数学活动拼图与分解因式(一)
随着数字世界的不断扩大，数学作为一种基本技能，更受到青少年和家长的关注。为了帮助孩子们更好地理解和学习数学知识，许多教育机构和学校推出了各种有趣的数学活动，其中包括数学活动拼图和分解因式。
数学活动拼图
数学活动拼图是一种令人兴奋的数学益智游戏，它的目标是让孩子们更加深入地理解数学概念并加强他们的逻辑推理和协作能力。这种游戏通常包括数学拼图和数学迷宫等多种形式，可以单独进行或结合在一起进行，以帮助孩子们学习不同类型的数学问题。
数学拼图主要用于培养孩子们在团队中合作的能力，同时也可以让他们解决不同类型的数学题目。这种游戏需要孩子们结合他们的逻辑思维和空间想象力，将看似不相关的图形组合在一起，从而形成一个完整的图形。这种游戏不仅可以发展孩子的数学技能，还可以增强他们的态度和情感方面的能力，如耐心、紧张、协作和自动调节等。
数学迷宫则是一种用于提高孩子们推理能力的数学游戏。在迷宫中，孩子们需要使用他们的逻辑思考和时刻保持清醒以避免犯错。在迷宫中，孩子们必须一步一步地规划并走出一条明确的路径，并找到其中的正确解决方案。这种游戏可以让孩子们深入了解数学问题的本质，并提高他们的保持注意力和减少犯错的能力。
拼图和迷宫是两种特别有效的数学游戏，它们可以加速孩子们在某些数学问题上的学习速度，提高他们的语言和计算能力。当然，如果孩子们在学习时遇到任何问题，教育机构和家长可以通过各种培训和辅
导方式帮助他们。
更多类型的数学游戏可以帮助孩子们发现数学的乐趣，同时加强他们
在数学学习中的自信心。最后，当孩子们真正学会了探索数学之美时，他们将会更有信心，更有自信，迎接未来的挑战。
分解因式
分解因式是数学中的一个重要概念，它有助于孩子们理解代数和几何
等不同数学学科之间的联系。在数学学科中，分解因式可以帮助孩子
们更清晰地理解各种数学公式和方程式，尤其是在数学的进一步学习中。
分解因式可以被视为一种拆解和重新组合数学表达式的过程。在这个
过程中，孩子们可以用书写和统计的方法来加深他们对不同数学概念
的理解。有效地理解分解因式概念对于理解难度较高的数学问题非常
有用。此外，在进行这种过程时，孩子们也可以提高他们的逻辑思维
和求解的能力。
分解因式是数学中很重要的一部分，是数学和其他学科中唯一需要掌
握的基本内容之一。因此，许多教育机构和家长都鼓励孩子们参加这
种类型的数学课程和培训，以提高他们的数学知识并成为一个更好的
数学学习者。
总结
数学活动拼图和分解因式需要孩子们在教育机构和家庭方面获得的掌
握的数学技能，这些技能包括逻辑思维、计算和空间想象力。这两种
游戏都可以帮助孩子们加强他们的乐趣和兴趣，并在日常生活中提高
他们的数学应用能力。不论是数学活动拼图还是分解因式都还是可以
积极参与学习的。
当然，除了适当的掌握数学技能外，孩子们还应积极参与教育促进和
包容的社会环境中，以创造一个适合学习数学的氛围。因此，我们非
常鼓励教育机构和家长一起让孩子们学习这些有趣和有益的数学知识，共同推进孩子们的教育和发展。
第十讲因式分解（一） 一．定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种代数式变形就叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 分解因式与整式乘法互为逆变形。 二．意义 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。 因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 三．要点 因式分解要注意一下五点： （1）因式分解的对象是多项式； （2）其结果必须是整式的乘积； （3）不能混淆因式分解和整式乘法； （4）要分解到不能分解为止； （5）因式分解结果的唯一性。 四．因式分解的数域范围 因式分解的范围通常都是在有理数域上进行的，即分解的结果里面只能含有有理数。
五．书写惯例 （1）因式分解的结果中有如果有一个单项式，通常要放在最前面，如： ()2 32 -+=-是不符合惯例的； a a a a a 442 （2）整式的乘积中如有相同的因式，要写成幂的形式，如： ()() 32 a a a a a a -+=--是不符合惯例的； 4422 （3）首项的系数是负数时，要提出负号置于最前面，如： ()() 2111 -+=---是不符合惯例的。 x x x 六．基本方法 1．提公因式法 首先，什么叫做公因式呢？各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。这个公因式可以是单项式，也可以是多项式。 定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将一个多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数； （2）字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的； （3）取相同的多项式，多项式的次数取最低的； （4）正确找出多项式提出最大公因式后剩余的项； 注意： （1）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号； （2）区分公因式和最大公因式的区别； （3）思考因式分解和分解质因数的关系。
