圆的性质(垂径定理)

24.2圆的基本性质（垂径定理）一、教学目标（一）知识目标：使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，理解垂径定理的内容和意义。

（二）能力目标：能较熟练地运用弦、弧、直径之间的特定关系和勾股定理，解决有关问题二、教学重点、难点：垂径定理及运用三、教学过程（一）导入新课1、请同学们观察几幅图片，看些图形，看他们有什么共同特点？【这些图形都是轴对称图形】2、我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？每人说出一种即可。

【等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形，圆】（二）共同探究新知：1、老师要求同学们拿出你的圆形纸片，首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折。

2、然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论【圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线】3、现在我们知道了圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴。

那么折叠后，用针在半圆上刺个小孔，得到重合点A、B，如下图把它摊平，那么折痕CD是⊙O的直径，而A、B是一对对应点，如图连接AB,得到弦AB，思考弦AB与直径CD之间有什么位置关系？【CD垂直平分于弦AB，并且平分弦劣AB和优弧AB】4这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。

5、教师板书垂径定理。

【垂直于弦的直径平分弦和弦所对的弧】（三）例题讲解：1、例1：如图，已知在⊙O的半径是5cm，弦AB为6cm，求⊙O的的圆心到弦AB的距离。

【解题过程略】l）2 】【根据勾股定理总结半径、圆心的弦的距离及弦长三者 r2=d2+（22、例2：1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）解：AB 表示桥拱，AB 的圆心为O ，半径为R 米。

经过圆心O 作弦AB 的垂线OD ，D 为垂足，与AB 相交于点C ，根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高。

AODBCAO（一） 圆的相关概念及垂径定理一、知识梳理（一）圆的有关概念1.圆的基本概念：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。

注：圆中有无数条直径6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。

如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。

说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。

（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。

（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。

（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。

（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。

（三）和圆有关的角：1、圆周角：顶点在圆上，它的两边和圆还有另一个交点的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理辅助线的做法
垂径定理是圆的基本性质之一，它指出经过圆心的直径垂直于该圆的弦，并且平分弦所对的弧。

在解决与垂径定理相关的问题时，通常需要添加辅助线来帮助证明。

以下是一些常见的垂径定理辅助线的做法：
1. 连接弦与直径的交点与圆心的线段。

这条线段是直径，它将垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

2. 作出弦的中垂线。

中垂线将通过圆心并与直径垂直。

这条线将平分弦，并且平分弦所对的弧。

3. 作出圆心到弦的垂足，然后连接垂足与弦与直径的交点。

这条线段将垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4. 作出圆心到弦的两个端点的线段，然后连接这两个线段的延长线与直径的交点。

这两个交点将平分弦，并且平分弦所对的弧。

以上是常见的垂径定理辅助线的做法，可以根据具体的问题选择合适的方法来添加辅助线，帮助证明垂径定理。

[圆的基本性质与定理]1定理: 不在同一直线上的三点确定一个圆。

(圆的确定）2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

3垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形[有关圆周角和圆心角的性质和定理]1定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的性质与定理]1定理圆的内接四边形的对角互补2定理并且任何一个外角都等于它的内对角3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆[有关切线的性质和定理]1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心[圆的其他性质定理]1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等2①直线L和⊙O相交d＜r ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d＞r3圆的外切四边形的两组对边的和相等[圆与圆]1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上2①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形（有关外接圆和内切圆的性质和定理）5定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

初三数学圆的性质定理1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4、垂径定理的应用：①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.(1)求证：AB=CD(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4．圆的内接四边形：①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（）2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分D．随点C的移动而移动4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B．C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A 、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．一、确定圆的条件(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．过不在同一条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？（1）（2）（3）例3、如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．1、下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心和半径B．直径 C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外D．外心在三角形内4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（）A．重心B．垂心 C．外心D．无法确定5、如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6、如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=30°，BC=2 cm ，则△OBC的面积是_______.7、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？。

