,x+y 是奇数,则x ,y 中一个是奇数,一个是偶数,那么( ). A.①的逆命题为真 B.②的否命题为真 C.③的逆否命题为假 D.④的逆命题为假5、a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )．A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 61 －B ．⎪⎭⎫⎝⎛61 － ，21 C ．⎪⎭⎫⎝⎛61 21 D ．⎪⎭⎫⎝⎛21 － ，61 6、如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是( )A.12<a <32B. a >32或a <12 C ．12≤a ≤32 D ．a ≥32或a ≤12 7、已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直， 垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为 ( )A ．0B ．－4C ．20D ．248、如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是 A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ．1030 B ．1015 C ．1530 D ．219、已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ） A ．a 22 B ．a 42 C ．a 423 D ．a 8210、设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交， 则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．－4≤k ≤34B ．－34≤k ≤4C ．k ≥34或k ≤－4 D ．以上都不对二、填空题（共7小题，每小题4分）11、已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，若a ⊥b ，则=x ___________；若//a b则=x ____________。

浙江省金华第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．{}0,2,4B ．{2,2．已知i 是虚数单位，复数1z 21z z 的共轭复数的虚部为()A ．15-B ．153．已知向量()cos ,sin a αα=，A ．33B ．224．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结有8个交点，从中任取3个点，A ．314B ．5145．等比数列{}n a 的公比为q ，前A ．“q >0”是“{}n a 为递增数列A ．()sin x x f -=7．已知双曲线C ：点为A ，以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于若2AQ AP ≥，则该双曲线的离心率的取值范围是（A ．(1,3⎤⎦8．已知函数()f x =二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．若随机变量()()21,,00.8X N P X σ~≥=，则()020.6P X ≤≤=B ．残差和越小，模型的拟合效果越好C ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据计算得到2 4.012χ=，依据0.05α=的独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.05D ．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为810．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是面1AB ，面11B D ，面1DA 的中心，则下列结论正确的是（）A ．1NP DC ∥C ．1D C ⊥平面MNP11．设点00(,)P x y 在圆:O x 为y kx =.则（）A ．对任意实数k 和点B ．对任意点P ，必存在实数C ．对任意实数k ，必存在点D ．对任意实数k 和点12．设随机变量ξ的分布列如下：ξ12345P1a 2a 3a 4a a 则（）A ．当{}n a 为等差数列时，B ．数列{}n a 的通项公式可能为C ．当数列{}n a 满足n aD ．当数列{}n a 满足(P 三、填空题13．已知22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四、解答题17．已知ABC 的内角向量(),3m a a = ，n (1)求角A ；(2)若23a =，ABC 18．已知正项等比数列(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的前2n 19．如图，在四棱锥P 为边AB 的中点.(1)求证：AE ∥平面POC ；。

浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若复数z 满足21i z =-，则z =（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 2．直线a ∥平面α，P ∈α，那么过P 且平行于a 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内3．已知,a b r r 为单位向量，若()()23a b a b +⊥-r r r r ，则cos ,a b =r r （ ） A ．35B ．35-C ．15D ．15- 4．7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中21x 项的系数是（ ） A ．672 B ．420- C ．560 D ．560- 5．某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥体积为（ ）A ．3π8B ．π8 C D 6．已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a x a x+<<-的最小值为（ ） A ．5 B ．112 C ．203 D ．1637．已知函数()222cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=-->的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．28．已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有i （其中2,3,4i =）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量(2,3,4)i i ξ=，则（ ）A ．()()()32424E E E ξξξ>>B ．()()()24342E E E ξξξ>>C ．()()()34224E E E ξξξ>>D ．()()()23442E E E ξξξ>>二、多选题9．某科技公司统计了一款App 最近5个月的下载量如表所示，若y 与x 线性相关，且线性回归方程为0.6ˆˆyx a =-+，则（ ）A ．y 与x 负相关B ．ˆ 5.6a =C ．预测第6个月的下载量是2.1万次D ．残差绝对值的最大值为0.210．设n S 是公比为正数等比数列{}n a 的前n 项和，若212a =，35164a a =，则（ ） A ．418a = B ．394S = C ．n n a S +为常数 D ．{}2n S -为等比数列11．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=--，当(]1,2x ∈时()22x f x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()10f -=B ．()f x 的图象关于点()3,0成中心对称C ．()()20242025f f >D ．2112x f f x ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭三、填空题12．若双曲线2211x y m m +=+的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为．13．曲线2e ax y =在点()0,1处的切线与直线210x y -+=垂直，则a =.14．已知集合(){,|1M a b a =≤-，且 0}b m <≤，其中m ∈R ．若任意(,)a b M ∈，均有2log 30a b b a ⋅--≥，求实数m 的最大值.四、解答题15．已知a ，b ，c 分别是三角形三个内角A ，B ，C 的对边，已知5a =，3sin 5A =，2B A π-= (1)求cosC 的值；(2)求ABC V 的周长.16．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11BB ,DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.(1)求证：1AC ⊥平面AEF ； (2)当11,2AB AD AA ===时，求平面AEF 与平面1A BD 的夹角的余弦值.17．已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB =(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=u u u u r u u u r ，求MFN △面积的最小值．18．已知函数()1ln x f x ax+=，其中e 为自然对数的底数． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若方程()1f x =有两个不同的根12,x x ．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：22122x x +>．19．若数列12:,,,(2)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥满足1||1(1,2,,1)k k a a k n +-==⋅⋅⋅-，则称n A 为E 数列，记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+．(1)写出满足150a a ==，且5()0S A >的一个E 数列5A ；(2)若12a =，2024n =，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是2025n a =；(3)对任意给定的整数(2)n n ≥，是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()0n S A =？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由．。

高二年级技术学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷分信息部分和通用部分，共11页，满分100分，考试时间90分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

第一部分信息技术（共50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。

）1.下列关于数据、信息、知识的说法正确的是（）A.信息的储存和传播不一定要依附于某种载体B.通过搜索引擎的检索可以获得海量的知识C.信息是数据解释后产生的意义D.信息是对客观事物的符号表示【答案】C【解析】【详解】本题考查数据、信息、知识的相关内容。

数据是对客观事物的符号表示。

如，数值、文字、语言、图形、图像等都是不同形式的数据；信息是既是对客观事物变化和特征的反映，又是事物之间相互作用、相互联系的表征。

信息必须数字化编码，才能用计算机进行传送、存储和处理。

A选项，信息的表示、传播、储存必须依附于某种载体，选项错误；B选项，通过搜索引擎的检索可以获得海量的信息，选项错误；C选项，信息是加载于数据之上,对数据作具有含义的解释，选项正确；D选项，数据是对客观事物的符号表示，选项错误。

故本题答案是C选项。

2.如图所示，用黑色代表“1”，白色代表“0”，每行或每列均表示一个二进制数，如第3行表示的二进制数为0010100B，则（）A.第一行表示的二进制数的十六进制表示为65HB.所有列表示的二进制数之和转化为十进制数为254DC.前4行表示的二进制数之和转化为十进制数为127DD.前4行表示的二进制数之和减去后三行表示的二进制数之和的值为1【答案】C【解析】【详解】本题考查二进制编码相关内容。

