数学分析各校考研试题与答案

华南理工大学2006年数学分析考研试题一．求极限lim357nnnnn n n n →∞+-++.二．设0A >，1x A >，212n n nx Ax x ++=，()1,2,n =，证明：{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞.三．设0α>，01x ≤≤，证明()11112x x ααα-≤+-≤.四．设()1S x 在区间[],a b 上连续，定义()()1x n n aS x S t dt +=⎰，()1,2,n =，证明(){}n S x 在区间[],a b 上一致收敛.五．设函数(),z f x y =满足方程(),0F u v =，其中u x az =+，v y bz =+，,a b 为常数，F 可微，且0u v aF bF +≠，求积分()22221x y x y z z ea b dxdyxy -++≤⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰.六．求积分()()222sin cos Lx y dx x y y dy +++⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点()1,1-到点()1,1上的一段.七．设0a >，确定ax x e =的正实数根的个数. 八．设()f x 在[)0,+∞上连续，对任意0A >，()Af x dx x+∞⎰均有意义， 求积分()()23f x f x dx x+∞-⎰.九．求幂级数()12211n nn x n +∞=--∑的收敛域与和函数.十．设(),f x y 在(){}22,:1G x y x y =+<上有定义，若(),0f x 在0x =处连续， 且(),y f x y 在G 上有界，证明(),f x y 在()0,0点连续. 十一．证明()22xx t f x xee dt -=⎰在[)0,+∞上一致连续.十二．研究函数()211n f x n x∞==+∑在区间[)0,+∞上的连续性，一致连续性，可微性，单调性.华南理工大学2006年数学分析考研试题解答一．解 设n a n n n =+-,357n n n n n b =++,lim limn n n n a n n n→∞→∞=++11lim2111n n→∞==++, lim lim 3577n n n n n n n b →∞→∞=++=,所以1lim 12lim lim 714nn n n nn n a a b b →∞→∞→∞===.二．证明 显然有0n x >，21222n n n n n x A x Ax A x x ++=≥=，212n n n n n x Ax x x x ++-=-202nnA x x -=≤，10n n x x +-≤，所以{}n x 单调递减有下届，于是{}n x 收敛， 设lim n n x a →∞=，a A ≥，则有22a Aa a+=，2a A =，a A =，故lim n n x A →∞=.三．证明（1）当1α=时，显然成立；（2）当1α>时，对01x ≤≤，显然有()()111x x x x αα+-≤+-=， 设()()1f x x x αα=+-，()()()111f x x x ααα--'=--，102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当112x ≤≤时，有()0f x '≥，()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 当102x ≤≤时，有()0f x '≤，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；所以()f x 在12x =处达到最小值，()12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.故有()11112x x ααα-≤+-≤.（3）当01α<<时，对01x ≤≤，显然有()()111x x x x αα+-≥+-=， 设()()1g x x x αα=+-，()()()111g x x x ααα--'=--，102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102x <≤时，有()0g x '≥，()g x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当112x ≤<时，有()0g x '≤，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； 所以()g x 在12x =处达到最大值，()12g x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 故有()11112x x ααα-≤+-≤.四．证明 由()1S x 在区间[],a b 上连续，存在0M >，使得()1S x M ≤.()()()21xaS x S t dt M x a =≤-⎰，()()()2322!xaM S x S t dt x a =≤-⎰, 由递推关系及归纳法，可知()()()()111!xn n n aM S x S t dt x a n --=≤--⎰， 从而()()()11!n n M S x b a n -≤--， 显然有()()111!n n M b a n ∞-=--∑收敛，于是()1n n S x ∞=∑在[],a b 上一致收敛，(){}n S x 在区间[],a b 上一致收敛于0.五．解 由(),0F x az y bz ++=，知 10u v z z F a F b x x ∂∂⎛⎫++⋅= ⎪∂∂⎝⎭，u u vF zx aF bF ∂=-∂+，10u v z z F aF b y y ⎛⎫∂∂⋅+⋅+= ⎪∂∂⎝⎭， v u vF zy aF bF ∂=-∂+， 从而1z zab x y∂∂+=-∂∂， 于是()22221x y x y z z ea b dxdyxy -++≤⎛⎫∂∂+⎪∂∂⎝⎭⎰⎰()()222211x y x y edxdy -++≤=-⎰⎰2210r d e rdr πθ-=-⎰⎰210122r e dr π-'⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰()11e π-=-.六．解 设()2sin P x y =+，22cos Q x y y =+，()22sin Q Px x y x y∂∂-=-+∂∂， (){}2,:1,11D x y x y x =≤≤-≤≤，(){}1,:11,1L x y x y =-≤≤=，利用格林公式，得()()222sin cos Lx y dx x y y dy +++⎰()11L L LPdx Qdy -⎛⎫⎪=+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()()12122sin sin 1Dx x y dxdy x dx -=-+++⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰()1212sin1Dydxdy x dx -=-++⎰⎰⎰2111111cos 2212x x dx ydy dx ---⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()1141113121cos 2222x dx x dx --⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭⎰⎰.七．解 设()1ax axe f x e x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然()lim x f x →+∞=+∞，由于0ax e >，所以在(],0x ∈-∞上，有ax e x >，()01f =，()1ax f x ae '=-，当01ln x a a=-时，()0f x '=，当1a >时，00x <，0x x <<+∞时，有()0f x '>， ()f x 在[)0,x +∞上严格单调递增，0x >时，()()01f x f >=，此时，ax e x =无正实根； 当01a <<时，00x >，()f x 在[)0,x +∞上严格单调递增，在[]00,x 上严格单调递减， ()f x 在0x 处达到最小值， ()1ln 01ln a a a f x ea a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()111ln 1ln a a a aa =+=+，故当1a e =时，()00f x =，()f x 有唯一的正实根；当1a e >时，()f x 无正实根；当10a e<<，()00f x <，()f x 有两个正实根。

