第二章_语音产生的声管模型(幻灯讲义)_846509518

图 2-3（a）是一个长度为 l ，面积为 A 的均匀声管，我们考虑其中的一个无限小的立方 体，如图（b）所示。
3
参考方向x轴
Δx
P
P + ΔP
V + ΔV
V
x轴
ΔS
x
x + Δx
图 2-3(b)
声管中的小立方体
4
在图 2-3(b)中， Δx 表示立方体的边长， ΔS 表示正方体的侧面积。 v 、 v + Δv 表 示声速， p 、 p + Δp 表示空气压强。 根据牛顿第二定律： F = ma （以 x 轴的正方向为参考方向）
Δt → 0 Δv → 0
Δm ( x , t ) m ( x , t + Δt ) − m ( x , t ) = Fra Baidu bibliotek ⋅ lim Δt → 0 ΔV ⋅ Δt ΔS ⋅ Δx ⋅ Δt Δx → 0
= K ⋅ lim
由此推出
− ρv ( x, t ) ⋅ [v( x + Δx, t ) − v( x, t )]⋅ ΔS ⋅ Δt Δx → 0 ΔS ⋅ Δx ⋅ Δt Δt → 0
1 ∂ 2 v ( x, t ) ∂ 2 v ( x, t ) = 2⋅ C0 ∂t 2 ∂x 2
分离变量法来求解。 例如：用分离变量法 v ( x, t ) 的通解为
（6）
[注] 方程式（5） （6）是一个 Laplace 方程（二维偏微分方程） 。在直角坐标系中可以用
v ( x , t ) = f ( x ) ⋅ g (t )
令 μ k −1 =
（反射系数）
⇒
14
1 ⎧ + + − ⎪ vk −1 (t − τ ) = 1 + μ ⋅ vk (t ) − μ k −1 ⋅ vk (t ) k −1 ⎪ ⎨ ⎪ − 1 + − ⎪vk −1 (t + τ ) = 1 + μ ⋅ − μ k −1 ⋅ vk (t ) + vk (t ) k −1 ⎩
(7)
[
]
(8)
10
在这里 V + 是入射波， V − 是反射波。 [注] 比照无损传输线方程：
∂i ( x, t ) ⎧ ∂u ( x, t ) ⎪ ∂x = − L ∂t ⎪ ⎨ ⎪ ∂i ( x, t ) ∂u ( x, t ) ⎪ ∂x = −C ∂t ⎩
⇒ L ， C 为单位长度的分布电感及分布电容
下面我们推导第二个方程。对于理想气体温度恒定时： 有关的常数）
5
（1）
P
ρ
= K 。 K 是一个与温度 （
ρ ( x , t + Δt ) − ρ v ( x , t ) ∂p ( x, t ) ∂ρ ( x, t ) = K ⋅ lim v =K⋅ v Δt → 0 ∂t ∂t Δt
= K ⋅ lim
公式（2）可以写成：
6
（3）
∂v( x, t ) ∂p ( x, t ) A =− ⋅ 2 ∂x ρ ( x, t )C0 ∂t
（4）
ρ ∂v ∂p =− ⋅ A ∂t ∂x
∂v A ∂p =− ⋅ ∂x ρC02 ∂t
p-压强 v-速度
∂u ∂i = −L ⋅ ∂t ∂x ∂i ∂u = −C ⋅ ∂t ∂x
⎧ vk −1 (l , t ) = vk (0, t ) ⎪ ⎨ ⎪ p (l , t ) = p (0, t ) k ⎩ k −1
令 τ = l / C0 ,由公式（7） （8） ⇒
⎧ + − ⎪vk −1 (t − τ ) − vk−−1 (t + τ ) = vk+ (t ) − vk (t ) ⎪ ⎨ ⎪ ρC0 + ρC0 + − − ⎪ A vk −1 (t − τ ) + vk −1 (t + τ ) = A vk (t ) + vk (t ) k ⎩ k −1
第二章 语音产生的声管模型
1. 语音的产生原理
说话人发音时气流以很高的速度通过声门激励声带振动，从而使声道中的空气振 动。这个振动通过声道传播到嘴唇并且辐射到空气中去就产生了语音。空气中的音频振 动激励耳膜刺激听觉神经并传至大脑，人就可以听到声音。 以上这个简单的发音和听音过程，涉及了现在常说的语音（发音）的产生模型和语 音的听觉模型。在这一章节中我们只讨论语音的产生模型。在语音信号处理中，常用图 2-1 这个模型来描述语音信号的产生过程。
[
]
(11)
[
]
(12)