由黑色代表“1”，白色代表“0”可以得出每一行每一列所表示二进制。

按行统计：第一行为1000001；第二行为0100100；第三行为0010100；第四行为0001000；第五行为0010100；第六行为0100010；第七行为1000001。

鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。

2024学年第一学期浙江省精诚联盟10月联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线:30l y ++=的倾斜角α为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】C 【解析】【分析】先求得直线的斜率，从而求得对应的倾斜角.【详解】由于直线:30l y ++=的倾斜角为α，则直线的斜率tan α=，再由0180α︒≤<︒，可得120α=︒.故选：C2.已知()1,2,2a = ，()3,,3b λ=- ，且()a a b ⊥-，则λ的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A 【解析】【分析】利用向量减法的坐标运算求出()4,2,1a b λ--=- ，再根据()a a b ⊥-得出数量积等于零，建立等式求解．【详解】()4,2,1a b λ---=，()a ab ⊥- ，()()()422210a a b λ∴⋅-=+⨯-+⨯-=，解得：3λ=，故选：A ．3.直线1l ：10x y +-=与直线2l ：2250x y +-=的距离是（）A.2B.4C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间的距离公式可直接求解.【详解】设1:102220l x y x y +-=⇒+-=与2:2250l x y +-=的距离为d ，则4d ==.故选：B .4.已知空间向量()1,2,3AB = ，()2,1,1AC =-- ，()9,2,AD x =-，若,,,A B C D 四点共面，则实数x的值为（）A.1-B.0C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量共面定理得到关于,,x λμ的方程组，解之即可得解.【详解】因为,,,A B C D 四点共面，所以向量,,AB AC AD 共面，即存在实数,λμ使得AD AB AC λμ=+，又()1,2,3AB = ，()2,1,1AC =-- ，()9,2,AD x =-，所以(9,2,)(1,2,3)(2,1,1)x λμ-=+--，所以92223x λμλμλμ=+⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，解得141x λμ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，则1x =-.故选：A.5.已知点()0,2P 关于直线10x y -+=对称的点Q 在圆C ：2220x y x m +++=外，则实数m 的取值范围是（）A.4m >-B.1m <C.41m -<<D.4m <-或1m >【答案】C 【解析】【分析】设(),Q a b ，利用点关于线对称列方程求得Q 坐标，代入圆方程得出不等式计算即可.【详解】设点()0,2P 关于直线10x y -+=对称的点(),Q a b ，则210021022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得1,1a b ==.因为()1,1Q 在C 外，所以1120m +++>，可得4m >-且2220x y x m +++=表示圆可得4040m +->，即得1m <综上可得41m -<<.故选：C.6.已知点A 坐标为(1,1,2)，直线l 经过原点且与向量()1,2,2α=平行，则点A 到直线l 的距离为（）A.73B.136C.3D.76【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量垂直，以及两点间的距离公式即可得到结论．【详解】由题意得(1,1,2)OA = ，直线l 的一个方向向量为()1,2,2α=，所以，点A 到直线l的距离为：sin ,d OA OA α==，OA ==53=.故选：C ．7.已知)A，()0,1B -，直线l：2230ax y --=上存在点P ，满足2PA PB +=，则l 的倾斜角的取值范围是（）A.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π5π0,,π36⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C.π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.πππ5π,,3226⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】【分析】找到动直线的定点，由动直线与线段有，结合图形判断出倾斜角的范围.【详解】将)A代入2230ax y --=得a =将()0,1B -代入2230ax y ---=得a =，所以A ，B 不在直线l 上，又∵2AB =，2PA PB +=所以点P 在线段AB 上，直线AB 的方程为：0x =，直线l 过定点33,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭且斜率k a =一定存在，故由数形结合可知：AM k k ≥=或3BM k k ≤=-故倾斜角5,,3226ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，故选：D8.正三角形ABC 边长为2，D 为BC 的中点，将三角形ABD 沿AD 折叠，使83AB AC ⋅= .则三棱锥B ADC -的体积为（）A.69 B.2C.39D.16【答案】A 【解析】【分析】根据正三角形折叠后得出AD ⊥平面BCD ,设,DB DC夹角为θ，进而sin 3θ=,再应用三棱锥体积公式计算即可.【详解】正三角形ABC 边长为2，D 为BC 的中点，将三角形ABD 沿AD 折叠，,,,,AD BD AD DC DC BD D DC BD ⊥⊥⋂=⊂平面BCD ,AD ⊥平面BCD ,设,DB DC夹角为θ，使()()28····30011cos 3AB AC AD DB AD DC AD ADDB AD DC DB DC θ⋅=++=+++=+++⨯⨯= .则1cos ,sin 33θθ=-==,1,AD BD DC ===11111sin 3323239B ADC A BCD BCD V V S AD BD DC AD θ--==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）.A.直线()24y ax a a =-+∈R 恒过第一象限B.直线31y x =-关于x 轴的对称直线为31y x =--C.原点到直线10x ++=的距离为12D.已知直线l 过点()3,1P -，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为20x y +-=【答案】AC 【解析】【分析】求出直线24(R)y ax a a =-+∈过得定点判断A ，求得直线关于x 轴的对称直线方程判断B ，由点到直线的距离判断C ，讨论直线在,x y 轴上截距是否为0，求出直线方程判断D.【详解】直线24(R)y ax a a =-+∈即直(2)4(R)y a x a =-+∈，当2x =时，4y =，即直线24(R)y ax a a =-+∈恒过定点(2,4)，由(2,4)在第一象限知A 正确；直线31y x =-关于x 轴的对称直线为31y x -=-，即31y x =-+，故B 错误；由点到直线距离可得12d ==，故C 正确；因为直线l 过点()3,1P -，且在,x y 轴上截距相等，当截距都为0时，直线l 方程为13y x =-，当截距不为0时，可设直线方程为1x ya a +=，则311a a-+=，2a ∴=，则直线方程为20x y +-=，故D 错误.故选：AC10.已知点P 在曲线22x y x y +=+上，点()2,0Q ，则P 的可能取值为（）A.2B.1C.2D.4【答案】BC 【解析】【分析】根据对称性可知：只需讨论x 轴以及其上方的图象即可，分0,0x y ≥≥和0,0x y ≤≥两种情况，结合圆的性质分析求P 的最值，结合选项分析判断.【详解】对于方程22x y x y +=+，将y 换成y -可得：()22x y x y +-=+-，即22x y x y +=+，可知曲线关于x 轴对称，且点()2,0Q 在x 轴上，则只需讨论x 轴以及其上方的图象即可，当0,0x y ≥≥，则曲线方程化为22x y x y +=+，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时曲线为以11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径12r =的半圆，可知1min2PQ AQ r =-=，当且仅当P 为线段AQ 与曲线的交点1P 时，等号成立；当0,0x y ≤≥，则曲线方程化为22x y x y +=-+，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时曲线为以11,22B ⎛⎫-⎪⎝⎭为圆心，半径22r =，可知2max2PQ BQ r =+=，当且仅当P 为QB 的延长线与曲线的交点2P 时，等号成立；即22PQ ≤≤，结合选项可知：AD 错误；BC 正确.故选：BC.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为侧面11ADD A 内的一个动点（含边界），点P 、Q 分别是线段1CC 、BC 的中点，则下列结论正确的是（）A.存在点M ，使得二面角--M DC P 大小为2π3B.1MB MP ⋅最大值为6C.直线PM 与面11A ADD 所成角为π4时，则点M 的轨迹长度为2π3D.当1MB BP ⊥时，则三棱锥1B AMQ -的体积为定值.【答案】BCD 【解析】【分析】由题意得到二面角--M DC P 的平面角,其中1π0,2MDD ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，可得判定A 错误；建系求出点及向量，再应用向量的数量积坐标表示计算最值判断B ,根据线面角得出M 的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧判断C,应用向量垂直得出点M 的位置，再应用等体积法求体积即可判断D.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，可得CD ⊥平面11ADD A ，因为MD ⊂平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，所以1,CD MD CD DD ⊥⊥，所以二面角--M DC P 的平面角为1∠MDD ，其中1π0,2MDD ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，A错误；如图建系，设()[]()()1,0,,,0,2,2,2,2,0,2,1M t n t n B P ∈，()()12,2,2,,2,1MB t n MP t n =--=--，()()()22124212432MB MP t t n n t t n n ⋅=--++--=-++-+()22311124t n ⎛⎫=-+-+⎪⎝⎭存在2,0t n ==时，取1MB MP ⋅最大值为6，B正确；设面11A ADD 法向量为 =0,1,0，直线PM 与面11A ADD 所成角为π4时，可得()22π22sin 4241n PM n PMt n ⋅==⋅++-，所以()2214t n +-=，则点M 的轨迹是以0,0,1为球心，2为半径的球，点M 为侧面11ADD A 内的一个动点，则点M 的轨迹在侧面11ADD A 内是以0,0,1为圆心，2为半径的劣弧，如图所示，分别交AD ，11A D 于2M ，1M ，如图所示，111112,1,cos 2M ED E M ED ==∠=，则121π3D E D M M E ∠=∠=，则21π3M M E ∠=，劣弧12M M 的长为π3π223⨯=，C 正确当1MB BP ⊥时，()122020MB BP t n ⋅=--++-=，所以26t n +=，所以2,2t n ==，可得()2,0,2M 为1A ，则三棱锥1B AMQ -的体积为11111111123323B AMQ Q A AB A AB V V S QB AB AA QB --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ，所以当1MB BP ⊥时，三棱锥1B AMQ -的体积为定值，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：解决轨迹长度的关键是先设点M 计算求轨迹方程()2214t n +-=，点M 的轨迹是以0,0,1为球心以2为半径的球，再结合侧面内的边长得出角进而得出弧长即可.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.12.()2,0,0a = ，()1,1,1b = ，则b 在a上的投影向量为________（用坐标表示）【答案】(1,0,0)【解析】【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求出投影向量．【详解】由于空间向量()2,0,0a =，()1,1,1b = ，故向量b 在向量a上的投影向量的坐标21||cos ,(2,0,0)(1,0,0)||||2a ab b a b a a a ⋅<>⋅=⋅== ．