高等代数教学大纲

教学大纲一．课程的教学目的和要求通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。

要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。

突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。

二．课程的主要内容：代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。

代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。

本课程力求突出代数学的思想和方法。

《高等代数》分为两个部分主要内容。

一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。

既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。

另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。

《高等代数》从三个角度进行研究。

从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan 标准形对应的空间分解。

而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。

在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。

本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。

我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。

三．课程教材和参考书：教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版参考书：1. 姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版2. 北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987）3. 张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）4. 樊恽、郑延履、刘合国，线性代数学习指导，科学出版社，北京（2003）5. 林亚南编：高等代数方法选讲，2002年，见厦门大学精品课程“高等代数”网站四．课程内容及学时分配本课程开课时间：一学年（共两学期），共170学时，其中课堂讲授122学时,习题讨论课42学时，考试6学时。

《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。

它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。

该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时144学时，开设时间为一年。

通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。

本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。

（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。

为今后的学习打下扎实的基础。

１．熟练掌握：集合、映射、单射、满射、双射的概念，第一、第二数学归纳法，带余除法，不可约多项式，线性方程组的消元法，矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵，二次型的概念及与其矩阵的对应关系。

２．掌握：整数的整除性、素数的性质，集合的表示与运算，辗转相除法，综合除法，多项式的互素，根与系数的关系，重因式及其判定，行列式的性质，行列式的展开，矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，二次型的矩阵的合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定。

《高等代数II》教学大纲一、《高等代数》课程说明（一）课程代码：08230002（二）课程英文名称：Elementary Algebra II（三）开课对象：数学教育专科「（四）课程性质：考试本课程是高等院校数学专业的主要基础课程之一，通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。

（五）教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的了解，并能居高临下的处理中学数学的有关教材，同时培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推理和迅速准确的运算能力，以及树立辩证唯物论观点。

（六）教学内容：本课程主要讲述线性空间、线性变换、2-矩阵、欧氏空间及双线性函数等（七）教学时数学时数：90学时分数：5学分教学时数具体分配：教学内容讲授实验/实践合计第六章：线性空间2323第七章；线性变换2222第八章：2-矩阵2222第九章：欧几里得空间2323合计9090（八）教学方式教师课堂讲授为主。

（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。

严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ,期末成绩占60%。

二、讲授大纲与各章的基本要求第六章线性空间教学要点与考核要求：1）使学生正确表述和理解线性空间的定义。

掌握判断一个集合对所给的运算是不是作成线性空间的方法。

这是第一次用公理化的方法来定义一个数学结构，因此在数学思想方法上是一次新的飞跃。

有了这一概念，就可以用统一的方法来处理许多数学对象。

2）对照第二章的"维向量空间，使学生正确表述线性空间中向量的线性相关、线性无关、线性表示、极大无关组、秩的定义，熟练掌握它们之间的关系。

3）会求出线性空间的基与维数。

4）理解线性空间坐标的定义，掌握基变换和坐标变换公式，运用它处理一些有关问题。

5）理解了空间的定义，会判断向量空间的了集是不是了空间，知道了空间的交与和的运算6）理解和掌握直和的概念及性质，会将一个线性空间分解为若干个子空间的直和。

高等代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质：高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。

对学生数学思想的形成有着重要意义，是进一步学习近世代数、常微分方程等后继课的基础，也为深入理解中学数学打下必要的基础。

高等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。

高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。

2、课程教学目的要求（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。

(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。

(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。

(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。

(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。

(6) 根据教学的实际内容的需要，对大纲所列各章内容，分别提出了具体的目的要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。

本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。

线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间等。

本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。

多项式理论以一元多项式的因式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式的一些必要的知识，为后继课提供准备；线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组，线性空间与线性变换理论。

《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明课程名称: 高等代数课程名称（英文）：Advanced Algebra适用专业：数学与应用数学课程性质：学科教育必修课程总学时： 192其中理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0学分：12先修课程：二、本课程的地位、性质和任务《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。

通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。

三、教学内容、教学要求第一章基本概念教学内容本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。

1、集合子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求了解：整数的一些整除性质理解：集合掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点映射；可逆映射；数域。