教学目标 1、经历不同的拼图方法加深对因式分解、整式的运算和面积等的认识 2、通过验证过程中数与形的结合,体会数形结合的思想,以及数学知识之间的内在联系,获得成功的体验和克服困难的经历,增强对数学学习的兴趣。 学情分析 经过这一段时间的学习,学生们基本掌握了因式分解的基本方法,对于因式分解的方法有了一定的了解,但是对于部分二次三项式的分解,课本上的方法将无法解决。所以本节课将通过动手操作的方法使学生们全面了解因式分解,更加深入的了解分解因式是怎样一个过程。对于七年级的学生已经具备了一定的归纳总结能力,在教师的引导下对本章内容在脑海中形成一个知识体系,并能在实例子中综合运用对于他们来说并不困难。 重点难点 教学重点:通过拼图活动巩固整式乘法和因式分解的有关知识. 教学难点:从具体问题到建立数学模型,通过拼图活动探究一些二次三项式的因式分解. 【导入】一、创设情景，导入新课 1.拼图小游戏 【设计意图】感受生活中的图形美,启发学生的数学思维,为下面较复杂的拼图打下基础. 2.情景再现 ,感受“数”、“形” 在我们身边随处可见各种各样的图形,当我们在欣赏他们的时候,一方面得到美的享受,另一方面会引发数学的思考. 【活动】二、由形到数，突显特征 活动1:请你选取适当数量的3种硬纸片,拼成一个长为(a+2b)、宽为(a+b)的长方形. 你发现图中隐含的等式了吗?请将它写下来. 活动2:请你选取适当数量的3种硬纸片,拼成一个长为(a+3b)、宽为(a+b)的长方形. 你能得出一般拼图的方法吗? 请结合图形解释你得到的等式. 这个图形是由两个边长为b的正方形,一个边长为a的正方形,三个长为a,宽为b的长方形组成的长为(a+3b)、宽为(a+b)的长方形. 上面的两个等式分别反映了整式的乘法和多项式的因式分解. 我们发现通过拼长方形可以帮助我们进行整式的乘法运算,还可以帮助我们进行多项式的因式分解.对于整式的乘法可以脱离拼图借助法则实现,但是对于我们不熟悉的多项式,我们可以借助拼图实现因式分解吗? 活动3:请你选取适当数量的3种硬纸片,将它们拼成一个长方形,并且使得所拼长方形的面积分别为3a2+4ab+b2. 【设计意图】熟悉的知识用不同的方法解决,向学生渗透了一题多解的解题思路,同时无意识的带领得到了用拼图因式分解的方法,让学生充分体验了思维的乐趣,进一步促发了学习的积极性.
用“数形结合思想”再认识整式乘法与因式分解 教学设计与课后作业 【教学目标】 1. 理解用不同方法求同一个图形的面积可以得到或验证某些等式； 2. 掌握画图与拼图的方法，通过画图与拼图活动理解图形面积与整式乘法、因式分解之间的内在联系，感受数与形的对应关系，会借助图形面积完成整式乘法或因式分解； 3. 在知识的探索中，体验从特殊到一般的认识事物的方法，培养观察、归纳、概括的能力； 4. 在知识的探索、运用和解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法，发展几何直观； 5. 感受数学文化美，学会和他人合作和交流，体会成功的快乐，提升学习数学的兴趣。 教学重点：准确并熟练地借助画图与拼图解决整式乘法与因式分解 教学难点：数形结合思想的渗透 教学准备： A 型纸片（边长为a 的正方形）、 B 型纸片（边长为b 的正方形）、 C 型纸片（长为a 、宽为b 的长方形）各若干张. 教学过程： 板块一、回顾从图形面积到整式乘法 【问题1】 （独立思考） 设计意图：该问题选自学生练习中的常见错误，从易错点引入本课教学，激发学生对直观方式的渴求。 【问题2】如图，从整体上，正方形的面积可表示为 ，从部分上，它的面积可以表示为 ，于是可以得到整式乘法公式 。 （独立思考后同伴说说） 设计意图：回顾新课中用不同方法表示同一个图形的面积，可以得到（或验证）一些有用的等式、法则、公式，为后续探究做好准备。 【问题3】我们知道，代数式(a+b)2 的代数意义是a 与b 和的平方，那么它的几何意义是什么？ （独立思考后同伴说说） 设计意图：明确代数式的几何意义是画图解决问题的前提，引导学生该代数式认识表示边长为a+b 的正方形的面积，从而促进借助画图法求解计算结果的水到渠成。其中，教师可在此时板演画图方法：根据图形边长先画出外部整体轮廓，再勾勒纵横线条形成组成部分，最后根据各部分面积写出整式乘法结果。 【问题4】你能说出代数式(a+b+c)2 的几何意义吗? 再通过画图直接写出它的结果。 （独立完成后同伴互帮） 【问题5】你能说出代数式 (2a+b ) (a+b)的几何意义吗? 再通过画图直接写出它的结果。 （独立完成后同伴互帮） 设计意图：这两个问题的设计是对问题3的延续，有巩固作用，更有层次递进关系，也体现从 吗？ 等于吗？等于))(()()(2222b a b a b a b a b a -++++
