含参数的一元一次方程
一.学习目标
1．深刻理解一元一次方程的定义，会运用一元一次方程的定义求字母参数的值． 2．会利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值． 3.学会含绝对值的一元一次方程的解法．
二.重难点分析
1．利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值是重点． 2．一元一次方程与新定义是难点. 3．掌握含绝对值的一元一次方程的解法.
三.要点集结
四.精讲精练
一元一次方程的定义
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
含参数的一元一次方程
一元一次方程的定义一元一次方程的解
同解方程一元一次方程与新定义
含绝对值符号的一元一次方程
只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．
注意：（1）含字母参数的一元一次方程中未知数是x，且x的指数是1，（2）x的系数不等于0，（3）x的指数高于一次的项系数是0．
例1.已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程．试求：（1）m的值；
（2）代数式的值．
【答案】解：（1）由题意得，|m|﹣4＝1，m+5≠0，解得，m＝5；
（2）当m＝5时，原方程化为10x+18＝0，解得，x＝﹣，
∴＝＝﹣．
练习1.已知关于x的方程（k﹣1）x|k|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为．
【答案】-1
【解析】根据一元一次方程定义可得：|k|＝1，且k﹣1≠0，再解即可．
练习2.已知方程（a﹣1）x|a|+2＝﹣6是关于x的一元一次方程，则a＝
【答案】﹣1
【解析】根据一元一次方程的定义，得到|a|＝1和a﹣1≠0，结合绝对值的定义，解之即可．
练习3.已知ax2+2x+14＝2x2﹣2x+3a是关于x的一元一次方程，则其解是（）．
A、x＝﹣2
B、x＝1
2C、x＝﹣
1
2D、x＝2
【答案】A
【解析】根据一元一次方程的定义，2次方的项的系数必为零，才能满足题意要求，故解：方程整理得：(a－2）x＋4x+14－3 a＝0，由方程为一元一次方程，得到a－2＝0，即a＝2，方程为4x+14－6＝0，解得：x＝－2.
小结
根据定义判断含字母参数的一元一次方程，一般先将方程化为标准型，x的指数高于一次的项系数是0，x的指数为1的项的系数不等于0。
一元一次方程的解
一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
例1.小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为＝1，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是4，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．
【答案】解：设被墨汁污染的数字为y，
原方程可整理得：＝1﹣，
把x＝4代入得：＝1﹣，解得：y＝﹣12，
即被污染了的数字为﹣12．
练习1.已知x＝3是方程ax+6＝﹣4x﹣12的解，b满足关系式|2b+a|＝14，求a+b的值．【答案】解：把x＝3代入方程得：3a+6＝﹣12﹣12，解得：a＝﹣10，
把a＝﹣10代入得：|2b﹣10|＝14，解得：b＝12或b＝﹣2，
则a+b＝2或﹣12．
【解析】把x＝3代入方程计算求出a的值，进而确定出b的值，即可求出a+b的值．
练习2.已知关于x的方程2x+a+5＝0的解是x＝1，则a的值为．
【解析】解：把x＝1代入方程得：2+a+5＝0，解得：a＝﹣7，故答案为：﹣7．
例2..已知x＝﹣2是方程a（x+3）＝a+x的解，求a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）的值．【答案】解：把x＝﹣2代入方程a（x+3）＝a+x得：a＝﹣2，解得：a＝﹣4，把a＝﹣4代入a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）得：
原式＝﹣6﹣（﹣10﹣1）+3×8＝﹣6+11+24＝29．
小结
已知原方程的解，求原方程中未知系数．只需把原方程的解代入原方程，把未知系数当成新方程的未知数求解即可。
同解方程
两个一元一次方程是同解方程，其中一个方程中含有字母参数．
此类题型的特点是，有2个方程，一个含有字母系数，一个是不含字母系数的方程，2方程同解，求字母系数的值．
例1. 已知关于x 的两个方程2x ﹣4＝6a 和＝+a ．
（1）用含a 的式子表示方程2x ﹣4＝6a 的解． （2）若方程2x ﹣4＝6a 与
＝+a 的解相同，求a 的值．
【答案】解：（1）2x ﹣4＝6a ，2x ＝6a +4，x ＝3a +2； （2）
＝+a ，2x ﹣2a ＝x +6a ，解得：x ＝8a ，
∵方程2x ﹣4＝6a 与
＝+a 的解相同，方程2x ﹣4＝6a 的解是x ＝3a +2，
∴3a +2＝8a ，解得：a ＝0.4．
练习1. 已知关于x 的方程12 (1﹣x )＝1+a 的解与方程2x +a 2 －x －13 ＝x 6 +2a 的解互为相反
