第三章一阶微分方程解的存在定理
[教学目标]
1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的
误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时
[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]
1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程
过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数
都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程
),(y x f dx
dy
= （3.1）
这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。
定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件
00()x y ?=
（3.3）
其中,min(,
),max (,)x y R b
h a M f x y M
∈==,L 称为Lipschitz 常数.
思路：
1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程
的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ?
任取一个连续函数0()x ?，使得00|()|x y b ?-≤，替代上述积分方程右端的
y ，得到
如果10()()x x ??≡，那么0()x ?是积分方程的解，否则，又用1()x ?替代积分方程右端的y ，得到
如果21()()x x ??≡，那么1()x ?是积分方程的解，否则，继续进行，得到
01()(,())x
n n x x y f x x dx ??-=+?
（3.4）
于是得到函数序列{()}n x ?.
3） 函数序列{()}n x ?在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ?，即
存在，对(3.4)取极限,得到
即0
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+?.
4) ()x φ是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+?在00[,]x h x h -+上的连续解.
这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.
为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似. 命题1 设()y x ?=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件
00()x y ?= （3.3）
的解,则()y x ?=是积分方程
0(,)x
x y y f x y dx =+? 00x x x h ≤≤+
(3.5)
的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.
证明 因为()y x ?=是方程(3.1)满足00()x y ?=的解,于是有 两边取0x 到x 的积分得到
即有0
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+? 00x x x h ≤≤+
所以()y x ?=是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+?定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.
反之,如果()y x ?=是积分方程(3.5)上的连续解,则
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+? 00x x x h ≤≤+
（3.6）
由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ?连续,两边对x 求导,可得
而且 00()x y ?=,
故()y x ?=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ?=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ?.
0000100()()(,()) x n
n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??
?=+≤≤+???(1,2,)n =L
（3.7）
命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ?在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式
0|()|n x y b ?-≤ （3.8）
证明 用数学归纳法证明
当1n =时，0
100()(,)x
x x y f y d ?ξξ=+?，显然1()x ?在00x x x h ≤≤+上有定义、连续
且有 即命题成立.
假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 当1n k =+时，
由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ?在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ?+在
00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有
即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立. 命题3 函数序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 记lim ()()n n x x ??→∞
=,00x x x h ≤≤+
证明 构造函数项级数
011
()[()()]k k k x x x ???∞
-=+-∑ 00x x x h ≤≤+
(3.9) 它的部分和为
于是{()}n x ?的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的
通项进行估计.
1000|()()||(,())|()x
x x x f d M x x ??ξ?ξξ-≤≤-?
(3.10)
由Lipschitz 条件得知 设对于正整数n ,有不等式
成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有 于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有
1110|()()|() !!
k k k
k k k ML ML x x x x h k k ??----≤-≤ 00x x x h ≤≤+
(3.11)
由正项级数1
1
!
k
K k h ML
k ∞
-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+上一致收敛.因而序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛.
设lim ()()n n x x ??→∞
=,则()x ?也在00x x x h ≤≤+上连续,且
命题4 ()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解. 证明 由Lipschitz 条件
以及{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ?,可知(,())n f x x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ?.因此
即 0
0()(,()) x
n x x y f d ?ξ?ξξ=+?
故()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.
命题5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ?ψ≡,
00x x x h ≤≤+.
证明 设()|()()|g x x x ?ψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得
令0
()()x
x u x L g d ξξ=?,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,
0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,
即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤= 故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.
对定理说明几点:
(1)存在唯一性定理中min(,
)b
h a M
=的几何意义. 在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ?=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线.
当b M a ≤
时，即b a M
≤,（如图(a)所示），解()y x ?=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a ≥
时,即b a M
≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b
x x x M M
-≤≤+
才能保证解()y x ?=在R 内，故要求解的存在范围是
0||x x h -≤.
(2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上
这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数.
(3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为
易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值
000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.
实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ?时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]
max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.
(4)、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程
经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.
证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由
可得方程的通解为 x
ce y e
=±,其中x
ce y e
=为上半平面的通解,
x
ce y e
=-为下半平
面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的.
但是
因为0
lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得
所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.
此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程
(,,)0F x y y '= (3.12)
由隐函数存在定理,若在000
(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0F
y
?≠'?,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数
(,)y f x y '= (3.13)
并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足0
00(,)y f x y '= 如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且
/f F F
y y y
???=-'???