15
1 ⎡Vk+ ( s)⎤ ⎡ 令： Vk ( s ) = ⎢ − ⎥ ， Qk ( s ) = ⎢ − 2 sτ ⎣ − μ k ⋅e ⎣Vk ( s) ⎦
则得:
− μk ⎤ e − 2 sτ ⎥ ⎦
Vk −1 ( s) =
e sτ ⋅ Qk −1 ⋅Vk ( s ) 1 + μ k −1
第k − 1段声管
l
第k段声管
l
v k −1 (l , t )
vk (0, t ) pk (0, t )
pk −1 (l , t )
图 2-4
第k
− 1 段和第 k 段声管级联
12
设：声道是由 M 段长度为 l 的均匀声管组成。在第 k − 1 段和第 k 段声管的连接处 压强 p 和速度 v 相等，即：
V1 ( s ) = VG ( s ) −
根据（7） （8）式得：
P ( s) 1 ZG
⇒
VG ( s ) = V1 ( s ) +
P ( s) 1 ZG
17
VG ( s ) = V1+ ( s ) − V1− ( s ) + =
Z1 + V1 ( s ) + V1− ( s ) ZG
[
]
（14）
⇒
⎧ f ( x) = e ± k1 x = e ± kx 2 / C 0 ⎪ ⎨ ⎪ g ( x) = e ± k 2 t ⎩
（5） （6）两式解的形式为
⎧ + − ⎪ v( x, t ) = v (t − x / C0 ) − v (t + x / C0 ) ⎪ ⎨ ⎪ ρC0 + − ⎪ p ( x, t ) = A v (t − x / C0 ) + v (t + x / C0 ) ⎩
,
k = 2,L M
(13)
这里的编号 M 是靠近嘴唇端的声管，靠近声门端声管的编号为 2。
16
下面考虑声门端的类比电路，来推导 V1 ( s ) 。
V1 ( s )
P1 ( s )
VG (s )
ZG
图 2-5 喉端等效电路示意图
声门处的声速 V1 可以被认为是声激励 VG 减去声压造成的声速，这一点从图 2-5 可 以看出。所以：
∂v( x, t ) ∂p ( x, t ) = − K ⋅ ρ v ( x, t ) ⋅ ∂t ∂x
2 设 K = C0 ，并定义线密度 ρ ( x, t ) =
（2）
ρ v ( x, t ) ⋅ A
则上面的公式（1）可以写成：
ρ ( x, t ) ∂v( x, t ) ∂p ( x, t ) =− ⋅ ∂x A ∂t
Av 周期脉冲 发生器 声门脉冲 模 型 G (z) 声道模型 H (z) 随机噪声 发生器 Au 辐射模型 R(z)
S (n ) 声道参数
图 2-1 语音的产生模型
1
2. 非均匀声管模型
人的发声器官由三部分组成：喉、声带和嘴唇及鼻腔。为了便于理论研究，人们把 发音器官用一种物理模型加以描述，这就产生了声管模型。从声门到嘴唇的声道系统可 以看成是一段面积不均匀的管子。如图 2-2 所示。
Z − ZG − Z1 + Z G + V1 ( s ) + 1 V1 ( s ) ZG ZG
+ Z1 − Z G ⎤ ⎡V1 ( s )⎤ ⎥ ⎥⋅⎢ Z G ⎦ ⎣V1− ( s ) ⎦
⎡ Z + ZG =⎢ 1 ⎣ ZG Z1 − Z G Z1 + Z G
其中： μ G = −
18
把唇外的空间看成是一段无限长的第 M + 1 段声管，所以唇端处无反射：
与式（3） （4）可作类比：
p⇔u
v⇔i
，
A ⇔C ρC02
，
ρ
A
⇔L
，
ρC0
A
⇔
L C
(特征阻抗)
以后我们就可以直接利用传输线电路的结论直接写出声管模型中压强和速度的关系。
11
4. 声管模型的级联
为了得到声管级联时的传输函数， 下面考虑语音声管模型级联时的边界条件。 2-4 图 为第 k − 1 和第 k 段声管级联示意图。
由（4）式对 t 求偏导数可得：
∂ 2 p ( x, t ) A ∂ 2 v ( x, t ) ⋅ =− ∂t 2 ρ ( x, t )C02 ∂x∂t
由以上两个式子可以得到：
1 ∂ 2 p ( x, t ) ∂ 2 p ( x, t ) = 2⋅ C0 ∂t 2 ∂x 2
同样地，由（4）式对 x 求偏导数可得：
图 2-2 非均匀声管模型
2
3. 均匀声管模型
