4 3
1 1 + =1, x 2y
) (B)xy 的最小值为 2 (D)xy 的最大值为
4 9
(C)x+y 的最小值为 4
解析:(1)x+y=(x+y)( 1=
1 1 3 y 3 x + )= + + ≥ + 2, x 2y 2 x 2y 2
1 1 1 + ≥2 ,得 xy≥2.故选 B. x 2y 2 xy
的取值范围是(
) (B)(-1,1) (C)(-2,1) (D)(-1,2)
(A)(-∞,-2)∪(1,+∞)
2 x 2 x, x 0, 解析:(1)因为 f(x)= 2 2 x x , x 0,
易知 f(x)为增函数, 所以 f(2-a )>f(a)等价于 2-a >a, 即 a +a-2<0,解得-2<a<1, 所以实数 a 的取值范围是(-2,1),故选 C.
考情分析
1.命题角度
(1)不等式:结合集合考查不等式的解法,在解答题中考查不等式的解法、基
本不等式的应用等,主要以工具性为主进行考查. (2)线性规划:考查二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划问题. 2.题型与难易度 (1)选择题、填空题考查不等式的解法和简单线性规划问题,在解答题中考查 不等式的应用. (2)难度中等.
根据目标函数的几何意义分析,其最值点应为区域内的端点处. 将三点的坐标分别代入 z=2x+y 得 3,9,4, 因此 z 的最小值为 3,最大值为 9, 故 z=2x+y 的取值范围是[3,9],故选 C.
答案:(1)C
x 0, (2)(2018·四川雅安三诊)已知实数 x,y 满足条件 y 1, 若目标函数 z=mx-y(m≠0) 2 x 2 y 1 0.
热点二 基本不等式 【例2】 (1)(2018· 广西柳州市一模)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1
只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则
(A)2
(B)4
(C)8
1 1 + 的最小值为( 2 2 a b
)
(D)9
解析:(1)由圆的方程可得 C1(-2a,0),r1=2,C2(0,b),r2=1, 由两圆只有一条公切线可知两圆内切,所以|C1C2|=r1-r2,
2 2 即 4a 2 b2 =1,所以 4a +b =1,
1 1 4a 2 b 2 4a 2 b 2 b2 4a 2 b2 4a 2 所以 2 + 2 = + =4+1+( 2 + 2 )≥5+2 2 2 =9. a b a2 b2 a b a b
1 1 b2 4a 2 当且仅当 2 = 2 时,等号成立,所以 2 + 2 的最小值为 9.故选 D. a b a b
取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数 m 的值为( (A)1 (B)
1 2
)
(C)-
1 2
(D)-1
x 0, 解析:(2)由约束条件 y 1, 作出可行域如图, 2 x 2 y 1 0,
化目标函数 z=mx-y 为 y=mx-z, 因为目标函数 z=mx-y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个,所以 m=kAB=1.故选 A.
最大值为
.
解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示. 由 z=3x+2y 得 y=作直线 l0:y=3 z x+ . 2 2
3 3 z x,平移直线 l0,当直线 y=- x+ 过点(2,0)时,z 取最大 2 2 2
值,zmax=3×2+2×0=6.
答案:6
2 x y 3 0, 1 3.(2018·全国Ⅲ卷,文 15)若变量 x,y 满足约束条件 x 2 y 4 0, 则 z=x+ y 的最大 3 x 2 0,
答案:(2)A
x y 2 0, (3)(2018·江西省红色七校联考)设 x,y 满足约束条件 x y 1 0, 若 z=mx+y 的最小值为-3, x 3,
则 m 的值为
.
解析:(3)不等式组表示的可行域,如图所示.
x 3, 联立 解得 A(3,-1),化目标函数 z=mx+y 为 y=-mx+z, x y 2
1 1 取得最小值 ,结合 a-3b+6=0,知此时 a=-3,b=1. 8b 4 1 答案:(3) 4
a
热点三 线性规划
考向 1 线性规划问题
x y 2 0, 【例 3】 (1)(2018·浙江省温州市一模)若实数 x,y 满足约束条件 3x y 6 0, x y 0,
答案:(1)B
(2) (2018 · 浙江温州市一模 ) 已知 2 a +4 b =2 (a,b∈ R ), 则 a+2b 的最大值
为
;
解析:(2)因为2a+4b=2a+22b=2≥2,所以2a+2b≤1=20,a+2b≤0,当且仅当
a=2b =0时等号成立,
所以a+2b的最大值为0.
答案:(2)0
第 3讲
不等式与线性规划
高考导航
热点突破
备选例题
高考导航
真题体验
演真题·明备考
1 1.(2016·全国Ⅰ卷,文 12)若函数 f(x)=x- sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 3
的取值范围是( C (A)[-1,1]
1 1 (C)[- , ] 3 3
)
1 (B)[-1, ] 3 1 (D)[-1,- ] 3
值为
元.
解析:设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,产品 A,B 的利润之和为 z.
1.5 x 0.5 y 150, x 0.3 y 90, 则 5 x 3 y 600, * x 0 且 x N , * y 0且y N ,
2 2 2
答案:(1)C
(2)(2018· 河南豫南豫北名校高三上精英联赛)不等式x2-3|x|+2>0的解集 是 . 解析:(2)原不等式可转化为|x|2-3|x|+2>0, 解得|x|<1或|x|>2, 所以x∈(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞).
