高一数学必修四-三角函数讲义全

高中数学必修四三角函数知识点总结三角函数是高中数学考试必考的一个内容, 也是很多同学遇到的一个难点, 下面是给大家带来的高中数学必修四三角函数知识点总结, 希望对你有帮助。

高中数学三角函数找知识点总结(一)高中数学三角函数知识点总结：锐角三角函数公式sin =的对边/ 斜边cos =的邻边/ 斜边tan =的对边/ 的邻边cot =的邻边/ 的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2 是sinA的平方sin2(A) )高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina高中数学三角函数知识点总结：辅助角公式Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t), 其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t), tant=A/B降幂公式sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))高中数学三角函数知识点总结：推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos^21-cos2=2sin^21+sin=(sin/2+cos/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa高中数学三角函数知识点总结(二)sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(3/2)2-sin2a]=4sina(sin260-sin2a)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2] =4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]*{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-30)/2]} =-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]=-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)高中数学三角函数知识点总结：半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)点击下一页分享更多高中数学必修四三角函数知识点总结。

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A7、正切、余切的增减性：一、任意角的三角函数的定义： 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rxα=()0x ≠，()csc 0ry yα=≠。

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线比较)2,0(∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

四、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．（3）α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四确定”.若α是第一象限，则2α是第一、三象限角；若α是第二象限，则2α是第一、三象限角；若α是第三象限角，则2α是第二、四象限；若α是第四象限角，则2α是第二、四象限。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载必修 4 第一章三角函数知识点详解地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容必修4 第一章三角函数任意角和弧度制一: 角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.二: 象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

三: 终边相同的角的表示：= 1 \* GB3 ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：= 2 \* GB3 ②终边在x轴上的角的集合：= 3 \* GB3 ③终边在y轴上的角的集合：= 4 \* GB3 ④终边在坐标轴上的角的集合：= 5 \* GB3 ⑤终边在y=x轴上的角的集合：= 6 \* GB3 ⑥终边在轴上的角的集合：= 7 \* GB3 ⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：= 8 \* GB3 ⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：= 9 \* GB3 ⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：= 10 \* GB3 ⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：注意: (1) 终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2) 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3) 终边相同的角有无数多个，它们相差的360°整数倍.四: 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745, 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝≈0.01745（rad）五: 弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad).任意角的三角函数一: 任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，。

金牌数学高一（必修四）专题系列之 三角函数总结类型一 三角函数的概念、诱导公式1．角α终边上任一点P (x ，y )，则P 到原点O 的距离为r ＝x 2＋y 2，故sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. 2．诱导公式：“奇变偶不变、符号看象限”．3．同角三角函数基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.类型二 三角函数性质1．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为偶函数．2．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，令ωx ＋φ＝k π＋π2，可求得对称轴方程．令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标．3．将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin (ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．类型三 函数sin()y A x ωϕ=+的图象及变换函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：【戴氏总结】1. x y sin =与x y cos =的周期是π。

2. )sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为ωπ2=T 。

3. )sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心为（0,πk ）； )cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心为（0,21ππ+k ）； )tan(ϕω+=x y 的对称中心为（0,2πk ）。

题型一：解析式例1.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则函数解析式______________.拓展变式练习1.（三明市普通高中高三上学期联考）右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象，此函数的解析式为______________.2.已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为______________.3.把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为_______________.题型二：最值问题例2.求函数f （x ）＝xx x x cos sin 1cos sin ++的最大、最小值。

三角函数知识知识点一、三角恒等变换 1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限；纵变横不变，符号看象限）ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- 3．两角和与差的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4．倍角公式αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin = 6．辅角公式x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中)2,2(,tan ππϕϕ-∈=a b 8．补充公式ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sin sin 1ααα±=±附：象限角（1）已知),(yxP是α终边上的一点（原点除外），且22yxr+=,则xyrxry===αααtan,cos,sin。

（2）若α是第二象限角，那么2α是第几象限角？知识点二、三角函数的图象与性质图象定义域值域]1,1[-]1,1[-最值当且仅当22ππ+=kx时取到最大值1；当且仅当22ππ-=kx时取到最小值1-当且仅当πkx2=时取到最大值1；当且仅当ππ-=kx2时取到最小值1-周期最小正周期为π2最小正周期为π2奇偶性奇函数偶函数单调性在]22,22[ππππ+-kk上单调增；在]232,22[ππππ++kk上单调减在]2,2[πππkk-上单调增；在]2,2[πππ+kk上单调减对称性对称轴2ππ+=kx；对称中心)0,(πk对称轴πkx=；对称中心)0,2(ππ+k说明：表格中的k都是属于Z，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。