故答案为：(1,0,0)．13.已知直线1l ：()10x m y +-=，2l ：10mx y +-=，若满足12l l ⊥，则两直线的交点坐标为________.【答案】24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先由直线1:(1)0l x m y +-=与直线2:10l mx y +-=垂直的性质能求出m ，再联立直线方程求交点即可.【详解】 直线1:(1)0l x m y +-=与直线2:10l mx y +-=垂直，10m m ∴+-=，解得12m =，所以10(1)02101102x y x m y mx y x y ⎧-=⎪+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪+-=⎪⎩，解得2545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为：24,55⎛⎫⎪⎝⎭.14.如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD 、ABEF 的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.长度为2的金属杆端点N 在对角线BF 上移动，另一个端点M 在正方形ABCD 内（含边界）移动，且始终保持MNAB ⊥，则端点M 的轨迹长度为________.【答案】π【解析】【分析】建系标点，设()()[],,0,,0,,,,0,2N a a M x z a x y ∈，根据垂直关系可得x a =，结合长度可得224x z +=，分析可知端点M 的轨迹是以B 为圆心，半径2r =的圆的14部分，即可得结果.【详解】以B 为坐标原点，,,BA BE BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()2,0,0,0,0,0A B ，设()()[],,0,,0,,,,0,2N a a M x z a x y ∈，可得()()2,0,0,,,BA NM x a a z ==-- ，因为MN AB ⊥，即()20BA NM x a ⋅=-= ，可得x a =，则()0,,NM x z =- ，则2NM == ，整理可得224x z +=，可知端点M 的轨迹是以B 为圆心，半径2r =的圆的14部分，所以端点M 的轨迹长度为12π2π4⨯⨯=.故答案为：π.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C 的圆心在y 轴上，并且过原点和().（1）求圆C 的方程；（2）若线段AB 的端点()4,2A -，端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）()2224x y +-=（2）()2221x y -+=【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解；（2）设s ，()00,B x y ，由中点坐标公式可得024x x =-，022y y =+，代入圆C 方程，整理即可求解.【小问1详解】设圆C 方程：()()2220x y b r r +-=>，由已知(()222223b r b r ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22b r =⎧⎨=⎩，∴圆C 方程为()2224x y +-=.【小问2详解】设点s ，()00,B x y .∵()4,2A -，∴004222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.整理得024x x =-，022y y =+，∵点B 在圆C 上，∴()()222424x y -+=，∴点M 的轨迹方程为()2221x y -+=.16.在四面体ABCD 中，2AB AC BC BD CD =====，3AD =，E 是BC 的中点，F 是AD 上靠近A 的三等分点，（1）设AB a =，AC b = ，AD c = ，试用向量a 、b 、c 表示向量FE ；（2）证明：FE CD ⊥．【答案】（1）111223FE a b c =+- （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由向量的加法与减法运算；（2）证明0C E D F ⋅= ，得EF CD ⊥ ，可得EF CD ⊥．【小问1详解】()1123FE AE AF AB AC AD =-=+- ，即111223FE a b c =+- ；【小问2详解】CD AD AC c b=-=- ()111111111223223223FE CD a b c c b a c b c c c a b b b c b ⎛⎫⋅=+-⋅-=⋅+⋅-⋅-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭ 221313111113232332222302424322234=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯--⨯⨯⨯+⨯⨯⨯所以FE CD ⊥．17.在长方体1111ABCD A B C D -中，1222BC BB BA ===，点M 为棱AB 上的动点（含端点）．（1）当点M 为棱AB 的中点时，求二面角1M D C D --的余弦值；（2）当AM 的长度为何值时，直线1B C 与平面1CMD 所成角的正弦值最小，并求出最小值．【答案】（1）66（2）2AM =，最小值为5【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，找出坐标，求出平面1CMD 的一个法向量为()11,2,1n =- ，平面1CD D 的一个法向量为()21,0,0n = ，再利用公式12cos cos ,n n α= 求解即可；（2）引入参数，设AM t =，()02t ≤≤，表示出()1,1,M t ，()11,1,0B C =- ，()11,1,D M t = ，()10,1,2D C = ．求出平面1CMD 法向量()32,2,1n t =-- ，设1B C 与平面1CMD 的所成角为β，利用31sin cos ,n B C β= 建立等式，再利用基本不等式求解．【小问1详解】如图，以1D 为原点，11D A ，1D D ，11D C 分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系．设二面角1M D C D --为α，则该角为锐角．而()10,0,0D ，()1,1,1M ，()0,1,2C ，()11,0,2B ．所以()10,1,2D C = ，()11,1,1D M = ．设平面1CMD 法向量()1,,n x y z = 所以111102000n D C y z x y z n D M ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ ．取1z =，得平面1CMD 的一个法向量为()11,2,1n =- 易知平面1CD D 的一个法向量为()21,0,0n =所以121212cos cos ,6n n n n n n α⋅==== ．【小问2详解】设AM t =，()02t ≤≤所以()1,1,M t ，()11,1,0B C =- ，()11,1,D M t = ，()10,1,2D C = ．设平面1CMD 法向量为()3111,,n x y z = ．所以31111113100200n D M x y tz y z n D C ⎧⋅=++=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ 取11z =，得平面1CMD 的一个法向量为()32,2,1n t =-- ．设1B C 与平面1CMD 的所成角为β所以31sin cos ,n B C β==令4t u -=，则11142u ≤≤即sin β==当112u =时，即2u =，2t =．sin β最小值为5，此时2AM =．18.已知ABC V ，点()1,1A -，点B ，C 在直线20x y +-=上运动（点B 在点C 上方）.（1）已知以点A 为顶点的ABC V 是等腰三角形，求BC边上的中线所在直线方程；（2）已知BC =，试问：是否存在点C ，使得ABC V 的面积被x 轴平分，若存在，求直线AC 方程；若不存在，说明理由?【答案】（1）2y x =-（2）存在，2y x =-【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及垂直直线的斜率关系求得边BC 的中线的斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可；（2）结合点到直线的距离公式求出ABC V 的面积，设(),2B a a -，()1,1C a a +-，分点C 在x 轴下方和点C 在x 轴或x 轴上方，两种情况讨论，根据面积列式求解点C 的坐标，再求直线AC 方程即可.【小问1详解】因为ABC V 是以点A 为顶点的等腰三角形，所以边BC 的中线垂直直线BC ，所以边BC 的中线的斜率1111BC k k =-=-=-，又过点()1,1A -，所以边BC 的中线方程为11y x +=-，即2y x =-；【小问2详解】因为点A到直线l的距离d ==，故112ABC S == .假设存在C 满足条件，设(),2B a a -，()1,1C a a +-，则20a ->，即2a <，①当点C 在x 轴下方时，即10a -<时，即12a <<，AB 所在直线的方程为()21111a y x a -++=--，令0y =，解得23x a=-，直线AB 与x 轴的交点2,03M a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，又直线20x y --=与x 轴的交点()2,0N ，所以242233a MN a a -=-=--，()1142122232BMN B a S MN y a a -=⋅=⋅⋅-=- ，解得1a =或52a =，舍去；②当点C 在x 轴或x 轴上方时，即10a -≥时，即1a ≤，AC 所在直线的方程为()111111a y x a -++=-+-，令0y =，解得22x a=-，直线AC 与x 轴的交点2,02E a ⎛⎫⎪-⎝⎭，所以22222356ME a a a a =-=---+，21121122562AME A S ME y a a =⋅=⋅⋅=-+ ，解得1a =或4a =（舍去）；综上，当1a =时，存在点()2,0C 满足题意，此时，直线AC 的斜率为()01121--=-，故直线AC 方程为2y x =-.19.出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance ）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若()11,A x y ，()22,B x y ，两点之间的曼哈顿距离()2121,d A B x x y y =-+-.（1）已知点()1,4A ，()3,3B -，求(),d A B 的值；（2）记(),d B l 为点B 与直线l 上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点()1,1B ，直线l ：420x y -+=，求(),d B l ；（3）已知三维空间内定点()1,1,1A ，动点P 满足(),1d A P =，求动点P 围成的几何体的表面积.【答案】（1）9（2）54（3）【解析】【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可；（2）设直线420x y -+=上任意一点坐标为s ，然后表示(),d B l ，分类讨论求(),d C B 的最小值即可；（3）不妨将A 平移到0,0,0处，利用曼哈顿距离定义求得P 围成的图形为八面体，即可求解其表面积.【小问1详解】()(),13439d A B =-+--=，所以(),9d A B =.【小问2详解】设动点s 为直线l 上一点，则42y x =+，所以(),1421141d B l x x x x =-++-=-++，即()5,11,32,1415,4x x d B l x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪-<-⎪⎩，当1x ≥时，(),5d B l ≥；当114x -≤<时，()5,54d B l ≤<；当14x <-时，()5,4d B l >；综上，(),d B l 为54.【小问3详解】动点P的正三角形，其表面积为13822⨯=证明如下：不妨将A 平移到0,0,0处，设(),,P x y z ，若(),1d A P =，则1x y z ++=，当,,0x y z ≥时，即()10,,1x y z x y z ++=≤≤，设()11,0,0M ，()20,1,0M ，()30,0,1M ，则()112131,,(,,)M P x y z y z y z yM M zM M =-=--=+ ，所以P ，1M ，2M ，3M 四点共面，所以当,,0x y z ≥时，P 的等边三角形123M M M 内部（含边界）.同理可知等边三角形内部任意一点(),,Q x y z '''，均满足1x y z '''++=.所以满足方程()10,,1x y z x y z ++=≤≤的点P ，的等边三角形内部（含边界）.由对称性可知，P 围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形.故该几何体表面积284S =⨯⨯=【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要读懂新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学知识处理即可.。