垂径定理垂径定理是解决几何问题中常用的一个定理，它和“垂直”有关。

垂径定理的全称是“垂直于直径的半径必垂直于圆”。

垂径定理的内容简单而明确，但它却具有重要的意义和应用价值。

本文将从垂径定理的定义、证明以及几个典型的应用来介绍垂径定理，并解释为什么它在解决几何问题中具有重要意义。

首先，我们来了解一下垂径定理的定义。

垂径定理主要是指：如果在一个圆上，有一个半径垂直于直径，那么这个半径和这个直径在圆上的交点之间的弧长就是90度。

换句话说，半径与直径的交点和圆上的其他点之间的弦垂直。

这是垂径定理的基本内容。

接下来，让我们来看一下垂径定理的证明。

首先，我们假设在一个圆上，有一个半径OA垂直于直径BC，如下图所示。

这是一个坐标证明的图。

为了简化问题，我们可以假设圆的半径为1。

因此，点O的坐标就是(0，1)，点B的坐标就是(-1，0)，点C 的坐标就是(1，0)。

我们知道，在直角三角形中，直角的两条边的斜率乘积为-1。

我们可以计算出OA的斜率为-1，而BC的斜率为0，因此满足垂径定理的条件。

我们可以继续应用几何知识来证明垂径定理。

根据半径垂直于弦的定义，我们知道OA垂直于BC。

根据直径的定义，我们知道BC就是圆的直径。

因此，根据垂直定理，我们可以得出结论，OA是圆的半径，它与直径BC垂直。

接下来，我们将介绍几个典型的应用垂径定理的例子。

例1：证明对称圆上的两条弦垂直在一个圆上，有两条弦AB和CD，且AB与CD以圆心为中点。

我们需要证明这两条弦互相垂直。

根据问题的设定，我们知道AB和CD以圆心O为中点。

因此，OA 等于OC，OB等于OD。

根据垂径定理的定义，OA垂直于AB，OC垂直于CD。

进一步观察，我们可以发现OA和OC重合，因为它们都是圆的半径，长度相等，方向相同。

同理，OB和OD重合。

因此，根据重合线段垂直定理，我们可以得出结论，AB垂直于CD。

例2：证明正方形的对角线相互垂直在一个正方形中，连接两个相对顶点的线段被称为对角线。

圆的有关概念及性质【2 】【基本常识回想】一、圆的界说及性质：1、圆的界说：⑴形成性界说：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O扭转一周,另一个端点A随之扭转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做⑵描写性界说：圆是到定点的距离等于的点的聚集2.弦与弧：弦：衔接圆上随意率性两点的叫做弦弧：圆上随意率性两点间的叫做弧,弧可分为..三类3.圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形,有条对称轴,的直线都是它的对称轴⑵中间对称性：圆是中间对称图形,对称中间是【提示：1.在一个圆中,圆心决议圆的半径决议圆的2.直径是圆中的弦,弦不必定是直径;3.圆不仅是中间对称图形,并且具有扭转性,即绕圆心扭转随意率性角度都被与本来的图形重合】二、垂径定理及推论：1.垂径定理：垂直于弦的直径,并且等分弦所对的.2.推论：等分弦（）的直径,并且等分弦所对的.【提示：1.垂径定理及其推论本质是指一条直线知足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶等分弦⑷等分弦所对的优弧⑸等分弦所对的劣弧五个前提中的两个,那么可推出其余三个,留意解题进程中的灵巧应用2.圆中常作的帮助线是过圆心作弦的线（即弦心距）.3.垂径定理常用作盘算,在半径r.弦a.弦心d和弓高h中已知个中两个量可求别的两个量.】三.圆心角.弧.弦之间的关系：1.圆心角界说：极点在的角叫做圆心角2.定理：在中,两个圆心角.两条弧.两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分离【提示：留意：该定理的前提前提是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1.圆周角界说：极点在并且双方都和圆的角叫圆周角2.圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1.在同圆或等圆中,假如两个圆周角那么它们所对的弧推论2.半圆（或直弦）所对的圆周角是,900的圆周角所对的弦是【提示：1.在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,是类,它们的关系是,2.作直径所对的圆周角是圆中常作的帮助线】五、圆内接四边形：界说：假如一个多边形的所有极点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做.性质：圆内接四边形的对角.【重点考点例析】考点一：垂径定理例1（2015•舟山）如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,贯穿连接AO并延伸交⊙O于点E,贯穿连接EC．若AB=8,CD=2,则EC的长为（）A．215B．8 C．210D．213对应练习1．（2015•南宁）如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=12∠BOD,则⊙O的半径为（）A．