数，求x 与a 的值．
【答案】解：解方程1
2 (1﹣x )＝1+a 得：x ＝﹣1﹣2a ，
解方程2x +a 2 －x －13 ＝x
6 +2a 得：x ＝9a －23
，
∵两个方程的解互为相反数，∴﹣1﹣2a +9a －23 ＝0，解得：a ＝5
3 ，
代入x ＝﹣1﹣2a 得：x ＝﹣13
3
．
练习2. 关于x 的方程3x +5＝0与3x +3k ＝1的解相同，则k ＝（ ） A ．﹣2 B ．4
3 C ．2
D ．﹣4
3
【答案】C
【解析】解：解第一个方程得：x ＝﹣53 ，解第二个方程得：x ＝1-3k
3 ，
∴1-3k 3 ＝﹣5
3
解得：k ＝2
练习3. 已知：关于y 的方程2﹣3（1﹣y ）＝2y 的解和关于x 的方程m （x ﹣3）﹣2＝﹣8的解相同，求m 的值．
【答案】解：解方程2﹣3（1﹣y ）＝2y 得：y ＝1，
∵关于y 的方程2﹣3（1﹣y ）＝2y 的解和关于x 的方程m （x ﹣3）﹣2＝﹣8的解相同， ∴x ＝1，
∴把x ＝1代入m （x ﹣3）﹣2＝﹣8得：﹣2m ﹣2＝﹣8，解得：m ＝3．
小结
一般方法是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．
一元一次方程与新定义
定义一种新的运算法则，根据新定义列出一元一次方程，再解一元一次方程．
例1. 若新规定这样一种运算法则：a ※b ＝a 2+2ab ，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．
（1）试求（﹣2）※3的值；
（2）若（﹣5）※x ＝﹣2﹣x ，求x 的值．
【答案】解：（1）根据题中新定义得：（﹣2）※3＝（﹣2）2+2×（﹣2）×3＝4+（﹣12）＝﹣8；
（2）根据题意：（﹣5）2+2×（﹣5）×x ＝﹣2﹣x ， 整理得：25﹣10x ＝﹣2﹣x ，解得：x ＝3．
练习1. 对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义新运算：
a b
ad bc c d
=-，已知24181
x x
-=，则x ＝（ ）
． A 、﹣1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C
【解析】由题意要求可解：∵a b
ad bc c d
=-，∴
242(4)61x x x x x -=--=，6x ＝18， 即：x ＝3，
练习2. 我们规定，若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解为b ﹣a ，则称该方程为“差解方程”，例如：2x ＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x=4是差解方程． （1）判断3x ＝4.5是否是差解方程；
（2）若关于x 的一元一次方程5x ＝m +1是差解方程，求m 的值．
【答案】解：（1）∵3x ＝4.5，∴x ＝1.5， ∵4.5﹣3＝1.5，∴3x ＝4.5是差解方程；
（2）∵关于x 的一元一次方程5x ＝m +1是差解方程， ∴m +1﹣5＝m+15 ，解得：m ＝214 ．
故m 的值为21
4
．
小结
解这种关于定义一种新运算的题目，关键是读懂新定义的内容，搞清楚新的运算规则，按规则解答计算。
绝对值方程
绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 例1. 阅读下面的例题： 解方程：|x ﹣1|＝5．
解：由绝对值的定义，得x ﹣1＝5或x ﹣1＝﹣5． 所以x ＝6或x ＝﹣4．
仿照上面的思路，尝试解下列方程：
（1）|3x |＝6 （2）|2x ﹣1|＝7 【答案】解：（1）|3x |＝6．
由绝对值的定义，得3x ＝6或3x ＝﹣6． 所以x ＝2或x ＝﹣2． （2）|2x ﹣1|＝7，
由绝对值的定义，得2x ﹣1＝7或2x ﹣1＝﹣7． 所以x ＝4或x ＝﹣3．
练习1. 先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：|x ﹣3|＝2．
解：当x ﹣3≥0时，原方程可化为x ﹣3＝2，解得x ＝5； 当x ﹣3＜0时，原方程可化为x ﹣3＝﹣2，解得x ＝1． 所以原方程的解是x ＝5或x ＝1．
解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0．
【答案】解：（1）当3x ﹣2≥0时，原方程可化为3x ﹣2﹣4＝0，解得x ＝2； 当3x ﹣2＜0时，原方程可化为﹣（3x ﹣2）﹣4＝0，解得x ＝﹣． 所以原方程的解是x ＝2或x ＝﹣． 练习2. 方程|2x ﹣4|＝0的解是（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．±2
D ．1
2
【答案】A
小结
解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，根据绝对值的的意义去掉绝对值符号，将方程变成我们熟悉的一元一次方程，再通过检验的方法验证方程的解是否正确．。
五,当堂总结
1．一元一次方程的定义：系数不等于0，最高次数等于1． 2．一元一次方程的解.