(3.14)
显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.
定理2 如果在点000
(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；
ⅱ）000
(,,)0F x y y '= ⅲ）
000
(,,)0F x y y y
'?≠'? 则方程（3.12）存在唯一的解
0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数）
满足初始条件
0000
(), ()y x y y x y ''== （3.15）
1、 近似计算和误差估计
求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法
对方程的第n 次近似解()n x ?和真正解()x ?在0||x x h -≤内的误差估计式
1
|()()|(1)!
n n n ML x x h n ??+-≤
+ （3.16）
此式可用数学归纳法证明. 设有不等式 成立,则
例1 讨论初值问题
22dy
x y dx
=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,
:11,11R x y -≤≤-≤≤.
解 (,)1
max |(,|2,1,1,min{,
}2
x y R
b M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y ?=≤=?,根据
误差估计式(3.16)
可知3n =.于是
3()x ?就是所求的近似解,在区间11
22
x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05.
§2 解的延拓
上节我们学习了解的存在唯一性定理，当
),(y x f dx
dy
=的右端函数),(y x f 在R 上满足解的存在性唯一性条件时，初值问题?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
的解在0||x x h -≤上存在且唯一. 但
是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的. 可能随着),(y x f 的存在区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例1，当定义区域变为
:22,22R x y -≤≤-≤≤时，218,min{2,}84M h ===，解的范围缩小为01
||4
x x -≤. 在实际
引用中，我们也希望解的存在区间能尽量扩大，下面讨论解的延展概念，尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的.
1、饱和解及饱和区间
定义1 对定义在平面区域G 上的微分方程
),(y x f dx
dy
= (3.1)
设()y x ?=是方程(3.1)定义在区间1I R ?上的一个解,如果方程(3.1)还有一个定义在区间
2I R ?上的另一解()y x ψ=,且满足
(1) 12I I ?；但是12I I ≠ （2）当1x I ∈时，()()x x ?ψ≡
则称1(),y x x I ?=∈是可延拓的，并称()y x ψ=是()y x ?=在2I 上的延拓.否则如果不存在满足上述条件的解()y x ψ=,则称1(),y x x I ?=∈是方程(3.1)的不可延拓解或饱和解,此时把不可延拓解的区间1I 称为一个饱和区间.
2、局部李普希兹条件
定义2 若函数),(y x f 在区域G 内连续，且对G 内每一点P ，都存在以P 点为中心，完全含在G 内的闭矩形域p R ，使得在p R 上),(y x f 关于y 满足李普希兹条件（对于不同的点，闭矩形域p R 的大小和李普希兹常数L 可能不同），则称),(y x f 在G 上关于y 满足局部李普希兹条件.
定理3 （延拓定理）如果方程
),(y x f dx
dy
=的右端函数),(y x f 在（有界或无界）区域2G R ∈上连续，且在关于y 满足局部李普希兹条件，则对任意一点00(,)x y G ∈，方程
),(y x f dx
dy
=以),(00y x 为初值的解)(x ?均可以向左右延展，直到点(,())x x ?任意接近区域G 的边界.
以向x 增大的一方来说，如果()y x ?=只能延拓到区间上，则当x m →时，(,())x x ?趋于区域G 的边界。
证明 00(,)x y G ?∈，由解的存在唯一性定理，初值问题
?????==)()
,(00x y y y x f dx dy
（1）
存在唯一的解()y x ?=，解的存在唯一区间为00||x x h -≤.取100x x h =+,
11()y x ?=,以11(,)x y 为中心作一小矩形1R G ∈,则初值问题
11(,)
()
dy
f x y dx y y x ?=???=?
(2)
存在唯一的解()y x ψ=，解的存在唯一区间为11||x x h -≤.
因为 11()()x x ?ψ=,有唯一性定理,在两区间的重叠部分应有()()x x ?ψ=,即当
111x h x x -≤≤时()()x x ?ψ=.定义函数
则()y x ?*=是方程(3.1)满足(1)(或(2)) 的,在0011[,]x h x h -+上有定义的唯一的解.这样,把方程(3.1)满足(1)的解()y x ?=在定义区间上向右延伸了一段.即把解()y x ?*=看作方程(3.1)的解()y x ?=在定义区间00||x x h -≤的向右延拓,延拓到更大区间
00001x h x x h h -≤≤++.同样的方法,也可把解()y x ?=向左延拓.这种将曲线向左右延拓的
办法可继续进行下去,最后将得到一个解~
()y x ?=,不能再向左右延拓了.这个解称为方程(3.1)的饱和解.