浙江省嘉兴市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．集合{13}A xx =-<≤∣，{}24B x x =<，那么集合A B =I （ ） A ．{22}x x -<<∣ B ．{12}x x -<<∣ C ．{23}x x -<≤∣ D ．{13}xx -<<∣ 2．已知命题():1,p x ∀∈+∞，20x x ->，则（ ）A ．命题p 的否定为“()1,x ∃∈+∞，20x x ->”B ．命题p 的否定为“(],1x ∃∈-∞，20x x -≤”C ．命题p 的否定为“()1,x ∃∈+∞，20x x -≤”D ．命题p 的否定为“(],1x ∀∈-∞，20x x ->”3．设命题“2x >”是命题“240x -≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()221,036,0x x x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩，则不等式()()1f x f >的解集是（ ） A ．()(),41,-∞-+∞UB ．()(),21,-∞-+∞UC ．()(),42,-∞-+∞UD ．()(),22,∞∞--⋃+5．设a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则a b >B ．若0a b c >>>，则a a c b b c +<+C ．若a b >，则11a b< D ．若0a b c >>>，则b c a b a c >-- 6．不等式1122x x x x --->-++的解集为（ ） A ．{2x x <-或x >1B ．{|2}x x <-C ．{}1x x > D ．{}21x x -<<7．设0m >，若2420mx x -+=有两个不相等的根1x ，2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．(]0,2 C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞8．对于实数a 和b 定义运算“⋅”：⋅a b =22,,a ab a b b ab a b⎧-≤⎨->⎩，设()(21)(2)f x x x =-⋅-，如果关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123x x x ，，，则m 的取值范围（ ） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．9(0,)4 D ．φ二、多选题9．下列各组函数是同一个函数的是（ ）A ．()221f x x x =--与()221g s s s =--B ．()f x ()g x =-C ．()x f x x =与()g x =D ．()f x x =与()g x =10．已知集合{}22M y y x ==-，{N x y ==，则（ ）A ．M N M ⋂=B ．M N M ⋃=C ．()N M ⋂=∅R ðD ．()M N ⋂=∅R ð11．已知2()2f x x x a =-+.若方程()0f x =有两个根12,x x ，且12x x <，则下列说法正确的有（）A ．1>0x ，20x >B ．1a <C ．若120x x ≠，则121211x x x x ++的最小值为D ．,R m n ∀∈，都有()()()22f m f n m nf ++≥三、填空题12．设集合{}21,,45A t t t =-+，若2A ∈，则实数t 的值为.13．已知不等式()()22240a x a x -+--≥解集是∅，则实数a 的取值范围是．14．已知a ，b ，0c >满足4a b c ++=，则11ab bc+的最小值为.四、解答题15．已知全集为R ，集合{}22A x x x =+<，{124}B xx a =-<+<∣. (1)当1a =时，求R ()A B ⋃ð；(2)若A B B =I ，求实数a 的取值范围.16．设函数2()(1)2(R)f x ax a x a a =+-+-∈(1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式：()1f x a <-．17．设a 为实数，函数()f x =(1)求函数()f x 的定义域；(2)设t ()f x 表示为t 的函数()h t ，并写出定义域；(3)若0a <，求()f x 的最大值18．已知x ，0y >满足6x y +=.(1)求22x y +的最小值；(2)求3yx y +的最小值；(3)若()2244x y m x y +≥+恒成立，求m 的取值范围. 19．已知二次函数()()1f x ax x =-，()0,4a ∈，()0,1x ∈.若有()00f x x =，我们就称0x 为函数()f x 的一阶不动点；若有()()00f f x x =，我们就称0x 为函数()f x 的二阶不动点.(1)求证：()01f x <<；(2)若函数()f x 具有一阶不动点，求a 的取值范围；(3)若函数()f x 具有二阶不动点，求a 的取值范围.。