第二章多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。

多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。

教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根※9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数※10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求了解：多元多项式对称多项式理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。

高等代数教学大纲一、课程简介本课程主要介绍高等代数的基本概念、定义和定理，包括线性空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。

通过本课程的学习，学生应该能够掌握高等代数的基本理论和方法，进一步培养其分析问题的能力和解决问题的能力。

二、教学目标1.掌握高等代数的基本概念、定义和定理。

2.熟练掌握线性空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。

3.培养学生分析问题、解决问题的能力。

4.培养学生数学建模的能力。

三、教学内容和教学方法1. 教学内容1.线性空间的定义与基本性质。

2.线性变换的定义与基本性质。

3.矩阵的基本运算和性质。

4.行列式的概念和性质。

5.特征值、特征向量和对角化。

6.线性方程组和矩阵消元算法。

7.正定矩阵、二次型和极值问题。

8.线性代数应用：最小二乘法、主成分分析、特征值应用等。

2. 教学方法1.讲授理论，强调概念的起源和本质。

2.给出典型例题，讲解例题的解法和思路，以帮助学生理解和掌握知识。

3.组织学生进行课上小组讨论和课后思考题目，促使学生主动思考问题、独立思考问题。

4.给学生提供大量题目，帮助学生掌握基本概念和技能。

5.激发学生兴趣，带领学生开展独立或团队研究性学习，鼓励学生探索和创新。

四、教学进度和考核方式1. 教学进度本课程可设置为2个学期，共36周，每周2-3次课程。

章节教学内容学时数第1章线性空间4周第2章线性变换4周第3章矩阵与行列式5周第4章特征值与特征向量3周第5章线性方程组与消元法4周章节教学内容学时数第6章正定矩阵与二次型3周第7章应用3周综合总复习2周2. 考核方式1.平时表现：包括出勤、作业、小测、小论文等，占总成绩的30%。

2.期中考试：占总成绩的30%。

3.期末考试：占总成绩的40%。

五、参考资料1.《线性代数及其应用》（美）Gilbert Strang 著，机械工业出版社。

2.《线性代数基础教程》（美）Bernard Kolman 著，高等教育出版社。

《高等代数》教学大纲（教学计划）第一学期第一周：（第一章§1）代数系统的概念；数域的定义；定理任一数域都包含有理数域；集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念；求和号与求积号。

（第一章§2）高等代数基本定理及其等价命题；推论数域上的两个次数小于m的多项式如果在m个不同的复数处的取值相等，则此二多项式相等；韦达定理；实系数代数方程的根成对出现；推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。

第二周：（第一章§3）数域K上的线性方程组的初等变换的定义；命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解；线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的以及矩阵的初等变换的定义；线性方程组无解、有唯一解和有无穷多解的判别准则；命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。

（第二章§1）向量和n维向量空间的定义及性质；线性组合和线性表出的定义；向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述。

第三周：（第二章§1）向量组的秩；向量组的线性等价；极大线性无关组；集合上的等价关系。

（第二章 §2）矩阵的行秩与列秩，行（列）初等变换不改变行（列）秩；命题 矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩；矩阵的转置；推论 矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵A 的秩记为r )(A ；满秩方阵；矩阵的相抵；相抵是等价关系；秩是相抵等价类的完全不变量；用初等变换求矩阵的秩。

第四周：（第二章 §3）齐次线性方程组的基础解系；定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩；基础解系的求法；非齐次线性方程组的解的结构。

（第二章 §4）矩阵的加法和数乘的定义；矩阵的乘法的定义，矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质；矩阵的和与积的秩。

第五周：（第二章 §5）n 阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三角矩阵；命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵；定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。

《高等代数》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：MA1092、课程名称（中文）：高等代数课程名称（英文）：Higher Algebra3、学时/学分：72学时+ 18学时（习题课）/4学分4、先修课程：解析几何5、面向对象：联读班。

