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中考数学复习--几何综合题
Ⅰ、综合问题精讲：
几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点：
⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基
本图形．
⑵ 掌握常规的证题方法和思路．
⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数
学思想方法伯数形结合、分类讨论等）．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长．
解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径，
∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ，
∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．
又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角，
∴∠C ＝∠BED ．
故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ．
点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径，
即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ．
故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线．
（2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ．
又 BD ＝CD ＝21
BC ＝6， 根据BE AB BD BC ⋅=⋅，2(214)612x x ⋅+=⨯．
化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．
则 BF 的长为2．
点拨：过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．
【例2】（重庆，10分）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D
在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD ＝CD 。 证明：因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE 而∠BDE＝∠ABD＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD
所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE
∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC
在△ADB 和△ADC 中，
∠BAD＝∠CAD
AD ＝AD
∠ADB ＝∠ADC
所以 △ADB≌△ADC 所以 BD ＝CD 。
（注：用“AAS”证三角形全等，同样给分）
点拨：要想证明BD=CD ，应首先观察它们所在的图形之间有什么联系，经观察可得它们所在的三角形有可能全等．所以应从证明两个三角形全等的角度得出，当然此题还可以采用“AAS ”来证明．
【例3】（内江，10分）如图⊙O 半径为2，弦BD ＝32，A 为弧BD
的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。求：四边形ABCD 的面积。
解:连结OA 、OB ，OA 交BD 于F 。
⎭
⎬⎫===⊥⇒2 3,BD A OB FD BF BD OF 的中点为弧 1AF 1OF =⇒=⇒ ABD 1S BD AF 32
∆⇒=⋅= ADE CDE ABE CBE AE CE S S ,S S ∆∆∆∆=⇒==322S S ABD ABCD ==⇒∆四边形
【例4】（博兴模拟，10分）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A 、B 、CD 正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图2－4－4中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
A
B C D
E
解：不妨设正方形的边长为1，显然图2－4－4⑴、⑵中的线路总长相等都是3．
图2－4－4⑶中，利用勾股定理可求得线路总长为2 2 ≈2．828．
图2－4－4（4）中，延长EF 交BC 于H ，由 ∠FBH ＝30°，BH=12
， 利用勾股定理，可求得EA=ED=FB==FC=
333,,121,363FH EF FH =∴=-=- 所以⑷中线路总长为：4EF+EF=4×33+3(1)13 2.732.3-=+≈ 显然图2－4－4⑷线路最短，这种方案最省电线．
点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股未理讲行计算线路长，然后通过比较，得出结论．
【例5】（绍兴）如图矩形ABCD 中，过A ，B 两点的⊙O 切CD 于E ，交BC 于F ，AH⊥BE 于H ，连结EF 。
⑴求证：∠CEF＝∠BAH ,⑵若BC ＝2CE ＝6，求BF 的长。
⑴证明：∵CE 切⊙O 于E ，
∴∠CEF=∠EBC ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∵AH 丄BE ，∴∠ABE+∠BAH=90°
∴∠BAH=∠EBC ，∴∠CEF ＝∠BAH
⑵解： ∵CE 切⊙O 于E
∴CE 2=CF ·BC ，BC=2CE=6
∴CE 2=CF ·6，所以CF= 32 ∴BF=BC-CF=6－32 =92
点拨：熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键．