语音的声管模型就是把不均匀的声道用若干个均匀的声管来近似。 把声道看成是由 若干段不同面积的声管串联组成的。通过研究每个声管的传输特性，从而得出整个声道 的传输函数。——这就是研究声管模型的目的。 最简单的均匀声管模型，如图 2-3(a)所示。
图 2-3(a) 均匀声管
[
]
(9)
[
]
(10)
若设 Z k = ρC0 / Ak （声阻抗） ，则 μ k −1 可以写成
μ k −1 =
Z k −1 − Z k Z k −1 + Z k
对（9） （10）两式求 Laplace 变换得：
1 ⎧ + − sτ + − ⎪Vk −1 ( s) ⋅ e = 1 + μ ⋅ Vk ( s) − μ k −1 ⋅ Vk ( s) k −1 ⎪ ⎨ ⎪ − 1 + sτ + − ⎪Vk −1 ( s) ⋅ e = 1 + μ ⋅ − μ k −1 ⋅ Vk ( s ) + Vk ( s) k −1 ⎩
Q 作用于小立方体空气上的合力
F = p ⋅ ΔS − ( p + Δp ) ⋅ ΔS = −ΔS ⋅ Δp
∴
− ΔS ⋅ Δp = m
∂v ∂v = ρ v ⋅ ΔS ⋅ Δx ⋅ ∂t ∂t
在这里 ρ v 是空气的体密度。 令 Δx → 0 得：
∂p ( x, t ) ∂v( x, t ) = − ρv ⋅ ∂x ∂t
[
]
[
]
⇒
13
⎧ + 1 ⎡ Ak + Ak −1 + A − Ak − ⎤ ⋅ vk −1 (t ) + k −1 ⋅ vk (t )⎥ ⎪vk −1 (t − τ ) = ⋅ ⎢ 2 ⎣ Ak Ak ⎦ ⎪ ⎪ A − Ak −1 − ⎤ A + Ak −1 ⎡ + ⎪ = k ⋅ ⎢vk (t ) − k vk (t )⎥ 2 Ak Ak + Ak −1 ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎨ ⎪ − 1 ⎡ A − Ak + A + Ak − ⎤ ⋅ vk (t ) + k −1 ⋅ vk (t )⎥ ⎪ vk −1 (t + τ ) = ⋅ ⎢ k −1 2 ⎣ Ak Ak ⎦ ⎪ ⎪ ⎤ A + Ak −1 ⎡ Ak − Ak −1 + − ⎪ = k ⋅ ⎢− vk (t ) + vk (t )⎥ ⎪ 2 Ak ⎣ Ak + Ak −1 ⎦ ⎩ Ak − Ak −1 Ak + Ak −1
⎡V + ( s )⎤ ⎡V ( s)⎤ ⎡1⎤ VM +1 ( s ) = ⎢ M +1 ⎥ = ⎢ L ⎥ = ⎢ ⎥ ⋅ VL ( s ) ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦
综合以上结果可得：
⎡ 2 VG ( s ) = ⎢ ⎣1 + μ G − 2μ G ⎤ ⎥⋅ 1 + μG ⎦ 1 ⎡ ⋅⎢ − μ1e −2 sτ ∏ (1 + μ k ) ⎣
u-电压 i-电流
ρ / A -声感 A /( ρC 2 ) -声容
L -电感 C -电容
表 2.1 声管和传输线方程的类比
当 ρ (x,t ) 随 x ， t 变化很小时，可将 ρ ( x, t ) 看成常数，这是一种合理的近似。此时： 由（3）式对 x 求偏导数可得：
7
∂ 2 p ( x, t ) ρ ( x, t ) ∂v 2 ( x, t ) =− ⋅ ∂x 2 A ∂t ⋅ ∂x
代入式（6）得：
f ′′( x) 1 g ′′(t ) =常数 = ⋅ f ( x) C0 g (t )
（Q方程式的两边一边是 x 的函数，另一边是 t 的函数）
9
⇒
⎧ f ′′( x) 2 ⎪ f ( x) = k1 ⎪ ⎨ ⎪ g ′′(t ) 2 ⎪ g (t ) = k2 ⎩
2 2 ， 其中 k12 = k 2 / C0 ⇒ k1 = ± k2 / C0
（5）
A ∂ 2 v ( x, t ) ∂ 2 v ( x, t ) =− ⋅ ρ ( x, t )C02 ∂t ⋅ ∂x ∂x 2
由（3）式对 t 求偏导数可得：
ρ ( x, t ) ∂v 2 ( x, t ) ∂ 2 p ( x, t ) =− ⋅ A ∂t 2 ∂x ⋅ ∂t
8
由以上两个式子可以得到：