2019届高考数学二轮复习第一篇专题一第3讲不等式与线性规划课件文

2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(xx山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(xx陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(xx北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C) (D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(xx浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(xx贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(xx河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(xx河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(xx广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(xx四川资阳市三模)已知loa<lob,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b (B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lox是定义域上的减函数,且loa<lob,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(xx湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A) (B) (C) (D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(xx江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(xx陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>,所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(xx四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A) (B) (C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(xx山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C) (D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b, 即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(xx重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( B )(A)-3 (B)1 (C) (D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(xx四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(xx江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(xx新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(xx合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(xx浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。

【考向解读】不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法(1)f xg x>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1、（2018年北京卷）设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是▲.【答案】30【解析】总费用，当且仅当900xx=，即30x=时等号成立.【变式探究】若,则( )（A）c ca b<（B）c cab ba<（C）（D）【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，，选项B 错误，，选项C 正确，，选项D 错误，故选C ．【变式探究】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【变式探究】(1)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________. (2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________. 【答案】(1)2 (2)15【解析】(1)由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋y 2－x 22yx＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝2，当且仅当 x ＝2y 时取等号.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3、（2018年全国I 卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45 【答案】C【变式探究】【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20x y +=,可知当其经过直线与2y =的交点()1,2-时, 2z x y =+取得最大值，为,故选D.3. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 (1). -2 (2). 84. （2018年天津卷）已知a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，则2a +的最小值为__________． 【答案】 【解析】由可知，且：，因为对于任意x ，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.5. （2018年北京卷）若 ,y 满足，则2y− 的最小值是_________.【答案】3【解析】不等式可转化为，即满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令， 由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.6. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．【答案】97. （2018年全国III 卷）若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】作出可行域1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D2.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件的可行域如图：5.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D6.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30 【解析】总费用，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )y（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ） （D ）【答案】C2.【2016高考天津文数】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4-（B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.3.【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足，则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC=,故选C.6.【2016年高考四川文数】设p ：实数x ，y 满足，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A7.【2016高考新课标3文数】若,x y 满足约束条件 则z x y =+的最大值为_____________.【答案】32【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线z x y =+经过点A 时，z取得最大值.由得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，即1(1,)2A ，则．8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【答案】216000作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线73y x =-,当直线经过点M时,z 取得最大值.【答案】A8.(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.4【解析】不等式组所表示的可行域如下图所示，【答案】C9.(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________. 【解析】f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.【答案】0 22－3。