数学活动《拼图公式》 一、教材分析 在已经学习乘法公式的基础上，感受拼图方法的重要性。从而利用拼图的方法进行二次三项式的因式分解，将准备好的三种类型的卡片若干张，拼成正方形或长方形，就能利用面积的关系建立等式，从而将二次三项式进行因式分解。让生感受通过拼图操作、交流合作能进行有效学习，进一步体悟从具体问题到建立数学模型的数学思想。 二、教学目标 1．通过拼图，探索拼图与整式的因式分解之间的内在关系，体会数形结合的思想方法，发展几何直观和推理能力。 2．经历从具体问题抽象出数学问题——建立模型——综合运用已有知识解决问题的过程，获得一些研究问题与合作交流方法与经验。 3．通过丰富有趣拼图活动增强对数学学习的兴趣。 4．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。 三、教学重点、难点 重点：1.通过丰富有趣的拼图活动,能理解用三种类型的卡片拼成正方形或长方形，就能将二次三项式进行因式分解。 2.增强对数学知识的应用及理解。 难点：从具体问题到建立数学模型，体会数形结合的数学思想方法。 四、教学方法及思路 利用动手操作活动,让学生亲身参与，由此来引导学生对问题的思考，并逐步掌握解决问题的方法，从而学会用拼图法进行二次三项式的因式分解。 五、教学准备各种正方形和长方形卡片，多媒体或投影 六、教学过程 （一）问题情境 观察图形，回顾在学习乘法公式时是怎样确定图形的面积，怎样推导计算的呢？ 从整体看，将图形看成是一个大的正方形，则面积是()2b a+； 从局部看，将图形中各个部分加在一起，则面积是 2 22b ab a+ +；
从而得到: 2 2 22 ) (b ab a b a+ + = + （二）操作思考，合作交流 【师】请你选取适当数量的3种硬纸片，拼成一个正方形。从整体和局部两方面列出表示面积的式子。 （1）用1张A型卡片，1张B型卡片，C型卡片2张,此时正方形的边长是_______,面积是_______。 【师】引导生选卡片，巡视小组活动，参与小组拼图 【生】小组交流，上台展示结果，并写出表示面积的等式 （2）用1张A型卡片，4张B型卡片，C型卡片4张。此时正方形的边长是_____,面积是_______
实验9 拼图 实验目的： 通过拼图活动，探索拼图与因式分解之间的内在联系，经历操作、观察、思考、交流等活动过程，体会数形结合的数学思想方法。 实验准备： A 型纸片（边长为a 的正方形）， B 型纸片（边长为b 的正方形）， C 型纸片（长为a 、宽为b 的长方形）各若干张。 实验内容与步骤： 1、利用若干张A 型、B 型、C 型纸片，拼成长方形或正方形，要求每两个之间无缝隙也不能重叠。 （小组合作完成，精选三组展示：一组是有公因式的，一组是完全平方式，还有一组是二次三项式。） 2、用代数式表示黑板上展示的长方形或正方形的面积。（两种方式，局部看和整体看。）学生口答，教师板书在拼图下方，左边写多项式，右边写乘积形式，因为都表示同一个图形的面积，所以两代数式相等，而等式从左到右的变形是因式分解。（复习因式分解的概念。） 三个因式分解的方法分析，提公因式法和完全平方公式因式分解已经学过，对于二次三项式的因式分解，显然通过拼图的方法已经得以解决。下面我们一起尝试这种方法。 活动二：数形结合，突显特征。 用拼图的方式，直接写出下列多项式因式分解的结果：（选4个，学生做在A 本上。（1）学生板演，（3）自己完成；（4）学生板演，（6）自己完成。） （1）2223b ab a ++ （2）2234b ab a ++ （3）2265b ab a ++ （4）2243b ab a ++ （5）22352b ab a ++ （6）22252b ab a ++ 学生板演时引导总结出三步骤：一选，二拼，三写。 活动三：开放探究，提炼方法。 请你任意写出一个关于a 、b 的二次多项式，让同伴用若干块所提供的硬纸片拼成一个长方形，使这个长方形的面积可以用这个多项式表示，要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，根据拼图结果，写出该多项式的因式分解结果。(小组合作交流，展示结果。) 若学生交流展示中有无法因式分解的多项式出现，正好借机利用，追问，如何修改多项式的一项的系数使之能因式分解，有哪些可能性？ 若学生没有出现这样的情况，老师求助提问，226y xy x ++如何因式分解，学生尝试之后回答不能因式分解，因为无法拼成长方形或正方形。要求修改2y 前的系数，使之能因式分解，并写出因式分解的结果。尝试有哪些可能性？ 小结：多项式是任意写的吗？如何确保能因式分解？两种方法：先拼长方形，再根据长方形面积写多项式；先写因式分解结果，再整式乘法拆成多项式。 若学生在展示时出现十字相乘法因式分解的缩影，则乘机抓住分析，对于二次项系数为1的二次多项式如何因式分解，有何更简洁有效的方法？