2022年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:RnRn，且fC1R，满足f某fy某y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的.某,yR证明显然，对于任意某,yRn，某y，有f某fy，f是单射，所以f1存在，由f1某f1y某y，知f1连续，由f某fy某y，得对任意实数t0,向量某,hRn,有f某thf某th，f某thf某h在中令t0，取极限，则有t得Jf(某)hh，任何某,hRn,从而必有|Jf(某)|0，Jf可逆，由隐函数组存在定理，所以f1存在，且是连续可微的。

例2.讨论序列fntinnt在0,上一致收敛性.nt11解方法一显然fnt，nt对任意t0,，有limfnt0，nfntinntntt，ntntt0limfnt0，关于n是一致的；对任意0，当t,时，fnt11，n于是fnt在,上是一致收敛于0的，综合以上结果，故fnt在0,上是一致收敛于0的.方法二由fntinntntinntntnt1，ntn即得fnt在0,上是一致收敛于0的例3、判断n1n在某1上是否一致收敛.某n例4.设f某在,上一致连续，且2f某d某收敛，证明limf某0.某2某yz例5.求有曲面21所围成的立体的体积其中常数a,b,c0.abc例6、设D为平面有界区域，f某,y在D内可微，在D上连续，在D的边界上f某,y0，在D内f满足方程试证：在D上f某,y0.fff.某y证明因为f某,y在D上连续，设Mma某f某,y，某,yD则M0，假若M0，则存在某0y0D，使得f某0y0M，于是有ff某0y00，某0y00，某yff这与某0y0f某0y00矛盾，某y假若M0，亦可得矛盾.同理，对mminf某,y，亦有m0，某,yD故f某,y0，某,yD.一．求解下列各题1、设，数列{某}满足lima0nn某na某na。

0，证明limn某na21、解由0lim某na2alim1，n某an某ann知lim2a1，所以lim某na.nn某anco某,当某为有理数f(某)2、设当某为无理数，0,证明f(某)在点某kk1（k为任意整数）处连续，而在其它点处不连续。

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。

答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。

答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。

答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。

令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。

因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。

2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。

答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。

3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。

华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（12分）设f(x)是区间I 上的连续函数。

证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。

二（12分）设1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则'(0)0f =三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2()(0,0)a b a ba b ab a b +≥>>四（16分）设级数1n a∞=∑收敛，试就1n n d ∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn a∞=∑五（20分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。

又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。

（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。

（3）对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。

六（12分）改变累次积分4204842(4)x x xI dx y dy --=-⎰⎰的积分次序，并求其值。

七（12分）计算曲面积分222(cos cos cos )sI x y z ds αβγ=++⎰⎰其中s 为锥面z =上介于0z h ≤≤的一块，{}c o s,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。

