高二下学期期末数学考试试卷含答案(共3套)

高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023—2024学年高二下学期教学质量检测数学试题（答案在最后）2024.07注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.一质点A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为221s t =+，当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为（）A.2B.4C.6D.82.若X 服从两点分布，()()100.32P X P X =-==，则()0P X =为（）A.0.32B.0.34C.0.66D.0.683.下列说法正确的是（）A.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于14.已知函数()23f x ax x=+的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为（）A.6B.3C.32D.345.若()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，则正整数a 的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足,a b c d >>，则满足条件的排法种数为（）abcdA.45B.60C.90D.1807.在()21*(2n n +∈N 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A .2131n +- B.2131n ++ C.21312n +- D.21312n ++8.已知函数()3213f x x x =-，若()e n f m n =-，则m 与n 的大小关系为（）A.m n >B.m n=C.m n< D.不能确定二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()4,2X N ~，若(6),(46)P X a P X b >=<<=，则（）A .12a b +=B.(2)P X a <=C.()218E X += D.()218D X +=10.已知曲线()y f x =在原点处的切线与曲线()y xf x =在()2,8处的切线重合，则（）A.()24f =B.()23f '=C.()04f '= D.曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a=11.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,.Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为w （万辆），其中年份对应的代码t 为15~，如表，年份代码t12345销量w （万辆）49141825根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x t t Y w w =-=-，且变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩则下列结论正确的有（）A .51521ˆiii ii x ybx===∑∑ B.51521ˆiii ii x yby===∑∑C.ˆ 5.1 1.3wt =- D.2025年的年销售量约为34.4万辆三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.A 、B 、C 、D 共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A 和B 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你和B 都没有得到冠军.”对B 说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.13.函数()()e 211x x f x x -=-的极小值为__________.14.定义：设,X Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()11,()()n ni i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑∣∣，其中{}12,,,n x x x 为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为(01)p p <<，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数.则()2,5P ξη===__________，()E n ξη==∣__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的22⨯列联表.性别就餐人数合计南餐厅北餐厅男252550女203050合计4555100（1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？（2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.63516.由0,1,2,3这四个数组成无重复数字的四位数中.（1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）；（2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为X ，求X 的分布列与期望.17.已知函数()()1ln f x x x ax =--.（1）若2a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 的图象恒在x 轴的上方，求a 的取值范围.18.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p .（1）求证：11C C ,(kk n n k n n k --=≥，且n 为大于1的正整数)；（2）求证：()E X np =；（3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X ，记X k =时的概率为()P X k =.试比较()P X k =最大时k 的值与()E X 的大小.19.已知函数()()()2()e ,xf x x a x b a b =--∈R .（1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()exg x f x -=且12(),,a b x x <是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且123,,x x x 互不相等.问是否存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由.2023—2024学年高二下学期教学质量检测数学试题2024.07注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.一质点A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为221s t =+，当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令9s =求出t ，再求出函数的导函数，代入计算可得.【详解】因为221s t =+，令2219s t +==，解得2t =（负值已舍去），又4s t '=，所以2|428t s ='=⨯=，所以当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为8m /s .故选：D2.若X 服从两点分布，()()100.32P X P X =-==，则()0P X =为（）A.0.32 B.0.34C.0.66D.0.68【答案】B 【解析】【分析】利用两点分布的性质可得答案.【详解】依题意可得()()101P X P X =+==，()()100.32P X P X =-==，所以()10.3210.34.2P X -===故选：B.3.下列说法正确的是（）A.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1【答案】B 【解析】【分析】2R 值越大，模型的拟合效果越好可判断A ；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B ；正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越小可判断C ；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，可判断D .【详解】对于A ：2R 值越大，模型的拟合效果越好，故A 错误；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B 正确．对于C ，正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越小，故C 错误；对于D ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故D 错误.故选：B ．4.已知函数()23f x ax x=+的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为（）A.6B.3C.32D.34【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可.【详解】函数()23f x ax x=+的定义域为{}|0x x ≠，又()3223232ax f x ax x x -'=-=，当0a ≤时()0f x '<恒成立，所以()f x 没有单调递增区间，不符合题意；当0a >时，323y ax =-单调递增，令()0f x ¢>，解得1332x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为133,2a ⎡⎫⎛⎫⎪⎢+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭（或133,2a ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），依题意可得13312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得32a =.故选：C5.若()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，则正整数a 的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理展开，并对n 讨论即可得到答案【详解】因为()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，所以当1n =时，46529a a ⨯+-=-，此时2925(Z)a k k =-∈，0a >，当1k =时，4a =；当2n ≥时，11224(51)54(5C 5C 5n n n n n n n a --⨯++-=⨯+⨯++⨯ 1C 51)5n n n a -+⨯++-112214(5C 5C 54()C 51)5n n n n n n n n a---=⨯+⨯++⨯+⨯⨯++- 2132425(5C 5C 25)4n n n n n n a ---=⨯+⨯++++- 213225(454C 54C )4n n n n na n ---=⨯+⨯++++- ，因此只需4a -能够被25整除即可，可知最小正整数a 的值为4，综上所述，正整数a 的最小值为4，故选：C6.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足,a b c d >>，则满足条件的排法种数为（）abcdA.45B.60C.90D.180【答案】C 【解析】【分析】分两步完成，第一步从6张卡片中任取2张卡片放入a 、b ，第二步从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c 、d ，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】首先从6张卡片中任取2张卡片放入a 、b （较大的数放入a ）有26C 种方法；再从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c 、d （较大的数放入c ）有24C 种方法；综上可得一共有2264C C 90=种不同的排法.故选：C7.在()21*(2n n +∈N 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A.2131n +- B.2131n ++ C.21312n +- D.21312n ++【答案】D 【解析】【分析】设((21212,2n n A B ++==，由二项式定理知A 与B 中的x 的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解.【详解】设((21212,2n n A B ++==，由二项式定理知A 与B 中的x 的整数次幂项之和相同，记作()f x ，非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消.故有())()2121222n n f x ++=++.令1x =，则所求的系数之和为()()2111312n f +=+.故选：D.8.已知函数()3213f x x x =-，若()e n f m n =-，则m 与n 的大小关系为（）A.m n >B.m n=C.m n< D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】设()e x g x x =-，利用导数先研究函数()f x 和()g x 图象性质，并得到在R 上()()g x f x >恒成立，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >，若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >.【详解】由()3213f x x x =-，()2()22f x x x x x =-=-'，当0x <或2x >时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增，当02x <<时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，4()(0)0,()(2)3f x f f x f ====-极大值极小值，且(3)0f =，设()e x g x x =-，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，则函数()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，()(0)1g x g ==极小值，设()321()()()e 33xF x g x f x x x x x ⎛⎫=-=---> ⎪⎝⎭，则2()e 12x F x x x'=--+设()2()e 123xm x x x x =--+>，则()e 22x m x x '=-+，设()()e 223xv x x x =-+>，则()e 20x v x '=->恒成立，所以()v x 在()3,∞+单调递增，3()e 2320v x >-⨯+>，即()0m x '>恒成立，所以()m x 在()3,∞+单调递增，则33()(3)e 196e 40m x m >=--+=->，即()0F x '>恒成立，所以()F x 在()3,∞+单调递增，则3()(3)e 30F x F >=->，所以在()3,∞+上()()g x f x >恒成立，在(],3-∞显然也成立，如图，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >，若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >故选：A【点睛】关键点点睛：设()e x g x x =-，利用导数得到在R 上()()g x f x >恒成立，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >；若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()4,2X N ~，若(6),(46)P X a P X b >=<<=，则（）A.12a b +=B.(2)P X a <=C.()218E X +=D.()218D X +=【答案】ABD 【解析】【分析】根据正态分布的对称性可判断A 、B ，根据正态分布定义及期望与方差的性质可判断C 、D.【详解】对于A ，因为4μ=，()()6,46>=<<=P X a P X b ，所以()()()44660.5>=<<+>=+=P X P X P X a b ，故A 正确；对于B ，因为4μ=，()()26P X P X a <=>=，故B 正确；对于C ，因为()4E X =，所以()()21219+=+=E X E X ，故C 错误；对于D ，因为()2D X =，所以()()2148D X D X +==，故D 正确.故选：ABD.10.已知曲线()y f x =在原点处的切线与曲线()y xf x =在()2,8处的切线重合，则（）A.()24f =B.()23f '=C.()04f '= D.曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a=【答案】ACD 【解析】【分析】令()()g x xf x =，求出()g x 的导函数，依题意()28=g ，即可判断A ，又曲线()y f x =在原点处的切线过点()2,8，即可得到()0f '，即可判断C ，再由()()02g f '='求出()2f '，即可判断B 、D.【详解】令()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+，依题意()()2228g f ==，解得()24f =，故A 正确；依题意可得曲线()y f x =在原点处的切线过点()2,8，所以()480200f '--==，故C 正确；又()()()()222204f fg f '='=+='，所以()20f '=，则曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a =，故B 错误，D 正确.故选：ACD11.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,.Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为w （万辆），其中年份对应的代码t 为15~，如表，年份代码t12345销量w （万辆）49141825根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x t t Y w w =-=-，且变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩则下列结论正确的有（）A.51521ˆi ii i i x ybx ===∑∑ B.51521ˆi ii i i x yby ===∑∑C.ˆ 5.1 1.3wt =- D.2025年的年销售量约为34.4万辆【答案】AC 【解析】【分析】利用线性回归方程待定系数公式()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，再由变量的线性代换关系进行计算，最后恒过样本点(),x y ，就可得到线性回归方程.【详解】由i i x t t =-可得：()551111055i i i i x t t t t ===-=-=∑∑，同理由i i y ωω=-，可得()551111055i i i i y ωωωω===-=-=∑∑，根据公式()()()55511155522221115ˆ5iii ii ii i i iii i i i x x y y x y x y x ybx x xxx======---===--∑∑∑∑∑∑，故A 正确；B 错误；由表格中数据可得：3,14t ω==，()()5551115i iii i i i i i x y tt t t ωωωω====--=-⋅∑∑∑1429314418525531451=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=，()5552222111514916255910ii ii i i xt ttt ====-=-=++++-⨯=∑∑∑，所以5152151ˆ 5.110iii ii x ybx=====∑∑，由于0,0x y ==，所以y 与x 的回归方程必过原点，ˆ 5.1yx =，又由于3x t t t =-=-，14y ωωω=-=-代入得：()ˆ14 5.13t ω-=-，整理得：ˆ 5.1 1.3t ω=-，故C 正确；当6t =，即表示2025年，此时ˆ 5.16 1.329.3ω=⨯-=，所以2025年的年销售量约为29.3万辆，故D 错误；故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.A 、B 、C 、D 共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A 和B 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你和B 都没有得到冠军.”对B 说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.【答案】8【解析】【分析】依题意A 、B 不在第一名且B 不在第四名，分A 在第四名与不在第四名两种情况讨论.【详解】依题意A 、B 不在第一名且B 不在第四名，若A 在第四名，先排B 到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列，所以有1222A A 4=种排列；若A 不在第四名，则先排A 、B 到第二、三名两个位置，另外两个人全排列，所以有2222A A 4=种排列；综上可得这4人的名次排列有448+=种.故答案为：813.函数()()e 211x x f x x -=-的极小值为__________.【答案】324e【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值.【详解】函数()()e 211x x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，又()()()2e 231x x xf x x -'=-，所以当0x <或32x >时()0f x ¢>，当01x <<或312x <<时()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-，3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1，31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在32x =处取得极小值，即极小值为32323e 21324e 3212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭-.故答案为：324e14.定义：设,X Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()11,()()n ni i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑∣∣，其中{}12,,,n x x x 为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为(01)p p <<，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数.则()2,5P ξη===__________，()E n ξη==∣__________.【答案】①.32(1)p p -②.2n ##12n 【解析】【分析】根据相互独立事件的乘法公式求()2,5P ξη==，求出()P n η=、(),P i n ξη==，即可求(|)E n ξη=.【详解】由题意，事件“2,5ξη==”表示该射击手进行5次射击且在第二次、第五次击中目标，所以()322,5(1)(1)(1)(1)P p p p p p p p ξη===-⋅⋅-⋅-⋅=-，又122221()C (1)(1)(1)n n n P n p p n p p η---==-=--，()()221n P i n p p ξη-===-，()1,2,,1i n =- ，所以()()()()()222211121(1)(11,)|n n i n n p p P i n E p n i P n p n ξηξηη-=--⎡⎤+++--⎡⎤==⎣⎦==⨯=⎢⎥=⎢⎥⎣--⎦∑ 122 (1111)n n n n -=++++---1(1)1122n n n ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭==.故答案为：32(1)p p -；2n【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给公式理解并准确的应用.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的22⨯列联表.性别就餐人数合计南餐厅北餐厅男252550女203050合计4555100（1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？（2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.635【答案】（1）答案见解析（2）15【解析】【分析】（1）求出2χ值，与2.706比较大小，得出结论即可；（2）运用古典概型和条件概率公式求解即可.【小问1详解】零假设为0H ：分类变量X 与Y 相互独立，即不同区域就餐与学生性别没有关联.222()100(25302025)1002.706()()()()4555505099n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯．依据0.100α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．【小问2详解】设事件A 为“从这100名参赛学生中抽出2人，其性别为一男一女”，事件B 为“这2名学生均在南餐厅就餐”，则()11252021110025201111505050502100C C C C C ()25201C C ()C C 50505C P AB P B A P A ⨯=====⨯．故在抽出2名学生性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均在“南餐厅”就餐概率为15．16.由0,1,2,3这四个数组成无重复数字的四位数中.（1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）；（2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为X ，求X 的分布列与期望.【答案】（1）8（2）分布列见解析；7()9E X =【解析】【分析】（1）分0在个位、0在十位和0在百位三类求解；（2）由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X 可能的取值分别为0，1，2，求出其分布列，并利用期望公式求解.【小问1详解】两个奇数相邻的无重复数字的四位数有如下三种情况：①0在个位上时有2222A A 4=个四位数，②0在十位上时有22A 2=个四位数，③0在百位上时有22A 2=个四位数，所以满足条件的四位数的个数共有4228++=个．【小问2详解】由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X 可能的取值分别为0，1，2，则1333884(0)C A 189P X ====，133361(1)C A 3P X ===，333142(2)C A 9P X ===，X ∴的分布列为X 012P491329期望为4127()0129399E X =⨯+⨯+⨯=．17.已知函数()()1ln f x x x ax =--.（1）若2a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 的图象恒在x 轴的上方，求a 的取值范围.【答案】（1）20x y +=（2）a<0【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）将问题转化为()(1)ln 0f x x x ax =-->恒成立，则(1)ln x xa x-<在,()0x ∈+∞上恒成立，构造函数(1)ln ()x xF x x-=，利用导数求出其最小值即可.【小问1详解】由2a =，则()(1)ln 2f x x x x =--，,()0x ∈+∞，(1)2f =-，()1ln 1f x x x'=--，代入1x =得(1)2f '=-，所以()f x 在(1,1)处的切线方程为20x y +=．【小问2详解】由()f x 图象恒在x 轴上方，则()(1)ln 0f x x x ax =-->恒成立，即(1)ln x xa x-<在,()0x ∈+∞上恒成立，令(1)ln ()x xF x x-=，即min ()a F x <，21ln ()x xF x x -+'=，令()1ln g x x x =-+，则1()10(0)g x x x'=+>>，所以()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数且(1)0g =．所以当(0,1)x ∈时，()0F x '<，()F x 在(0,1)单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增；所以(1)0F =为函数()F x 的最小值，即()(1)F x F ≥．所以综上可知a<0．18.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p .（1）求证：11C C ,(kk n n k n n k --=≥，且n 为大于1的正整数)；（2）求证：()E X np =；（3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X ，记X k =时的概率为()P X k =.试比较()P X k =最大时k 的值与()E X 的大小.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()P X k =最大时k 的值小于()E X 的大小【解析】【分析】（1）根据组合数公式分析证明；（2）根据二项分布结合二项式定理分析证明；（3）分析可知随机变量~(12,0.2)X B ，结合二项分布概率公式可得2k =概率最大，进而与期望对比分析.【小问1详解】左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---，右边11(1)!!C (1)!()!(1)!()!k n n n n n k n k k n k ---==⋅=----，所以左边=右边，即11C C k k n n k n --=；【小问2详解】由~(,)X B n p 知()C (1)k k n k n P X k p p -==-，令1q p =-由（1）知11C C k k n n k n --=可得，1111(1)11011()CC nnnk kn kk k n kk k n k nn n k k k E X kC p qn p qnp pq ----------======∑∑∑，令1k m -=，则1111()C()n mm n m n n m E X npp q np p q -----===+∑，()E X np ∴=；【小问3详解】由题意知~(12,0.2)X B ，所以()120.2 2.4E X =⨯=，要使()P X k =最大，则必有()(1)P X k P X k =≥=+，()(1)P X k P X k =≥=-，即12111312121211111212C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)k k k k k k kk k k k k -----++-⎧-≥-⎨-≥-⎩即141341121k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得81355k ≤≤，又因为*N k ∈，所以2 2.4()k E X =<=．()P X k ∴=最大时k 的值小于()E X ．19.已知函数()()()2()e ,xf x x a x b a b =--∈R .（1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()exg x f x -=且12(),,a b x x <是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且123,,x x x 互不相等.问是否存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由.【答案】（1）单调递减区间为(,-∞，，单调递增区间为(，)+∞（2）(,)a +∞（3）存在，423a bx +=【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）令2()(3)2h x x a b x ab b a =+--+--，即可判断()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <，再对1x 、2x 、a 的大小关系分类讨论，即可得到()0h a <，从而求出b 的范围；（3）求出函数的导函数，即可得到1x a =，223a b x +=，再确定3x b =，根据等差数列的定义求出4x 即可.【小问1详解】由2()()()e x f x x a x b =--得()()2(3)2e x f x x a x a b x ab b a '⎡⎤=-+--+--⎣⎦，当1a =，2b =时，()(1)(xx x f x x =--+'，令()0f x '=，解得1x =21x =，3x =所以当(,x ∈-∞或x ∈时()0f x '<，当(x ∈或)x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(,-∞，，单调递增区间为(，)+∞.【小问2详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()2(3)2e xf x x a x a b x ab b a '⎡⎤=-+--+--⎣⎦，令2()(3)2h x x a b x ab b a =+--+--，则22 (3)4(2)(1)80a b ab b a a b ∆=-----=-++>．所以()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <．①当1x a =或2x a =时，x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意；②当1x a >时，则x a <或12x x x <<时()0f x '<，当1a x x <<或2x x >时()0f x ¢>，所以()f x 在(),a -∞，()12,x x 上单调递减，在()1,a x ，()2,x +∞上单调递增，所以x a =不是()f x 的极大值点，③当2x a <时，则x a >或12x x x <<时()0f x ¢>，当2x x a <<或1x x <时()0f x '<，所以()f x 在(),a +∞，()12,x x 上单调递增，在()2,x a ，()1,x -∞上单调递减，所以x a =不是()f x 的极大值点，④当12x a x <<时，则2x x >或1x x a <<时()0f x ¢>，当2a x x <<或1x x <时()0f x '<，所以()f x 在()2,x +∞，()1,x a 上单调递增，在()2,a x ，()1,x -∞上单调递减，所以x a =是()f x 的极大值点．所以()0h a <，即2(3)20a a b a ab b a +--+--<，所以b a >，所以b 的取值范围(,)a +∞．【小问3详解】由2()e ()()()x g x f x x a x b -==--，知()23()3a b g x x a x +⎛⎫'=--⎪⎝⎭，由a b <，故23a b a +<，所以当x a <或23a b x +>时()0g x '>，当23a b a x +<<时()0g x '<，所以()g x 在(),a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，不妨设()g x 的两个极值点分别为1x a =，223a b x +=．因为123,,x x x 互不相等，3x 是()g x 的一个零点，所以3x b =，所以2222223333a b b a b a a b a b +--+⎛⎫-==⨯=- ⎪⎝⎭，所以存在124242232263a b a x x a b a b x +++++====，使1423,,,x x x x 成等差数列，即存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，且423a b x +=．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