2026届高二数学秋季月考卷第一期（答案在最后）考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量()2,4a =，()1,1b =- ，则2a b -=A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2.已知直线12:320,:310l x y l x ay -+=--=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（）A.1B.12C.12-D.1-【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =-g 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y -+=的斜率113k =，直线2:310l x ay --=的斜率不存在，此时两条直线不垂直；当0a ≠时，直线1:320l x y -+=的斜率113k =，直线2:310l x ay --=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =-g ，所以13113a a⨯==-，解得：1a =-.故选：D.3.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（）A.(),20-∞ B.(),5-∞ C.()5,+∞ D.()20,+∞【答案】B 【解析】【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞.故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4.设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A.若a b ，与α所成的角相等，则∥B.若a αβ∥，b∥，αβ∥，则∥C.若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥D.若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.5.直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M 、N 两点，若MN =，则k 等于（）A.0B.23-C.23-或0 D.34-或0【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心(3,2)到直线3y kx =+的距离，即可求出k 的值.【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心(3,2)到直线3y kx =+的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34-，故选：D.6.过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（），A.1条B.2条C.3条D.无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果.【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=，将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=，当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b -+∴===+---，a *∈N ，303b ≠-，33b *∴∈-N ，31b ∴-=或33b -=，44b a =⎧∴⎨=⎩或62b a =⎧⎨=⎩，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7.已知长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（）A.[)1,2 B.(C.(]0,1 D.()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)AD a a =>，(02)AP x x =<<，则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =-，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +-=，所以a =，当02x <<时，所以(]2(1)10,1x --+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8.已知点P 在直线3y x =--上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y -+-=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.13B.11C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+-，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y -+-=的圆心为()9,2C ，半径为4，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO -≤≤+-≤≤+，所以5PM PN PO PC +≥+-，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =--的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ，则1322nm n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得33m n =-⎧⎨=-⎩，故()3,3G --，因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立，所以PM PN +的最小值为1358-=.故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.三条直线0x y +=，0x y -=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（）A.1B.2C.1-D.－2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y -=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行，所以1a ≠±．故选：AC.10.正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.直线1AD 与直线11A C 所成角为3π B.直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC.二面角1D AB D --的大小为4π D.平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断；选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D --的平面角为14DAD π∠=，即可判断；选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C --的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠︒，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A 正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D --的平面角为14DAD π∠=；故C 正确.选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥.同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C --的平面角。