3．同解方程：两个一元一次方程的解相同． 4．含有绝对值的方程
六.课后作业
1. 方程（2a ﹣1）x 2+3x +1＝4是一元一次方程，则a ＝ ． 【答案】1
2
2. 已知方程x 2k ﹣
1+k ＝0是关于x 的一元一次方程，则方程的解等于（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．
D ．﹣
【答案】A
3. 关于x 的方程（a +2）x |a |﹣
1﹣2＝1是一元一次方程，则a ＝ ． 【答案】2
4. 已知关于x 的方程（m +3）x |m +4|+18＝0是一元一次方程，试求： （1）m 的值；
（2）2（3m +2）﹣3（4m ﹣1）的值．
【答案】解：（1）依题意有|m +4|＝1且m +3≠0，解之得m ＝﹣5，
（2）当m ＝﹣5时，2（3m +2）﹣3（4m ﹣1）＝﹣6m +7＝﹣6×（﹣5）+7＝37． 5. 若方程2x ＝8和方程ax +2x ＝4的解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1
C ．±1
D ．0
【答案】B
6．小明在解方程5a ﹣x ＝13（x 为未知数）时，误将﹣x 看作+x ，得方程的解为x ＝﹣2，那么原方程的解为（ ）
A ．x ＝2
B ．x ＝0
C ．x ＝﹣3
D ．x ＝1
【答案】A
【解析】解：把x ＝﹣2代入方程5a +x ＝13中得：5a ﹣2＝13，解得：a ＝3， 方程为15﹣x ＝13，解得：x ＝2， 7．方程|2x ﹣1|＝2的解是（ ） A ．x ＝3
2
B ．x ＝﹣32
C ．x ＝32 或x ＝﹣12
D ．x ＝﹣1
2
8.已知关于x 的方程2（x +1）﹣m ＝﹣的解比方程5（x ﹣1）﹣1＝4（x ﹣1）+1的解
大2．
（1）求第二个方程的解； （2）求m 的值． 【答案】解：（1）x ＝3；
（2）由题意得：方程2（x +1）﹣m ＝﹣的解为x ＝3+2＝5， 把x ＝5代入方程2（x +1）﹣m ＝﹣得：m ＝22．
9．已知y ＝3是方程6+
（m ﹣y ）＝2y 的解，那么关于x 的方程2m （x ﹣1）＝（m +1）
（3x ﹣4）的解是多少？ 【答案】解：把y ＝3代入方程6+（m ﹣y ）＝2y 得：6+（m ﹣3）＝2×3，解得：m ＝
3；
把m ＝3代入2m （x ﹣1）＝（m +1）（3x ﹣4）得：6（x ﹣1）＝4（3x ﹣4），解得：x ＝．
10. 已知方程x －25 ＝2－x +3
2
的解也是方程|3x ﹣2|＝b 的解，则b ＝ ．
【解析】解：2（x ﹣2）＝20﹣5（x +3），2x ﹣4＝20﹣5x ﹣15，7x ＝9，解得：x ＝9
7
．
把x ＝97 代入方程|3x ﹣2|＝b 得：|3×97 ﹣2|＝b ，解得：b ＝137 ．故答案为：137 ．
11. 已知方程4x +2m ＝3x +1和方程3x +2m ＝6x +1的解相同． （1）求m 的值； （2）求代数式
的值．
【答案】解：（1）由4x +2m ＝3x +1和方程3x +2m ＝6x +1的解相同，得m ＝0.5 （2）当m ＝0.5时，＝（）2003?（﹣）2004
＝（
）2003?（
）2003?
＝（
×
）2003×
＝
．
12. 已知关于x 的一元一次方程3（x ﹣1）＝3m ﹣6与2x ﹣5＝﹣1的解互为相反数， 求（m +1
2
）3的值．
【答案】解：解方程2x ﹣5＝﹣1得：x ＝2，
∵关于x 的方程3（x ﹣1）＝3m ﹣6与2x ﹣5＝﹣1的解互为相反数， ∴把x ＝﹣2代入方程3（x ﹣1）＝3m ﹣6得：m ＝﹣1， ∴（m +12 ）3＝﹣1
8
．
13．已知方程（3m ﹣4）x 2﹣（5﹣3m ）x ﹣4m ＝﹣2m 是关于x 的一元一次方程， （1）求m 和x 的值．
（2）若n 满足关系式|2n +m |＝1，求n 的值．
解：（1）∵方程（3m ﹣4）x 2﹣（5﹣3m ）x ﹣4m ＝﹣2m 是关于x 的一元一次方程， ∴3m ﹣4＝0．解得：m ＝． 将m ＝
代入得：﹣x ﹣
＝﹣
．解得x ＝﹣．
（2）∵将m ＝代入得：|2n +
|＝1．
∴2n +
＝1或2n +＝﹣1． ∴n ＝﹣
或n ＝﹣
． 14．（1）已知|x ﹣6|＝2，求x 的值；
（2）已知m ＝2，且|x ﹣6|+|y +4m |＝0，求x 2﹣2xy +y 2的值． 【答案】（1）解：∵|x ﹣6|＝2，
∴x ﹣6＝2或x ﹣6＝﹣2，∴x ＝8或x ＝4； （2）解：由题意得x ﹣6＝0，y +4m ＝0，
∴x＝6，y＝﹣4m，∵m＝2，∴y＝﹣8，
当x＝6，y＝﹣8时，x2﹣2xy+y2＝62﹣2×6×（﹣8）+（﹣8）2＝36﹣（﹣96）+64
＝196．