北京二中2023—2024学年度第六学段高二年级学段考试试卷数学选择性必修Ⅲ得分：一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合A ={x||x|<3,x ∈Z}，B ={x||x|>1,x ∈Z}，则A ∩B = A. ∅ B. {−3,−2,2,3} C. {−2,0,2} D. {−2,2}2.李老师全家一起外出旅游，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3. 已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为 A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.63.已知函数f(x)=2x +x ，g(x)=log 2x +x ，ℎ(x)=x 3+x 的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为 A. b >c >aB.a >b >cC. c >a >bD. b >a >c4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β， 则A. α//β，l//αB. α与β相交，且交线平行于lC. α⊥β，l ⊥βD. α与β相交，且交线垂直于l5.已知函数其中若的最小正周期为,且当时, 取得最大值,则A. 在区间上是减函数B. 在区间上是减函数C. 在区间上是增函数D. 在区间上是增函数 6.命题“∀x ∈[1,2]，2x +ax ≥0”为真命题的一个充分不必要条件是 A. a ≥−1B. a ≥−2C. a ≥−3D. a ≥−47.有8位学生春游，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名．现将他们排成一列，要求2名小学生相邻、3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有 A. 288种B. 144种C. 72种D. 36种8.已知函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x +8)=−f (x )，若y =f (x +2)的图象关于点(−2,0)对称，且f (3)=3，则f (43)= A. 0B. −3C. 3D. 4()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈0,.ωπϕπ>−<≤()f x 6π2x π=()f x ()f x [2,0]π−()f x [3,]ππ−−()f x [2,0]π−()f x [3,]ππ−−班级学号 姓名 密 封 线 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(−1)=−1，当a ，b ∈[−1,1]，且a +b ≠0时，(a +b)(f(a)+f(b))>0成立，若f(x)<m 2−2tm +1对任意的[1,1]x ∈−,[1,1]t ∈−恒成立，则实数m 的取值范围是A. (−∞,−2)∪{0}∪(2,+∞)B.(−2,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)10.已知a >0，b >0，且ab =1，不等式12a+12b+m a+b≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是A. [2,+∞)B. [4,+∞)C. [6,+∞)D. [8,+∞)二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2>0”的否定是 ． 12. 在二项式251()x x−的展开式中，含x 的项的系数是 ．13.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2114,[0,]2()121,(,)2x x f x x x ⎧−∈⎪⎪=⎨⎪−∈+∞⎪⎩，则5[()]8f f = ；不等式3(1)4f x −≤的解集为 ． 14.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，点A 是抛物线上的动点．设点B(−2,0)，当|AF||AB|取得最小值时，|AF|= ；此时△ABF 内切圆的半径为 ．15.已知函数|1|,1,()(2)(1), 1.x a x f x a x x ⎧−⎪=⎨−−>⎪⎩≤其中0a >且1a ≠. 给出下列四个结论：① 若2a ≠，则函数()f x 的零点是0；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,1)；③ 若存在实数M ，使得对任意的x R ∈,都有()f x M ≤，则M 的最小值为1； ④ 若关于x 的方程()2f x a =−恰有三个不相等的实数根123,,x x x ，则a 的取值范围为(2,3)，且123x x x ++的取值范围为(,2)−∞.其中，所有正确结论的序号是 ．三．解答题（共6小题，共85分。

2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。

i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是 否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（ ） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （ ）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（ ）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（ ）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（ ）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。

高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9-（C ）9（D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37（B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A）10 （B）10 （C）5 （D）5（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。

高二下学期期末考试数学试卷和答案一、 选择题：(每题4分，共48分) 将答案填图在答题卡上.1．复数31ii--等于（ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2．=-⎰π20)sin (dx x （ ）A ．0 C.－23．若复数i i z -=1，则=|z |( )A ．21B ．22C ．1D ．24．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是（ ）A ．100 B ．90 C ．81 D ．725.若函数3()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <6．在二项式5)1(xx -的展开式中，含x 3的项的系数是（ ）7．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．8．若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）。

A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离9．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A 、3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．y y y10．设31(3)n x x+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P +S =272，则n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．811．设一随机试验的结果只有A 和A ，()P A p =，令随机变量10A X A =⎧⎨⎩，出现，，不出现，，则X 的方差为（ ）Ａ．p Ｂ．2(1)p p -Ｃ．(1)p p -- Ｄ．(1)p p -天津市大港一中08—09学年高二下学期期末考试（数学理）12.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。

高二下学期期末数学试卷一、单项选择1、设，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知点A （2，-3），B （-3，-2），直线l 方程为kx+y-k-1=0，且与线段AB 相交，求直线l的斜率k 的取值范围为（ ）A或 B C D 3、直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．4、已知圆，直线l ：，若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．5、若直线被圆截得弦长为，则） A ． B ． C6、设△ABC 的一个顶点是A （3，-1），∠B，∠C 的平分线方程分别是x=0，y=x ，则直线BC 的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．7、已知圆：，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）A ．x+4y-4=0B ．2x+y-5=0C ．x=2D ．x+y-3=0 8、阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间4k ≤-220(0,0)ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=494(0,1)k k k >≠的距离为,动点P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（）ABD9、若圆上有个点到直线的距离为1，则等于（）A．2 B．1 C．4 D．310、圆的一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则（）AB．C．2 D11、已知直线与圆相交，则的取值范围是（）A． B． C．D．12、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（）.A．B．C．D．13、已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或214、我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的尺数为( )A．B C D15、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A．B．C．D．16、设数列满足,记数列的前项之积为，则2P22:(5)(1)4C x y-++=n4320x y+-=n 221x y+=224x y+=()11,A x y()22,B x y O1212x x y y+=2-:cos sin1()l x yααα+=∈R222:(0)C x y r r+=>r 01r<≤01r<<1r≥1r>)0(>>ba{}na21=a n n S{}1na+nS 122n+-3n2n31n-（ ） A ．B ．C ．D ．17、已知公比不为的等比数列满足，若，则（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 18、设等差数列的前项和为，已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．19、在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（ ）A ．22B ．-33C ．-11D ．1120、已知数列满足，数列前项和为，则( )ABCD21、已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）A ．B ．C ．数列是等差数列 D ．数列是等比数列22、已知等数差数列中，是它的前项和，若且,则当最大时的值为（ ）A ．9B ．10 C ．11 D ．1823、已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12 ）1{}n a 15514620a a a a +=210m a =m ={}n a nnS ()()201920212017201720171201912000a a a -++-=()()20192021202020202020-1+201912038a a a +-=4036S =2019202020214036{}n a 2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈n nS 12310...S S S S ⋅⋅⋅⋅={}n a n S n 180S >190S <n S nABCD ．不存在24、的内角，，所对的边分别是，，.已知，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．25、已知，，为的三个内角，，的对边，向量，，若，且，则角( )A ．B ．C ．D ．二、填空题26、点到直线的距离的最大值为________.27、已知点和圆，过点 作圆的切线有两条，则实数的取值范围是______28、已知直线l ：x+y-6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最小值为______，此时四边形PAOB 外接圆的方程为______． 29、已知实数满足，则的取值范围为________.30、已知实数x ，y 满足6x+8y-1=0，则的最小值为______．31、等比数列的前n 项和为32、若等差数列满足，则数列的前项和取得最大值时_________ 33、已知数列满足，则数列的最大值为________.34、已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的，都有，则=_____35、已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则()1,2P 222:20C x y kx y k ++++=P C k {}n a n S {}n a 7897100,a a a a a ++>+<{}n a n n S =n {}n a 11a =n S {}n a n *,r t N ∈n a的最小值为_____．36、在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．37、在锐角中，角，，所对应的边分别为，，.则________；若，则的最小值为________. 38、若△ABC 的内角，则的最小值是 ． 39、已知分别是的内角的对边，，，则周长的最小值为_____。

高二下学期期末考试数学试卷时量：120分钟 满分：150分一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1若复数)21(i i z +=，则复数z 的共轭复数在复平面上所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2一个年级有10个班级，每个班级学生从1到48号编排，为了交流学习经验.要求每班编号为28的同学留下进行交流，这里运用的是( )A ．分层抽样B ．抽签法C ．系统抽样D ．随机数表法3椭圆1162522=+y x 的离心率为（ ）53A 54B 34C 43D4已知),4(~2σN X ，且p X P =≤)2(，则)()6(=≤X Pp A p B 21- 21pC - PD -15任取实数],8,2[-∈x 则所取x 满足不等式0652≤+-x x 的概率为( ) A81 B 91 C 101 D 1116已知6)(xa x +的展开式中含 2x 项的系数为12，则a 为（ ）A 1B 2C 3D 47若一组数据54321,,,,x x x x x 的平均数为5，方差为2，则32,32,32321---x x x32,3254--x x 的平均数和方差分别为（ ）A7,-1 B7,1 C7,2 D7,8 8以下关于独立性检验的说法中， 错误的是( ) A ．独立性检验依赖于小概率原理 B ．独立性检验得到的结论一定准确 C ．样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D ．独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法9 “b a 33>”是“b a ln ln >”的（ ）10已知平面α的一个法向量为)1,2,2(=n ，点)0,3,1(-A 在平面α内，则点)3,1,2(P 到平面α的距离为( )A ．35 B ． 34 C. 1 D.3211设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两焦点，P 在双曲线上，且ο9021=∠PF F ， 则21PF F ∆面积为（ ） A 、1 B 、25C 、2D 、5 12在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为BD AC ,的交点，则O C 1与D A 1所成角 的余弦值为（ ） Ａ．0Ｂ．21 Ｃ．63Ｄ．33 二、填空题（大题共4小题，每小题5分，共20分）13命题“0832,3≤--∈∀x x R x ”的否定是__________________________14学校要从7名男生和3名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，若用 随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望______)(=ξE （结果用最简分数表示）15小苏，小龙，小陈，小钟，小欧，小刘六个人从左至右排成一行合影留念，小苏不站最左端，小龙不站最右端，则不同的排法共有__________种16过抛物线x y 162=的焦点F 作倾斜角为ο30的直线交抛物线于B A ,两点，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为______________温馨提示:请把所有试题答案转涂或转写在答案卡上,题号应一一对应三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）一个袋中装有大小形状相同的标号为1,2,3,4,5,6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号,若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分. （1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）（2）拿4次所得分数ξ 的分布列和数学期望)(ξE18（12分）湖南省某示范性高中图书馆志愿者协会中，有高一志愿者6人，其中含3名男生，3名女生；有高二志愿者4人，其中含1名男生，3名女生。