华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212n n n n →∞+=++；（2） '2cos ,0(),()ln(1),0x x f x f x x x <⎧=⎨+≥⎩求； （3）计算3.二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且''0()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx ππ=+=⎰求f(0).三（20分）（1）已知1n n a ∞=∑为发散的一般项级数，试证明11(1)n n a n∞=+∑也是发散级数。

考研数学分析真题答案一、选择题1. 根据极限的定义，下列哪个选项是正确的？A. \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\)B. \(\lim_{x \to 0} \sin x = 1\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)答案：A2. 函数 \(f(x) = \sin x + x^2\) 在 \(x = 0\) 处的导数是多少？A. 1B. 2C. 0D. -1答案：A二、填空题1. 函数 \(y = \ln x\) 的定义域是 _________。

答案：\((0, +\infty)\)2. 若 \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}\)，那么\(\int_{0}^{1} x^3 dx\) 的值是 _________。

答案：\(\frac{1}{4}\)三、解答题1. 证明：对于任意正整数 \(n\)，\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\)。

证明：首先，我们可以将求和式拆分为部分和的形式：\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]通过观察，我们可以看到这是一个望远镜求和，大部分项会相互抵消，最终只剩下：\[1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x = 2\) 处的泰勒展开式，并计算其近似值。

解：首先，我们计算函数在 \(x = 2\) 处的各阶导数：\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2, \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6\]在 \(x = 2\) 处，\(f(2) = 0\)，\(f'(2) = -2\)，\(f''(2) =6\)，\(f'''(2) = 6\)。

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。

12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。

考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。

A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。

A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。

A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。

A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。

A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。

A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。

A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。

大连理工大学2022数学分析考研真题试卷简答题（每题6分，共60分）1 1对任意的正整数k,存在正熬数N,当n>N时，有Ia n -al＜-)此是否可以什为hm O，n =a的k n-oc, 定义？为什么？2.求f(x )=沪|尤－11在[-1,1]上的极值点与极值3证明J(x)= cos沪在(-OO )＋OO）上不一致连续4设f(x )在［a ，叶上至多有第一类间断点证明j位）在[a ,b]上有界5试构造收敛的正项级数〉：an,使得lirn supn 加21仰＝＋O O”-+3C,It=l 6设封闭曲线f:x 3＋沪＝3xy,X 2: 0, y之0,求r 所包围区域的面积7设J(x)在[a ,b]上连续，在(a,b)上可微，f(b) > f (a)，且J(x)不是一次函数证明存在�E (a, b), 使得!'(�)> J(b ) -f(a) b -aX -!丿8.求极限lim ;t...OO 泸－叨＋l2''!J...OO 9设f(x )在(-OO,＋OO）上连续，定义g(t)＝f 位－t）勺(t )dt求g "'(x)。

10证明函数f 伈）＝区n2 x ''·在－泸＋2 (-e, e)上有任总阶导数n=l 二计算题（每题10分，共30分）+OO 1设bE凡计算！产cos bxdx.（） 2设曲面I:: 9沪＋4沪＋z2= 1，方向朝外，计符曲而积分j x d ydz + y dzdx + z d 兀dy ＄ ！但＋2沪＋3丑）}3 设向觉场F（x ,y,z)= 1 沪＋沪＋z 2+ 2功（兀十!尸+y,z),z>O ，求F的势函数，三证明题（每题12分，共60分）1设f(x)是[0,+o o )上的连续可微的凸函数，定义h(x)=J 。