答案:(2)(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)
目标函数的最小值就是函数 y=-mx+z 在 y 轴上截距的最小值,为-3, 由图可知,m<0,使目标函数取得最小值的最优解为 A(3,-1),
答案:(1)D
a 2 b2 (2)(2018·天津市滨海新区八校联考)已知 a>b>0,且 ab=1,那么 取最 a b
小值时,b=
.
解析:(2)因为 ab=1,a>b>0,
2 a2 b2 (a b) 2 2ab 所以 = =(a-b)+ , a b a b a b
≥2
a b
(3)(2018·天津卷)已知 a,b∈R,且 a-3b+6=0,则 2a+
解析:(3)因为 a-3b+6=0,所以 a-3b=-6, 所以 2a+
1 a -3b a 3b 2 2 =2 +2 ≥ 2 8b 1 . 4
1 的最小值为 8b
.
=2 2 a 3b =2 26 =2×2-3=
当且仅当 2a=2-3b,即 a=-3b 时,取“=”, 即2+
值是
.
解 析 : 画 出 可 行 域 如 图 所 示 阴 影 部 分 , 由 z=x+
1 y 得 3
y=-3x+3z, 作 出 直 线 y=-3x, 并 平 移 该 直 线 , 当 直 线
1 y=-3x+3z 过点 A(2,3)时,目标函数 z=x+ y 取得最大值, 3 1 即 zmax=2+ ×3=3. 3
方法技巧
基本不等式的主要用途是求多元函数的最值,在使用基本不等式时注意如
下几点:(1)明确不等式的使用条件,特别是其中等号能否成立;(2)合理变 换求解目标 , 如常数代换法 、整体换元法等 , 创造使用基本不等式的 条件.
热点训练 2:(1)(2018·安徽亳州高三上期末)设 x,y 为正实数,且满足 下列说法正确的是( (A)x+y 的最大值为
方法技巧 (1)使用不等式的性质时要特别注意性质成立的条件,如不等式两端同时乘以 一个数时要看该数取值情况;(2)解一元二次不等式时首先把二次项系数化为 正值,再根据该不等式对应的一元二次方程的实根的情况确定其解集 ,如含有
字母参数需要分类讨论.
2 x 2 x, x 0, 2 热点训练 1:(1)(2018·广东深圳月考)已知函数 f(x)= 若 f(2-a )>f(a),则实数 a 2 2 x x , x 0.
解析:f′(x)=1=-
2 2 cos 2x+acos x=1- ·(2cos2x-1)+acos x 3 3
4 5 2 cos x+acos x+ , 3 3
f(x)在 R 上单调递增,则 f′(x)≥0 在 R 上恒成立. 令 cos x=t,t∈[-1,1],则2
4 2 5 t +at+ ≥0 在[-1,1]上恒成立, 3 3
答案:3
4.(2016· 全国Ⅰ卷,文16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新
型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件 产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为 2 100 元, 生产一件产品 B 的利润为 900元. 该企业现有甲材料 150 kg, 乙材料 90 kg, 则在不超过600 个工时的条件下 ,生产产品A,产品B的利润之和的最大
热点突破
热点一 不等式的性质与解法
剖典例·促迁移
c c > ,② a b
【例 1】 (1)(2018·陕西西工大附中八模)如果 a>b>1,c<0,在不等式① ln(a+c)>ln(b+c),③(a-c) <(b-c) ,④be >ae 中,所有正确命题的序号是( (A)①②③ (B)①③④ (C)②③④ (D)①②④
则 z=2x+y 的取值范围是( (A)[3,4] (B)[3,12]
) (C)[3,9] (D)[4,9]
x y 2 0, 解析:(1)画出 3x y 6 0, 表示的可行域, x y 0,
x y 2 0, 由 得 A(1,1), x y 0, 3x y 6 0, 由 得 B(3,3), x y 0, 3x y 6 0, 由 得 C(2,0), x y 2 0,
c c a b
)
解析:(1)用排除法,因为a>b>1,c<0, 所以可令a=3,b=2,c=-4, 此时ln(a+c)>ln(b+c)不成立,所以②错误,排除A,C,D,故选B. 答案:(1)B
(2)(2018·全 国 名 校 第 三 次 大 联 考 ) 不 等 式 x2-2ax-3a2<0(a>0) 的 解 集 为 . 解析:(2)因为x2-2ax-3a2<0⇔(x-3a)(x+a)<0, a>0,-a<3a, 所以不等式的解集为{x|-a<x<3a}. 答案:(2){x|-a<x<3a}
画出可行域如图阴影部分.
5x 3 y 600, 由 x 0.3 y 90,
x 60, 解得 y 100.
所以 zmax=2 100×60+900×100=216 000, 所以生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 216 000 元.
答案:216 000
Байду номын сангаас
2 =2 2 , a b
2 a 2 b2 当且仅当 a-b= ,即 a-b= 2 时,等号成立,即 取最小值, a b a b
a b 2, 由 ab 1
得
1 -b= 2 . b
所以 b=
答案:(2)
6 2 6 2 或 b= (舍去). 2 2
6 2 2
即 4t -3at-5≤0 在[-1,1]上恒成立,
g 1 4 3a 5 0, 令 g(t)=4t2-3at-5,则 g 1 4 3a 5 0,
1 1 解得- ≤a≤ ,故选 C. 3 3
x 2 y 2 0, 2.(2018·全国Ⅰ卷,文 14)若 x,y 满足约束条件 x y 1 0, 则 z=3x+2y 的 y 0,