推论1 对定义在平面区域G 上的初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
其中00(,)x y G ∈
若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lipschtiz 条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.
推论2 设~
()y x ?=是初值问题
?????==)()
,(00x y y y x f dx dy
其中00(,)x y G ∈
的一个饱和解，则该饱和解的饱和区间I 一定是开区间.
证明 若饱和区间I 不是开区间,不妨设(,]I αβ=,则~(,())G β?β∈,这样解~
()y x ?=还可以向右延拓,从而~
()y x ?=是非饱和解,矛盾.对[,)I αβ=时,同样讨论,即x β-→(或x α+→)时, (,())x x G ?→?.
推论3 如果G 是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过00(,)x y 点的解
()y x ?=可以延拓,以向x 增大(减小)一方的延拓来说,有以下两种情况:
(1) 解()y x ?=可以延拓到区间0[,)x +∞(或0(,]x -∞)；
(2) 解()y x ?=只可延拓到区间0[,)x m (或0(,]m x )，其中为有限数，则当x m →时，
或者()y x ?=无界,或者点(,())x x G ?→?.
例1讨论方程21
2
dy y dx -=分别通过点(0,0)和点(ln 2,3)-的解的存在区间.
解 此方程右端函数21
(,)2
y f x y -=在整个xy 平面上满足解的存在唯一性定理及解的
延拓定理的条件.易知方程的通解为
故通过点(0,0)的解为(1)/(1)x x y e e =-+,这个解的存在区间为x -∞<<+∞；
通过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-,这个解的存在区间为0x <<+∞
(如图所示).注意, 过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-向右方可以延拓到
+∞,但向左方只能延拓到0,因为当0x +→时,y →-∞.
例2讨论方程
1ln dy
x dx
=+过(1,0)点的解的存在区间. 解 方程右端函数(,)1ln f x y x =+在右半平面0x >上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域G (右半平面)是无界开域，y 轴是它的边界.
易知问题的解为ln y x x =,它于区间0x <<+∞ 上有定义、连续且当0x →时, 0y →,即所求问题的解向右方可以延拓到+∞,但向左方只能延拓到0,且当0x →时积分曲线上的点
(,)x y 趋向于区域G 的边界上的点.
例3 考虑方程
),()(22y x f a y dx
dy
-=,假设(,)f x y 和),('y x f y 在xoy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.
证明 根据题设,易知方程右端函数在整个xoy 平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.又y a =±为方程在(,)-∞+∞上的解,由延拓定理可知,对00,||x y a ?<,满
足00)(y x y =的解()y y x =应当无限远离原点,但是,由解的唯一性, ()y y x =又不能穿过直线y a =±,故只能向两侧延拓,而无限远离原点,从而解应在(,)-∞+∞存在.
注: 如果函数(,)f x y 于整个xoy 平面上定义、连续和有界,同时存在关于y 的一阶连续偏导数,则方程(3.1)的任一解均可以延拓到区间x -∞<<+∞.
练习 试证对任意0x ，0y ，方程1
2
2
2
++=y x x dx dy 满足初始条件00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.
§3 解对初值的连续性和可微性定理
在初值问题?????==)()
,(00x y y y x f dx dy
中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再去讨
论方程
),(y x f dx
dy
=经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量x ,还依赖于初值00(,)x y .例如：
y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得00x x e y y -=.很显
然它是自变量x 和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题?????==)()
,(00x y y y x f dx dy
的解记为
),,(00y x x y ?=,它满足0000(,,)y x x y ?=.
当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.
1、解关于初值的对称性
设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ?=,则在此关系式中, (,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式
证明 在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点1x ,显然
1100(,,)y x x y ?=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,
即此解也可写为
并且,有0011(,,)y x x y ?=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ?=对该积分曲线上的任意点均成立. 2、 解对初值的连续依赖性
由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：
引理：如果函数(,)f x y 于某域D 内连续，且关于y 满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为L ），则对方程（3.1）的任意两个解()x ?及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式
0||00|()()||()()|L x x x x x x e ?ψ?ψ--≤- （3.17）
其中0x 为所考虑区域内的某一值.