:'f (l ) d t , X > 0时证明．h（兀）是冗(0, +oo)上的凸函数2设儿（沈）均在[a ,b]上可微，n = 1, 2, 3, • • 且存在正常数!V I >0，使得I J :1(x)I � M, n = 1, 2, 3, •• •, XE [a ,b]若函数列{f )l ，位）｝在[a ,b]上逐点收敛证明函数列｛儿（尤）｝在Ia,bl上一致收敛3设B,C都是n阶实的常数矩阵，且C是非奇异的定义映射f 厌'i---t 脱'l 为f位）＝Cx+B（x @x)这里xox定义为兀0兀＝（叶，马｀，点）T E贮．证明f 的值域至少包含一个内点．4设f （午）在[a ,,b]上有二阶连续导数，且f(a ) = f (b) = 0，证明max |f(午)|三(b -a )2 max |f r 心扛51)8 心还/15设瓜）住[a,+oo )上单调递减JI广义积分「00f(x) d 扎．收敛证明lim叶(:r ;)= 0 ＂x->+oo (a:) I大连理工大学 2022 年数学分析考研试题解答－简答题（每题6分，共60分）1对任意的正整数k,存在正整数N,当n>N时有, � Ia n -al<－，此是否可以作为k lim a n = a的定n➔oo 义？为什么？ 1 解答可以一方面，若Jim 钰＝a,那么对任意的正桴数k,取e=－ ＞ 0,则存在正整数1V,当n>N '）心k 时，有回－al<c: =－、k 1 另一方面，若对任意的正整数k，存在正整数N,当n>N时，有I仰－a|＜ －特别地，对任意的€> 0, l l k 任取大丁－的正整数ko,则存在正整数No,当九＞No时．有I a n -al<—< e这就说明Jim a 九＝a 0 k (） 1➔OO 2求f(x)= X 旬x -11在［一1月上的极伯点与极伯解答当XE［一1,11[t，l ，有j(x)= X 灯1-x) = xi一xi,显然J(x)在［一1月上连续，在［一1,0)U (0月可导，且2压）＝曰5 2 1 3 -－ －卢＝－曰(2-5x ).3 3由此可知土XE (－1 0)时2l'（x) ＜ 0当X �2 (0; �)时f'（动＞0,当x 2E q ,l )时f '（x )＜ 0所以f位）在(-1,0]严格递减在f 』严格递增）在[r 1]严格递减丁是0和5分别为J 的极小值占与极大值点且极小值为J (O)= 0，极大值为f （勹＝：（：）令口但是3证明f(x)= cos产在(-:::,0,＋00)上不一致连续解答取(-:::,0,+00)中的数列X n = ✓:玩兄加＝v'2吓＋1r(n=l,2,··），由于（ -7f lim (X n -如）＝lim � = 0. 九:=...oc ,~·,•. .,,., n ➔00 ✓芦＋J2n7f十7f ，浊¥[j（Xn)-f(如）］＝，抑�(cos(2n1r )一c os (2n1r + 1r)] = 2 =/= 0所以J位）仕(-oo,+oo)上不一致连续4设f(x)在[a,b]上至多有第一类间断点，证明:f(x)在(a,bJ上有界 D 解答对任意的1、oE [a, b ]，由已知，J位）在xo处存在左极限与右极限（端点只考虑单侧极限），进而由极限的局部有界性，存在0:,:0>0与M 吓＞0,使得`X E (xo -O re o'xo + D x o) n la, b ]时，有l f (x )I :s; M立。

数学分析各校考研试题与答案2003南开⼤学年数学分析⼀、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有⼆阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w⼆、设数列}{n a ⾮负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an ⾮负单增，故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a n n =∞→lim ；据两边夹定理有极限成⽴。

三、设?≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满⾜：（1）极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x)在x=0连续（3） f(x)在x=0可导解：（1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nα极限存在则2+α0≥知α2-≥(2)因为)(lim 0x f x -→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f(x)在0可导则1->α四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径⽆关解；令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++?)(22=21du u f l )(?⼜f(x)在R 上连续故存在F （u ）使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径⽆关。

（此题应感⼩毒物提供思路）五、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+ba f 且Mx f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤?证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗⽇中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f ba)(()(+-'=??ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba a ba-=+-+-+≤+-'≤++ξ六、设}{n a 单减⽽且收敛于0。

数学分析-考研真题详解1．单调序列中有一个子序列收敛，则收敛．（）[武汉大学研]【答案】对查看答案【解析】不妨设单增，即又设则可证：用反证法，若．那么这与①式矛盾，因此单调递增有上界a，从而有极限，即证收敛．事实上还可证时，有再由，对上述ε，存在N2，当时有再令，当n>N时2．序列的子序列和收敛，则收敛．（）[武汉大学研] 【答案】错查看答案【解析】举反例：数列，和都收敛，但不收敛．3．序列收敛，则序列收敛，其逆命题也成立．（）[武汉大学研] 【答案】错查看答案【解析】举反例：收敛，但不收敛．4．收敛，则．（）[武汉大学研]【答案】错查看答案【解析】举反例：收敛，但5．函数序列，满足对任意自然数p及，有，则一致收敛．（）[武汉大学研] 【答案】错查看答案【解析】比如在上满足条件，但在[0，1]上不一致收敛．二、解答题1．用极限定义证明，当a>1时，，并讨论当0＜a≤1时，极限是否存在。