“拼图·整式乘法·因式分解”教学设计 一.教学目标： 1.通过拼图认识乘法公式的几何解释，进一步领悟数形结合思想。 2.通过拼图感悟因式分解的几何解释，进一步体会整式乘法与因式分解之间的内在联系。 二．教学重点、难点 1.重点：通过对图形面积的二次算法的理解，建立公式的模型。 2.难点：图形的不同拼法，但是对应的线段长度是不变的，这个在操作过程中需要加强 理解。 三．教学方法：数形结合思想，逆向思维，动手操作，问题串 四．教学流程 （1）出示教学目标 （2）问题串给出：问题1：整式乘法和因式分解的关系怎样？ 问题2：能用所给图形拼出一个长方形，通过面积的不同算法来表示单 项式乘多项式的运算法则吗？ 思考：这个图形能不能解释另一种数学运算。 问题3：能拼出一个图形，通过面积的不同算法来表示完全平方公式吗？ 平方差公式呢？ 思考：这个图形能不能解释另一种数学运算。 问题4：能拼出一个图形，通过面积的不同算法来表示多项式乘多项式 的运算法则吗？ 思考：这个图形能不能解释另一种数学运算。 问题5：能否通过拼图的方法帮助我们将一些整式进行因式分解呢？ （3）数学实验 （4）数学活动：用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的 方法计算面积，探求相应的等式。 问题6：你能用拼图的方法解释 提醒：想想前面的分组的方案。本质：拆项后的分组提取公因式 问题7：根据上述拼图所获得的经验，请你从1、2、3、4这四个数中选择适当的数填入代数式()()()2 2b ab a ++ 的括号中，使所得的二次三项式能够因式分解，并写出分解的结果。 （5）课堂小结：谈谈你的收获与困惑： a a b 2 22) (2b a b ab a +=++
数学活动拼图 教学目标 1．经历从具体问题抽象出数学问题——建立模型——综合运用已有知识解决问题的过程，获得一 些研究问题与合作交流方法与经验。 2．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和 有条理地思考和表达的能力， 3．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣拼的图活动增强对数学学习的兴趣。 教学重点 综合运用已有知识解决问题。 教学难点 从具体问题到建立数学模型 教学过程 一、问题情境： 用不同的方法表示下列图形的面积,你能得到什么等式? 我们可以发现:(2a+b) (a+b) =2a2+3ab+b2 二．建构活动: 1.活动材料： b a b a A B C
2．活动要求： 用若干块这样的长方形和正方形硬纸片,拼成一个新的长方形,通过不同的方法计算面积，探求相应的等式。 3．活动流程： （1）你能用若干个纸片拼出一个长为(a+2b),宽为(a+b)的长方形吗？你能得到怎样的等式呢？ （2）如果要用这些纸片若干个拼一个长为(3a+2b)，宽为(a+b)的长方形,ABC纸片各需多少块?请拼出图形。 （3）你能拼出一个面积为a2+5ab+4b2的长方形吗？ 3．讨论交流： 任意写出一个关于a、b的二次多项式，探讨能否用若干块准备好的硬纸片拼成一个长方形，使这个长方形的面积可以用这个式子表示？如不能，你认为具备什么形式的二次多项式可以表示一个长方形的面积？ （了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证的情况。教师在巡视过程中，及时指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证公式的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。） 三．巩固探究： （1）利用拼图的方法分解因式： a2+5ab+6b2 2a2+5ab+3b2 你有什么发现呢？ （2）分别选取适当数量的三种纸片，如果允许覆盖，你能拼出边长分别为a+2b,a-b的长方形吗？你能得到怎样的等式？ 游戏：各小组同学任意拼出一个长方形，然后说出自己所拼长方形的面积，让其他小组的同学说出你所拼长方形的长和宽。看看哪个组的同学速度最快。 四．拓展作业: 把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子。美国第二十任总统伽菲尔德就由这个图，由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个新的图形，如图所示，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？
《拼图-公式》教学设计 一、课题 苏教版七年级下册数学第九章《拼图-公式》的数学实验 二、教材简解 七年级的学生对整式乘法与因式分解这一块掌握的不是很好，尤其是因式分解这一块经常出错，归根结底还是对因式分解没有真正的理解，还是仅限于记忆-应用。我们老师在教育教学中常常把一些公式，结论直接传授给孩子，而忽略了和学生一起探究这些知识是怎么样得到的。 三、目标预设 知识目标：通过活动操作，得到整式乘法、图形面积、因式分解之间的关联，整式乘法和因式分解之间是通过图形面积为中间桥梁进行转化的，通过拼图活动理解整式 分解与因式分解的真正涵义。 能力目标：通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，感受数形结合的数学思想。 情意目标：经历从具体问题抽象出数学问题--建立模型--综合运用已有知识解决问题的过程，获得一些研究问题与合作交流方法与经验。 四、教学重点：经历从具体问题抽象出数学问题--建立模型--综合运用已有知识解决问题的过程，获得一些研究问题与合作交流方法与经验。通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，感受数形结合的数学思想。 教学难点：学生通过拼图操作、合作交流之后对相关知识的总结和提升。任意一个关于a,b的二次三项式，试用一个拼长方形的方法，把这个二次三项式进行因式分解的可行性的研究，既感受图形解决整式乘法和因式分解的奇妙也意识到他也有局限性。 五、设计理念 根据新课标要求，充分激发学生的学习情趣，设计生动的问题情境，从而激发学生的学习兴趣。本章内容较为简单，为增加学生的积极性，设计了游戏环节。 六、设计思路 环节一：创设情境，导入新课 环节二：由形到数，突显特征 环节三：数形结合，提炼方法