2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期10月月考数学检测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则集合（ ）{}21A x x =-<<{}2,1,1,2B =--A B = A.B.C.D.{}1,0-{}1-{}0,1{}1x =-2. 已知函数的定义域为（ ）()f x =()f x A. B. C. 且 D.{|1}x x ≠-{|0}x x ≥{|0x x ≤1}x ¹-且{|0x x ≥1}x ≠3. 若，则下列正确的是（ ）,,,0a b c a b ∈<<R A .B. C.D. 11a b<ac bc>22()(11)a c b c +<+2a ab<4. 函数的大致图象是（ ）1xy x=+A .B.C. D.5. 使“”成立的必要不充分条件是（ ）11x x +≥-A. B. C. D. 或1<1x -≤2x ≤-11x -≤≤1x ≤-0x ≥6. 已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ）a bB.D. 211a b+2a b+7. 命题“∀x ∈R ，∃n ∈N +，使n ≥2x+1”的否定形式是（ ）A. ∀x ∈R ，∃n ∈N +，有n<2x+1B. ∀x ∈R ，∀n ∈N +，有n<2x+1C. ∃x ∈R ，∃n ∈N +，使n<2x+1D. ∃x∈R ，∀n ∈N +，使n<2x+18. 设函数的定义域为，对于任意，若所有点()0)f x a =<D ,m n D ∈构成一个正方形区域，则实数的值为（）()(),P m f n a A. -1B. -2C. -3D. -4二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分.9. 已知为正数，且，则下列说法正确的是（）,x y 1xy =A. 有最小值2B. 有最大值2x y +x y +C. 有最小值2D. 有最大值222x y +22x y +10. 已知命题是真命题，则下列说法正确的是（ ）2:[1,3],40p x x ax ∃∈-+<A. 命题“”是假命题2[1,3],40x x ax ∃∈-+≥B. 命题“”是假命题2[1,3],40x x ax ∀∈-+≥C. “”是“命题为真命题”的充分不必要条件5a >pD. “”是“命题为真命题”的必要不充分条件4a ≥p 11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题平面上点与的距离加以考虑. 结合综上观点，对于函数(,)M x y (,)N a b）()f x A. 的图象是轴对称图形()y f x =B. 的值域是()y fx =[0,4]C.先递减后递增()f x D. 方程有且仅有一个解(())f f x =三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.12. 集合的子集个数为__________个.{0,1}A =13. 已知一元二次不等式的解集为，则________.210ax bx a -->1{|1}2x x -<<a =14. 函数满足：对任意的都有，且，若()y f x =12,x x R ∈1212()()f x f x x x ->-()220f +=恒成立，则的最小值为___________.22()0(01)f ax x a ax x a x ³-++-+<<a 四、简答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合，，或.{}12A x x =-≤≤{}21B x m x =<<{1C x x =<-x>2}（1）当时，求；1m =-A B ⋂（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.B C ⋂m 16. 某工厂要建造一个长米，宽米的长方形无盖储水池，储水池容积为4800立方米，深x y 为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元.（1）写出总造价与间的关系；z ,x y （2）水池的最低总造价是多少？并求出总造价最低时的值.x 17. 已知命题：“，使得”为真命题．0x ∃∈R 202430x mx m -+-≤（1）求实数m 的取值的集合A ；（2）设不等式的解集为B ，若是的必要不充分条件，求()(3)0x a x a ---≤x A ∈x B ∈实数a 的取值范围．18. 函数()22,01,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+->⎩（1）时，求方程的解；1a =()2f x =（2）求在上的解集；()0f x <(0,)+∞（3）若时，①②同时成立，求的取值范围.0x >a ①恒成立；()2f x a ≥-②函数的值域为.y =[0,)+∞19. 对于定义域为I 的函数，如果存在区间，使得在区间上是单()f x [,]∈m n I ()f x [,]m n 调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个(),[,]y f x x m n =∈[,]m n [,]m n ()f x “优美区间”.（1）判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写2()y x x R =∈43(0)y x x =->出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）（2）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值.[,]m n 22()1()(0)a a x f x a a x +-=≠n m -2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期10月月考数学检测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则集合（ ）{}21A x x =-<<{}2,1,1,2B =--A B = A.B.C.D.{}1,0-{}1-{}0,1{}1x =-【正确答案】B【分析】运用集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意知：，对于D ，集合的表示有误；A B = {}1-故选：B.2. 已知函数的定义域为（ ）()f x =()f x A. B. C. 且 D.{|1}x x ≠-{|0}x x ≥{|0x x ≤1}x ¹-且{|0x x ≥1}x ≠【正确答案】B【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得.【详解】函数，解得，()f x =010x x ≥⎧⎨+≠⎩0x ≥所以的定义域为.()f x {|0}x x ≥故选：B3. 若，则下列正确的是（ ）,,,0a b c a b ∈<<R A. B. C.D. 11a b<ac bc>22()(11)a c b c +<+2a ab<【正确答案】C【分析】利用不等式及其性质逐项判断即可.【详解】对A ，因为，所以，所以不等式两边同时除以得：0a b <<0ab >a b <ab ，故A 错误；11b a <对B ，由，若，则，故B 错误；0a b <<0c >ac bc <对C ，因为，所以不等式两边同时同时乘以得：210c +>a b <21c +，故C 正确；22()(11)a c b c +<+对D ，因为，所以不等式两边同时乘以得：，故D 错误.0a <a b <a 2a ab >故选：C.4. 函数的大致图象是（ ）1xy x =+A.B.C.D.【正确答案】A【分析】探讨函数的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.1xy x =+【详解】函数的定义域为，选项C ，D 不满足，1xy x =+{R |1}x x ∈≠-因，则函数在，上都单调递增，B 不满111111x y x x +-==-++1xy x =+(,1)∞--(1,)-+∞足，则A 满足.故选：A方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.5. 使“”成立的必要不充分条件是（ ）101x x +≥-A. B. C. D. 或1<1x -≤2x ≤-11x -≤≤1x ≤-0x ≥【正确答案】C【分析】先解不等式，根据不等式的解集以及必要不充分条件的定义即可求解.【详解】不等式可化为，解得，101x x +≥-()()11010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩1<1x ≤-根据题意成立，反之不成立，1111x x --<≤≤≤⇒所以是成立的必要不充分条件.11x -≤≤11x x +≥-故选：C6. 已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ）ab B.D. 211a b +2a b+【正确答案】C【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小.【详解】因为、为互不相等的正实数，a b 所以由重要不等式可得，则，222a b ab +>()()2222222a b a b ab a b +>++=+所以，，()22224a b a b ++>2ab +>>由基本不等式可得，所以，211a b <=+2112a b a b +>>>+.故选：C.7. 命题“∀x ∈R ，∃n ∈N +，使n ≥2x+1”的否定形式是（ ）A. ∀x ∈R ，∃n ∈N +，有n<2x+1B. ∀x ∈R ，∀n ∈N +，有n<2x+1C. ∃x ∈R ，∃n ∈N +，使n<2x+1D .∃x ∈R ，∀n ∈N +，使n<2x+1【正确答案】D【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的、，然后把结论否定，∀→∃∃→∀即可确定答案【详解】条件中的、，把结论否定∀→∃∃→∀∴“∀x ∈R ，∃n ∈N +，使n ≥2x+1”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N +，使n<2x+1”故选：D本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的、且∀→∃∃→∀否定原结论8. 设函数的定义域为，对于任意，若所有点()0)f x a =<D ,m n D ∈构成一个正方形区域，则实数的值为（）()(),P m f n aA. -1B. -2C. -3D. -4【正确答案】D【分析】先求出.进而根据在的单调性，得出函数[]0,2D =22y x x =-[]0,2在.，求解()f x =1x =2=即可得出答案.【详解】由已知可得，.220ax ax -≥因为，所以，解得，所以.0a <220x x -≤02x ≤≤[]0,2D =因为在上单调递减，在上单调递增，22y x x =-[]0,1[]1,2所以，在处取得最小值，22y x x =-1x =1-所以，在处取得最大值，()22y a x x =-1x =a -所以，函数在.()f x =1x =因为，所有点构成一个正方形区域，()()020f f ==()(),P m f n，所以.2=4a =-故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分.9. 已知为正数，且，则下列说法正确的是（）,x y 1xy =A. 有最小值2B. 有最大值2x y +x y +C. 有最小值2D. 有最大值222x y +22x y +【正确答案】AC【分析】利用基本不等式和重要不等式求和的最小值.【详解】为正数，且，,x y 1xy =则有，，当且仅当时等号成立，2x y +≥=2222y x y x ≥=+1x y ==所以有最小值2，有最小值2.x y +22x y +故选：AC.10. 已知命题是真命题，则下列说法正确的是（ ）2:[1,3],40p x x ax ∃∈-+<A. 命题“”是假命题2[1,3],40x x ax ∃∈-+≥B. 命题“”是假命题2[1,3],40x x ax ∀∈-+≥C. “”是“命题为真命题”的充分不必要条件5a >p D. “”是“命题为真命题”的必要不充分条件4a ≥p 【正确答案】BCD【分析】由命题的否定判断AB 选项；分离变量法求出为真命题时的取值范围，再根据p a 充分必要条件的概念判断CD.【详解】不能否定，A 选项错误；2[1,3],40x x ax ∃∈-+<2[1,3],40x x ax ∃∈-+≥命题是真命题，则是假命题，2:[1,3],40p x x ax ∃∈-+<2:[1,3],40p x x ax ⌝∀∈-+≥故B 选项正确；，则当时，，2[1,3],40x x ax ∃∈-+<[1,3]x ∈min 4a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭由，当且仅当，即时等号成立，44x x +≥=4x x =2x =所以是命题是真命题的充要条件.4a >2:[1,3],40p x x ax ∃∈-+<时有，时不一定有，5a >4a >4a >5a >“”是“命题为真命题”的充分不必要条件，C 选项正确；5a >p 时不一定有，时一定有，4a ≥4a >4a >4a ≥“”是“命题为真命题”的必要不充分条件，D 选项正确.4a ≥p 故选：BCD11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题平面上点与的距离加以考虑. 结合综上观点，对于函数(,)M x y (,)N a b）()f x A. 的图象是轴对称图形()y f x =B. 的值域是()y f x =[0,4]C. 先递减后递增()f xD .方程有且仅有一个解(())f f x =-【正确答案】AC【分析】由题得，设，，，()f x =(,0)P x 2()1,M -(3,2)N 则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选()f x PM PN=-P x ()f x 项．