42B．5 C．4 D．3考点二：圆周角定理例2 （2015•自贡）如图,在平面直角坐标系中,⊙A经由原点O,并且分离与x轴.y轴交于B.C 两点,已知B（8,0）,C（0,6）,则⊙A的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．8对应练习2．（2015•珠海）如图,▱ABCD的极点A.B.D在⊙O上,极点C在⊙O的直径BE上,∠ADC=54°,衔接AE,则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°7．（2015•威海）如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,AO=1．（1）求∠C的大小;（2）求暗影部分的面积．演习：1．（2015•张家界）如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD=80°．2．（2015•盐城）如图,将⊙O沿弦AB折叠,使AB经由圆心O,则∠OAB= 30°．3．（2015•绥化）如图,在⊙O中,弦AB垂直等分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为．4．（2015•株洲）如图AB 是⊙O 的直径,∠BAC=42°,点D 是弦AC 的中点,则∠DOC 的度数是48度．5．（2015•广州）如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点P 在第一象限,⊙P 与x 轴交于O,A 两点,点A 的坐标为（6,0）,⊙P 的半径为13,则点P 的坐标为（3,2）． 三.解答题1（2016·山东潍坊）正方形ABCD 内接于⊙O,如图所示,在劣弧上取一点E,衔接DE.BE,过点D 作DF ∥BE 交⊙O 于点F,衔接BF.AF,且AF 与DE 订交于点G,求证： （1）四边形EBFD 是矩形; （2）DG=BE ．2.（2015•浙江省台州市,第22题）如图,四边形ABCD 内接于⊙O,点E 在对角线AC 上,EC=BC=DC（1）若∠CBD=39°,求∠BAD 的度数 （2）求证：∠1=∠23.AB 是⊙O 的一条弦,OD AB ⊥,垂足为C ,交⊙O 于点D ,点E 在⊙O 上． （1）若52AOD ∠=,求DEB ∠的度数; （2）若3OC =,5OA =,求AB 的长．4．（2015•贵阳）已知：如图,AB 是⊙O 的弦,⊙O 的半径为10,OE.OF 分离交AB 于点E.F,OF EO的延伸线交⊙O 于点D,且AE=BF,∠EOF=60°．（1）求证：△OEF 是等边三角形;（2）当AE=OE 时,求暗影部分的面积．（成果保留根号和π）22．（2015•黔西南州）如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 与点E,点P 在⊙O上,∠1=∠C,（1）求证：CB ∥PD;（2）若BC=3,sin ∠P=35,求⊙O 的直径．常识点2：点和圆的地位关系如设⊙O 的半径为r,点P 到圆的距离为d,则有： 点P 在圆外⇔d ___ r 点P 在圆上⇔d ___ r 点P 在圆内⇔d ___ r①经由一点P 可以作_______个圆;经由两点P.Q 可以作________•个圆,圆心在_________上;经由不在统一向线上的三个点可以作________个圆,圆心是________的交点． ②直角三角形的外心是________的中点,锐角三角形外心在三角形的 ____________,钝角三角形外心在三角的___________．③经由三角形的三个极点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的______圆．外接圆的圆心是三角形三条边________________线的交点,这个点叫做这个三角形的___________．1.例1 （1）已知⊙O 的直径为10cm,有一点P 到圆心O 的距离为3cm,求点P 与圆有何地位关系？（2）如有一点M 到某圆的最大距离为8cm,最小距离为2cm,求这个圆的半径． 3.不在统一条直线上的三个点肯定一个圆经由三角形三个极点可以画个圆,并且只能画个．叫做三角形的外接圆．叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的．三角形的外心就是r dd CBAO的交点,它到的距离相等4.例2．某地出土一明代完整圆形瓷盘,如图所示．为复制该瓷盘要肯定其圆心和半径,请在图顶用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．作法提示：可联想垂径定理的逆定理：弦的垂直等分线必经由____________,并等分弦所对的两条_____________．5.例3.已知Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝5cm,BC＝12cm,求△ABC的外接圆半径．6.例4.如图,等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC＝10cm,求△ABC外接圆的半径．例2。