证明 设()x ?, ()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令
则
于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ?ψ?ψ''≤=--≤
从而
2(())0Lx d
V x e dx
-≤ 所以,对0[,]x a b ?∈,有
对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤,则方程(3.1)变为
而且已知它有解()y t ?=-和()y t ψ=-.
类似可得02()00()(),L x x V x V x e a x x -≤≤≤
因此, 02||00()(),,L x x V x V x e a x b a x b -≤≤≤≤≤ 两边开平方即得(3.17).
利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性： 解对初值的连续依赖定理
假设),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件，如果00(,)x y G ∈，初
值问题?????==)()
,(00x y y y x f dx dy
有解00(,,)y x x y ?=，它于区间b x a ≤≤上有定义(0a x b ≤≤),则对任
意0>ε， (,,)0a b δδε?=>，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,方程(3.1)满足条件
00()y x y =的解00(,,)y x x y ?=在区间b x a ≤≤上也有定义，并且有
0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ??ε-<≤≤.
第六章 非线性微分方程和稳定性 在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. §6.1 引言 考虑微分方程 (,)d f t dt =x x (6.1) 其中函数(,)f t x 对n D R ∈?x 和t ∈(-∞,+∞)连续，对x 满足局部李普希兹条件. 设 方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是：当01x x -很小时，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ?-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)T n x x =x 的范数取1 221 ()n i i x ==∑x . 如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念. 如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>，使得只要0x 满足
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论 与定性理论阶段 3、常微分方程解析理论阶段：19世纪 19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。 级数解和特殊函数 这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数. 常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程. 222 ()0x y xy x n y '''++-= 其中参数n 和x 都可以是复的. 对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20 ()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-? 1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式 11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+= 和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式. 后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。 解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2 (1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到
带有时滞的动力系统的运动稳定性 分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。 直接法的基本定理 一、Понтрягин定理 要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ>， 这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。 对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程1 10n n n P P λλ -+++=。 在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。 但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统 1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ>
（1） 概念 微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如： 一阶：2dy x dx = 二阶：220.4d s dt =- 三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+= 一般n 阶微分方程的形式：()() ,,,,0n F x y y y '=。这里的()n y 是必须出现。 （2）微分方程的解 设函数()y x ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上， ()()()(),,0n F x x x x ?????'≡???? 则()y x ?=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。 注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。 函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。 导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。 导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。 函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()0 0lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。 左连续：()() ()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。 右连续：()() ()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。 在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。 函数在0x 点连续?()()()()000 0lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0 lim x x f x →极限存在
第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则
《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方
向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）
第七节 二阶常系数线性微分方程 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线 性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求 22dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝ 0 (7.1) 其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２ 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解， 从方程的形式上来看，它的特点是22 dx y d ，dx dy ，y 各乘 以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，
其22dx y d ，dx dy ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函 数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数e rx y ＝e rx (其中r 为待定常数) 将y ＝e rx ，dx dy ＝re rx ，22dx y d ＝r 2e rx 代入方程 (7.1) 得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx ＝ 0 或 e rx （r 2＋pr ＋q ）＝ 因为e rx ≠ 0 r 2 ＋pr ＋q ＝ 由此可见，若 r r 2＋pr ＋q ＝ 0 (7.2) 的根，那么e rx 就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1) 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2 有三种可能的情况，下面 (1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r １，r 2，此时e r １x ，e r2x 是方程(7.1)