拼图与因式分解 连云港市新海实验中学殷呈琪 一、教材分析： 本实验是为人教版《义务教育教科书数学》八年级下册数学活动《拼图与因式分解》而设计的。 二、学情分析： 《拼图与因式分解》主要是为了让学生更深入地理解乘法公式与因式分解之间的关系，这部分是教学中的难点，学生难以真正理解，容易混淆，而且错误率极高。 三、实验目的： 通过拼图活动，探索拼图与整式乘法、因式分解之间的内在联系，经历操作、观察、思考、交流等活动过程，体会数形结合的思想方法，发展几何直观。 四、实验准备： 4人一组，剪刀，A型纸片（边长为a的正方形），B型纸片（边长为b的正方形），C型纸片（长为a、宽为b的长方形）若干张。 五、实验内容和步骤： 温故知新：
同学们，我们之前学习了整式乘法和因式分解，你知道它们之间有什么关系吗？ 活动一： 请你利用1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片，拼成一个正方形。并且用不同的方法表示该正方形的面积，你能获得完全平方公式：a2+2ab+b2 = (a+b) 2吗？请大家以小组为单位一起动手试试看。生可能会展示不同的拼图方法，师进行总结： 我们不难发现，两位同学的拼图方法虽然不一样，但是我们最终得到的都是一个边长为a+b的正方形，所以我们表示面积的方法是一样的，也可以得到这个完全平方公式。 【设计意图】让学生借助拼接拼图的方式，经历因式分解方法的产生过程，真正明白因式分解的算理。活动一，鉴于学生在小学已经接触过类似活动，拼图起点低，能激活学生已有的认知经验，帮助学生理解“和的完全平方公式”。 活动二：分别选取A型纸片1张、B型纸片4张、C型纸片4张，拼成一个正方形。用不同的方法表示拼得的正方形的面积，你能得到怎样的一个等式？ 生板演拼图过程，得到一个正方形，用两种不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到相应的等式。 【设计意图】借助拼图的共识，能找到相应的长方形，以此实现操作验证的本质初衷，深化对因式分解算理的再认识和数形结合的数学思想的感悟。
18．微专题：教材P153“数学活动”——拼图与因式分解 1．利用1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形和2个长为a、宽为b的长方形可拼成一个正方形(如图)，从而可得到因式分解的公式________________． 2.把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解为______________． 3．实践探究课时，老师先让同学们剪出若干张长方形和正方形卡片，如图①所示，然后选取一定种类和数量的卡片，拼成一个长方形，小明拼出的长方形如图②所示． (1)你能用两种方法表示出图②的面积吗？ (2)若a＝2，b＝0.5，按照哪种式子计算图②的面积较简便？并按该方法计算出图②的面积．
4．阅读下列文字： 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2. 请解答下列问题： (1)写出图②中所表示的数学等式________________________； (2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值； (3)图③中给出了边长分别为a和b的小正方形纸片及宽和长分别为a、b的长方形纸片． ①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2＋5ab＋2b2； ②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2＋5ab＋2b2分解因式． 即2a2＋5ab＋2b2＝____________． 参考答案与解析 1．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 2．x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2) 3．解：(1)方法一：a2＋3ab＋2b2；方法二：(a＋b)(a＋2b)． (2)用方法二计算更简便，当a＝2，b＝0.5时，(a＋b)(a＋2b)＝2.5×3＝7.5. 4．解：(1)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc (2)由(1)得a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2ab－2ac－2bc＝(a＋b＋c)2－2(ab＋ac＋bc)＝112－2×38＝45.