第01讲与圆有关的性质——垂径定理课程标准学习目标①与圆有关的概念②圆的对称性③圆的垂径定理1.认识圆，掌握圆的相关概念。

2.掌握圆的对称性。

3.掌握垂径定理，并能够灵活运用垂径定理解决相关题目。

1.圆的概念：静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。

定点是，定长是圆的。

动态定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点A所形成的叫做圆．固定的端点O叫做，线段OA的长叫做。

以O点为圆心的圆，记作，读作。

2.弦的概念：如图：连接圆上任意两点的线段叫做。

如图中有弦CD与弦AB。

3.直径：过的弦叫做直径。

如图中弦AB是直径。

直径是弦，但是弦不一定是直径。

4.弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。

它包含、、。

（1）半圆：的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做。

（2）优弧：半圆的弧叫做优弧。

如图中的优弧AOC，表示为。

读作。

表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。

若只有两个字母默认为劣弧。

（3）劣弧：半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为。

读作。

5.等圆：能够的两个圆或半径的两个圆叫做等圆。

6.等弧：在同圆或等圆中，能够的两条弧叫做等弧。

题型考点：①相关概念的理解与认识。

知识点02 圆的对称性1.圆的对称性：圆既是图形，有条对称轴。

又是图形，对称中心是圆的。

【即学即练1】1．圆的有关概念：（1）圆两种定义方式：（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做．线段OA叫做．（b）圆是所有点到定点O的距离定长r的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧．（5）等圆：能够的两个圆叫等圆，半径的两个圆也叫等圆..【即学即练2】2．如图中有条直径，有条弦，以点A为端点的优弧有条，有劣弧条．【即学即练3】3．下列说法中，正确的是．①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④圆心不同的圆不可能是等圆；⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形；⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段；⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形．知识点03 垂径定理1.垂径定理的内容：垂直于弦的，弦，平分弦所对的和。

圆得有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆得定义及性质:1、圆得定义:⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定得一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成得图形叫做圆,固定得端点叫线段OA叫做⑵描述性定义:圆就是到定点得距离等于得点得集合2、弦与弧:弦:连接圆上任意两点得叫做弦弧:圆上任意两点间得叫做弧,弧可分为、、三类3、圆得对称性:⑴轴对称性:圆就是轴对称图形,有条对称轴, 得直线都就是它得对称轴⑵中心对称性:圆就是中心对称图形,对称中心就是【提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆得半径决定圆得2、直径就是圆中得弦,弦不一定就是直径;3、圆不仅就是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来得图形重合】二、垂径定理及推论:1、垂径定理:垂直于弦得直径,并且平分弦所对得。

2、推论:平分弦( )得直径,并且平分弦所对得。

【提醒:1、垂径定理及其推论实质就是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对得优弧⑸平分弦所对得劣弧五个条件中得两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中得灵活运用2、圆中常作得辅助线就是过圆心作弦得线(即弦心距)。

3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d与弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间得关系:1、圆心角定义:顶点在得角叫做圆心角2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应得其余各组量也分别【提醒:注意:该定理得前提条件就是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论:1、圆周角定义:顶点在并且两边都与圆得角叫圆周角2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对得圆周角都等于这条弧所对得圆心角得推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对得弧推论2、半圆(或直弦)所对得圆周角就是,900得圆周角所对得弦就是【提醒:1、在圆中,一条弦所对得圆心角只有一个,而它所对得圆周角有个,就是类,它们得关系就是,2、作直径所对得圆周角就是圆中常作得辅助线】五、圆内接四边形:定义:如果一个多边形得所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。

初中数学圆的性质知识点归纳 圆的性质⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式:　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD 与BC分别交PQ于X，Y，那么M为XY之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。