2024年春期高2022级高二期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第I 卷（选择题58分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若直线过点(1,2)-，(3,2+，则此直线的倾斜角为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2．已知221:202C x y x y ++-+= ，则该圆的圆心坐标和半径分别为（）A ．1,122⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()1,2-C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2-3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375610,35a a a a +==，则6S =（）A ．20B ．16C ．14D ．124．已知双曲线C 经过点()0,1，则C 的标准方程为（）A ．221x y -=B ．2213y x -=C ．221y x -=D ．2213x y -=5．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（）A ．3B ．6C ．10D ．156．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（）A ．25B ．45C ．815D ．897．已知点M ，N 是抛物线Γ：()220y px p =>和动圆C ：()()()222130x y r r -+-=>的两个公共点，点F 是Γ的焦点，当MN 是圆C 的直径时，直线MN 的斜率为2，则当r 变化时，r MF +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知2()log 2)cos f x x x x =+-，且0.1231(log ),(0.)9),log 43(a f b f c f ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．a c b>>二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．已知212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（）A ．7n =B ．只有第4项的二项式系数最大C ．各项系数之和为1D ．5x 的系数为56010．下列说法中正确的是（）附：2χ独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值α0.10.050.01aχ 2.7063.8416.635A ．已知离散型随机变量14,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()14323D X +=B ．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158C ．若()()()121,,4312P A P P AB B ===，则事件A 与B 相互独立D ．根据分类变量x 与y 的观测数据，计算得到2 3.154χ=，依据0.05α=的独立性检验可得：变量x 与y 独立，这个结论错误的概率不超过0.0511．将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）AB ．该几何体的体积为6C ．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D ．直线//AD 平面BCE第二卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）12．数列{}n a 满足()1432n n a a n -=+≥且10a =，则数列{}n a 的通项公式是．13．过点()1,1-与曲线()()ln 13e 2xf x x =+-+相切的直线方程为．14．已知1F 、2F 为椭圆()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 为该椭圆上一点，且满足1260F PF ∠=︒，若12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率16．已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?17．已知数列{}n a 的通项公式为n a n =，在n a 与1n a +中插入21n n +-个数，使这21n n ++个数组成一个公差为n d 的等差数列，记数列{}n d 的前n 项和为n S ，(1)求{}n d 的通项公式及n S ；(2)设12nn n na b S -=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T .18．已知函数2()22ln f x x ax x =-+.(1)当22a =()y f x =的单调减区间；(2)若()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，52a ≥，若不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左、右两个顶点分别为A ，B ，直线by x a=与直线x a =的交点为D ，且△ABD 的面积为23(1)求C 的方程；(2)设过C 的右焦点F 的直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =-，直线1l 交C 于M ，N 两点，2l 交C 于G ，H 两点，线段MN ，GH 的中点分别为R ，S ，直线RS 与C 交于P ，Q 两点，记△PQA 与△PQB 的面积分别为1S ，2S ，证明：12S S 为定值.1．C【解析】利用斜率的计算公式即可得出倾斜角．【详解】解：已知直线过点(1,2)-，(3,2+，设直线的倾斜角为α，则tan k α=又[0α∈ ，)π，3πα∴=．故选：C ．【点睛】本题考查直线的倾斜角，掌握斜率的计算公式是解题的关键．2．A【分析】配方后化为标准方程即可得.【详解】由已知圆的标准方程为2213((1)24x y ++-=，圆心是1(,1)2-，半径是2．故选：A ．3．D【分析】由等差数列的性质求得5a ，然后依次求得6a ，公差，最后求得6S ．【详解】∵{}n a 是等差数列，∴375210a a a +==，55a =，所以56657a a a a ==，∴公差652d a a =-=，∴1543a a d =-=-，∴6656(3)2122S ⨯=⨯-+⨯=，故选：D ．4．C【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在y 轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C 经过点()0,1及离心率公式即可求解.【详解】因为双曲线C 经过点()0,1，所以双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为22221(0,0)y xa b a b-=>>.因为双曲线C 经过点(0,1)，所以2222101a b-=，解得1a =．又因为ce a==所以c 则222211b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为221y x -=．故选：C.5．B【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有13C 种方法，放入两个盒子有23C 种方法，所以不同放法的种数为1233C C 6+=.故选：B 6．D【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A ，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B ，求出()P A ，()P AB ，根据条件概率公式()()()P AB P B A P A =求解即可．【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A ，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B ，事件A 包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则422212114348C C C C C 27()C 35P A =+=，又1211434282C C C C 24()C 35P AB ==，则()8()()9P AB P B A P A ==，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为89．故选：D ．7．B【分析】直线MN 的方程为21y x =+，联立直线与抛物线的方程得到12244p x x -+=，结合C 是MN 的中点，可得6p =，由抛物线的定义可将r MF +转化为MC MF +，当,,C P M 三点在一条直线时，可求得r MF +的最小值.【详解】圆C ：()()()222130x y r r -+-=>的圆心()1,3C ，当MN 是圆C 的直径时，直线MN 的斜率为2，设直线MN 的方程为()321y x -=-，化简为：21y x =+，2212y x y px=+⎧⎨=⎩，消去y 可得：()244210x p x +-+=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以12244p x x -+=，因为C 是MN 的中点，所以12241224x x p +-=⇒=，解得：6p =，故()3,0F ，:3l x =-，由抛物线的定义可知，过点M 作MH l ⊥交l 于点H ，过点C 作CP l ⊥交l 于点P ，所以MF MH =，所以=4r MF MC MF CP ++≥=，当,,C P M 三点在一条直线时取等.故选：B.8．D【分析】先判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再比较自变量的大小关系，最后利用函数单调性得到函数值的大小关系.【详解】因函数2()log 2)cos f x x x x =+-的定义域为R ，且22()()[()log 2)cos ][log 2)cos ]f x f x x x x x x x --=----+-122[log 2)log 2)]x x x -=--+2log 0x ==，所以函数()f x 为偶函数；当(0,2)x ∈时，因2t x =单调递增，而2log y t =在定义域内也为增，故由同增异减原则，2log 2)y x =也为增，2log 2)y x x =+也为增，又因cos y x =-在(0,2)x ∈上为增函数，故()f x 在(0,2)上为增函数.又因221(log )(log 3),3a f f ==100.0.9100.9<<=，231log 32,1log 42<<<<由223lg 3lg 4(lg 3)lg 2lg 4log 3log 4lg 2lg 3lg 2lg 3-⋅-=-=⋅，因222lg2lg43lg2lg4()(lg2)(lg3)22+⋅<=<，故321log 4log 32<<<，由2()log 2)cos f x x x x =+-在(0,2)上为增函数可得:0.132(0.9)(log 4)(log 3)f f f <<，即a c b >>.故选：D.9．AD【分析】根据二项式系数之和为2n 运算求解，进而判断A ；根据二项式系数的性质分析判断B ；令1x =，求各项系数之和，进而判断C ；对于D ：结合二项式系数的通项分析判断.【详解】对于A ：由题意可知：各项的二项式系数之和为2128n =，解得7n =，故A 正确；可得7221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于B ：因为7n =，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B 错误；对于C ：令1x =，可得各项系数之和为()7121-=-，故C 错误；对于D ：因为二项展开式的通项为()()72371771C 22C ,0,1,2,,7r rrr r r r T x x r x --+⎛⎫=⋅-=-⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令375r -=，解得4r =，所以5x 的系数为()4472C 560-=，故D 正确；故选：AD.10．BC【分析】A 选项，根据二项分布的方差公式和方差的性质进行计算；B 选项，根据百分位数的定义进行计算；C 选项，根据对立事件的概率和事件独立的条件进行判断；D 选项，根据独立性检验的标准进行判断.【详解】对于A ：根据二项分布的方差公式，可得()11841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴()()23238D X D X +==，∴A 错误；对于B ：1075%7.5⨯=，根据百分位数的定义，这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B 正确；对于C ：∵()23P B =，∴()21133P B =-=，∴()()()1114312P A P B P AB ⨯=⨯==，根据事件独立性的定义可知，事件A 与B 相互独立，∴C 正确；对于D ：根据2χ的值以及常用的概率值与相应临界值可知，依据0.05α=的独立性检验，可得变量x 与y 相互独立，即认为变量x 与y 不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D 错误．故选：BC 11．AC【分析】对于A ，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B ，首先求得D ABC V -，进一步即可验算；对于C ，证明面ADE ⊥面ABC 即可判断；对于D ，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可.【详解】对于A ，1112ABD S =⨯⨯ ，所以表面积为6=A 对；对于B ，如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以2213323AO AM ==⨯⨯，又因为1AD =，所以正三棱锥D ABC -的高为3DO =，所以题图所示几何体的体积为1223346D ABC V V -==⨯⨯⨯=，故B 错；对于C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知,,D O E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ，所以面ADE ⊥面ABC ，故C 正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC，因为AO OM ==所以()111,,0,0,0,,1,0,0,,,222B C E BC BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，所以0102x x y -=⎧⎪⎨---=⎪⎩，不妨取1z =，解得0y x =-=，所以取()0,n =-，又36360,,0,0,,0,,3333A D AD ⎛⎫⎛⎛-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而26660333AD n =--⋅=≠ ，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错.故选：AC.12．141n n a -=-【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可.【详解】设()14n n a a λλ-=++，则143n n a a λ-=+，又因为()1432n n a a n -=+≥，所以33λ=，则1λ=，所以()1141n n a a -+=+，因为1110a +=≠，所以10n a +≠，所以1141n n a a -+=+为常数，所以{}1n a +是首项为1，公比为4的等比数列，所以111144n n n a --+=⨯=，所以141n n a -=-.故答案为：141n n a -=-13．210x y ++=【分析】由导数的几何意义得出切线方程()()1113e xy y n x x -=--，进而由切点的位置得出11,x y ，从而得出切线方程.【详解】设切点坐标为()11,x y ，()13e 1x f x x '=-+，()11113e 1x f x x '=-+.则切线方程为()111113e 1x y y x x x ⎛⎫-=--⎪+⎝⎭，因为()1,1-在切线上，所以()1111113e 11x y x x ⎛⎫-=---⎪+⎝⎭，即()1113e 12x y x =-++又()111ln 13e 2x y x =+-+，所以()111ln 13e 0xx x ++=，令()ln 13e xy x x =++，()131e 1x y x x'=+++，当1x >-时，0'>y ，所以()ln 13e xy x x =++在()1,-+∞上单调递增，所以方程()111ln 13e 0xx x ++=只有唯一解为10x =.即切点坐标为()0,1-，故所求切线方程为12y x +=-，即210x y ++=.故答案为：210x y ++=14．45##0.8【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得22143F P b P F =，再根据正弦定理可知外接圆半径R =，由等面积法可知内切圆半径()3r a c =-，再根据面积比即可计算出离心率45e =.【详解】根据题意画出图象如下图所示：利用椭圆定义可知122PF PF a +=，且122F F c =；又1260F PF ∠=︒，利用余弦定理可知：()2222212121212121212122cos 22PFPF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-∠==221212424122a PF PF c PF PF --==，化简可得22143F P b P F =；所以12PF F △的面积为122212433sin 603231122PF F b S PF PF ⨯=︒=⨯ ；设12PF F △的外接圆半径为R，内切圆半径为r ；由正弦定理可得12122s 2sin n 603i R c F F cF PF ==∠=︒，可得R =；易知12PF F △的周长为121222l PF PF F F a c =++=+，利用等面积法可知()1221323PF F b lr a c r S ===+，解得)r a c ==-；又12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即22π64πRr=，所以8R r =，即可得28R c a r c ===-，所以108c a =；离心率45c e a ==.故答案为：4 5 .【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式12S lr=可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.15．(1)0.96(2)0.8336【分析】（1）根据题意利用独立事件的概率乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意列举所以可能性情况，利用独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，甲购买一盒猕猴桃的概率319420C10.20.96CP=-⨯=.（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：第1周第2周第3周第4周第5周√√√√√√╳√√√√√╳√√√╳√╳√√√√╳√故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率()40.80.20.80.80.80.20.80.20.20.80.80.20.8336 P=+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=.16．（1）证明见解析；（2）11 2B D=【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,AM B N ，因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点，易证1Rt Rt BCF B BN ≅ ，则1CBF BBN ∠=∠．又因为1190BBN BNB ∠+∠=︒，所以1190CBF BNB BF BN ∠+∠=︒⊥，．又因为111111,BF AB BN AB B ⊥= ，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1B B AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B A C ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅= ，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++ ()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+ 1BF EB BF BB =⋅+⋅ 11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭ 11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅ 112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠121=52520255-=，所以BF ED ⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅=⋅==当12a =时，22214a a -+取最小值为272，此时cos θ=所以()minsin θ=112B D =．[方法二]：几何法如图所示，延长EF 交11A C 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE 平面11B BCC FT =．作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1D H B ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//CG AB 交DS 于点G ．由111113C S C G SA A D ==得11(2)3C G t =-．又1111B D BT C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31t s t =+．又111B H BT C F FT =，即11B H =1B H =所以DH ===则11sin B D DHB DH∠==所以，当12t =时，()1min sin DHB ∠=[方法三]：投影法如图，联结1,FB FN，DEF 在平面11BB C C 的投影为1BN F ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS S θ= ．设1(02)BD t t =≤≤，在1Rt DB F中，DF ==在Rt ECF中，EF D 作1B N 的平行线交EN 于点Q ．在Rt DEQ △中，DE 在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF+-∠=⋅()21)35t t +=+，sin DFE ∠1sin 2DFE S DF EF DFE =⋅∠ =13,2B NF S = 1cos B NF DFES S θ=sin θ，当12t =，即112B D =，面11BB CC 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小，最小值为3．【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE 在面11BB C C 上的投影三角形的面积与DFE △面积之比即为面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．17．(1)111n d n n =-+，1n nS n =+(2)1362n n n T -+=-【分析】（1）根据等差数列的定义求等差数列的公差，再用裂项求和法求n S .（2）利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）因为在n a n =，11n a n +=+之间插入21n n +-项，使这21n n ++个数成公差为n d 的等差数列，所以()()2111n n nd nn +-=++-⇒21111n d n n n n ==-++，所以11111122311n n S n n n =-+-++-=++ .（2）易知112n n n -+=，所以012123412222nn n T -+=++++ ，123112341222222n n n n n T -+=+++++ 两式相减得12311111112222222n n nn T -+⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 111122132312212n n nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=+-=--，所以1362n n n T -+=-.18．(1))1-；(2)9,ln28⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦.【分析】(1)a =f(x)求导，解()0f x '<得递减区间；(2)分析出由()0f x '=所得的一元二次方程的两根12,x x 的关系，再对12()f x mx ≥分离参数，消元，构建新函数，求其最小值即得.【详解】(1)2222()2(0)x f x x x x x-+'=-+=>，令()0f x '=得11x +，21x =，由()0f x '<11x -<+.所以，()f x的单调减区间为)1-.(2)()()221x ax f x x-+'=，∵()f x 有两个极值点12,x x ，且12xx <，∴12,x x 是方程210x ax -+=的两正根，则1252x x a +=≥，121=x x ，不等式()12f x mx ≥恒成立，即()12f x m x ≤恒成立，∴()213211111112222ln 22ln f x x ax x x ax x x x x -+==-+()323112*********ln 22ln x x x x x x x x x x =-++=--+，由12x x a +=，121=x x ，得11152x x +≥，∴1102x <≤，令()3122ln ,02x x x x x x ϕ=--+<≤，()232ln x x x ϕ'=-+，令()232ln h x x x =-+，()()22213620x x h x x x-='-+=>，h(x)在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，则有()1312ln 0242h x h ⎛⎫≤=-+< ⎪⎝⎭即()0x ϕ'<，∴()x ϕ在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，∴()19ln228x ϕϕ⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭，故9,ln28m ⎛⎤∈-∞-- ⎥⎝⎦【点睛】不等式的恒成立，求参数的取值范围问题，等价转化是解题的关键，借助分离参数，构造函数，求其最值的思想.19．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）联立方程组，求出D 点坐标，然后利用三角形面积列出,a b 的一个方程，再结合题目所给离心率为12，解出,a b 即可（2）先设出直线12,l l 的方程，分别与椭圆联立方程组，求出交点坐标，再根据PQ 斜率是否存在分类讨论，求出直线PQ 所过定点，最后利用高相等，面积比等于底边之比求出答案即可【详解】（112=，所以b a ①由b y xa x a⎧=⎪⎨⎪=⎩，知(),D a b 由△ABD的面积为122a b ⨯⨯==ab ②由①②解得2,a b =⎧⎪⎨⎪⎩.所以C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题意知()1,0F ，()11:1k l y x =-，()22:1l y k x =-，联立方程()1221,1,43y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22221114384120k x k x k +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则211221843k x x k +=+，所以2121214243x x k k +=+，代入直线1l 的方程121213243y y k k +-=+，所以211221143,4343k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理得222222243,4343k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线PQ 的斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，将点R ，S 的坐标代入，得()()21122244330,44330,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知1k ，2k 为方程()244330m n k k n +++=的两个根，则123244n k k m n ⋅==-+，得811n m =-，所以直线88:1111PQ y mx m m x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以直线PQ 过定点8,011E ⎛⎫⎪⎝⎭.②当直线PQ 的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，因为122k k =-不妨设1k =，2k =22122212448434311k k k k ==++即直线8:11PQ x =，满足过定点8,011E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为PQA △的面积为112P Q S AE y y =-，PQB △的面积为212P Q S BE y y =-，所以1282151187211AE S S BE +===-，为定值.。