三角函数的定义知识梳理1、任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0).2、三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．3、三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z 4、三角函数值的符号5、终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .例题精讲题型一、三角函数的定义及应用例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sinα＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．题型二、三角函数值符号的运用例2、(1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．变式训练若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．题型三、诱导公式一的应用例3、计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.变式训练求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.课堂小测1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3、sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5、化简下列各式：(1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.同步练习1、25πsin6等于( )A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-2、若角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=（ ）A ．1615 B ．1615- C ．1516D ．1516- 3、利用余弦线比较cos1，πcos 3，cos 1.5的大小关系是( ) A ．πcos1cos cos1.53<< B ．πcos1cos1.5cos 3<< C ．πcos1coscos1.53>> D ．πcos1.5cos1cos 3>> 4、如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A T '' B ．正弦线MP ，正切线A T '' C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT5、角α的终边经过点(),4P b -且3cos 5α=-，则b 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 6、已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数()|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x f x x x=++的值域是( ) A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1-- C ．{}1,3 D ．{}1,3- 7、在[]0,2π上，满足3sin 2x ≥的x 的取值范围为( ) A ．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A ．sin2θB ．cos2θC ．tan2θD ．cos 2θ9、已知α的终边经过点()36,2a a -+，且sin 0,cos 0,αα>≤则α的取值范围为________．10、若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(),P m n 是α终边上一点，且10OP =，则m n -=_____. 11、已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围为__________． 12、(1)23π17πcos tan 34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540︒+︒+︒+︒.13、当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin tan ααα<<.14、已知角α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α，tan α的值．。

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

必修4数学 第一章 三角函数 知识点总结复习一、基础知识点总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 9第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．二 、三角函数伸缩平移变换函数 sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ； ②周期：2πωT =； ③频率：12f ωπ==T ； ④相位：x ωϕ+； ⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：,x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z补充知识点：三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=-高考试题1、把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是2、将函数()sin (0)f x x ωω=>的图像向右平移4π个单位长度,所得图像经过点3(,0)4π,则ω的最小值是（ ）A ．13B ．1C ．53D ．23、函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（ ）A ．2B ．0C ．-1D ．1-4、已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π45、函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A ．4x π= B ．2x π=C ．4x π=-D ．2x π=-6、若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ=（ ） A ．2π B ．23π C ．32π D ．53π7、要得到函数cos(21)y x =+的图象,只要将函数cos 2y x =的图象 （ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 8、已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是 （ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]9、设函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,A ωπϕπ>>-<< )在6x π=处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π(I)求()f x 的解析式; (II)求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域.10、函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式;(2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.。

精心整理专题四三角函数．基本知识点【1】角的基本概念 （1）正角负角零角（2终}36036090,k k α<<⋅+∈Z}36090360180,k k +<⋅+∈Z }360180360270,k k α+<<⋅+∈Z }360270360360,k k α+<<⋅+∈Z{}180,k ∈Z }}（3（4，18057.3≈【2设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx x α=≠．【3】三角函数的基本关系()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．【4】函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 【5】常用三角函数公式（1）两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β （2（3sin2（4由a （5【6（1（2）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：例1】变式1】变式2】变式3】（1）（2）变式4】（2012年江西）sin cos1sin cos2αα+=-，求tan2α的值变式4】（2012年全国卷）已知α为第二象限角，且sin cosαα+=，则cos2α= D变式5】（2012年重庆卷）设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（ ）-3B-1C1D3例2】已知1sin cos 8αα⋅=，02πα<<，求sin cos αα+的值. 变式1】已知3sin cos 8αα⋅=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值.变式2】（2012例3】（2008）求sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭）求x sin 的值；）求 ⎝⎛+32sin πx 变式1】已知函数Ⅰ）求函数()f x Ⅱ）若06(),5f x =例4】已知函数f ）求函数()f x 的周期、递增区间、递减区间）求函数()f x 取得最大值时x 的集合）求函数()f x 取得最小值时x 的集合变式1】已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 得最大值，）求函数()f x的表达式）求函数()f x的递增区间和点减区间）求函数()f x取得最大值时x的集合变式2】（2011年和平区一模）知()cos3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()()()g x f x f x=⋅-）求2fπ⎛⎫ ⎪⎝⎭）求函数()h x=变式3】（2012函数()f x）求()f x）求使得()f x ）若()20,πθ∈且例5】（2011Ⅰ）求()f xⅡ）求()f x变式1】（2007年天津理）已知函数()2cos(sin cos)1f x x x x x=-+∈R，．Ⅰ）求函数()f x的最小正周期；Ⅱ）求函数()f x在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．变式2】（2012年和平区一模）()()22sin cosx x x x m m R=++∈）当x R∈时，求()f x的单调递增区间；）当0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x的最大值是6，求实数m的值变式3】（2012河西一模）知平面内点A ⎛⎝2OCⅠ）求函数()f xⅡ）当[,xππ∈-变式4】（2012知函数()f x= )求函数()f x Ⅱ）求函数(f x 例6】（2011知函数()f x=Ⅰ）求()f xI）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭变式1】求函数tan23y x=+⎪⎝⎭的定义域，周期和单调区间。