【详解】依题意，，()||f x =对于A ，，则的图象是轴对称图(2)||()f x f x -==()y f x =形，A 正确；对于B ，设，，，则，如图，(,0)P x 2()1,M -(3,2)N ()||||||f x PM PN =-线段轴，当时，，即，//MN x (1,0)P PM PN=(1)0f =又，而不可能共线，即，因此||||||||4PM PN MN -≤=,,P M N ||||||4PM PN -≠，B 错误；()[0,4)f x ∈对于C ，设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则Q x P (1,0)Q P MQ PN E ，||||||ME PE PM +>，则，||||||NE QE QN +>QM PN QE EM PE NE PM QN +=+++>+即，而在轴上点的右侧，，QM QN PM PN->-P x (1,0)PM PN>因此，即0QM QN PM PN ->->QM QN PM PN->-于是点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减P (1,0)()f x P x (1,0)()f x 小，C 正确；对于D ，，，()||f x =(0)(2)f f ==设，则的解是和，有一个解，()t f x =()f t =10t =22t =1()0f x t ==1x=由，两边平方解得2()2f x t ==2=±+1x =，1x =因此有三个解，D 错误．(())f f x =-故选：AC思路点睛：将题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动()f x x 确定函数的性质，利用数形结合使得较为复杂的函数问题得到解决.三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.12. 集合的子集个数为__________个.{0,1}A =【正确答案】4【分析】根据“集合中有个元素，子集个数为”可得结果.n 2n【详解】∵集合中元素个数为2，A ∴集合的子集个数为.A 224=故4.13. 已知一元二次不等式的解集为，则________.210ax bx a -->1{|1}2x x -<<a =【正确答案】【分析】根据一元二次不等式的解以及根与系数关系列方程组，由此求得的值.a 【详解】由于一元二次不等式的解集为，210ax bx a -->1{|1}2x x -<<所以，解得.2011122111122a b a a ⎧⎪<⎪⎪-+=-=⎨⎪⎪-⨯=-=-⎪⎩a=故14. 函数满足：对任意的都有，且，若()y f x =12,x x R ∈1212()()f x f x x x ->-()220f +=恒成立，则的最小值为___________.22()0(01)f ax x a ax xa x ³-++-+<<a 【正确答案】1+【分析】根据题目条件可得在上为增函数，构造函数，把不等式转()f x R ()()g x f x x =+化为，利用函数的单调性得，分离参数，结合基本2()(2)g ax x a g -+³22ax x a -+³a 不等式求的最小值.a 【详解】∵对任意的都有，12,x x ∈R 1212()()f x f x x x ->-∴在上为增函数，()f x R 令，则在上为增函数.()()g x f x x =+()g x R ∵，()220f +=∴，(2)0=g ∴不等式可转化为，22()0(01)f ax x a ax x a x ³-++-+<<2()(2)g ax x a g -+³∴，22ax x a -+³∴，即212x a x +³+2max 21x a x +⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭令，则，2t x =+2(23)x t t =-<<，222215(2)14415x t t x t t t t t +===-+++-+-∵，即，5t t +≥=5t t =t =∴，1154t t £=+-∴，2max 211x x +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∴，的最小值为.1a ³a 1+故答案为.1+思路点睛：本题考查构造函数解决不等式问题，具体思路如下：根据题目条件可得在上为增函数，构造函数，把不等式转化为()f x R ()()g x f x x =+，利用函数的单调性得，分离参数得，转2()(2)g ax x a g -+³22ax x a -+³a 212x a x +³+化为，令，利用换元法结合基本不等式求的最小值.2max 21x a x +⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭2t x =+a 四、简答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设集合，，或.{}12A x x =-≤≤{}21B x m x =<<{1C x x =<-x >2}（1）当时，求；1m =-A B ⋂（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.B C ⋂m 【正确答案】（1）{}11A B x x ⋂=-≤<（2）312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合；1m =-B A B ⋂（2）分析可知，结合题意可知集合中的唯一的整数为，{}21B C x m x ⋂=<<-B C ⋂2-可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.m m 【小问1详解】解：当时，，1m =-{}21B x x =-<<又因为，则.{}12A x x =-≤≤{}11A B x x ⋂=-≤<【小问2详解】解：因为，或，{}21B x m x =<<{1C x x =<-}2x >因为只有一个整数，则，所以，解得，B C ⋂B ≠∅21m <12m <由题意可知，且，B C ≠∅ {}21B C x m x ⋂=<<-则集合中的唯一的整数为，所以，解得.B C ⋂2-2223m m <-⎧⎨≥-⎩312m -≤<-因此，实数的取值范围是.m 312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭16. 某工厂要建造一个长米，宽米的长方形无盖储水池，储水池容积为4800立方米，深x y 为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元.（1）写出总造价与间的关系；z ,x y （2）水池的最低总造价是多少？并求出总造价最低时的值.x 【正确答案】（1）； 240000720()z x y =++（2），.29760040x =【分析】（1）根据题意列出底面积与侧面积，再根据每平米造价即可表示出总造价.（2）利用基本不等式求其最小值即可.【小问1详解】根据题意可知，，则，34800xy =1600xy =又根据题意，总造价()150160023120z x y =⨯++⨯⨯240000720()x y =++【小问2详解】由（1）()150160023120z x y =⨯++⨯⨯，240000720()240000720297600x y =++≥+⨯=当且仅当时，等号成立，40x y ==故水池的长和宽均为时，总造价最低，最低值为元.40m 29760017. 已知命题：“，使得”为真命题．0x ∃∈R 202430x mx m -+-≤（1）求实数m 的取值的集合A ；（2）设不等式的解集为B ，若是的必要不充分条件，求()(3)0x a x a ---≤x A ∈x B ∈实数a 的取值范围．【正确答案】（1）或；{1A m m =≤}3m ≥（2）．(,2][3,)-∞-⋃+∞【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【小问1详解】命题“，使得”为真命题，0x ∃∈R 202430x mx m -+-≤所以，2(2)4(43)0m m ∆=---≥即，2430m m -+≥解之得或，1m ≤3m ≥所以实数m 的取值的集合或；；{1A m m =≤}3m ≥【小问2详解】不等式的解集为，()(3)0x a x a ---≤{}3B x a x a =≤≤+因为是的必要不充分条件，所以 ，x A ∈x B ∈B A 则或，3a ≥31a +≤所以或，3a ≥2a ≤-故实数a 的取值范围为．(,2][3,)-∞-⋃+∞18. 函数()22,01,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+->⎩（1）时，求方程的解；1a =()2f x =（2）求在上的解集；()0f x <(0,)+∞（3）若时，①②同时成立，求的取值范围.0x >a ①恒成立；()2f x a ≥-②函数的值域为.y =[0,)+∞【正确答案】（1）或 0x =2x =（2）答案见解析（3）(]1,2-【分析】（1）根据分段函数解析式来求得方程的解.()2f x =（2）对进行分类讨论，由此求得不等式在上的解集.a ()0f x <(0,)+∞（3）根据不等式恒成立以及函数的值域列不等式来求得的取值范围.a 【小问1详解】当时，，1a =()22,0,0x x f x x x x +≤⎧=⎨->⎩所以或，022x x ≤⎧⎨+=⎩202x x x >⎧⎨-=⎩解得或0x =2x =【小问2详解】当时，，0x >()()()21110f x x ax a x x a ⎡⎤=-+-=---<⎣⎦当时，不等式的解集为.11,2a a -==∅当时，不等式的解集为.11,2a a -<<()1,1a -当时，不等式的解集为.11,2a a ->>()1,1a -【小问3详解】当时，0x >①，()2212,10f x x ax a a x ax =-+-≥--+≥，而，211,ax x a x x ≤+≤+12x x +≥=当且仅当时等号成立，所以.1,1x x x ==2a ≤②函数的值域为，y ==[0,)+∞当时，，不符合.1a =-y =0,420x x >--<当，二次函数的开口向下，不符合值域为，10,1a a +<<-()2141y a x x a =+-+-[0,)+∞当时，二次函数的开口向上，10,1a a +>>-()2141y a x x a =+-+-对称轴，()42211x a a-=-=>++要使的值域为，y =[0,)+∞则需，()()2Δ164114200a a a =-+-=-+≥解得.1a -<≤综上所述，的取值范围是.a (]1,2-方法点睛：分段函数的解法：对于小问1，通过分段讨论函数的解析式，分别求解各个区间上的方程的解．分类讨论法：在小问2中，利用分类讨论的方法处理不等式在不同区间上的解集，确保所有情况均被覆盖．二次函数值域分析：在小问3中，通过分析二次函数的对称轴和开口方向，确定函数的值域并结合不等式求解参数的取值范围．19. 对于定义域为I 的函数，如果存在区间，使得在区间上是单()f x [,]∈m n I ()f x [,]m n 调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个(),[,]y f x x m n =∈[,]m n [,]m n ()f x “优美区间”.（1）判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写2()y x x R =∈43(0)y x x =->出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）（2）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值.[,]m n 22()1()(0)a a x f x a a x +-=≠n m -【正确答案】（1）存在优美区间是，不存在优美区间；()f x []0,1()g x （2【分析】（1）由函数的单调性及值域及新定义求解；（2）由新定义及函数定义域，确定相应方程有两个同号的不等实根，由此求得参()f x x=数范围.【小问1详解】，在上单调递增，由得或1，20y x =≥2y x =[)0,∞+2x x =x =0函数的值域是，存在优美区间是，()[],0,1y f x x =∈[0,1][0,1]是增函数，若存在优美区间，则，43(0)y x x =->[],m n ()()4343mf m m mf n n n n ⎧-=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=⎪⎩而方程组无解，不合题意，所以不存在优美区间；【小问2详解】，因为，()()2221111a a x f x a xa a x +-==+-210a >所以在和上都是增函数，()f x (),0∞-(0,+∞)因此优美区间或，[](),,0m n ∞⊆-[](),0,m n ∞⊆+因为函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区(),[,]y f x x m n =∈[,]m n [,]m n ()f x 间”.所以，所以有两个同号的不等实根，()()f m mf n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩()f x x =,m n ，，()2111f x x a a x =+-=()22210a x a a x -++=，，或，()222Δ40a aa=+->()()2310a a a +->3a <-1a >，同号，满足题意，又，210mna =>,m n221a a a mn a a +++==n m >n m -===，=因为或，所以当，即时，．3a <-1a>113a =3a=()max n m -==关键点点睛：第二问的关键点在于根据函数的单调性得到，从而转化为()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩有两个同号的不等实根，结合韦达定理，即可求出，结合二次函数即()f x x=,m n n m -可求出最大值.。