2019-2020学年高考数学二轮专题复习 不等式及线性规划教案 文【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题．1． 四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx ＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形⇒>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； ②变形⇒≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(3)简单指数不等式的解法①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； ②当0<a<1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)． (4)简单对数不等式的解法①当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0； ②当0<a<1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0. 2． 五个重要不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a ∈R)． (2)a2＋b2≥2ab(a 、b ∈R)． (3)a ＋b 2≥ab(a>0，b>0)．(4)ab≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)．(5)a2＋b22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a>0，b>0)． 3． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4． 两个常用结论(1)ax2＋bx ＋c>0(a≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，Δ<0.(2)ax2＋bx ＋c<0(a≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.考点一 一元二次不等式的解法 例1 (2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 答案 9解析 由题意知f(x)＝x2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b －a24＝0，即b ＝a24.∴f(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22. 又∵f(x)<c.∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c<x<－a2＋ c.∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知关于x 的一元二次不等式ax2＋2x ＋b>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x≠－1a ，则a2＋b2＋7a －b(其中a>b)的最小值为________．(2)设命题p ：{x|0≤2x －1≤1}，命题q ：{x|x2－(2k ＋1)x ＋k(k ＋1)≤0}，若p 是q 的充 分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (1)6 (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)由题意知a>0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，则由a>b 得a －b>0. 故a2＋b2＋7a －b＝－＋2ab ＋7a －b ＝a －b ＋9a －b≥29＝6，当且仅当a －b ＝3时取“＝”． (2)p ：{x|12≤x≤1}，q ：{x|k≤x≤k ＋1}，由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧ k≤121<k ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧k<121≤k ＋1，∴0≤k≤12，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 考点二 利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)设x ，y 为实数，若4x2＋y2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 答案 (1)5 (2)2105解析 (1)∵x>0，y>0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.(2)方法一 ∵4x2＋y2＋xy ＝1，∴(2x ＋y)2－3xy ＝1，即(2x ＋y)2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y)2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y)2≤85，即2x ＋y≤2105. 等号当且仅当2x ＝y>0，即x ＝1010，y ＝105时成立． 方法二 令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x2＋y2＋xy ＝1，得6x2－3tx ＋t2－1＝0，由于x 是实数， 故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解得t2≤85，即－2105≤t≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值，为2105.方法三 化已知4x2＋y2＋xy ＝1为⎝⎛⎭⎫2x ＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．答案 32解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a)＋2x －a＋2a ≥2－2x －a＋2a ＝4＋2a ， 由题意可知4＋2a≥7，得a≥32，即实数a 的最小值为32.(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为________．答案 1解析 由已知得z ＝x2－3xy ＋4y2(*)则xy z ＝xy x2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1， 所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1.考点三 简单的线性规划问题 例3 (2013·湖北改编)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为________元． 答案 36 800解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1 600x ＋2 400y x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21y －x≤736x ＋60y≥900，x ，y≥0，x、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A(5,12)时纵截距最小，∴zmin ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)(2013·山东改编)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________． (2)(2013·北京改编)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m 的取值范围是________．答案 (1)－13(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－23解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A(3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为－13.(2)当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m)在直线y ＝12x －1的下方即可，即m<－12m －1，解得m<－23.1． 三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2． 基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可．3．主要看不等号与B 的符号是否相向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B 的值判断法．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．1． 若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (2,4]解析 依题意得，(2x ＋2y)2－2×2x×2y ＝2(2x ＋2y)， 则t2－2t ＝2×2x×2y≤2×(2x ＋2y 2)2＝t22； 即t22－2t≤0，解得0≤t≤4； 又t2－2t ＝2×2x×2y>0，且t>0， 因此有t>2，故2<t≤4.2． 已知点A(2，－2)，点P(x ，y)在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，2x －y －1≤0所表示的平面区域内，则OP →在OA →方向上投影的取值范围是________． 答案 [－22，22] 解析 不等式组表示的平面区域，如图所示：由向量投影的几何意义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点C 重合时投影最小．又C(－1,0)，D(0，－1)， ∴OC →＝(－1,0)，OD →＝(0，－1)， ∴OD →在OA →方向上的投影为OD →·OA →|OA →|＝22，OC →在OA →方向上的投影为OC →·OA →|OA →|＝－22，故OP →在OA →方向上投影的取值范围是[－22，22]．(推荐时间：60分钟)一、填空题 1． (2012·福建改编)下列不等式一定成立的是________．(填序号) ①lg ⎝⎛⎭⎫x2＋14≥lg x(x>0)； ②sin x ＋1sin x≥2(x≠kπ，k ∈Z)； ③x2＋1≥2|x|(x ∈R)； ④1x2＋1>1(x ∈R)． 答案 ①③解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy(当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x>0时，x2＋14≥2·x·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x2＋14≥lg x(x>0)，故①正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确； 由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x2＋1＝1，故④不正确．2． 设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①c a >cb；②ac<bc ；③logb(a －c)>loga(b －c)． 其中所有的正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 由不等式的基本性质可知①对； 幂函数y ＝xc(c<0)在(0，＋∞)上单调递减， 又a>b>1，所以②对；由对数函数的单调性可得logb(a －c)>logb(b －c)， 又由对数的换底公式可知logb(b －c)>loga(b －c)， 所以logb(a －c)>loga(b －c)，故选项①②③正确．3． 设A ＝{x|x2－2x －3>0}，B ＝{x|x2＋ax ＋b≤0}，若A ∪B ＝R ，A∩B ＝(3,4]，则a ＋b ＝________. 答案 －7解析 依题意，A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 又因为A ∪B ＝R ，A∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]． 所以a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，于是a ＋b ＝－7.4． 已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案 [6，＋∞)解析 由p 得：0<x≤1，若p 是q 的充分条件， 则有对∀x ∈(0,1]，4x ＋2x －m≤0恒成立， 即m≥4x ＋2x 恒成立，只需m≥(4x ＋2x)max ，而(4x ＋2x)max ＝6，∴m≥6.5． 函数y ＝a1－x (a>0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn>0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 答案 4解析 定点A(1,1)，又A 在mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1.∴1m ＋1n ＝(m ＋n)⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n≥4.当且仅当m ＝n ＝12时取等号．6． 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 答案 4解析 过原点的直线与f(x)＝2x 交于P 、Q 两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ 2k ，y ＝2k 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2k ，y ＝－2k ，∴P(2k，2k)，Q(－2k ，－2k)或P(－2k ，－2k)，Q( 2k，2k)．∴PQ ＝2k＋2k＋2k ＋2k＝2 2k ＋1k≥4. 7． (2013·课标全国Ⅱ改编)已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，－，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴zmin ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.8． 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到 最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时， 在y 轴上的截距达到最大)， 结合图形可知a>12.9． 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y)有无数个，则a 的值为________．答案 1解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域， 如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y)有无数个， 则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 10．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k<12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M(4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M(4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2. 二、解答题11．求解关于x 的不等式ax2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)当a ＝0时，原不等式变为－x ＋1<0，此时不等式的解集为{x|x>1}． (2)当a≠0时，原不等式可化为a(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0. 若a<0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 又因为1a<1，所以此时不等式的解集为{x|x>1或x<1a }．若a>0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎫x －1a <0. ①当1a<1，即a>1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a <x<1；②当1a ＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅；③当1a >1，即0<a<1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x<1a .综上所述，当a<0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<1a 或x>1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x<1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a <x<1.12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p ＝k 3x ＋5(0≤x≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f(x)为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f(x)的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k 3×1＋5，所以k ＝800， 故f(x)＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x≤8. (2)因为f(x)＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5， 当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时f(x)min ＝75. 所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元．13．已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x ＋1在x ＝x1处取得极大值，在x ＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明：a>0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明 求函数f(x)的导数f′(x)＝ax2－2bx ＋2－b.由函数f(x)在x ＝x1处取得极大值，在x ＝x2处取得极小值，知x1、x2是f′(x)＝0的两个根，所以f′(x)＝a(x －x1)(x －x2)．当x<x1时，f(x)为增函数，f′(x)>0，由x －x1<0，x －x2<0得a>0.(2)解 在题设下，0<x1<1<x2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ ，，， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b>0，a －2b ＋2－b<0，4a －4b ＋2－b>0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b>0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎫47，67，B(2,2)，C(4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8. 所以z 的取值范围为(167，8)．。