高二年级下学期期末考试数学试卷(考试时间：120分钟；满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设103iZ i=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．243．已知(1,21,0),(2,,),a t t b t t b a =--=-则的最小值是( )A B C D4．已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0,OA OB OC ++=则正三棱锥的体积为( )A ．4 B ．34C ．2D ．4 5．已知函数(),1,x xf x a b e=-<<且则( ) A ．()()f a f b = B ．()()f a f b <C ．()()f a f b >D ．()()f a f b ，大小关系不能确定 6．若随机变量~(,),X B n p 且()6,()3,(1)E X D X P X ===则的值为( ) A ．232-• B ．42- C ．1032-• D ．82-7．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成()f n 个区域，则()f n 的表达式为( )A ．1n +B ．2nC ．222n n ++ D ．21n n ++10．设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =，则m =( )A ．5B ．6C ．7D ．811．已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)(1,)r s 与的残差相同，则有( )A ．r s =B ．2s r =C ．23s r =-+D ．21s r =+12．设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线(2)y ln x =上，则PQ 的最小值为( )A ．12ln - B2)ln - C ．12ln + D2)ln + 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数5()12iz i i =+是虚数单位，则z =__________；14．直线21cos ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________； 15．二项式822x y 的展开式中，的系数为__________； 16．已知11()123f n =+++…*15(),(4)2,(8),(16)32n N f f f n +∈>>>经计算得，7(32),2f >则有__________(填上合情推理得到的式子)．三、解答题（本大题共6小题，17小题10分， 18-22题每小题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知曲线C 的极坐标方程是2()3cos πρθ=+，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1,()2x t t y =--⎧⎪⎨=+⎪⎩是参数，设点(1,2)P -． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求PM PN •的值．18．我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关，采用简单随机抽列联表：已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是3．(Ⅰ)请完成上面的22⨯列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有关”？请说明理由．22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++（参考公式：其中）19．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设123,,a a a 分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数． (Ⅰ)求1232,1,0a a a ===的概率；(Ⅱ)记12,a a ξ=+求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．20．已知数列1111{},,21n n nx x x x +==+满足 其中n N *∈ . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论.21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，,AD BC >090BAD ∠=，,,PA ABCD PA AB ⊥=底面点E PB 是的中点． (Ⅰ)证明：PC AE ⊥；(Ⅱ)若1,3,AB AD PA ==且与平面PCD 所成角的大小为045，求二面角A PD C --的正弦值．22．已知函数(),()()ln xg x f x g x ax x==-. （Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()1,a +∞上是减函数，求实数的最小值；（Ⅲ）若21212,[,],()()(0)x x e e f x f x a a '∃∈≤+>使成立，求实数a 的取值范围.下学期高二年级期末考试数学参考答案一、选择题二、填空题13．14． 15．70 16．*2(2)(2,)2n n f n n N +>≥∈ 三、解答题17．解：(Ⅰ) 曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为：22x y x +=- ，即221()(122xy -++= ；直线l 20y ++= ．(Ⅱ) 直线l 的参数方程化为标准形式为11,2()22x m m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数，①将①式代入22x y x +=，得：23)60m m +++= ，②由题意得方程②有两个不同的根，设12,m m 是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：12PM PN m m •=•=6+． (Ⅱ)根据列联表数据，得到2260(1422618) 3.348 2.706,32282040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”．19．解：由题意知，每次抛掷骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为111,,632．(Ⅰ) 由题意知，满足条件的情况为两次掷出1点，一次掷出2点或3点，121233111(2,1,0)()()6336p p a a a C ====== ．(Ⅱ) 由题意知，ξ可能的取值是0，1，2，3 ．1231(0)(0,0,3),8p p a a a ξ======12121231233311113(1)(0,1,2)(1,0,2)()()()()32628p p a a a p a a a C C ξ=====+====+=123123123(2)(2,0,1)(1,1,1)(0,2,1)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===1231233311111113()()()()()()()62632328C A C =++=123123123(3)(0,3,0)(1,2,0)(2,1,0)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===+1231(3,0,0)8p a a a ====．故ξ的分布列为：期望()012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ．20．解：（Ⅰ）由121112,213x x x ===+得； 由232213,315x x x ===+得； 由343315,518x x x ===+得； 由454518,8113x x x ===+得； 由5658113,13121x x x ===+得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知246,x x x >>猜想：数列2{}n x 是递减数列. 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，已证命题成立；②假设当n k =时命题成立，即222k k x x +>. 易知20k x >，当1n k =+时，2224k k x x ++- 21231111k k x x ++=-++23212123(1)(1)k k k k x x x x ++++-=++22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++-=>++++即2(1)2(1)2k k x x +++>.也就是说，当1n k =+时命题也成立.根据①②可知，猜想对任何正整数n 都成立.21． 解：解法一（向量法）：建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．根据题设，可设(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)D a B b P b C c b ， （Ⅰ）证明：0,,22b b AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(,,)PC c b b =-， 所以0()022bb AE PCc b b ⋅=⨯+⋅+⋅-=， 所以AE PC ⊥，所以PC AE ⊥．（Ⅱ）解：由已知，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)AB =． 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =， 由0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,00,cx y z y z +-=⎧⎪+⋅-=令1z =，得11m ⎫=⎪⎭．而(0,0,1)AP =，依题意PA 与平面PCD 所成角的大小为45︒，所以||sin 45||||m AP m AP ⋅︒==，即=，解得32BC c =（32BC c ==去），所以2133m ⎛⎫=⎪⎪⎭． 设二面角A PD C --的大小为θ，则233cos ||||12133m ABm AB θ⋅===++， 所以6sin θ，所以二面角A PD C --的正弦值为6． 解法二（几何法）：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥． 又由ABCD 是梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，知BC AB ⊥，而AB AP A =，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ． 因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．又PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．因为PB BC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ． 因为PC ⊂平面PBC ，所以AE PC ⊥． （Ⅱ）解：如图4所示，过A 作AF CD ⊥于F ，连接PF ， 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，则CD ⊥平面PAF ，于是平面PAF ⊥平面PCD ，它们的交线是PF ． 过A 作AG PF ⊥于G ，则AG ⊥平面PCD ， 即PA 在平面PCD 上的射影是PG ，所以PA 与平面PCD 所成的角是APF ∠．由题意，45APF ∠=︒． 在直角三角形APF 中，1PA AF ==，于是2AG PG FG ===． 在直角三角形ADF 中，3AD ，所以2DF = 方法一：设二面角A PD C --的大小为θ， 则2232cos 13PDG APDS PG DF S PA AD θ⋅===⋅⨯△△，所以sin θ，所以二面角A PD C --方法二：过G 作GH PD ⊥于H ，连接AH ，由三垂线定理，得AH PD ⊥，所以AHG ∠为二面角A PD C --的平面角， 在直角三角形APD中，2PD =，PA AD AH PD ⋅===． 在直角三角形AGH中，sin AG AHG AH ∠===， 所以二面角A PD C --22．解：由已知，函数()g x ，()f x 的定义域为(0,1)(1,),+∞ 且()ln xf x ax x=-. （Ⅰ）函数221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x g x x x -⋅-'==， 当01()0x e x g x '<<≠<且时，；当()0x e g x '>>时，.所以函数()g x 的单调减区间是(0,1),(1,),()e e +∞增区间是，. （Ⅱ）因()f x 在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立. 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤. 又222ln 111111()()(),(ln )ln ln ln 24x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+- 故当11,ln 2x =即2x e =时，max 1()4f x a '=-. 所以1110,,444a a a -≤≥于是故的最小值为.（Ⅲ）命题“若21212,[,],()()x x e e f x f x a '∃∈≤+使成立”等价于 “当2min max [,],()()x e e f x f x a '∈≤+时有” . 由（Ⅱ）知，当2max max 11[,],(),()44x e e f x a f x a ''∈=-∴+=时有.问题等价于：“2min 1[,],()4x e e f x ∈≤当时有” .① 当14a ≥时，由（Ⅱ）知，2()[,]f x e e 在上为减函数，则222min2111()(),2424e f x f e ae a e==-≤≥-故 .②当104a <<时，由于2111()()ln 24f x a x '=--+-在2[,]e e 上为增函数，故21()(),(),4f x f e f e a a '''的值域为[],即[--] .由()f x '的单调性和值域知，200,,()0x e e f x '∃∈=唯一()使，且满足：当0,,()0,()x e x f x f x '∈<()时为减函数； 当20,,()0,()x x e f x f x '∈>()时为增函数； 所以，20min 00001()(),(,)ln 4x f x f x ax x e e x ==-≤∈ . 所以，2001111111,ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-= 与104a <<矛盾，不合题意. 综上，得21124a e ≥-.高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知集合{}322+<=x x x M ，{}2<=x x N ，则=⋂N M ( )A ．(-1，2)B ．(-3，2)C ．(-3，1)D ．(1，2)2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天骄”。

运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４ ７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。

答案一律写在答题卡上。

注意事项：１ 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

２ 答题时使用０ ５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

３ 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

４ 保持卡面清洁，不折叠，不破损。

一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（ ）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，Ａ Ｕ，Ｂ Ｕ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ ＡＤ．６ 瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８ ９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的 ２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附： ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”： ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘ ｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａ ｂ）－ｃ与（ａ－ｃ） （ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２） （ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ ｘ） （－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学　张阳朋运城中学　吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四 、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分 故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=， 当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增， 此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分 当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值， 此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分 故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分 所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分 令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型 合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分 根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分 由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分 依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分 （3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分 所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分 所以()11052E ξ=⨯=． ………8分 （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分 由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分 （3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。

一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分，请将正确答案填涂在答题纸上．）1．设i 是虚数单位，则1=（）．1-i 3C．1-i D．1+i11A．-i22【答案】A【解析】11B．+i221111-i 11====-i ．3321-i 1-i ⋅i 1+i 1-i 22故选A ．⎛π⎫⎛3π⎫2．在极坐标系中，点 1,⎪与点 1,⎪的距离为（）．⎝4⎭⎝4⎭A．1【答案】BB．2C．3D．5⎛22⎫⎛22⎫⎛π⎫⎛3⎫,1,1,π-, ⎪【解析】将极坐标中 ⎪两点⎪与 ⎪点化成直角坐标中的点坐标 22⎪与 4422⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛22⎫⎛22⎫的距离d = ++-=2．⎪ ⎪ 2⎪ ⎪2⎭⎝22⎭⎝22故选B ．3．已知直线y =x +1与曲线y =ln(x +a )相切，则a 的值为（）． A．1【答案】B【解析】∵曲线y =ln(x +a )的斜率k =∴x =1-a ①，且两者相交于同一点，即x +1-ln(x +a )②，联立①②可得a =2．故选B ．⎧⎪x =-1+2cos θ4．圆⎨，（θ为参数）被直线y =0截得的劣弧长为（）．y =1+2sin θ⎪⎩B．2C．-1D．-21，当k =1时，x +a A．2π2B．πC．22πD．4π【答案】A【解析】将圆的参数方程化成一般方程为(x+1)2+(y-1)2=2，圆心(-1,1)到直线y=0的距离d=1，所截得弦长l=2r2-d2=2，∴劣弧所对的圆心角θ有sin ∴θ2=12=2，2θ2=ππ，θ=，24112，即为⨯2πr=π．442∴劣弧弧长为周长的故选A．π⎫π⎫⎛⎛5．直线ρsin θ+⎪=4与圆ρ=4sin θ+⎪的位置关系是（）．4⎭4⎭⎝⎝A．相交但不过圆心【答案】CB．相交且过圆心C．相切D．相离π⎫⎛【解析】直线ρsin θ+⎪=4可化成y+x-42=0，4⎭⎝π⎫⎛圆ρ=4sin θ+⎪可化成(x-2)2+(y-2)2=4，4⎭⎝圆心(2,2到直线的距离d=)|2+2-42|1+122=2=r，说明圆与直线相切．故选C．6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（）．A．0.378【答案】D【解析】第一次落地打破的概率为P1=0.3，第二次落地打破的概率为P2=0.7⨯0.4=0.28，第三次落地打破的概率为P3=0.7⨯0.6⨯0.9=0.378，∴落地3次以内被打破的概率P=P1+P2+P3=0.958．故选D．B．0.3C．0.58D．0.9587．若函数f (x )=12x -ln x 在其定义域的一个子区间(k -1,k +1)上不是单调函数，则实数k 的2取值范围是（）． A．(1,2)【答案】A2121x -1(x >0)，【解析】∵f (x )=x -ln x ，f '(x )=x -=2x xB．[1,2)C．[0,2)D．(0,2)令f '(x )>0，有x >1，令f '(x )<0，有0<x <1，当f (x )在(k -1,k +1)上不是单调函数，则有0<k -1<1，解得1<k <2．故选A ．8．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ．倒霉和李华在下落的过程中撞到了从A 到I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这9根树枝不同的撞击次序有（）种． A．23【答案】D【解析】由题可判断出树枝部分顺序GABCEF ，还剩下D ，H ，I ，先看树枝I 在C 之前，有4种可能，而树枝D 在BE 之间，H 在D 之后，若I 在BC 之间，D 有3种可能：①若D 在BI 之间，H 有5种可能，②若D 在IC 之间，H 有4种可能，③若D 在CE 之间，H 有3种可能．若I 不在BC 之间，则I 有3种可能，此时D 有2种可能，B．24C．32D．33D 可能在BC 之间，H 有4种可能，D 可能在CE 之间，H 有3种可能，综上共有5+4+3+3(4+3)=12+21=33．故选D ．二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分．将正确答案填写在答题卡要求的空格中．）9．若(x -a )5的展开式中x 2项的系数是10，则实数a 的值是__________．【答案】-12(-a )3=-10a 3=10，【解析】(x -a )5展开式中x 2系数为C 5可得a =-1．10．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、1+2i 、-2+i ，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________．【答案】(-1,3)【解析】正方形三个顶点对应的坐标为(0,0)，(1,2)，(-2,1)，设第4个顶点为(a ,b )，则(a -1,b -2)=(-2-0,1-0)=(-2,1)，∴a =-1，b =3，即第4个顶点为(-1,3)．11．设随机变量ξ~B (2,p )，η~B (4,p )，若p (ξ≥1)=【答案】5，则p (η≥2)的值为__________．91127【解析】∵随机变量ξ~B (2,p )，p (ξ≥1)=5，9502∴1-C 2p =，9∴p =2，3⎛2⎫∴η~B 4,⎪，⎝3⎭1⎛2⎫11⎛1⎫⎛2⎫4⎛2⎫⨯+C =∴p (η≥2)=C ⎪ ⎪+C 3．44 ⎪⎪3⎝3⎭27⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭24222312．设a >1，b >1，若ln a -2a =ln b -3b ，则a ，b 的大小关系为__________．【答案】b <a【解析】∵ln a -2a =ln b -2b -b ，令f (x )=ln x -2x (x >1)，∴f (a )=f (b )-b ，∴f (b )-f (a )=b >1，∴f (b )>f (a )，1∵f '(x )=-2<0，即f (x )在(1,+∞)单调递减，x ∴b <a ．13．抛物线C :x 2=4y 与经过其焦点F 的直线l 相交于A ，B 两点，若|AF |=5，则|AB |=__________，抛物线C 与直线l 围成的封闭图形的面积为__________．【答案】25125；244【解析】∵抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1)，|AF |=5，由抛物线性质可知，A 点到准线y =-1距离为5，∴A 的纵坐标y A=4，∴A (±4,4)，当A 为(4,4)时，kAB =∴直线AB 为y =4-13=，4-043x +1，41⎫⎛联立直线与抛物线，解得另一交点B 坐标为 -1,⎪，4⎭⎝25⎛1⎫∴AB =(-1-4)+ -4⎪=，4⎝4⎭24⎛3125⎫12S =x +1-x d x =所围成的封闭面积．⎪⎰-1⎝4⎭4242L ，a n(n ∈N *)，14．对于有n 个数的序列A 0:a 1，a 2，实施变换T 得新序列A 1:a 1+a 2，a 2+a 3，L ，an -1+a n，记作A 1=T (A 0)；对A 1继续实施变换T 得新序列A 2=T (A 1)=T (T (A 0))，记作A 2=T 2(A 0)；L ，An -1=T n -1(A 0)．最后得到的序列An -1只有一个数，记作S (A 0)．（1）若序列A 0为1，2，3，4，则序列A 2为__________．（2）若序列A 0为1，2，L ，n ，则序列S (A 0)=__________．【答案】（1）8，12（2）(n +2)⨯2n -1【解析】（1）由题意A 1:1+2，2+3，3+4，A 2:1+2+2+3，2+3+3+4，即A 2为8，12．（2）n =1时，S (A 0)=1+2=3，n =2时，S (A 0)=1+2+2+3+2+3+3+4=1+2⨯3+3⨯3+4=20，L L12n -2n -1联n -1时，S (A 0)=C 0n -1⋅1+C n -1⋅2+C n -1⋅3+L C n -1(n -1)+C n -1⋅n ，12n -1n 联n 时，S (A 0)=C 0n -1⋅1+C n -1⋅2+C n -1⋅3+L C n⋅n +C n⋅(n +1)，利用倒序相加可得：S (A 0)=n +2n ⨯2=(n +2)⋅2n -1．2三、解答题（共六道小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分）一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个小球，以X 表示取出的3个球中最小的号码数，求X 的分布列和期望．【答案】【解析】16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=ax 2+bx +c ，x ∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数f (x )的值域为[0,9]，过动点P (t ,f (t ))作x 轴的垂线，垂足为A ，连接OP ．（1）求函数f (x )的解析式．（2）记△OAP 的面积为S ，求S 的最大值．yPxOA6【答案】见解析．【解析】（2）S△OAP=11|OA |⋅|AP |=t (6t -t 2)，t ∈(0.6)，221S (t )=t (6t -t 2)，23S '(t )=6t -t 2，2t(0,4)+40(4,6)S '(t )-S (t )单调递增极大值单调递减12当t =4时，S (t )max=S (4)=⨯4(6⨯4-4)=16，2即△AOP 面积最大值为16．17．（本题满分14分）某保险公司开设的某险种的基本保费为1万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下：本年度出险次数01234≥5下一次保费（单位：万元）0.8511.251.51.752设今年初次参保该险种的某人准备来年继续参保该险种，且该参保人一年内出险次数的概率分布列如下：一年内出险次数概率1234≥50.300.150.200.200.100.05（1）求此续保人来年的保费高于基本保费的概率．（2）若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率．（3）求该续保人来年的平均保费与基本保费的比值．【答案】（1）0.55．（2）3．（3）1.23．11【解析】（1）设出险次数为事件X ，一续保人本年度的保费为事件A ，则续保人本年度保费高于基本保费为事件C ，则P (C )=P (A >a )，P (C )=P (x =2)+P (x =3)+P (x =4)+P (x ≥5)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55．（2）设保费比基本保费高出60%为事件B ，P (B /C )=P (BC )P (x =4)+P (x =5)0.1+0.053===．P (C )P (C )0.5511（3）平均保费E (A )=0.85⨯0.3+0.15+0.2⨯1.25+0.2⨯1.5+0.1+1.75+2⨯0.05=1.23，∴平均保费与基本保费比值为1.23=1.23．118．（本题满分14分）设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)．（1）求函数f(x)的单调区间．（2）当0<a<2时，求函数g(x)=f(x)-x2-ax-1在区间[0,3]的最小值．【答案】【解析】19．（本题满分14分）某校准备举办一次体操比赛，邀请三位评委（编号分别为1，2，3）打分，比赛采用10分制，评委的打分只能为正整数，据赛前了解，参赛选手均为中上水平，并无顶级选手参赛，已知各评委打分互不影响，并且评委i(i=1,2,3)一次打分与选手真实水平差异Xi服从分布如下：X1-101P 11p1 24X2-101P 11p2 42X3-101P 现有两个给分方案：11p3 44方案一：从三位评委给分中随机抽一个分数作为选手分数．方案二：从三位评委给分中分别去掉最高分，去掉最低分，将剩下那个分数作为选手分数．（1）p1=__________，p2=__________，p3=__________，评委__________水平最高．（2）用随机变量X表示使用方案一时选手得分与其真实水平差异，用随机变量Y表示使用方案二时选手得分与其真实水平差异，分别求出X，Y的分布列．（3）如果请你来决策，你会选哪种方案？请说明理由．【答案】【解析】20．（本题满分14分）1设函数f(x)=2x3，g(x)=x+x3．（1）令h(x)=f(x)-g(x)，求证：函数h(x)只有-1，0，1三个零点．（2）若数列{an}(n∈N*)满足：a1=a，f(an+1)=g(an)．求证：存在常数M，使得∀n∈N*，都有an≤M．【答案】【解析】。

蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高二数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为（）A.n ∀∈Z ，n ∉QB.n ∀∈Q ，n ∈ZC.n ∃∈Z ，n ∈QD.n ∃∈Z ，n ∉Q2.若lg πa =，ln πb =，lg e c =，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c>> B.b a c>> C.a c b>> D.c a b >>3.已知向量()1,2a =r ，()4,3b = ，则向量b 在a上的投影向量的坐标是（）A.()2,4B.(C.24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,55⎛⎫⎪⎝⎭4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或95.在()521x -的展开式中，3x 的系数是（）A.80- B.40- C.20 D.806.ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()tan sin 2f x x =，则函数()f x 的解析式为（）A.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪-⎝⎭Z B.()221xf x x =-C.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪+⎝⎭Z D.()221x f x x =+8.已知事件A ，B ，()13P B =，()34P B A =，()12P B A =，则()P A =（）A.14B.13C.23D.34二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知由样本数据点集合(){,|1,2,,}i i x y i n = ，求得的回归直线方程为 1.5.5ˆ0yx =+，且3x =，现发现两个数据点()1.3,2.1和()4.7,7.9误差较大，剔除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（）A.变量x 与y 具有负相关关系B.剔除后y 不变C.剔除后的回归方程为 1.2.4ˆ1yx =+ D.剔除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.0510.函数()()(]ππ0,2,,22f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.()()πf x f x +=B.π4x =-是曲线()y f x =的一条对称轴C.函数3π8f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数D.若方程()1f x =在()0,m 上有且仅有6个解，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ．若函数()23f x -的图象关于点(2,1)对称，()()3310f x f x ++-=且()02f =-，则（）A.()f x 的图象关于点(1,1)对称B.()()4f x f x +=）C.()()10262f f ''= D.()5012501i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2log 1M x x a =-<，若2M ∉，写出一个满足题意的实数a 的值：__________.13.安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A 项工作，则不同的安排方式有______种（用数字作答）.14.函数()e xf x x =在0x =处的切线方程为_________；若()()ln 2g x f x x x a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()32212f x x ax x b =-++在2x =处取得极小值5.（1）求实数a ，b 的值；（2）当[]0,3x ∈时，求函数()f x 的最大值.16.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），223.8σ=．（1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；（2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列，数学期望与方差．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则(),0.6827P μσμσ-+≈，()2,20.9545P μσμσ-+≈，()3,30.9973P μσμσ-+≈．17.我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段（19岁以上）的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为316．（1）请将下列2×2列联表直接补充完整．偏好新能源汽车偏好燃油车合计19~35岁35岁以上合计并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关？（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.1000.0500.0100.0050.001αχ2.7063.8416.6357.87910.82818.定义函数()sin cos f x m x n x =+的“伴随向量”为(),a m n = ，向量(),a m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+．（1）若向量(),a m n = 的“伴随函数”()f x 满足π7π9tan 11π918f f ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，求n m的值；（2）已知2a b == ，设()0,0OP a b λμλμ=+>> ，且OP的“伴随函数”为()g x ，其最大值为t ，求()()2t λμ-+的最小值，并判断此时向量a ，b的关系．19.若非空集合A 与B ，存在对应关系f ，使A 中的每一个元素a ，B 中总有唯一的元素b 与它对应，则称这种对应为从A 到B 的映射，记作f ：A →B ．设集合{}5,3,1,1,3,5A =---，{}12,,,n B b b b = （*n ∈N ，6n ≤），且B A ⊆．设有序四元数集合()1234{,,,,i P X X x x x x x A ==∈且1,2,3,4}i =，(){}1234,,,Q Y Y y y y y ==．对于给定的集合B ，定义映射f ：P →Q ，记为()Y f X =，按映射f ，若i x B ∈（1,2,3,4i =），则1i i y x =+；若i x B ∉（1,2,3,4i =），则i i y x =．记()41B ii S Y y ==∑．（1）若{}5,1B =-，()1,3,3,5X =--，写出Y ，并求()B S Y ；（2）若{}123,,B b b b =，()1,3,3,5X =--，求所有()B S Y 的总和；（3）对于给定的()1234,,,X x x x x =，记41ii xm ==∑，求所有()B S Y 的总和（用含m 的式子表示）．蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高二数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为（）A.n ∀∈Z ，n ∉QB.n ∀∈Q ，n ∈ZC.n ∃∈Z ，n ∈QD.n ∃∈Z ，n ∉Q【答案】D 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定求解即可.【详解】命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为“n ∃∈Z ，n ∉Q ”.故选：D.2.若lg πa =，ln πb =，lg e c =，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】应用对数函数单调性判断大小即可.【详解】因为lg y x =单调递增，又πe >,所以lgπlge >,可得a c >;又因为πlog y x =单调递增，又10e >,所以ππlog 10log e>0>,所以ππ11,lgπlnπlog 10log e<<,可得a b <,所以b a c >>.故选：B.3.已知向量()1,2a =r ，()4,3b = ，则向量b 在a上的投影向量的坐标是（）A.()2,4B.(C.24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据坐标计算,a a b ⋅，然后由投影向量公式可得.【详解】因为142310a a b ==⋅=⨯+⨯= ，所以向量b 在a上的投影向量为()()21021,22,45a b a a a⋅===.故选：A4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或9【答案】C 【解析】【分析】由题可得2130mm ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.【详解】∵函数()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，()3f m =，∴2130mm ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =.故选：C.5.在()521x -的展开式中，3x 的系数是（）A.80-B.40- C.20D.80【答案】D 【解析】【分析】先求出5(21)x -展开式中的通项，再求出k 值即可．【详解】5(21)x -展开式中的通项公式为：555155C (2)(1)C (1)2k k k kk k k k T x x ---+=-=-，令53k -=，则2k =，5(21)x ∴-展开式中3x 的系数为2235C (1)280-=，故选：D ．6.ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】cos2cos2A B <等价于sin sin A B >，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.【详解】在三角形中，因为cos2cos2A B <，所以2212sin 12sin A B -<-，即sin sin A B >若A B >，则a b >，即2sin 2sin R A R B >，sin sin A B >若sin sin A B >，由正弦定理sin sin a b A B=，得a b >，根据大边对大角，可知A B >所以“A B >”是“cos2cos2A B <”的充要条件故选：C7.已知函数()tan sin 2f x x =，则函数()f x 的解析式为（）A.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪-⎝⎭Z B.()221xf x x =-C.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪+⎝⎭Z D.()221x f x x =+【答案】D 【解析】【分析】由二倍角公式以及平方关系、商数关系即可得解.【详解】()()2222sin cos 2tan tan sin 2,tan R sin cos tan 1x x xf x x x x x x ===∈++，所以()221xf x x =+.故选：D.8.已知事件A ，B ，()13P B =，()34P B A =，()12P B A =，则()P A =（）A.14B.13C.23D.34【答案】C 【解析】【分析】应用条件概率公式及全概率公式计算即可.【详解】因为()()()()()()31,42P BA P B A P B A P B A P A P A====,所以()()11,42P B A P B A ==,所以()()()()()()()()1111423P B P A P B A P A P B A P A P A =+=⨯+-⨯=,所以()23P A =.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知由样本数据点集合(){,|1,2,,}i i x y i n = ，求得的回归直线方程为 1.5.5ˆ0yx =+，且3x =，现发现两个数据点()1.3,2.1和()4.7,7.9误差较大，剔除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（）A.变量x 与y 具有负相关关系B.剔除后y 不变C.剔除后的回归方程为 1.2.4ˆ1yx =+ D.剔除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.05【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，利用回归直线方程的性质、残差的基本概念等进行解题.【详解】对于A ，由剔除前回归直线的斜率为1.5，剔除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，两者均大于0，则变量x 与y 具有正相关关系，A 错误；对于B ，剔除前 1.50.55y x =+=，而剔除的两个数据点1.3 4.732x +==，2.17.952y +==，因此剔除后y 不变，B 正确；对于C ，剔除后3x =，5y=，而回归直线l 的斜率为1.2，则回归直线方程为ˆ 1.2 1.4yx =+，C 正确；对于D ，剔除后的回归直线方程为ˆ 1.2 1.4yx =+，当2x =时，ˆ 3.8=y ，则残差为3.75 3.80.05-=-，D 错误.故选：BC10.函数()()(]ππ0,2,,22f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.()()πf x f x +=B.π4x =-是曲线()y f x =的一条对称轴C.函数3π8f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数D.若方程()1f x =在()0,m 上有且仅有6个解，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】由(0)1f ϕ==-及π()08f =，可求得π())4f x x =-，从而判断A ，B ，C ；解出()1f x =的6个正根，再求出第7个正根，即可得m 的范围，从而判断D ．【详解】解：对于A ．(0)1f ϕ==-，即sin 2ϕ=-，又因为ππ[,]22ϕ∈-，所以4πϕ=-，所以π())4f x x ω=-，又因为π()08f =，ππsin()084ω-=，所以ππ84k ωπ-=，k ∈Z ，解得82k ω=+，k ∈Z ，又因为(0,2]ω∈，所以0k =，2ω=，所以π())4f x x =-，所以2ππ2T ==，所以(π)()f x f x +=，故A 正确；对于B ．因为π())4f x x =-，所以π3π()144f -=-=-≠所以π4x =-不是函数的对称轴，故B 错误；对于C ．因为3π(π)28f x x x -=-=，易知此时函数为奇函数，故C 正确；对于D．πππ()1)1sin(2)22π44244f x x x x k π=⇔-=⇔-=⇔-=+，k ∈Z或()π3π22π,44x k k -=+∈Z ，即π()1π4f x x k =⇔=+，k ∈Z 或()π,2x k k π=+∈Z ，若方程()1f x =在(0,)m 上有且只有6个根，则将它们从小到大排列为：π4，π2，5π4，3π2，9π4，5π2，由规律可知，大于5π2且离5π2最近的使得()1f x =的x 为13π4，所以5π13π(,24m ∈，故D 正确．故选：ACD ．11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ．若函数()23f x -的图象关于点(2,1)对称，()()3310f x f x ++-=且()02f =-，则（）A.()f x 的图象关于点(1,1)对称B.()()4f x f x +=）C.()()10262f f ''=D.()5012501i f i ==∑【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可判断A ；结合()(2)2f x f x +-=和(3)(3)10f x f x ++-=，化简得到()(4)8f x f x =+-，可判断B ；对(3)(3)10f x f x ++-=和()(2)2f x f x +-=，两边同时求导，得()(4)f x f x ''=+，从而得()f x '是以4为周期的周期函数，即可判断C ；令()()2g x f x x =-，可得()g x 的周期为4，且令()()2f x g x x =+，用赋值法求得(1)1g =-，(2)0=g ，(3)1g =-，(4)2g =-，根据501()(1)(2)(50)(1)(2)(50)2(12350)i f i f f f g g g ==++=+++++++∑ 求解即可．【详解】解：A ．设函数()y f x =的图象关于(,)a b 对称，则(3)y f x =-关于(3,)a b +对称，可得(23)f y x =-关于3(,)2a b +对称，因为函数(23)f x -的图像关于点(2,1)对称，可得322a +=，1b =，解得1a =，1b =，所以函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，所以A 正确；B ．由函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，可得()(2)2f x f x +-=，因为(3)(3)10f x f x ++-=，可得(4)(2)10f x f x ++-=，两式相减得(4)()8f x f x +-=，即(4)()8f x f x +=+，所以B 不正确；C ．由(3)(3)10f x f x ++-=，可得(3)(3)0f x f x ''+--=，即(3)(3)f x f x ''+=-，所以(6)()f x f x ''+=-，在()(2)2f x f x +-=中，两边求导得：()(2)0f x f x ''--=，即()(2)f x f x '=-，(2)()f x f x ''+=-，所以(2)(6)f x f x ''+=+，即()(4)f x f x ''=+，所以()y f x '=的周期为4，所以(1026)(2)f f ''=，故C 正确；D ．令()()2g x f x x =-，可得(4)(4)2(4)(4)28g x f x x f x x +=+-+=+--，因为()(4)8f x f x =+-，所以(4)(4)28()2()g x f x x f x x g x +=+--=-=，所以()(4)g x g x =+，所以函数()g x 是以4为周期的周期函数，因为(0)2f =-，且函数()f x 关于(1,1)对称，可得f （1）1=，f （2）2(0)4f =-=，又因为(3)(3)10f x f x ++-=，令0x =，可得2(3)10f =，所以(3)5f =，再令1x =，可得(4)(2)10f f +=，所以(4)6f =，由()()2g x f x x =-，可得(1)1g =-，(2)0=g ，(3)1g =-，(4)2g =-，可得(1)(2)(3)(4)4g g g g +++=-，又由函数()()2g x f x x =-是以4为周期的周期函数，且()()2f x g x x =+，所以501()(1)(2)(50)(1)(2)(50)2(12350)i f i f f f g g g ==++=+++++++∑ 12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)2(1250)g g g g g g =++++++++ 50(150)12(4)10225012+=⨯--++⨯=，所以D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是求出函数的周期以及一个周期内函数值的和，最后求和即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2log 1M x x a =-<，若2M ∉，写出一个满足题意的实数a 的值：__________.【答案】2（本题答案不唯一，只要所写数值满足(][),02,a ∈-∞⋃+∞即可）【解析】【分析】解对数不等式求出集合M ，然后根据2M ∉可得a 的范围，即可得答案.【详解】由()2log 1x a -<得02x a <-<，即2a x a <<+，所以(),2M a a =+，因为2M ∉，所以2a ≥或22a +≤，得(][),02,a ∞∞∈-⋃+.故答案为：2（答案不唯一）13.安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A 项工作，则不同的安排方式有______种（用数字作答）.【答案】1170【解析】【分析】先分组，然后将不含工作A 的3组工作中选1组分配为甲，再分配其他3组工作即可.【详解】第一步，将6项工作分为1,1,1,3或1,1,2,2有3111221163216421322322C C C C C C C C 65A A A +=种情况；第二步，从不含工作A 的3组工作中选1组分配为甲，有13C 3=种情况；第三步，将剩下的3组工作分配给其余3人，有33A 6=种情况.由分布计数乘法计数原理可得不同的安排方式有65361170⨯⨯=种.故答案为：117014.函数()e xf x x =在0x =处的切线方程为_________；若()()ln 2g x f x x x a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】①.0x y -=②.(),1-∞【解析】【分析】第一个空，对()f x 求导，求出(0)f '和(0)f ，即可求解切线方程；第二个空，进行合理换元和同构，转化为()e t h t t =-的图象与直线2y a =-有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可．【详解】()(1)e x f x x '=+，则(0)1f '=，又(0)0f =，所以函数()e x f x x =在0x =处的切线方程为y x =；令()()ln 2e ln 20x g x f x x x a x x x a =--+-=--+-=，所以ln e ln e (ln )2x x x x x x x x a +--=-+=-．令ln ()e (ln )x x F x x x +=-+，定义域为(0,)+∞，2y a =-，令ln t x x =+，易知ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且R t ∈．所以()e t h t t =-，则函数()g x 有两个零点转化为函数()e t h t t =-的图象与直线2y a =-有两个交点．则()e 1t h t '=-，当0t <时，()0h t '<；当0t >时，()0h t '>，即()e t h t t =-在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)e 01h t h ≥=-=，当t →-∞时，()h t →+∞；当t →+∞时，()h t →+∞，则21y a =->，解得1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞．故答案为：y x =；(,1)-∞．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用同构思想，构造函数()e t h t t =-，转化为直线与函数交点问题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()32212f x x ax x b =-++在2x =处取得极小值5.（1）求实数a ，b 的值；（2）当[]0,3x ∈时，求函数()f x 的最大值.【答案】（1）9a =，1b =.（2）10【解析】【分析】（1）直接求导得()2244120f a =-+='，解出a 值，验证即可；（2）由（1）知()3229121f x x x x =-++，求导再列表即可得到其最大值.【小问1详解】()26212f x x ax =-+'，因为()f x 在2x =处取极小值5，所以()2244120f a =-+='，得9a =，此时()()()261812612f x x x x x =-+=--'，令()0f x '<，解得12x <<；令()0f x '>，解得1x <或2x >，所以()f x 在()1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()f x 在2x =时取极小值，符合题意.所以9a =，()322912f x x x x b =-++.又()245f b =+=，所以1b =.综上，9a =，1b =.【小问2详解】由（1）知()3229121f x x x x =-++，()()()612f x x x -'=-，列表如下：x()0,11()1,22()2,33()f x '+-+()f x 1极大值6极小值510由于610<，故[]0,3x ∈时，()()max 310f x f ==.16.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），223.8σ=．（1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；（2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列，数学期望与方差．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则(),0.6827P μσμσ-+≈，()2,20.9545P μσμσ-+≈，()3,30.9973P μσμσ-+≈．【答案】（1）159人（2）分布列见解析，()52E Y =，()54D Y =．【解析】【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解；（2）因为2~(10.6,3.8)X N ，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为1(10.6)2P X >=，可得1~(5,2Y B ，然后求出对应的概率即可得解．【小问1详解】样本中100名学生每周阅读时间的均值为：20.160.2100.3140.25180.1510.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即10.6μ=，又 3.8σ=，所以()2~10.6,3.8X N ，所以()()()16.810.68270.158652P X P X μσ≤=≤-=⨯-=，所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：0.158651000159⨯≈（人）【小问2详解】因为()2~10.6,3.8X N ，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为()110.62P X >=，可得1~5,2Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()505110C 232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()515151C 232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()525152C 216P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()535153C 216P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()545154C 3232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()555115C 232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，随机变量Y 的分布列为：Y012345P132532516516532132故()15522E Y =⨯=，()1155224D Y =⨯⨯=．17.我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段（19岁以上）的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为316．（1）请将下列2×2列联表直接补充完整．偏好新能源汽车偏好燃油车合计19~35岁35岁以上合计并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关？（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.1000.0500.0100.0050.001αχ 2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关（2）35．【解析】【分析】（1）补全22⨯列联表，计算2χ的值，与临界值比较即可判断；（2）利用古典概型的概率公式求解．【小问1详解】在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为316，所以偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段得人数：34007516⨯=（人），故偏好传统燃油车且在35岁以上年龄段得人数：20075125-=（人），新能源汽车200名车主中在19~35岁年龄段的比例为38%22%60%+=，故人数为：20060%120⨯=（人）：新能源汽车35岁以上的人数为：20012080-=（人），填表如下：偏好新能源汽车偏好燃油车合计19~35岁1207524035岁以上80125180合计200200400()()()()()()222400120125758020.26310.828195205200200n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关．【小问2详解】按照分层随机抽样，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，其中在1935-岁年龄段的人数为12053200⨯=人，35岁以上的人数为2，从5人中任意取2人，共有25C 10=种情况，其中恰有1人在19~35岁年龄段的有1132C C 6=种情况，故2人中恰有1人在19~35岁年龄段的概率为63105P ==．18.定义函数()sin cos f x m x n x =+的“伴随向量”为(),a m n = ，向量(),a m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+．（1）若向量(),a m n = 的“伴随函数”()f x 满足π7π9tan 11π918f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，求n m的值；（2）已知2a b == ，设()0,0OP a b λμλμ=+>>，且OP的“伴随函数”为()g x ，其最大值为t ，求()()2t λμ-+的最小值，并判断此时向量a ，b的关系．【答案】（1）（2）最小值为12-，此时a b = ．【解析】【分析】（1）根据题意得出(),a m n = 的“伴随函数”，然后表示出1π91π18f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，令tan n m θ=，利用换元的思想得到π7πtan tan 99θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用正切函数求解即可；（2）设()2cos ,2sin a αα= ，()2cos ,2sin b ββ= ，利用向量线性运算的坐标表示得出OP，进一步得到()g x 的解析式，根据0x 满足0102π2π,2π2π,2x k x k αβ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩则0x x =时，22t λμ=+，从而()()()()2211122222t t t t λμ---+==-≥-，即可判断a b = ．【小问1详解】由题意知，向量(),a m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，所以πππππsin cos sin cos tan 99999911π11ππππ11πsin cos cos sin 1tan 181899918πn f m n m n m n m n m n f m ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭，令tan n m θ=，上式化为π7πtan tan 99θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π7ππ99k θ+=+，2ππ3k θ=+，k ∈Z ，即2πtan tan 3n m θ===．【小问2详解】设()2cos ,2sin a αα= ，()2cos ,2sin b ββ=，因为()()()2cos cos ,2sin sin OP a b λμλαμβλαμβ=+=++，所以()()()2cos cos sin 2sin sin cos g x x xλαμβλαμβ=+++()()2cos sin sin cos 2cos sin sin cos x x x x λααμββ=+++()()2sin 2sin x x λαμβ=+++，令()()()2sin 2sin 22h x x x λαμβλμ=+++≤+，若0x 满足0102π2π,2π2π,2x k x k αβ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩则0x x =时，22t λμ=+，其中12,k k ∈Z ，此时()122πk k αβ-=-，即2πk αβ=+，k ∈Z ，故a b = ．从而()()()()2211122222t t t t λμ---+==-≥-，等号当且仅当1t =时成立，所以()()2t λμ-+的最小值为12-，此时a b = ．19.若非空集合A 与B ，存在对应关系f ，使A 中的每一个元素a ，B 中总有唯一的元素b 与它对应，则称这种对应为从A 到B 的映射，记作f ：A →B ．设集合{}5,3,1,1,3,5A =---，{}12,,,n B b b b = （*n ∈N ，6n ≤），且B A ⊆．设有序四元数集合()1234{,,,,i P X X x x x x x A ==∈且1,2,3,4}i =，(){}1234,,,Q Y Y y y y y ==．对于给定的集合B ，定义映射f ：P →Q ，记为()Y f X =，按映射f ，若i x B ∈（1,2,3,4i =），则1i i y x =+；若i x B ∉（1,2,3,4i =），则i i y x =．记()41B i i S Y y ==∑．（1）若{}5,1B =-，()1,3,3,5X =--，写出Y ，并求()B S Y ；（2）若{}123,,B b b b =，()1,3,3,5X =--，求所有()B S Y 的总和；（3）对于给定的()1234,,,X x x x x =，记41i i xm ==∑，求所有()B S Y 的总和（用含m 的式子表示）．【答案】（1）()2,3,3,5Y =--，()1B S Y =（2）40（3）63128m +【解析】【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；（2）对1，3-，5是否属于B 进行分类讨论，求出对应所有Y 中的总个数，进而求解；（3）由题意，先求出在映射f 下得到的所有1y 的和，同理求出在映射f 下得到的所有i y （2,3,4i =）的和，即可求解.【小问1详解】由题意知，()()()()()1,3,3,511,3,3,52,3,3,5Y f X f ==--=+--=--，所以()23351B S Y =--+=．【小问2详解】对1，3-，5是否属于B 进行讨论：①含1的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，1112y =+=；不含1的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，11y =；所以所有Y 中2的总个数和1的总个数均为10；②含5的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，4516y =+=；不含5的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，45y =；所以所有Y 中6的总个数和5的总个数均为10；②含3-的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，2312y =-+=-，3312y =-+=-；不含3-的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，23y =-，33y =-；所以所有y 中2-的总个数和3-的总个数均为20．综上，所有()B S Y 的总和为()()101256202314010040⨯++++⨯--=-=．【小问3详解】对于给定的()1234,,,X x x x x =，考虑1x 在映射f 下的变化．由于在A 的所有非空子集中，含有1x 的子集B 共52个，所以在映射f 下1x 变为111y x =+；不含1x 的子集B 共521-个，在映射f 下1x 变为11y x =；所以在映射f 下得到的所有1y 的和为()()5511121216332x x x ++-=+．同理，在映射f 下得到的所有i y （2,3,4i =）的和()()5521216332i i i x x x ++-=+．所以所有()B S Y 的总和为()12346332463128x x x x m ++++⨯=+．【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.。