苏教版七年级实验手册下册实验9 拼图教学简案 实验目的： 通过拼图活动，探索拼图与整式乘法﹑因式分解之间的联系，经历操作﹑观察﹑思考﹑交流等活动过程，体会数形结合数学思想方法。 实验准备： A型纸片（边长为a的正方形），B型纸片（边长为b的正方形），C型纸片（长为a﹑宽为b的长方形）各若干张。 实验内容和步骤： 一．操作与验证 回顾推导整式乘法法则和公式几个拼图，再现整式乘法法则和公式的情境，感受“数”﹑“形”的基本联系。 二．操作与思考 活动一：已知边长拼长方形 活动目的:通过已知边长拼长方形的活动，在反复尝试的过程中，逐步感受到不同纸片的选择数量与系数之间的关系，初步形成拼图的一般方法，理解图形与所得等式的联系，完成由“形”到“数”的过程。 活动过程： 1.分别取适当数量的A型﹑B型﹑C型三纸片，拼出边长 分别为2a+b﹑a+b的长方形; (学生小组合作，上台展示) 2.师生共同探讨已知边长拼长方形的一般方法。 3.练习：分别取适当数量的A型﹑B型﹑C型三纸片，拼出边长 ①分别为a+2b﹑2a+b的长方形. ②分别为a+2b﹑2a-b的长方形. 4. 通过活动一你收获了什么？ 活动一感悟和收获： ①学会已知边长拼长方形的一般方法。 ②通过已知边长拼长方形，可以直接说出表示边长的两个整式的积。
活动二：借助拼图，探求多项式的因式分解。 活动目的:通过已知面积拼长方形的活动，对由实验观察到的现象进行分析，探求类似于“2a2+5ab+3b2 ”的二次三项因式分解的方法。 活动过程： 1.分别取适当数量的A型﹑B型﹑C型三纸片，尝试拼成一个面积为3a2+4ab+b2的长方形，并写出 3a2+4ab+b2因式分解的结果。 2.借助学生拼图，探求类似于“2a2+5ab+3b2 ”的多项式的因式分解。 3.练习：别取适当数量的A型﹑B型﹑C型三纸片，尝试拼成一个长方形， 计算它的面积，并写相应等式。 (学生上台展示) 活动二感悟和收获：通过已知面积拼成长方形，可以把类似于“2a2+5ab+3b2 ”二次三项式因式分解 活动三：讨论任意取若干张A型纸片，B型纸片，C型纸片是否都能拼成长方形？活动目的:通过拼长方形的活动，在反复尝试的过程中，让学生感受到不同纸片的选择数量与能否拼成长方形有直接的关系，也就是说类似于“2a2+5ab+3b2 ”的二次三项式不一定都能因式分解，二次三项式的因式分解是有条件的。 活动过程： 1.分别取适当数量的A型﹑B型﹑C型三纸片，你能拼成一个面积为 a2+4ab+b2的长方形吗？如果不能，是否可以添加（或减少）纸片数量，使之拼成一个长方形？ 2.讨论：① 2a2+5ab+3b2② a2+3ab+3b2能否因式分解？ 活动三感悟和收获： ①不同纸片的选择数量与能否拼成长方形有直接的关系 ②二次三项式不一定都能因式分解，二次三项式的因式分解是有条件的。 三．课堂小结：通过本节课的学习你有什么收获？
数学活动—拼图·公式 教学目标： （1）通过拼图与公式的联系加强学生学习数学的兴趣，进一步熟悉整式乘法和因式分解；（2）获得一些研究问题的方法和经验，加深对知识的理解，体会数形结合思想． 教学重点：通过拼图活动巩固整式乘法和因式分解的有关知识． 教学难点：从具体问题到建立数学模型，通过拼图活动探究一些二次三项式的因式分解． 教学过程： 情境引入：“数缺形时少直观，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事休．”——华罗庚 情境（一）：王大爷准备把长为a米，宽为b米的这块地向外扩建，使得长再增加c米，则扩建后地的面积为： 发现等式：。 情境（二）：王大爷在刚才扩建的基础上再向外扩建，使得宽再增加d米，则扩建后地的面积为： 发现等式：。 变形1：如果王大爷这块地是边长为x米的正方形向外扩建时，使长增加a米,宽增加b米，则扩建后的面积为： 发现等式：。 口算: (x+5)(x+2) = (x-3)(x+1) = 变形2: 如果王大爷将这块边长为a米的正方形地向外扩建后时,长和宽都增加b米,则扩建后的面积为： 发现等式：。 思考： 1.以上图形的面积主要有几种算法? 2.以上图形的面积验证了哪些公式？ 3.你还有其它的见解吗？