6、开课院（系）、教研室：理学院数学系，代数和组合数学教研室7、推荐教学参考书：《大学代数》，陆少华、沈灏编著，上海交大出版社，2002。

《高等代数》，北京大学数学力学系。

二、课程的性质和任务高等代数是一门重要的数学基础课。

代数的理论、方法和思想已渗透到数学与科学的各个领域。

随着通信与计算机科学的迅速发展，高等代数作为描述离散对象的各学科的重要基础，其地位与作用越来越重要。

同时，代数课程还承担着提高学生数学素养，训练与培养思维能力、计算能力与建立数学模型能力的任务。

通过《高等代数》课程的学习，应使学生能较好地熟悉与掌握多项式理论及线性代数的基本概念、理论与方法，并能运用到所学专业中去。

三、教学内容和要求《高等代数》高等代数的教学内容分为八部分，对不同的内容提出不同的教学要求。

(数字表示供参考的相应的学时数)第一章数与多项式（10）1数环与数域（2）2一元多项式、最大公因式（2）3 多项式的因式分解理论（4）4 习题课（2）要求：熟悉数环与数域的基本概念与运算法则；理解因子分解唯一性定理；熟练掌握求最大公因式的辗转相除法。

第二章行列式（10）1 行列式的定义与基本性质（4）2 行列式的按行展开，Laplace定理（2）3 行列式的计算（2）4 习题课（2）要求：熟悉行列式的基本性质、掌握行列式的常用计算方法。

第三章矩阵(12)1 矩阵的概念与矩阵运算（2）2 矩阵的初等变换与相抵标准形、矩阵的秩（4）3 习题课（2）4 逆矩阵与矩阵的求逆（2）5 分块矩阵，例（2）要求：熟练掌握矩阵的加、乘与求逆运算；熟练掌握求矩阵相抵标准形的初等变换方法。

第四章线性方程组（12）1 解线性方程组的矩阵消元法（2）2 Cramer法则，例（2）3 n维向量组的线性关系、向量组的等价与向量组的秩（4）4 线性方程组的矩阵形式、向量形式；线性方程组解的结构（2）5 习题课（2）要求：掌握线性方程组的求解理论与解线性方程组的矩阵消元法；理解线性方程组解的几何意义。

《高等代数》教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数2、课程类别：数学类基础课程3、课程学分：＿____学分4、课程总学时：＿____学时5、授课对象：＿____专业学生二、课程目标1、知识目标使学生掌握多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间和二次型等高等代数的基本概念、基本理论和基本方法。

2、能力目标培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能够运用所学知识解决实际问题。

3、素质目标通过课程学习，培养学生严谨的治学态度和创新精神，提高学生的数学素养和综合素质。

三、课程内容1、多项式（1）多项式的概念和运算理解多项式的定义、次数、系数等概念，掌握多项式的加法、乘法和除法运算。

（2）多项式的整除性掌握多项式整除的概念和性质，了解带余除法和余数定理。

（3）最大公因式理解最大公因式的概念，掌握辗转相除法求最大公因式。

（4）因式分解定理掌握多项式的因式分解定理，了解不可约多项式的概念和性质。

2、行列式（1）行列式的定义和性质理解行列式的定义，掌握行列式的性质和计算方法。

（2）行列式的展开定理掌握行列式按行（列）展开定理，能够利用展开定理计算行列式。

（3）克莱姆法则了解克莱姆法则，能够用克莱姆法则解线性方程组。

3、线性方程组（1）线性方程组的解的判定掌握线性方程组有解的判定定理，能够判断线性方程组是否有解。

（2）线性方程组的解的结构理解线性方程组解的结构，掌握齐次线性方程组基础解系的求法。

4、矩阵（1）矩阵的概念和运算理解矩阵的定义，掌握矩阵的加法、乘法、数乘和转置运算。

（2）矩阵的逆掌握矩阵可逆的条件和求逆矩阵的方法。

（3）矩阵的秩理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法。

5、向量空间（1）向量空间的定义和性质理解向量空间的定义和基本性质，掌握向量空间的基和维数的概念。

（2）子空间了解子空间的概念和判定方法，掌握子空间的交与和的运算。

6、线性变换（1）线性变换的定义和性质理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质和运算。