2023-2024学年度第二学期质量检高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}220,2,1,0,1,2A xx x B =−−=−−∣ ，则A B ∩的元素个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（ ） A.230,x x x ∀>> B.230,x x x ∀> C.230,x x x ∀ D.230,x x x ∃>3.已知随机变量()21,X N σ∼，若()20.8P X = ，则(01)P X <<=（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.44.用5种不同的颜色对如图所示的四个区域进行涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ）III IIIIVA.60种B.120种C.180种D.240种5.已知定义在R 上的偶函数()f x ，若对于任意不等实数[)12,0,x x ∞∈+都满足()()12120f x f x x x −>−，则不等式()()22f x f x >−的解集为（ ） A.(),2∞−− B.()2,∞−+ C.22,3− D.()2,2,3∞∞−−∪+6，已知两个变是x 和y 之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，斥利用最小二乘法求得的回归方程是0.280.16yx +，其相关系数是1r .由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m ，具体数据如下表所示：x1 2 3 4 5 y0.50.6m1.41.5若去掉数据()3,m 后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是2r ，则（ ） A.12r r = B.12r r >C.12r r <D.12,r r 的大小关系无法确定7.已知函数()22222,0e ,0xx ax a x f x ax x −+−= −> 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.[]0,1 B.[]1,e C.[]0,2e D.[]1,2e 8.若2023ln2ln32023,,232024ab c ==，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0,0a b >>，则下列结论正确的是（ ） A.若a b >，则22ac bc > B.若11a b>，则a b < C.若2a b +=，则14a b+的最小值为9D.若221a b +=，则a b + 10.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()4,22f x f x f x f x =−+=−.当[]2,0x ∈−时，()243f x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的图象关于直线2x =对称 B.()f x 是奇函数C.()f x 在[]4,6上单调递减D.20251()1012k f k ==∑11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位.设移动n 次后质点位于位置n X ，则下列结论正确的是（ ）A.()55116P X =−= B.()50E X = C.()63D X =D.移动6次后质点位于原点O 的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()2()1m f x mm x =−−为幂函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，则实数m =__________.113.现有6位同学报名参加学校的足球､篮球等5个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小华报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为__________.14.已知,P Q 分别是函数()e ln xf x x x x =+−和()23g x x =−图象上的动点，测PQ 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动.（1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？没有潜力 有潜力 合计 男生 6 18 24 女生 14 12 26 合计203050（2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人作进一步的调研，记随机变量X 为这3人中男生的人数，求X 的分行列和数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b a c c d b d χ−==+++++++. α0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 a x2.7063.8416.6357.87910.82816.（15分）在(21)n x −的展开式中，第3项与第10项的二项式系数相等. （1）求12(21)nx x +−的展开式中的常数项； （2）若230123(21)n nn x a a x a x a x a x −=+++++ ，求012323n a a a a na +++++ .17.（15分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x +−=，且当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）若()()2ln f x x f x a ++ 恒成立，求实数a 的取值范围.18.（17分）已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是12，甲正确回答每道题的概率均为89，乙正确回答每道题的概率均为59，且两人每道题是否回答正确均相互独立.（1）求答完前两道题后两人各得1分的概率；（2）设随机变量X 为比赛结束时两人的答题总个数，求X 的分布列和数学期望. 19.（17分）已知函数()()e 1xf x ax a =+−∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x 恒成立，求a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：()ln f x x >.2023—2024学年度第二学期质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准2024.07一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.C4.C5.D6.A7.D8.A8.提示：设()ln ,0xf x x x=>，易知()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减， 因为()()ln2ln4ln34,3243a fb f =====，所以()()()43e f f f <<，即1e a b <<. 因为1ln 1x x− （当且仅当1x =时等号成立）（选择性必修二94页），所以202320241ln1202420232023>−=−，所以2023lnc 2023ln 12024=>−，所以1e c >. 所以1ea b c <<<.故选A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BD 10.ACD 11.ABD10.提示：设随机变量ξ表示“移动n 次后质点向右移动的次数”，则1,2B n ξ∼， 由题意知()n X n ξξ=−−，即2nX n ξ=−. 对于A ：()()52551512C 216P X P ξ=−==== ，A 正确； 对于B ：()()()51252525502E X E E ξξ=−=−=××−=，B 正确； 对于C ：()()()61126446622D X D D ξξ=−==×××=，C 错误；对于D ：6626,X X ξ=−的所有可能取值有6,4,2,0,2,4,6−−−，当3i =时，661C 2i最大，()()603P X P ξ===最大，D 正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1− 13.13四､解答题：本题共5小题，共77分.15.解：（1）零假设为0H ：该班学生的数学建模能力与性别无关因为2250(6121418)2254.327 6.6352426203052χ×−×==≈<×××，所以，依据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据证明推断0H 不成立， 因此可以认为0H 成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关.（2）从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人，则随机变量X 服从超几何分布，X 可能取1,2,3.()123235C C 31C 10P X ===， ()213235C C 632C 105P X ====， ()303235C C 13C 10P X ===. 则X 的分布列为所以()39355E X =×=. 16.解：（1）因为29C C n n =， 所以11n =. 所以111111112(21)2(21)(21)x x x x x+−=×−+×−所以1112(21)x x +−的展开式中的常数项为 111101112(1)C 2(1)20x x×−+×××−=. （2）因为112311012311(21)x a a x a x a x a x −=+++++ 令0x =得01a =−.因为102101231111(21)22311x a a x a x a x ×−×=++++令1x =得12311231122a a a a ++++=. 所以01232312221n a a a a na +++++=−+= . 17.解：（1）当()1,x ∞∈+时，()2,1x ∞−∈−所以()()3332(21)(1)(1)f x f x x x x =−−=−−−=−−=− 所以当()1,x ∞∈+时，()3(1)f x x =−，又当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−，所以()3(1),f x x x =−∈R （2）因为()23(1)0f x x =−′ ，所以()3(1)f x x =−在R 上为增函数.又()()2ln f x x f x a ++ ，所以2ln x x x a ++ ，即2ln x x x a −+ .设()2ln ,0g x x x x x =−+>.则()212112x x g x x x x −++=−+=′ ()()211,0x x x x−+−>，令()0g x ′>得01x <<；令()0g x ′<得1x >.所以()g x 的单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[)1,∞+故()max ()10g x g ==，所以0a ，即实数a 的取值范围为[)0,∞+.18.解：（1）设i A =“第i 道题甲得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，i B =“第i 道题乙得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，C =“答完前两道题后两人各得1分”.则i A 与i B 独立，所以()181********i P A =×+×−= ， ()()211133i i P B P A =−=−=， ()()()()()()()()121212121212P C P A B B A P A B P B A P A P B P B P A =∪=+=+ 2112433339=×+×=. （2）随机变量X 的取值为3,5,7.()332113333P X ==+=()2222223321212125C C 3333339P X ==×××+×××= ()()()12471351399P X P X P X ==−=−==−−=所以随机变量X 的分布列为所以()124473573999E X =×+×+×=. 19.解：（1）()e xf x a ′=+①当0a 时，()()0,f x f x ′>在R 上单调递增.②当0a <时，令()0f x ′>得()ln x a >−；令()0f x ′<得()ln x a <−. 所以()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增. 综上，当0a 时，()f x 在R 上单调递增； 当0a <时，()f x 在()(),ln a ∞−−上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.（2）①当0a 时，()f x 在R 上单调递增，又()00f =， 所以当0x <时，()0f x <，所以()0f x 不恒成立.②当0a <时，()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.所以()f x 的最小值为()()()ln ln 1f a a a a −=−+−−. 因为()0f x 恒成立，所以只要()()()ln ln 10f a a a a −=−+−− . 设()()ln 1(0)g a a a a a =−+−−<，则()()()1ln 1ln g a a a =−+−+=−′， 所以当1a <−时，()0g a ′>；当10a −<<时，()0g a ′<. 所以()g a 在(),1∞−−上单调递增，在()1,0−上单调递减.所以()()10g a g −=，即()()ln 10g a a a a =−+−− .（当且仅当1a =−时等号成立） 所以当且仅当1a =−时，()()()ln ln 10f a a a a −=−+−−=. 所以1a =−.（3）由（2）可知，()e 1xf x x =−−.设()()ln e 1ln (0)x h x f x x x x x =−=−−−>，下面证明()0h x >.所以()()211e 1(0),e 0xx h x x h x x x′=−−>=+′>′， 所以()h x ′在()0,∞+上单调递增. 又()11e 20,302h h=−>=−<′′， 所以01,12x ∃∈，使得()00h x ′=，即001e 1xx =+.所以当()00,x x ∈时，()()0,h x h x ′<在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x ′>在()0,x ∞+上单调递增.所以()()00000001e 1ln ln xh x h x x x x x x =−−−=−− .因为01,12x∈，所以00010,ln 0x x x −>−>，所以()()00001ln 0h x h x x x x =−−> ， 所以()ln f x x >成立.。