新知探究： 用这些材料拼出一个长方形，并通过不同的方法计算其面积，探求相应的等式。 活动1： 选取适当数量的A 型、B 型、C 型三种纸片，拼出下列长方形并思考： ① 积为 的矩形. ②你拼的矩形长和宽分别是多少？ ③你有其它表示这个矩形的面积的方法吗？ ④你能得到什么等式？ 活动2： 选取适当数量的A 型、B 型、C 型三种纸片， 拼出任意长方形并思考：（请在右边画出来！） 拼出的长方形面积是 . 用了A 型纸片 张， B 型纸片 张， C 型纸片 张， 等式是 . 思考：1、关于a 、b 的二次多项式是否都能表示一个长方形的面积？ 2、你认为具备什么条件的二次多项式可以表示一个长方形的面积？ 挑战自我：请同学们拿出手中的4个长为a ，宽为b 的小长方形,拼成一个边长为（a+b ）的正方形. （1）大正方形面积是( ) （2）4个小长方形面积是（ ） （3) 图中阴影部分的面积是（ ） 等式为： 。 小结与思考： 请谈谈你的收获！ 2243b ab a ++
实验课题：拼图 因式分解 句容市石狮中学 缪小兵 实验目标： 1、能根据要求由“形”得到有价值的“数”的结论，并能借助图形反映出部分数的几何意义，初步运用拼图法将部分二次三项式因式分解。 2、经历从具体问题抽象出数学问题---- 建立模型----综合运用已有的知识解决问题的过程，获得数学活动的经验，感受“观察、实验、猜测、验证和归纳”的学习方法，在具体问题中把握数学实质，培养数学素养。 3、通过数学实验，培养学生的合作精神，激发学生学习数学的兴趣，学习有用数学。 实验重难点： 重点：能根据要求由“形”得到有价值的“数”的结论，并能借助图形反映出部分数的几何意义。 难点：理解拼图与因式分解的联系。 实验步骤： 一、情境再现，感受“数”、“形” 用不同的方法表示下列图形的面积，你能得到哪些等式？ a a b b 设计意图：通过情境再现，运用数形结合的思想，从不同视角计算图形的面积得到乘法公式、因式分解公式，激发学生运用已有知识和能力，为下面实验探究铺垫。 二、拼图实验，由“形”到“数” 拼图：请各组选取适当数量的3种硬纸板，拼成一个长为（a+2b ）、宽为（a+b ）长方形。 问题1、你发现图形中所隐藏的等式吗？请将它写下来。 问题2、请结合图形解释你所得到的等式。 设计意图：通过拼图实验，揭示所得到的等式与所拼成的长方形长、宽和面积之间的相互联系。它们分别反映了整式的乘法与多项式的因式分解，因此，我们可借助于拼长方形进行多项式的因式分解。
三、由“数”到“形”，因式分解： 问题3、利用拼图你能将多项式a2+4ab+3b2因式分解吗？ 问题4、利用拼图的方法分解因式： a2+3ab+2b2 a2+5ab+6b2 2a2+5ab+2b2 2a2+5ab+3b2 问题5、你能将多项式a²+4ab+b²因式分解吗？ 问题6、探究：任意写一个关于a、b 的二次三项式都能表示一个长方形的面积吗？如不能，你认为具备什么形式的二 次三项式可以表示一个长方形的面积？ 四、总结评价，反思提升 通过这一节课的学习，谈谈你对拼图与因式分解之间的认识。
從拼圖學因式分解 一、教學主題：因式分解 二、教學對象：國中八年級學生 三、教學時間：2節課（90分鐘） 四、教學目標： 1、能從遊戲中了解因式分解的意義。 2、能試著由簡單的拼圖紙張拼出基本的因式分解式。 3、能推演特定形式的因式分解式。 五、能力指標： 8-a-10 能理解因式、倍式、公因式與因式分解的意義。 8-a-11 能利用提出公因式與分組分解法分解二次多項式。 六、設計理念： 在代數的世界中，因式分解扮演重要的角色，因式分解與乘法公式其實是一體的兩面，再此設計以拼圖的方法來學習因式分解，並探討典型的因式分解多項式。但在學習拼圖法之前，可以先引入「華容道」的遊戲來建立因式分解初步的概念。 華容道是個長方形的拼盤，內部由大小不一的矩形鋪滿整個矩形，而拼圖法建立起來的因式分解模型就像是華容道的拼盤一樣。教師可以藉由此遊戲模型來引導學生進入學習。七、教學教具使用： 華容道拼盤、因式分解拼圖卡。 八、教學流程： 學習活動一 首先教師先介紹華容道的由來： 看過三國演義故事的一定知道「諸葛亮智算華容，關雲長義釋曹操」這一回合的故事，話說三國時代，曹操於「赤壁之戰」中了連環計，遭火燒連環船。在逃回曹營的過程中，他所率領的八十三萬大軍最後僅剩27騎。沿途碰到諸葛亮設計的各處埋伏，最後逃到華容道時，多虧守將關雲長放他一馬，才得以逃回曹營。於是民間引用此典故，設計成流傳千古之益智滑板遊戲（如下圖）。此為「華容道」之由來，而另外也有人稱「捉放曹」，取捉放曹操之意。 國中二年級數學有個單元叫做因式分解，華容道的棋盤設計是一個矩形，而各棋子皆是有規則的矩形組成，而因式分解可視為『矩形面積＝邊長×邊長』的概念，所以可以將華容道變成一個因式分解的遊戲。我們可將棋盤各棋子依據現有的邊長改為以X為符號來表示面積， 如下圖：