如果存在，极限是多少。

[上海理工大学研] 证明：当a>1时，令，则。

由得对于任意给定的ε>0，取，则当n>N时，就有，即，所以当0＜a＜1时，；当a＝1时，2．叙述发散的定义，证明{cosn}，{sinn}发散。

[大连理工大学研、武汉大学2006研]证明：设不以a为极限。

存在，对任意的N，有，使得，下证{sinn}不收敛。

存在，对任意的N，有，则有所以。

（柯西（Cauchy）收敛准则）3．证明：若数列无上界，则必有严格单调增加且趋于＋∞的子列。

[上海理工大学研] 证明：因为数列无上界，所以存在。

同样因为数列无上界，所以存在。

依次类推，可得到的子列满足显然是的严格单调增加且趋于＋∞的子列。

4．设定义证明：（1）（2）[四川大学、天津大学研] 证明：（1），由L’Hospital法则（2）当x→＋∞时，令则由两边夹法则可知：。

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)南京师范大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (4)南京师范大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (6)南京师范大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (8)南京师范大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (10)南京师范大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (12)南京师范大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)南京师范大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)南京师范大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)南京师范大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (22)南京师范大学2017年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (25)南京师范大学2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (27)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (29)南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (29)南京师范大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (37)南京师范大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (45)南京师范大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)南京师范大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (59)南京师范大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (68)南京师范大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (76)南京师范大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (85)南京师范大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (93)Ⅰ历年考研真题试卷南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。

一、（每小题10分，共30分）计算下列极限1、xt dtx xx ⎰∙+∞→2ln ln lim；2、yx y x y x ++→→2200lim ；3、设),,2,1(),1(),1,0(11 =-=∈+n x x x x n n n 证明{}n nx 收敛并求极限。

数学分析考研真题答案一、选择题1. 极限的概念是数学分析中最基本的概念之一。

下列选项中，哪一个是极限的定义？A. 函数在某一点的值B. 函数在某一点的左极限与右极限相等时的值C. 函数在某一点的值趋于一个常数D. 函数在某一点附近的行为答案： C2. 以下哪个选项是连续函数的定义？A. 在某点可导B. 在某点的极限存在且等于函数值C. 在某区间内的所有点都有定义D. 在某区间内的所有点都有定义且可导答案： B二、填空题1. 若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的导数定义为\( \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) -f(x_0)}{h} \)。

答案： \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \)2. 定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)的几何意义是函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上的曲线与x轴所围成的面积。

答案：曲线与x轴所围成的面积三、解答题1. 证明：若函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，则定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)存在。

证明：由于\( f(x) \)在\( [a, b] \)上连续，根据连续函数的性质，\( f(x) \)在\( [a, b] \)上是一致连续的。

根据达布定理（Darboux's Theorem），对于任意的分割\( P \)，上和\( U(f, P) \)与下和\( L(f, P) \)之差\( U(f, P) - L(f, P) \)可以任意小。

因此，存在一个共同的极限\( I \)，即\( \lim_{||P|| \to 0} U(f, P) = \lim_{||P|| \to 0} L(f, P) = I \)，这就证明了定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)的存在性。

数学专业考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，公差d=3，求a_5的值。

A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求A 的行列式。

A. 2B. -2C. 5D. -5答案：C4. 计算定积分∫(0到π)sin(x)dx的值。

A. 2B. -2C. 0D. π答案：C二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x)=x^2-4x+c，若g(x)在x=2处取得最小值，则c的值为_________。

答案：46. 已知复数z=2+3i，求其共轭复数的值。

答案：2-3i7. 设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∩B。

答案：{2,3}8. 已知方程x^2-6x+9=0，求方程的根。

答案：x=3三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：若a，b，c是等比数列，则a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca。

证明：设等比数列的公比为q，则a=b/q，c=bq。

则有a^2+b^2+c^2=(b/q)^2+b^2+(bq)^2=b^2(1/q^2+1+q^2)≥b^2(2q)=2b^2q=ab+bc+ca。

10. 解方程组：\[\begin{cases}x+y=1\\2x-y=0\end{cases}\]解：由第二个方程得y=2x，代入第一个方程得x+2x=1，解得x=1/3，y=2/3。

四、计算题（每题10分，共20分）11. 计算极限lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]。

解：lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]=lim(x→0)(1/x)ln(1+x)=lim(x→0)[(x-x^2/2+x^3/3!-...)/x]=1。