第一讲 任意角与三角函数诱导公式1. 知识要点 角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。

象限角的概念:在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

终边相同的角的表示：α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z 。

注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为:,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2k k Z πα=∈． 角度与弧度的互换关系：360°=2π 18０°＝π 1°=0．0１７４5 1=５7．30°＝57°18′注意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零．α与2α的终边关系：任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点）,它与原点的距离是0r =>,那么sin ,cos yx r rαα==,()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠,sec rxα=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。

三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点Ｐ的位置无关。

三角函数线的特征:正弦线M Ｐ“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线O Ｍ“躺在x 轴上(起点是原点）”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A ）”同角三角函数的基本关系式:１. 平方关系:222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=２． 倒数关系：s ｉn αc ｓｃα=1，cos αｓe ｃα=1,ｔａn αcot α=１,3. 商数关系:sin cos tan ,cot cos sin αααααα==注意：１.角α的任意性。

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制一、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 二、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈4、区分第一象限角、锐角和小于90的角 第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈锐角：{}090αα<< 小于90的角：{}90αα<5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k因此2α在第一、三象限6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒=π九、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：那个地址的α均为弧度制.二、任意角的三角函数一、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα=其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r =.二、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全st c ”）πππ235π3πsin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：0,0.><y x sin α>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限：0,0.<<y x sin α<0,cos α<0,tan α>0, 第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0,4、三角函数线设任意角α的极点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在座标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP ATAT x OM OAα====．咱们就别离称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.思考2对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考3在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.梳理(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.三角函数的定义数学抽象水平1 水平11.以锐角三角函数的定义来推广记忆任意角的三角函数的定义。