初中数学拼图公式因式分解谈实践活动课 [摘要]随着我国基础教育新课改的推进,数学教学活动的基本理念也由"学数学"转向"用数学"，其中着重强调：动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。“把学生的热情激发起来,那么学校所规定的功课,“就会被当作一种礼物来接受。”礼物是人人都要的,若能将知识“包装”成“礼物”赠给学生,这对学生来说将是多么有意义的事啊—爱因斯坦。数学中的一些公式定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深，拼图公式因式分解，它很普通，但它往往能使我们进一步地了解数学的博大精深。 [关键词]数学实践活动实施评价拼图公式因式分解 数学知识在现实生活中的应用,将直接影响到学生学习数学的态度，同时数学活动课是一种符合新课程改革精神的创新课程。现结合理论学习和教学实践，谈一些粗浅的认识。 一：数学实践活动教学的意义 （一）数学实践活动有助于学生知识的获得 我们一般把数学知识分成演绎的、系统的知识(以理论知识为主)和技能操作知识、情感体验性知识、问题化知识(以感性知识为主)。前者适宜于教师讲授下学生进行系统的学习，而后者有着更多的特殊性、个体性、操作性，这类知识需要通过学生个体多次反复的自主操作、活动体验、思维探究，才能为学生真正掌握运用，进而达到娴熟。因此，这类知识的教学宜于活动教学。 （二）数学实践活动有助于学生能力的发展 心理学研究表明，能力是活动的结果。“从事活动是能力发展的基本途径。活动要求相应的能力，活动提供了应用和锻炼一定能力的机会。活动越多样，能力的发展也就越多方面。”德国教育家第斯多惠强调教师要特别注意激发学生的主动性和主体活动。初中数学实践活动有助于学生的观察力、动手操作能力的发展。 （三）数学实践活动有助于学生人格的完善 对学生来说，数学实践活动为他们提供更广的人际交往机会，与同学的亲密、与教师的配合、与他人的合作，都会使学生受到多方面的影响，感到心情舒畅，这不仅使学生热爱生活，也易于形成活泼开明、积极主动等品质，并能发扬学生个人的独特风格。学生们在活动中总是面临一定的任务、担当一定的角色，这促
<<拼图·因式分解>>课标分析 《义务教育数学课程标准》明确提出"四基"(基础知识,基本技能,基本思想和基本活动经验)以来,如何帮助学生积累基本数学活动经验越来越受到老师们的关注,大家的共识就是:让学生动手"做"数学是帮助学生积累基本活动经验的有效方式.随着现代科学的进展,孩子们学习数学的方式发生了变化,带给我们的启示是:呈现现实的问题,让学生在现实情境中学习数学、应用数学，发展学生的数学应用意识；数学课程中应提供学生一定的从事操作、观察、尝试、归纳、实验、猜想等活动的机会，让学生感受数学的学习过程。设计“拼图”的活动，贴合学生思维兴趣的发展区，让学生在叠叠、画画、剪剪、拼拼、看看、说说、算算等活动中进行创造性的劳动，感受因式分解诞生于手边，让原本抽象的知识生动化、具体化，理解了原本看似无法理解的因式分解算理，实现了思维能力在兴趣驱使下的长足发展．《义务教育数学课程标准》要求：指出“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”，倡导“主动参与、乐于研究、交流合作"为主要特征的学习方式。 <<拼图•因式分解>>教材分析 因式分解是义务教育课程标准实验教科书（鲁教版）《数学》八年级上册第一章内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和
公式法，共7课时，其中因式分解概念1课时,提公因式法2课时，公式法3课时,回顾与思考1课时。 安排这节活动课的目的,一方面是帮助学生巩固已有知识, 使数学知识向生活和实践延伸;另一方面是通过此活动, 让学生充分感受数与形的联系, 并从中有意识地培养学生逆向思考问题的习惯.本活动的重点是能够根据要求由“形”得到有价值的“数”的结论, 并能借助图形反映出部分“数”的几何意义.难点是理解拼图与因式分解的联系.在课堂上, 学生通过动手操作, 感受数学的“好玩”,经历通过探索去获得有价值的数学方法、结论的过 程, 最后能够有意识地通过拼、画图形对部分二次三项式进行分解, 从而获得新的因式分解的方法. 因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 在教材中指出本章的教学行走路线:借助图形面积的直观性帮