浙江省杭州市精诚联盟2023-2024学年高二上学期10月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A．
1 a b c ++
二、多选题
A ．1
2
OE BC ⋅=
B ．68
FOE S =
△C ．异面直线1OD 与EF D ．点F 到直线1OD 的距离为
11．已知曲线E 的方程为x
四、解答题
17．已知三角形三顶点()()()0,1,2,0,2,0A B C -，求：
(1)求证：//BF 平面APC ；
(2)求直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值19．设直线l 的方程为()15a x y ++--(1)求证：不论a 为何值，直线l 必过一定点(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点12时，求AOB 的周长；
20．已知圆C 过点()4,0A ，()0,4B ，且圆心(1)求圆C 的方程；
(2)若从点()4,1M 发出的光线经过直线求反射光线1l 所在直线的方程.
21．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，别是线段,PB PD 的中点，G 是线段PC (1)求证：平面EFG ⊥平面PAC (2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为E ABG -体积.
22．如图，在三棱柱ABC -
CC的中点，1C在平面ABC内的射影为D．
分别是线段AC，1
(1)求证：1A C⊥平面BDE；
(2)若点F为线段11
B C上的动点（不包括端点），求锐二面角F BD E
--的余弦值的取值范围．。

2023-2024学年浙江省精诚联盟高一上学期10月月考数学试题1.若集合，则正确的是（）A ．B ．C ．D ．2.集合，则等于（）A ．B ．C ．或D ．3.下列各组函数表示同一个函数的是（）A ．B ．C ．D ．4.已知函数则等于（）A ．B ．C ．D ．5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．6.若集合的值域为（）A ．B ．C ．D ．7.已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8.设函数满足：对任意非零实数，均有，则在上的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9.已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．10.下列说法正确的是（）A．不等式的解集B．“”是“”成立的充分不必要条件C．命题，则D．“”是“”的必要不充分条件11.已知，且则（）A．B．的最大值为4C．的最小值为9D．的最小值为12.已知函数，若对任意的都存在以为边的三角形，则实数的可能取值为（）A．B．C．D．13.已知，设，则的取值范围是__________.14.已知集合，集合中有且仅有2个元素，且，满足下列三个条件：①若，则；②若，则；③若，则.则集合__________.（用列举法表示）.15.有“中欧骏泰”，“永赢货币”两种理财产品，投资这两种理财产品所能获得的年利润分别是和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验方程式：，今有5万元资金投资到这两种理财产品，可获得的最大年利润是__________万元.16.已知，则的最小值是__________.17.已知集合为，集合为.(1)当时，求：(2)若，求的取值范围.18.已知函数.(1)若，且，求的最小值：(2)若，解关于的不等式.19.已知对任意两个实数，定义，设函数，.(1)若时，设，求的最小值：(2)，若时，恒成立，求的最小值.。