南昌大学2011学年第二学期期末考试试卷
三、偏微分方程求解题 (共24 分)
1. 求解波动方程)(0+∞<<-∞=-x u u xx tt 满足
初始条件 x x u x u t t
t cos ,20
0====的定解问题。 (本小题 10 分)
解： 由达朗贝尔公式可得
)2()sin()sin()cos()()cos()()]sin()()sin()[(2
1
)
2(cos |cos )]
sin()()sin()[(21
)
2(sin |sin 2
1)
4(cos 21)]()[(21222222
分分分分t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x x d t x t x t x t x x d x d t x t x u t x t
x t
x t x t x t x t
x t x t x t x -++----+++---+++
=-+---+++=-+=+-++=⎰
⎰⎰+-+-+-+=-=+-ξξξξξξξξξξξξξξ
2. (1) 已知矩形区域ππ≤≤≤≤y x 0,0上的拉普拉斯方程
⎩⎨⎧==<<<<=+==;0| ,0|);0 ,0(
,00
πππx x yy xx u u y x u u 试导出其一般解为
nx e B e
A y x u n ny n ny
n
sin )() ,(1
∑∞
=-+=
，
其中n A 和n B 是只与n 有关的系数。 (9分)
(2) 利用(1)的结果求解泊松方程
⎪⎩⎪
⎨⎧==-==<<<<=+====.
cos sin |,0|;sin | |);0 ,0( sin 0
0x x u u y u u y x y u u y y x x yy xx ππππ 提示：寻找泛定方程的一个特解,v 使得经变换w v u +=后所得w 的泛定方程和第一组边值都是齐次的。(5分)
(1) 证明： 设有试探解)()(y Y x X u =，(1分) 代入泛定方程和齐次边界条件
⎩⎨
⎧===+0)()0(0
''πλX X X X .0''=-Y Y λ (1分)
求解本征值问题，得本征值),3,2,1(2
==n n
λ 本征函数),3,2,1(sin )( ==n nx
C x X (4分) 再解Y 的微分方程得ny ny
Be Ae
y Y -+=)( (2分)
所以，一般解为
nx e B e A y x u n ny
n ny n sin )() ,(1
∑∞
=-+=
(1分)
（2）解：特解,sin y v -= (1分) 变换w v u +=使
⎪⎩⎪
⎨⎧====<<<<=+====.
cos sin |,0|;0| |);0 ,0(
00
0x x w w w w y x w w y y x x yy xx ππππ (1分) 由（1）得满足w 的齐次泛定方程和第一组齐次边值的解为
nx e B e A w n ny
n ny n sin )(1∑∞
=-+= (1分) 因为上述解还满足第二组边界条件，于是
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∑∞
=-x nx e B e A B A n n n n n
n n 2sin 21sin )( 01
ππ
即).2(0,)
(21
2222≠==-=-=-n B A e e B A n n π
π
(1分) 最后，得解
.2sin )()
(21sin ) ,(2222x e e e e y y x u y
y ----+-=π
π (1分)