2.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件及公式的变形。

3.理解并记忆求值、化简及证明的模型，领会解题常用的方法技巧。

【考查内容】根据三角函数的定义求值，三角函数平方关系的应用。

【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.终边相同的角的同一三角函数值的关系数学运算水平1 水平23.单位圆数学直观水平1 水平24.同角三角函数的两个基本关系式数学运算水平1 水平2第二讲任意角的三角函数知识通关①y 叫做α的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一知识点四 三角函数的定义域思考 正切函数y ＝tan x 为什么规定x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z?答案 当x ＝k π＋π2，k ∈Z 时，角x 的终边在y 轴上，此时任取终边上一点P (0，y P )，因为y P0无意义，因而x 的正切值不存在．所以对正切函数y ＝tan x ，必须要求x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .梳理 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .知识点五 三角函数线思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴，过点A (1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T ，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP ，OM ，AT 的关系吗？答案 sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . 思考2 三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM 垂直于x 轴，有向线知识点六 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它． 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x . ∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案 ∵tan α＝y x (x ≠0)，∴tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式＝sin αtan α.此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值规律方法例1-2已知角α的终边在直线y＝3x上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．解析：因为角α的终边在直线y＝3x上，所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝a2＋(3a)2＝2|a|(a≠0)．若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sin α＝3a2a＝32，cos α＝a2a＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以sin α＝3a－2a＝－32，cos α＝－a2a＝－12，tan α＝3aa＝ 3.答案32，12，3或－32，－12， 3变式训练1-2在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．解析：当角α的终边在射线y＝－34x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sin α＝yr＝－35＝－35，cos α＝xr＝45，tan α＝yx＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y＝－34x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，所以sin α＝yr＝35，cos α＝xr＝－45，tan α＝yx＝3－4＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×⎝⎛⎭⎫－45－34＝35＋125－34＝94.综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.题型二 三角函数值符号的判断 规律方法例2、 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5. 解析： (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.变式训练2 sin1cos3tan5的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在解析： π3π013π52π22<<<<<<，， ∴sin10cos30tan50><<，，．答案 B题型三 诱导公式一的应用 规律方法(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；变式训练3tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析： tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案32题型四 三角函数线 规律方法sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ，cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT . 变式训练4、 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．解析： 已知角α的正弦值，可知P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12，过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .题型五 利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值则tan α的值为( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 解析： ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.答案 D(2) 已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则tan α的值为( ) A ．－43 B ．－34 C.34 D.43解析： ∵sin α＋cos α＝15，等号两边同时平方得1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－1225，∴sin α，cos α是方程x 2－15x －1225＝0的两根，又∵－π2<α<0，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－34.答案 B变式训练5-1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解析： 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 规律方法：例5-2已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.变式训练5-2 已知cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝1213>0且cos α≠1，∴α是第一或第四象限角． (1)当α是第一象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.(2)当α是第四象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－513，tan α＝－512.题型六 齐次式求值问题 规律方法：例6 已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.解析： (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.变式训练6 已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.解析： 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611，解得tan θ＝2.(1)原式＝5tan2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ－4tan θ＋31＋tan2θ＝－15.例8-1 ∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2α>的角α的范围．∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2≤α的角α的范围．解析：∴如图所示，π5π2π2π66k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ∴如图所示，5π132ππ2π66k k k αα⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z ≤≤，．（1）（2）变式训练8-1 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．解析： 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 规律方法例8-2 求函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫sin x －22＋1－2cos x 的定义域．解析： 由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.12(1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．一、选择题1．已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为()A.55 B.255C．－55D．－255答案 D2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于()A.12B．－12C．－32D．－33解析：由题意得P(1，－3)，它与原点的距离r＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 答案 C3.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线为PM，正切线为A′T′B．正弦线为MP，正切线为A′T′C．正弦线为MP，正切线为ATD．正弦线为PM，正切线为AT答案 C4．函数y＝tan⎝⎛⎭⎫x－π3的定义域为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠π3，x∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋π6，k∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋5π6，k∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ－5π6，k∈Z解析：∵x－π3≠kπ＋π2，k∈Z，∴x≠kπ＋5π6，k∈Z.答案 CA组基础演练5．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析： 角α的取值范围为图中阴影部分， 即⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π.答案 D7．已知tan θ＝2，则1sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45答案 B 8.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°解析： 1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.答案 B9．若α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α等于（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-解析：因为5tan 12α=-，所以sin 5cos 12αα=-，即12cos sin 5αα=-，因为22sin cos 1αα+=， 所以22144sin sin 125αα+=，即225sin 169α=，因为α是第四象限角，所以5sin 13α=-。

专题四 三角函数一．基本知识点【1】角的基本概念（1）正角 负角 零角（2）角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合 第四象限角的集合终边在轴上的角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 （3）与角终边相同的角的集合为 （4）弧度制与角度制的换算公式：，， 【2】三角函数的定义设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．【3】三角函数的基本关系 ．【4】函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 【5】常用三角函数公式（1）两角和与差的三角函数关系sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β （2）倍角公式sin2α=2sin α·cos α ααα2tan 1tan 22tan -=cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α（3）半角公式sin 2α22cos 1α-=cos 2α22cos 1α+=（4）辅助角公式()()sin cos 0a x b x x a θ+=+> (其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定) （5）特殊角的三角函数 【6】三角函数的性质（1）函数的性质： ①振幅：；②周期：；③频率：； ④相位：；⑤初相：．二．例题分析【例1】已知角α的终边经过点()03,4P --，求角α的正弦值，余弦值，正切值.【变式1】已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值 【变式2】已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα+-的值【变式3】已知sin 2cos αα=，（1） 求sin 4cos 5sin 2cos αααα-+（2） 求2sin sin 2αα+【变式4】（2012年江西）sin cos 1sin cos 2αα+=-，求tan2α的值【变式4】（2012年全国卷）已知α为第二象限角，且sin cos 3αα+=，则cos2α=A D 【变式5】（2012年重庆卷）设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（ ） A ．-3 B-1 C 1 D3【例2】已知1sin cos 8αα⋅=，02πα<<，求sin cos αα+的值. 【变式1】已知3sin cos 8αα⋅=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值.【变式2】（2012年辽宁）已知sin cos2αα-=(),o απ∈则tan α的值是 ；sin2α的值 .【例3】（2008年天津理）已知⎪⎭⎫ ⎝⎛3∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4,2,1024cos πππx x . （1）求sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值 （2）求x sin 的值； （3）求⎪⎭⎫⎝⎛+32sin πx 的值.【变式1】已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值。