数学分析各校考研试题与答案

2003南开大学年数学分析

一、设),,(x y x y x f w

-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w

解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=；

)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w

二、设数列}{n a 非负单增且a a n

n =∞

→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞

→1

21

]

[lim

解：因为an 非负单增，故有n n n n

n

n n n n na a a a a 1

1

21)(][≤

+++≤

由

a a n n =∞

→lim ；据两边夹定理有极限成立。

三、设⎩

⎨

⎧≤>+=0

,00),1ln()(2

x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足：

（1） 极限)(lim 0x f x +

→存在

（2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为

)(lim 0x f x +

→=)1ln(lim 20x x x ++

→α=)]()1(2[lim 221420n n

n x x o n

x x x x +-++--→+

α极限存在则2+α0≥知α2-≥

(2)因为)(lim 0

x f x -

→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α

（3）0)0(='-

f 所以要使f(x)在0可导则1->α

四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关

解；令U=22

y x

+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=2

1du u f l )(⎰又f(x)在R 上连续故存在F （u ）

使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22

所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、

设

f(x)在[a,b]上可导，

0)2

(=+b

a f 且

M

x f ≤')(,证明

2)

(4)(a b M

dx x f b a -≤⎰

证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在

)

2

)(()2()(),(b

a x f

b a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即

有

dx b

a x f dx x f b

a

b a

)2

)(()(+-

'=⎰⎰ξ2

2

2)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f b

b a b

a a b

a

-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。

∑n a n sin 发散

a) 证明

∑收敛n an sin

b) 证明

1lim

=∞→n n

n v u 其中

)

sin sin (k ak k a u k n +=∑；

)sin sin (k ak k ak v n -=∑

证：（1）因为

2

1sin 1sin ≤

∑k 而}{n a 单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知

∑收敛n an sin

（2）因为正项级数

∑n a n sin 发散则∑∞→∞→)(sin n k ak 又由上题知

∑有界k ak sin 故有1lim

=∞→n

n

n v u

七、设dx x

x

e t F tx

sin )

(1⎰∞

+-= 证明 （1）dx x

x

e tx sin 1

⎰

∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续

证：（1）因

dx x

x ⎰

∞+1

sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又tx

e -在x>=1,t>=0 单调且一致有界)0,1(10≥≥∀≤≤-t x e

tx

由阿贝尔判别法知一致收敛

（2）],[0,),,0[00βαβα∈≥∃+∞∈∀t t 使由上题知，F （t ）在],[βα一致收敛，

且由x

x

e

tx

sin -在（x,t ）],[),1[βα⨯+∞∈上连续知F （t ）在],[βα连续所以在0t 连续，由0t 的任意性得证

八、令)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （

2

）

对

任

意

>ε，存在一个

ε

δδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f k

n

在[a,b]上一致收敛

证：对任意x ],[b a ∈，)}({x f n 是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为

)}({x f k

n ，又令U=]},[),({b a x x u x ∈δ则U 为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定

理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为),(),(1

1m

x m x x u x u δδ

于是对

N

能找到一,0>∀ε>0，

)

,,2,1(,,2

1

m i x N ，n n i k k =∀>∀有

3

)()(2

2

ε

<

-i n i n x f x f k k 令

},,min{1

m

x x δδδ =则由条件（2）知对上述

0>∀ε

3

)()(,],,[,0ε

δδ<

-<-∃∈∀>∃l n n l l x f x f n ，x x x b a x 有对一切自然数使于是有有],[],,[,,,,0,0b a x b a x N n n K t k K l t k ∈∃∈∀>>∀>∃>∀ε

)

()()()()()()()(x f x f x f x f x f x f x f x f k

k

k

l

t

t

k

t

n l n l n l n l n n n n -+-+-=-≤)()(l n n x f x f t

t

-+)()(l n l n x f x f k

l

-+)()(x f x f k

k

n l n -ε<由柯西准则得

证。

2004年南开大学数学分析试题答案