常州市教育学会学业水平监测高二数学 2023年6月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 为复数，z 为z 的共轭复数，且||15i z z =−+，则z 的虚部是A ．5iB ．5i −C ．5D ．-52．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中能得出a ⊥b 的是A ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β3．投掷3枚质地均匀的正方体骰子，观察正面向上的点数，则对于这3个点数，下列说法正确的是A ．有且只有1个奇数的概率为18B ．事件“都是奇数”和事件“都是偶数”是对立事件C ．在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率为47D ．事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”是互斥事件4．已知平面上的三点A ，B ，C 满足||2||AB BC = =，，向量AB 与BC 的夹角为45°，且()BC AB AB λ−⊥，则实数λ= A ．0B ．1C ．-2D ．25．一个不透明的盒子里装有10个大小形状都相同的小球，其中3个黑色、7个白色，现在3个人依次从中随机地各取一个小球，前一个人取出一个小球记录颜色后放回盒子，后一个人接着取球，则这3个人中恰有一人取到黑球的概率为A ．310B ．21733103A A A ⋅ C ．3210C 0.70.3⨯⨯ D ．123C 0.70.3⨯⨯6．已知圆锥的高为1，体积为π，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为AB ．2C．D ．3π7．对一个十位数1234567890，现将其中3个数位上的数字进行调换，使得这3个数字都不在原来的数位上，其他数位上的数字不变，则可以得到不同的十位数（首位不为0）的个数为 A ．120B ．232C ．240D ．3608．正四棱锥S ABCD −，各侧棱长为2，各顶点都在同一个球面上，则过球心与底面平行的平面截得的台体体积是 ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知复数123z z z ，，，则下列说法正确的有 A ．123231z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅B ．11222()(0)z zz z z =≠ C ．若1212||||z z z z −=+，则120z z ⋅= D ．若1223z z z z ⋅>⋅，则13||||z z >10．下列说法正确的有A ．在ABC ∆中，0BC CA ⋅<，则ABC ∆为锐角三角形B ．已知O 为ABC ∆的内心，且o o 3060A B = =，，则320OA OB OC ++=C ．已知非零向量 ，a b 满足：242⋅= =+ ，a b a c a b ，则||||⋅b c b c 的最小值为12D ．已知(12)(11)= = ，，，a b ，且a 与λ+a b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是5()3−∞−，11．某课外兴趣小组在探究学习活动中，测得()x y ，的10组数据如下表所示：由最小二乘法计算得到线性回归方程为11ˆˆy a b x =+，相关系数为；经过观察散点图，分析残差，把数据(16889) ，去掉后，再用剩下的9组数据计算得到线性回归方程为22ˆˆˆy a b x =+，相关系数为．则 A ．12ˆˆaa < B ．12ˆˆb b < C ．2212r r <D ．12ˆˆ00b b > >， 12．已知在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D −中，点O 为正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，下列说法正确的有 A ．BD PO ⊥B ．当直线AP 与平面11BCC B 所成角的正切值为45时，3PC =C ．当1PC =时，点1C 到平面1APD 的距离是32D ．当2PC =时，以O 为球心，OP 为半径的球面与侧面11ABB A 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．101(2)2x +的展开式中二项式系数最大的项的系数是 ．（用数字作答）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)(01)A B ，，，以A 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转30°，得到线段AC ，则向量AB 在向量AC 上的投影向量的坐标是 ． 15．已知平面四边形ABCD ，o 90ADC ∠=，34AB BC CD AD === =，，则AC BD ⋅= ．16．已知在矩形ABCD 中，2AB BC = =，P 为AB 的中点，将ADP ∆沿DP 翻折，得到四棱锥1A BCDP −，则二面角1A DC B −−的余弦值最小是 ．12r四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设z 是虚数，在平面直角坐标系xOy 中，1z z z，，对应的向量分别为OA OB OC ，，．（1）证明：O B C ，，三点共线； （2）若31z =，求向量OA OC +的坐标．18．（12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D −中，11AA CC ，平面11AAC C ⊥菱形ABCD ．证明：（1）11B B D D ，，，四点共面； （2）1BD DD ⊥．19．（12分）在平面直角坐标系中三点A ，B ，C 满足(12)(23)AB AC = =− ，，，，D E ，分别是线段BC AC ，上的点，满足22BD CD CE AE = =，，AD 与BE 的交点为G ． （1）求BGD ∠的余弦值； （2）求向量AG 的坐标．A 1B 1C 1D 1DCBA20．（12分）某种季节性疾病可分为轻症、重症两种类型，为了解该疾病症状轻重与年龄的关系，在某地随机抽取了患该疾病的3s 位病人进行调查，其中年龄不超过50岁的患者人数为s ，轻症占56；年龄超过50岁的患者人数为2s ，轻症占13． （1）完成下面的22⨯列联表．若要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则抽取的年龄不超过50岁的患者至少有多少人？附：2()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++(其中n a b c d =+++)，2 6.6350.01()P χ=>． （2）某药品研发公司安排甲、乙两个研发团队分别研发预防此疾病的疫苗，两个团队各至多安排2个周期进行疫苗接种试验，每人每次疫苗接种花费t （0t >）元．甲团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为p （01p <<），根据以往试验统计，甲团队平均花费为236tp t −+．乙团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为q （01q <<），每个周期必须完成3次疫苗接种，若第一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个疫苗接种周期．假设两个研发团队每次疫苗接种后产生抗体与否均相互独立．若p q <，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应如何选择团队进行药品研发？21．（12分）记1011()(1)n n n n n n f x x a x a x a x a −−=+=++++，*n ∈N ．（1）化简：1(1)ni i i a =+∑；（2）证明：12()2()()()n n n k n f x f x kf x nf x +++2+++++（*n ∈N ）的展开式中含项的系数为221(1)C n n n +++．22．（12分）如图，在多面体EF ABCD −中，底面ABCD 是菱形，且CE ⊥底面ABCD ，AFCE ，1AC CD CE AF ====，点M 在线段EF 上．（1）若M 为EF 的中点，求直线AM 和平面BDE 的距离； （2）试确定M 点位置，使二面角D AM B −−的余弦值为3567−．F EDCBA常州市教育学会学业水平监测高二数学（参考答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．A 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9．AB10．BD11．BCD12．ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．25214．3()2，15．7216四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设i 0z a b b =+ ≠，，则i z a b =−，a b ∈R ，， 所以()OB a b = −，． ……………………2分 2211i i a b z a b a b −==++，所以222211()OC a b OB a b a b= −=++，． 所以OB OC ．……………………4分 又因为O 为公共点，所以O B C ，，三点共线． ……………………5分 （2）因为31z =，则2(1)(1)0z z z −++=，又因为z 是虚数，所以210z z ++=． ……………………8分2111z z z z++==−，所以(10)OA OC +=− ，． ……………………10分 18．证明：（1）由11AA CC ，1AA ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AA 平面11BCC B ．……………………2分 又因为1AA ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⋂平面111BCC B BB =， 所以11AA BB ． ……………………4分 同理：11AA DD ，所以11BB DD ，所以11B B D D ，，，四点共面． ……………………6分 （2）菱形ABCD 中AC BD ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面ABCD ， 且平面11AAC C平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ．……………………10分因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥， 由（1）有11AA DD ，所以1BD DD ⊥． ……………………12分19．解：（1）因为22BD CD BD CD = =，，所以128(1)333AD AB AC =+=− ，． ……………………2分 又125(,1)333BE BC BA =+=−−． ……………………4分5833cos BGD −+∠==．……………………6分 （2）由A G D ，，三点共线，1233AG AD AB AC λλλ==+， 又1(1)(1)3AG AB AE AB AC μμμμ=+−=+−． ……………………8分由平面向量基本定理，得1321(1)33λμλμ⎧= ⎪⎨⎪=−⎩，．……………………10分 所以17μ=，所以1238()7777AG AB AC =+=− ，． ……………………12分 20. （1） 列联表如下：……………………2分要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则225423()26363 6.635333222s s s s s s s s s s χ⨯−⨯==>⨯⨯⨯． ……………………4分 解得9.9525s >，由题意知，s 的最小整数值为12．所以抽取的年龄不超过50岁的患者至少有12人． ……………………6分（2）甲研发团队试验总花费为X 元，根据以往试验统计得2()36E X tp t =−+， 设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为3t ，6t ，所以223323(3)(1)23P Y t C q q q q q ==−+=−+，32(6)123P Y t q q ==+−，所以323232()3(23)6(123)696E Y t q q t q q tq tq t =−+++−=−+． ……………………10分 因为01p q <<<，所以3222()()696(36)6(1)0E Y E X tq tq t tp t tq q −=−+−−+<−<， 所以乙团队试验的平均花费较少，所以该公司应选择乙团队进行研发． ……………………12分21．（1）11(1)(1)nnii n i i i a i C ==+=+∑∑． ……………………2分1211(1)23(1)nin nn n n n n i i CC C nC n C −=+=+++++∑，012111(1)23(1)n i n nn n n n n n i i C C C C nC n C −=++=++++++∑． ……………………4分右侧倒序相加得，012112(1(1))(2)()(2)2ni n nn nn n n n n i i C n C C C C C n −=++=++++++=+∑，所以11(1)(2)21nn i i i a n −=+=+−∑． ……………………6分（2）(1)2(2)()()f x n f x n kf x n k f x n ++ +++ +++ 2，，，，的展开式中含n x 项的系数为123223n n nnn n n n C C C nC +++++++，因为1()!()!()!(1)(1)!!!(1)!(1)!(1)!nn n k n k n k n k n k kC kn n C n k n k n k ++++++===+=+−+−． …………………9分 所以含n x 项的系数为：1111123212322111223223(1)()(1)()n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C n C C C C +++++++++++++++++++++=+++++ =+++++ 211332221(1)()(1).n n n n n n n n n C C C n C +++++++ =++++ =+……………………12分22．（1）连接BD 交AC 于O ，取EF 中点G ，因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥，O 为AC 中点． 因为AFCE ，AF CE =，所以四边形ACEF 为平行四边形． 因为O G ，分别为AC EF ，中点， 所以OG CE ．因为CE ⊥平面ABCD ，AC BD ⊂，平面ABCD ， 所以CE AC CE BD ⊥ ⊥，， 所以OG AC OG BD ⊥ ⊥，． ……………………3分 以O 为原点，建立如图空间直角坐标系O xyz −， 则3311(00)(001)(00)(00)(01)2222A MB D E − − ，，，，，，，，，，，，，，，所以31(300)(1)22BD BE = = − ，，，，，，设平面BDE 的法向量0000()n x y z = ，，， 0000n BD n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以00003031022x x y z ⎧=⎪⎨−+=⎪⎩，，所以01(021)(01)2n AM = = − ，，，，，． ……………5分 0102102n AM =−+=，设A 到平面BDE 距离为d ，00||351(0)225||AB n AB d n = ==，，，，所以直线AM 和平面BDE 的距离为55． ………7分（2）设11(01)[]22M m m ∈− ，，，，，31(0)(011)22AD AM m = − = − ，，，，，，31(0)22AB =− − ，，， 设平面ADM ，平面ABM 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z = = ，，，，，， 12120000AD n AB n AM n AM n ⎧⎧= = ⎪⎪⎨⎨= = ⎪⎪⎩⎩，，，，取1233(133)(133)22n m n m = −+ = − −，，，，，．………9分 因为二面角D AM B −−的余弦值为3567−，所以2121221213()2352|cos |||167||||3()42m n n n n n n m −+< >===−+，． 解得1344m = ，（舍），即14FM FE =． ……………………12分OABCDEFxyz G。

南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，代替，分布列如下：则（ ）1234560.210.200.100.10A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.652. 若等比数列各项均为正数，且成等差数列，则（ ）A. 3B. 6C. 9D. 183. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）A. 异面 B.平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 300种5. 的展开式中的常数项为（ ）A. B. 240C. D. 1806. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）A B. C. D. 7. 若双曲线C ：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C 的离心的.(),N y x y ∈()31123P X <<=X i=()P X i =0.5x 0.1y{}n a 5761322a a a ，，10482a a a a ++()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D AB CD 63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭240-180-1e 2e 3e 4e 1243e e e e <<<2134e e e e <<<3412e e e e <<<4312e e e e <<<()222210,0x y a b a b-=>>()2223x y -+=率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8 设，，，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ）A. B. C. D.10. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ）A. 圆的方程为 B. 四边形面积的最小值为4C. 的最小值为 D. 当点为时，直线的方程为11. 已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（ ）A. 方程的判别式B.C. 若，则在区间上单调递增D. 若且，则是的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列满足．且，若，则________．13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数取值范围是__________．14. 某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有的学生喜欢网络游戏，女生中有的学生喜欢网络游戏，若有超过的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..的∞⎫+⎪⎪⎭()2,+∞()1,2⎛ ⎝ln1.5a =0.5b =ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c <<b a c <<c<a<b c b a<<A BCD -ABD BCD ()2,1,1n =-()1,1,2m = A BD C --π6π32π35π622:13x C y +=M :40l x y --=P MA B M 223x y +=PAMB PA PB ⋅12-P (1,3)-AB 340x y --=()()23023a b cf x a x x x=---≠()0,∞+x c =()f x 20ax bx c ++=Δ0>1ac b +=-a<0()f x (),c +∞0a >1ac >x c =()f x {}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-1232024b b b b ++++= ()24ln 2x f x x =-()1,4a a -+a 453595%99%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k15. 已知函数在处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当时，求的单调递增区间．16. 在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.（1）证明：平面；（2）若，M 为棱上一点，满足，求点到平面的距离.17. 某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.18. 已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．19. 对于项数为有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.的()322f x x ax bx a =+++3x =-0b >()f x P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒PB PD =PA AC ⊥BD ⊥PAC 3PA =PC 23CM CP =A MBD Y Y ()E Y 2222:1(0)x y E a b a b +=>>P ⎛ ⎝()2,0A -E ,M N A E 0AM AN ⋅=MN m {}n a n b ()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}n b {}n a {}n a {}n a {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1,2,,n m =⋅⋅⋅()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅1,2,,m ⋅⋅⋅{}n c {}n c {}n c参考答案1. B2. C.3. B4. C5. C6. A ．7. B ．8. A9. BC 10. BD 11. ABD 12. 202413. 14. 45，或50，或55，或60，或6515. （1）或 （2），16. （1）证明：在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面是菱形，则，又是的中点，，则，而平面，所以平面.（217. （1）（2）192（元）.18. （1）（2）（方法一）由 题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点的坐标为．[)1,339a b =⎧⎨=-⎩69a b =⎧⎨=⎩(),3-∞-()1,-+∞P ABCD -BD AC O PO ABCD BD AC ⊥O BD PB PD =BD PO ⊥,,AC PO O AC PO =⊂ PAC BD ⊥PAC 22452214x y +=,AM AN AM ()2y k x =+()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()222214161640k x k x k +++-=22164214M k x k--=+()222284,21414M M M k kx y k x k k -==+=++M 222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线过定点．又当时，直线也过点．综上，直线过定点．（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组消去得，，即．设，则，．因为，所以，即，，，化简得，解得或，所以直线的方程为或（过点A ,不合题意，舍去），所以直线过定点．0AM AN ⋅= AN 1k -222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭M N x x =22222828144k k k k --=++21k =MN 65x =-M N x x ≠MN ()()22222422442011442828161144M N MN M N k k k k y y k k k k k x x k k k ++-++====-----++()2541k k -MN ()N MN N y y k x x -=-()()()2222222252845528444414141k k k k k k y x x k k k k k k⎛⎫--=--=-⋅- ⎪+++---⎝⎭()2245441k k x k k =-+-()()()22225624565415441k k k x k k k --⎛⎫⋅=+ ⎪-+-⎝⎭()256541k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭M N x x =65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x MN y kx m =+22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222148440k x kmx m +++-=()()()222222Δ644144416140k m k m m k =-+-=--->2214m k <+()()1122,,,M x y N x y 2121222844,1414km m x x x x k k--+==++()22121212y y k x x km x x m =+++0AM AN ⋅=()()1212220x x y y +++=()()()2212121240kx x km x x m++++++=()()2222244812401414m km k km m k k --⎛⎫+++++= ⎪++⎝⎭()()()()()2222144824140k mkm km m k +--++++=22516120m km k -+=65m k =2m k =MN 65y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()2y k x =+MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线垂直于轴时，设它的方程为，因为，所以．又，解得或（过点A ,不合题意，舍去），所以此时直线的方程为，也过点．综上，直线过定点．19.（1）由题意，，，，，所以数列有六种可能：；；；；；．（2）证明：因为，，所以，所以控制数列是不减的数列，是的控制数列，满足，是常数，所以，即数列也是不减的数列，，那么若时都有，则，若，则，若，则，又，由数学归纳法思想可得对，都有；（3）因为控制数列为等差数列，故.设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于，当是数列中间某项时，不可能是等差数列，所以或，若，则（），是等差数列，此时只要，是的任意排列均可．共个，，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，由此有，即就是，只有一种排列，综上，个数是．的MN x 1x x =0AM AN ⋅= ()221120x y +-=221114x y +=165x =-12x =-MN 65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭12a =23a =34a =46a =56a ≤{}n a 2,3,4,6,12,3,4,6,22,3,4,6,32,3,4,6,42,3,4,6,52,3,4,6,612max{,,,}n n b a a a = 1121max{,,,,}n n n b a a a a ++= 1n n b b +≥{}n b {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1n n a a +≥{}n a 123m a a a a ≤≤≤≤ n k ≤n n b a =1121max{,,,,}k k k b a a a a ++= 1k k a a +>11k k b a ++=11k k a b ++=11k k k k b b a a ++===11b a =1,2,,n m = n n b a =3m ≥{}n c {}n b {}n b {}n b m m {}n b {}n b 1b m =m b m =1b m =n b m =1,2,,n m = {}n b 1c m =23,,,m c c c 1,2,3,,1m - (1)!m -m b m =1b m ≠{}n b n b n =n c n ={}n c 1,2,3,,m {}n c (1)!1m -+。

