基本(均值不等式)不等式知识点基础练习

考点 2 利用基本不等式证明 题型：用综合法证明简单的不等式
例 4 已知 a,b, c R ,求证: a2 b2 c2 ab bc ca .
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强化训练 1.若 x 1，则 x =_____时, x 1 有最小值，最小值为_____.
x 1
2. .(2010·华附)已知 x, y R*,且x 4 y 1,则 1 1 的最小值为 xy
7.( 2010·梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x) .当年 产 量 不 足 80 千 件 时 , C(x) 1 x2 10x ( 万 元 ); 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件
3 时, C(x) 51x 10000 1450 (万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全
3. 已知一动直线 l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线 l 的纵、横截距之和大 1，求
这三角形面积的最小值．
4. 已知 a，b 为正数，求证： a b ≥ a b ba
1
1
5.设 x>0,y>0 且 x≠y,求证 x3 y3 3 x 2 y 2 2
6.已知函数 f (x) 1 2 ，若 f (x) 2x 0 在（0，+ ）上恒成立，求 a 的取值范围。 ax
日期： 2012- 时间： VIP 免费
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不等是知识点
★ 知 识 梳理 ★
1.基本形式: a,b R ,则 a2 b2 2ab ; a 0,b 0 ,则 a b 2 ab ,当且仅当 a b 时 等号成立. 2 求最值:当 ab 为定值时, a b,a2 b2 有最小值;当 ab 或 a2 b2 为定值时, ab 有最 大值(a 0,b 0 ).
xy
xy
=3+ 2y + x ≥3+2 2 ， xy
当且仅当 2y = x ，即当 x= 2 －1，y=1－ 2 时等号成立.
xy
2
∴ 1 + 1 的最小值为 3+2 2 . xy
（2）注意取等号的条件
问题 2. 已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z= (x 1 )( y 1 ) 的最小值为
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则 ab=a+b+3≥2 ab +3，
即 ab 2 ab 3 ≥ 0 ( ab 3)( ab 1) ≥ 0 ab ≥3，
xy
xy
x
y
x y 10 2 16 18 ,当且仅当 2 y 8x 时等号成立,即 y2 4x2 ,∴ y 2x ,又 2 8 1 , ∴
xy
xy
x 6, y 12 ∴当 x 6, y 12 时, x y 有最小值 18.
例 2 解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，
∴
错因分析：解一等号成立的条件是 x 1 且y 1 ,即x 1且y 1,与x y 1相矛盾。解二等号成
x
y
立的条件是 2 xy,即xy 2 ，与 0 xy 1 相矛盾。
xy
4
解析：z= (x 1)( y 1 ) = xy
1
y x = xy
1
(x y)2 2xy
2
xy 2 ，令 t=xy,
2
3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的
最值
二 方法技巧讲解
(1) 灵活运用基本不等式处理不等关系
问题 1. 已知正数 x、y 满足 x+2y=1，求 1 + 1 的最小值. xy
点拨：∵x、y 为正数，且 x+2y=1，
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∴ 1 + 1 =（x+2y）（ 1 + 1 ）
3.拓展：若
a
0, b
0
时,
1
2
1
ab a b 2
a2 b2 ,当且仅当 a b 时等号成立.
2
ab
★重难点突破★
1.重点：理解基本不等式 ab a b 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不
2
等式
会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式 ab a b 求最大值、最小值
则
xy
xy x y
xy
xy
xy
0
t
xy
(x
2
y )2
1 4
，由
f
(t)
t
2 t
在
0,
1 4
上单调递减,故当
t=
1 4
时
f (t) t 2 有最小 t
值 33 ,所以当 x y 1 时 z 有最小值 25 。
4
2
4
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点 1 利用基本不等式求最值(或取值范围)
。
xy
点拨：
错解 1、因为对 a>0,恒有 a 1 2 ,从而 z= (x 1 )( y 1 ) 4,所以 z 的最小值是 4。
a
xy
错解 2、 z 2 x2 y2 2xy ( 2 xy) 2 2 2 xy 2 2( 2 1) ，所以 z 的最小值是
xy
xy
xy
2( 2 1) 。
x
部售完.
(1)写出年利润 L (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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参考答案
例 1【解题思路】利用 2 8 1，构造均值不等式 xy
解析：∵ x y (x y) 1 (x y) ( 2 8 ) 2 8 2 y 8x , x 0, y 0 ,∴ 2 y 0, 8x 0
题型 1. 当积 ab 为定值时,求和 a b 最小值
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例 1 . 已知 x 0, y 0 且满足 2 8 1,求 x y 的最小值. xy
例 2. 已知 x>0，y>0，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值．
例 3. 若正数 a，b 满足 ab=a+b+3，则 ab 的取值范围是_______
xy
1
3x 4y
≤
1
3x 4y 2
3，
12
12 2
∴lgx+lgy=lgxy≤lg3 ．
x 0, y 0 由 3x 4 y 12 解得
3x 4 y
x 2
y
3 2
∴当 x=2，y= 3 时，lgx+lgy 取得最大值 lg3 ． 2
例 3 解法一 由 a、b∈R+，由重要不等式得 a+b≥2 ab ，