第四讲 微分方程解的稳定性 上一讲，我们利用最大值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个方程，一个是状态变量的转移方程，另一个是欧拉方程。这两个方程构成了包含状态变量和控制变量的二元一次方程组。 []δα--=-) ()()()()(1 t k t c t k t k t k []δραα--=-1 )() ()(t k t c t c 这个方程组是一个非线性微分方程组，一般情况下，非线性方程组不存在解析解，即方程组的解不能用初等函数来表示。因此，他们的性质需要借助其他方法来了解。 微分方程：变量为导数的方程叫做微分方程。 常微分方程：只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。 偏微分方程：有两个或两个以上自变量的方程叫做偏微分方程。 微分方程的阶：微分方程中变量的导数最高阶叫做方程的阶。 线性方程：方程的形式是线性的。 例如，方程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a 是一个二阶线性常微分方程。 又如，索洛－斯旺模型的基本方程是一个非线性方程： ())()()(t k t k s t k ?-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分方程组的解： []δα--=-) ()()()()(1 t k t c t k t k t k []δραα--=-1 )() ()(t k t c t c 一、 一阶微分方程 一阶微分方程可以用下面的方程表示 ),(y x f dx dy = (1.1) 其中，函数R R R f →?:是连续可微函数。 最简单的微分方程是
)(x f dx dy = (1.2) 它的解可表示为不定积分： ?+=c dx x f y )( (1.3) 其中，?dx x f x F )()(＝表示任意一个被被积函数，c 为任意常数。当然，我们也可以确定任意一个被积函数，例如，令??x dt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定 积分可表示为 ?+x c dt t f y 0)(＝ 这时，不定积分仍然代表无穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上面微分方程的解就是 ?+x y dt t f y 00)(＝ (1.4) 二、 常见的一阶微分方程解法 1． 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的一般形式为 )()(x g y x p dx dy =+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。 为求解线性微分方程，在方程的两边同乘以?x dt t p 0)(ex p , 则方程的左边为 dx dt t p y d y dt t p x p dt t p dx dy x x x ??? ???= ?+???0 00)(exp )(exp )()(exp 所以 ??? ??=??? ?????x x dt t p x g dx dt t p y d 00)(exp )()(exp (2.2) 方程(2.2)的解为 ?? ????+? ?? ????? ??-=???c dt t p x g dt t p y x x x 000)(exp )()(exp (2.3) 2. 可分离变量的微分方程
目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)
二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换
METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程
摘要 本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- 的平衡点1 x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性
Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1 x=of the following delay single population model ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity
二阶常微分方程解
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第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其
22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。
第5章定性和稳定性理论简介 在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时) 一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳 定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零 解的稳定和渐近稳定性。 二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分 方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程：
1．稳定性的定义 考虑微分方程组 (,)dx f t x dt = （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈?和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。 设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x = 。 现在的问题是：当01x x -很小是，差 0001(,,)(,,) x t t x t t x ?-的变化是否也很小？本章向量1 2 (,,,)T n x x x x = 的范数取 1 221n i i x x =?? = ? ?? ∑。 如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。 定义 5.1 如果对于任意给定的0 ε>和00t ≥都存在0(,)0 t δδε=>, 使得只要 01x x δ -<，就有 0001(,,)(,,)x t t x t t x ?ε -< 对一切0t t ≥成立，则 称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是稳定的。否则是不稳定的。 定义5.2 假定01(,,)x t t x ?=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要 011x x δ-< ，就有 0001l i m ((,,) (,,))0t x t t x t t x ?→∞ -= ，则称 （5.1）的解01(,,)x t t x ?=是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ?=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,) x t x t t x =01()(,,)t t t x ??=作如下变量代换. 作如下变量代 换.
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )
二阶常微分方程解 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 § 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 2 2dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝0 其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它 的特点是2 2dx y d ，dx dy ，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，其2 2dx y d ，dx dy ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程的特解，在初等函数中，指数函数e rx ，符合上述要求，于是我们令 y ＝e rx (其中r 为待定常数)来试解
将y ＝e rx ，dx dy ＝re rx ，2 2dx y d ＝r 2 e rx 代入方程 得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx ＝0 或 e rx （r 2 ＋pr ＋q ）＝0 因为e rx ≠0，故得 r 2＋pr ＋q ＝0 由此可见，若r 是二次方程 r 2＋pr ＋q ＝0 的根，那么e rx 就是方程的特解，于是方程的求解问题，就转化为求代数方程的根问题。称式为微分方程的特征方程。 特征方程是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程有两个不相等的实根r １，r 2，此时e r １x ，e r2x 是方程的两个特解。 因为 x r x r 2 1e e ＝e x )r r (21-≠常数 所以e r1x ，e r2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程的通解为 y ＝C 1e r1x ＋C 2e r2x (2)若特征方程有两个相等的实根r 1＝r 2，此时p 2－4q ＝0，即 有r 1 ＝r 2 ＝2 p -，这样只能得到方程的一个特解y １ ＝e r １x ，因此，我
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)