高中数学不等式综合复习

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不等式专题

一．不等式的基本性质

1. 不等式的基本概念

（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.

（4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质

（1）a b b a <⇔>（对称性）

（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）

（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）

（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,.

（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）

（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）

(9)0,0a b a b c d c d

>><<⇒

>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b

>>⇒

<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）

二．一元二次不等式

1.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；

一元一次不等式)0(0≠>+a b ax 的解法与解集形式

当0>a 时，a b x -

>, 即解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧

->a b x x |

当0

<，即解集为⎭⎬⎫⎩

②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.

一元二次不等式的解集

bx ax y ++=2（0>a ）的图象

一元二次方程

有两相异实根

)(,2121x x x x <

有两相等实

的解集)0(02>>++a c bx ax

x x x x x ><或

⎨⎧-≠a b x x 2 R

的解集)0(02><++a c bx ax

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

()()x g x f ＞0()()0>⇔x g x f ()()

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 1()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ⎧≥⎫

⇒⎪⎬⇔≥⎨⎭

⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0

([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2

)()()(x g x f x g x f x g x f

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

()()()()()(1)()();

(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b

>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>

（5）对数不等式：转化为代数不等式

()0()0log ()log ()(1)()0;

log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪

⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ⎩

⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)

()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为

2：典型例题

例1. 求下列不等式的解集（1）02532>--x x ，（2）

>-+x x （3）5321<-

例2 解下列不等式.

（1） 0)4)(23()7()12(632>----x x x x ，（2）23