2022-2023学年南京市金陵中学高二下学期期末考试一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．已知集合{|11}A x lnx =-剟，{|(2)0}B x x x =-…，则(A B = )A ．1[,2]eB ．[0，]eC ．1[0,]eD ．[2，]e2．已知O 为坐标原点，复数11z i =+，22z mi =+，分别表示向量OA ，OB ，若A B O C ⊥，则(m = ) A ．-1B ．0C ．1D ．23．已知函数()f x x =，()22x x g x -=+，则大致图象如图的函数可能是( )A ．()()f x g x +B ．()()f x g x -C ．()()f x g xD ．()()f xg x 4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( ) A ．120B ．60C ．40D ．305．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为( )A ．12B C D 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n T ，数列{}n T 是递增数列是20232022a a >的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<同时满足下列三个条件： ①当12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的最小值为2π； ②())3f x π+是偶函数；③(0)()6f f π>．若()f x 在[0，)m 上有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．713(,]1212ππ B ．713[,)1212ππ C ．75[,)126ππ D ．1319(,]1212ππ8．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||8PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e 的取值范围是( ) A ．1(,)9+∞B ．1(,)3+∞C ．1(,)2+∞D ．5(,)3+∞二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9．某次测试，经统计发现测试成绩服从正态分布， ()290,10X N 则( )A ．这次测试的平均成绩为90B ．这次测试的成绩的方差为10C ．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同D ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．若用x 表示红色骰子的点数，若用y 表示绿色骰子的点数，用(,)x y 表示一次试验的结果，定义事件：A = “x y +为奇数”， B = “x y =”， C = 4x >”，则下列结论正确的是( ) A ．P （A ）3P =（B ） B ．A 与B 互斥C ．A 与B 独立D ．B 与C 独立11．若抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线交C 于不同的两点A 、B ，直线l 为抛物线的准线，下列说法正确的是( )A ．点B 关于x 轴对称点为C ，当A 、C 不重合时，直线AC ，x 轴，直线交于一点 B ．若||||8AF BF ⋅=，则直线AB 斜率为12±C ．3||2||AF BF +的最小值为5+D ．分别过A 、B 做切线，两条切线交于点M ，则22||||AM BM +的最小值为16 12．已知0a >，1a e lnb +=，则( )A ．0a lnb +<B ．2a e b +>C ．0b lna e +<D ．1a b +>三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．在361(2)x x-的展开式中，2x 项的系数为 ．14．过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若||8OP =，则p 的值为 ．15．有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为 ．16．已知函数()()y f x x R =∈的图象是连续不间断的，函数(1)y f x =-的图象关于点(1,1)对称，在区间(1,)+∞上单调递增．若(cos 4cos 2)(4cos2)2f m f θθθ+-+->对任意[,]42ππθ∈恒成立，则下列选项中m 的取值范围_____ 四．解答题（共6小题,共70分）17．（10分）设n S 为公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若1a ，4a ，13a 成等比数列，6333S S -=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n a n n na b lna +=+，求数列}b 的前n 项和n T ． 18（12分）．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//CD AB ，1AD DC CB ===，2AB =，DP = （1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．19（12分）．记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且1132AC AB AB BC BC CA ==⋅． （1）求b c； （2）已知3B C =，1c =，求ABC ∆的面积．20（12分）．．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评” )，从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）:（1）请将22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的男性观众的人数，求X 的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取(*)m m N ∈人．现从这(10)m +人中，随机抽出2人，用随机变量Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y 的数学期望不小于1，求m 的最大值．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：21．（12分）已知双曲线C 中心为坐标原点，左焦点为(-0) （1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M在第二象限，直线1MA 与2NA 交于P ，证明P 在定直线上． 22．（12分）已知函数()af x ax lnx x=--． （1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：12|()()|f x f x -<2022-2023学年南京市金陵中学高二下学期期末考试参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知集合{|11}A x lnx =-剟，{|(2)0}B x x x =-…，则(A B = )A ．1[,2]eB ．[0，]eC ．1[0,]eD ．[2，]e【解答】解：111lnx ln lnx lne e -⇔剟剟，根据对数函数的单调性可知上述不等式的解集为1[,]e e， 而{|(2)0}{|02}B x x x x x =-=剟?，根据交集的运算，1[,2]A B e=．故选：A ．2．已知O 为坐标原点，复数11z i =+，22z mi =+，分别表示向量OA ，OB ，若A B O C ⊥，则(m = ) A ．-1B ．0C ．1D ．2【解答】解：复数11z i =+，22z mi =+，分别表示向量OA ，OB ， 则(1,1)OA =，(2.)OB m =， AB OC ⊥，20m +=，解得2m =-，故选：D ．3．已知函数()f x x =，()22x x g x -=+，则大致图象如图的函数可能是( )A ．()()f x g x +B ．()()f x g x -C ．()()f x g xD ．()()f xg x【解答】解：根据题意，设所给的函数为()h x ，由函数的图象，()h x 为奇函数，当x →+∞时，函数值()0h x →， 由此分析选项： 对于A ，()()()22x xh x f x g x x -=+=++，其定义域为R ，有()()()2xxh x f x g x x h x --=-+-=-++≠-，()h x 不是奇函数，不符合题意；对于B ，()()()22x xh x f x g x x -=-=--，其定义域为R ，有()()()2xxh x f x g x x h x --=-+-=--+≠-，()h x 不是奇函数，不符合题意；对于C ，()()()(22)x x h x f x g x x -==+，当x →+∞时，()h x →+∞，不符合题意； 对于D ，()()()22x xf x x h xg x -==+，其定义域为R ，有()()22x x xh x h x --=-=-+，()h x 是奇函数，且当x →+∞时，()0h x →，符合题意． 故选：D ．4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( ) A ．120B ．60C ．40D ．30【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有155C =种选法， 然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有114312C C ⋅=种选法，根据分步乘法计数原理可得共有51260⨯=种选法． 故选：B ．5．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为( )A ．12B C D 【解答】解：设圆锥和圆柱的底面半径为r ， 因为圆锥的轴截面是等边三角形， 所以圆锥的母线长为2l r =，则圆锥和圆柱的高为h ， 所以圆锥的侧面积为211222S r l r ππ=⨯⨯=，圆柱的侧面积为222S r h r π=⨯=，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为12S S =， 故选：C ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n T ，数列{}n T 是递增数列是20232022a a >的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若{}n a 是等比数列，且10a >，01q <<，则数列{}n T 是递增数列， 但20232022a a <，若20232022a a >，有可能10a >，0q <，则数列{}n T 不是单调数列， 则数列{}n T 是递增数列是20232022a a >的既不充分也不必要条件． 故选：D ．7．已知()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<同时满足下列三个条件： ①当12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的最小值为2π； ②())3f x π+是偶函数；③(0)()6f f π>．若()f x 在[0，)m 上有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．713(,]1212ππ B ．713[,)1212ππ C ．75[,)126ππ D ．1319(,]1212ππ【解答】解：当12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的最小值为2π； ∴当1()1f x =，2()1f x =-时，满足条件，此时，12||x x -的最小值为22T π=， 即T π=，即2ππω=，即2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+，())3f x π+是偶函数，2()sin[2()]sin(2)333f x x x πππϕϕ∴+=++=++， 则232k ππϕπ+=+，k Z ∈， 得6k πϕπ=-+，k Z ∈，||ϕπ<，∴当0k =时，6πϕ=-，当1k =时，56πϕ=． 当6πϕ=-时，()s i n (2)6f x x π=-，此时1(0)2f =-，1()sin 662f ππ==，此时不满足③(0)()6f f π>．故6πϕ=-不成立．当56πϕ=时，5()sin(2)6f x x π=+，此时1(0)2f =，71()sin sin 6662f πππ==-=-，此时满足③(0)()6f f π>．故56πϕ=成立．即5()sin(2)6f x x π=+． 当[0x ∈，)m 时，2[0x ∈，2)m ，552[66x ππ+∈，52)6m π+， 若()f x 在[0，)m 上有两个零点，则 52236m πππ<+…，得7131212m ππ<…， 故选：A ．8．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||8PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e 的取值范围是( ) A ．1(,)9+∞B ．1(,)3+∞C ．1(,)2+∞D ．5(,)3+∞【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c ，1||PF m =，2||PF n =，()m n >， 由于△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||8PF =， 即有8m =，2n c =，由椭圆的定义可得12m n a +=， 由双曲线的定义可得22m n a -=，即有14a c =+，24a c =-，(4)c <，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2248c c c +=>， 则2c >，即有24c <<．由离心率公式可得2122122116161c c c e e a a c c ===--， 由于21614c <<，则有2111631c >-． 则1213e e >．12e e ∴的取值范围为1(3，)+∞．故选：B ．二．多选题（共4小题）9．某次测试，经统计发现测试成绩服从正态分布， ()290,10X N 则( )A ．这次测试的平均成绩为90B ．这次测试的成绩的方差为10C ．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同D ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同【解答】解：由题意可得：~(90X N ，210)，其中90μ=，10σ=，即正态分布的对称轴为90X =，所以A 正确，C 错误，D 正确． 因为10σ=，方差为100，B 错误． 故选：AD ．10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．若用x 表示红色骰子的点数，若用y 表示绿色骰子的点数，用(,)x y 表示一次试验的结果，定义事件：A = “x y +为奇数”， B = “x y =”， C = “4x >”，则下列结论正确的是( ) A ．P （A ）3P =（B ） B ．A 与B 互斥C ．A 与B 独立D ．B 与C 独立【解答】解：由题意可知，事件A 为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共18种情况，事件B 为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6种情况，事件C 为(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12种情况， P （A ）181662==⨯，P （B ）61366==，故P （A ）3P =（B ），故A 正确， 事件A 与B 不同时发生，故A 与B 互斥，故B 正确，()0P AB =，P （A ）P ⋅（B ）1112612=⨯=，故C 错误， P （C ）121663==⨯，21()6618P BC ==⨯，P （B ）P ⋅（C ）1116318=⨯=，故D 正确． 故选：ABD ．11．若抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线交C 于不同的两点A 、B ，直线l 为抛物线的准线，下列说法正确的是( )A ．点B 关于x 轴对称点为C ，当A 、C 不重合时，直线AC ，x 轴，直线交于一点 B ．若||||8AF BF ⋅=，则直线AB 斜率为12±C ．3||2||AF BF +的最小值为5+D ．分别过A 、B 做切线，两条切线交于点M ，则22||||AM BM +的最小值为16 【解答】解：抛物线2:4C y x = 的焦点(1,0)F ，准线:1l x =-，显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为1x ty =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440y ty --=，于是124y y t +=，124y y =-，对于A ，点2(D x ，2)y -，准线l 交x 轴于点(1,0)K -，则1(1KA x =+，1)y ，2(1KD x =+，2)y -，有211221121212(1)(1)(2)(2)22()880x y x y ty y ty y ty y y y t t +++=+++=++=-+=，即得//KD KA ，因此点K ，D ，A 共线，即直线AD ，x 轴，直线l 交于一点，故A 正确；对于B ，2222212121212111||||(1)(1)(1)(1)()144164y y AF BF x x y y y y +⋅=++=++=++ 22121212()2()24844y y y y y y +-+=+=+=，解得124y y +=±，直线AB 的斜率122212124144AB y y k y y y y -===±+-，故B 错误；对于C ，由选项B 知，22221212311||2||3(1)2((1)54442y y AF BF y y +=+++=++1255|5y y +=+=+ (22)12342y y =，即221232y y =时取等号，故C 正确；对于D ，显然抛物线C 在点A 处的切线斜率存在且不为0，设此切线方程为11()y y k x x -=-，由112()4y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x 得：21104ky y y kx -+-=，则△222111111()1(1)042y yk y kx k ky k =--=-+=-=， 解得12k y =，同理抛物线C 在点B 处的切线斜率22k y '=，显然12221kk y y '=⋅=-，于是A⊥，因此2221212||||||(A M B M A B x+==++=…， 当且仅当0t =时取等号，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知0a >，1a e lnb +=，则( ) A ．0a lnb +<B ．2a e b +>C ．0b lna e +<D ．1a b +>【解答】解：由1a e lnb +=，可得1a e lnb =-， 0a >，11lnb ∴->，01b ∴<<，令()1x f x e x =--，则()1x f x e '=-，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()(0)f x f …，即1x e x +…， 由0a >知1a e a >+，11a e lnb a lnb ∴=+>++，0a lnb ∴+<，A 正确；由1x e x +…可得(1)x ln x +…，可得1(1x lnx x -=…时取等号）， 因为01b <<，所以1lnb b <-，11a a e lnb e b =+<+-，2a e b ∴+>，B 正确； 1b e =时，11a e -=，则12,2a l n l n e =>，∴1(2)()1ln ln ln e>=-，1110b b lna e e ∴+>-+>-+=，C 错误；1a e e lnb ln b =-=，∴(),()e ea ln ln ab ln ln b b b =+=+，令eln x b=，则1x b e -=，1x >，1x a b lnx e -+=+，设1()x h x lnx e -=+，1x >，则111()0x x x xe e exh x e x x e xe --'=-=-=>， ()h x ∴在(1,)+∞单调递增，()h x h >（1）1=， 1a b ∴+>，故D 正确．故选：ABD ．三．填空题（共4小题）13．在361(2)x x-的展开式中，2x 项的系数为 60 ．【解答】解：二项式361(2)x x-的展开式的通项为3661841661(2)()2(1)r r r rr r r r T C x C x x---+=⋅-=⋅⋅-⋅，令1842r -=得，4r =，2x ∴项的系数为42462(1)60C ⋅⨯-=． 故答案为：60．14．过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若||8OP =，则p 的值为 6 ． 【解答】解：如图，由题意，不妨设直线方程为(0)y kx k =>，即0kx y -=， 由圆22:(2)3C x y ++=的圆心(2,0)C -到0kx y -==0)k k =>，则直线方程为y =，联立22y y px ⎧⎪⎨=⎪⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或23p x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(3p P ．可得||8OP ==，解得6p =． 故答案为：6．15．有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为 25π ．【解答】解：由题意得正方体上底面到水面的高为431-=，设球体的半径为R ，由题意如图所示：三角形OAA '为Rt △，A 为球与正方体的交点， 则1OA R '=-，422AA '==，OA R =， 所以：222(1)2R R =-+，解得52R =， 所以球的表面积2425S R ππ==， 故答案为：25π．16．已知函数()()y f x x R =∈的图象是连续不间断的，函数(1)y f x =-的图象关于点(1,1)对称，在区间(1,)+∞上单调递增．若(cos 4cos 2)(4cos2)2f m f θθθ+-+->对任意[,]42ππθ∈恒成立，则下列选项中m 的取值范围_____【解答】解：因为函数(1)y f x =-的图象关于点(1,1)对称且在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数()()y f x x R =∈的图象关于(0,1)对称，函数()f x 在R 上单调递增， 由(cos 4cos 2)(4cos2)2f m f θθθ+-+->，可得(cos 4cos 2)(4cos2)(4cos2)(4cos2)f m f f f θθθθθ+-+->-+， 也即(cos 4cos 2)(4cos2)f m f θθθ+->，则有cos 4cos 24cos2m θθθ+->恒成立，即cos 4cos24cos 2m θθθ>-+，因为[,]42ππθ∈，所以cos θ∈， 当cos 0θ=时，得到02>-恒成立；当cos 0θ≠时，则有24cos224cos 8cos 4cos 228cos 4cos cos cos m θθθθθθθθ+--->==--，令cos t θ=∈，则284y t t=--， 因为函数284y t t=--在(0,)+∞上单调递增，且t ∈，所以4max y =，则4m >四．解答题（共6小题）17．设n S 为公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若1a ，4a ，13a 成等比数列，6333S S -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n a n n na b lna +=+，求数列{}nb 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，1a ，4a ，13a 成等比数列，∴24113a a a =，即2111(3)(12)a d a a d +=+， ∴21230a d d -=，0d ≠，1230a d ∴-=①，又6333S S -=，则45633a a a ++=， 1411a d ∴+=②，联立①②解得13a =，2d =，∴数列{}n a 的通项公式*21()n a n n N =+∈；（2）由（1）得*21()n a n n N =+∈， 则2121123222(23)(21)21n a n n n n n a n b lnln ln n ln n a n ++++=+=+=++-++， 123n n T b b b b ∴=++++35212532752(23)(21)n ln ln ln ln ln n ln n +=+-++-++++-+3521222(23)3n ln n ln +=+++++-8(14)23143n n ln -+=+-*8(41)23()33n n ln n N -+=+∈．18．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//CD AB ，1AD DC CB ===，2AB =，DP =（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【解答】解：（1）证明：PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，PD BD ∴⊥，取AB 中点E ，连接DE ， 1AD DC CB ===，2AB =，60DAB ∴∠=︒，又112AE AB AD ===， 1DE ∴=，12DE AB ∴=， ABD ∴∆为直角三角形，且AB 为斜边， BD AD ∴⊥， 又PDAD D =，PD ⊂面PAD ，AD ⊂面PAD ，BD ∴⊥面PAD ， 又PA ⊂面PAD ，BD PA ∴⊥；（2）由（1）知，PD ，AD ，BD 两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，BD则(0,0,0),(1,0,0),D A B P ，∴(0,0,3),(1,0,3),(1,PD PA AB =-=-=-，设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n PA x n AB x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，则可取(3,1,1)n =，设PD 与平面PAB 所成的角为θ，则5sin |cos ,|||5||||PD n PD n PD n θ⋅=<>==，PD ∴与平面PAB19．记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且1132AC AB AB BC BC CA ==⋅．（1）求bc； （2）已知3B C =，1c =，求ABC ∆的面积． 【解答】（1）解：因为1132AC AB AB BC BC CA ==⋅， 由平面向量数量积的定义可得3cos 4cos cos cb A ca B ba C +=，即22222222234222b c a a c b a b c bc ac ab bc ac ab +-+-+-⋅+⋅=⋅，整理可得2b c =，可得2bc =．（2）3B C =，1c =，所以2b =， 由正弦定理可得：32122sin sin sin 33sin 4B C C C sin C===-， 解得1sin 2C =，30C =︒，90B =︒，ABC ∆的面积：112⨯． 20．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评” )，从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）:（1）请将22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的男性观众的人数，求X 的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取(*)m m N ∈人．现从这(10)m +人中，随机抽出2人，用随机变量Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y 的数学期望不小于1，求m 的最大值．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【解答】解：（1）22⨯列联表补充完整如下：2216(60684048)7.448 6.635100116108108K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”．（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率4021005==，且各次抽取之间互相独立，故2~(3,)5X B ，其概率3323()()()55k k k P X k C -==，0k =，1，2，3．其分布列为：（3）随机变量Y 的取值为0，1，2，则24210(0)m m C P Y C ++==，1146210(1)m m C C P Y C ++==，26210(2)mC P Y C +==，21124466222101010()0121m m m m mC C C C E Y C C C +++++∴=⨯+⨯+⨯…，化为：27180m m +-…，解得92m -剟， 又*m N ∈，12m ∴剟， 故m 的最大值为2．21．已知双曲线C 中心为坐标原点，左焦点为(-0)，离心率为（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于P ，证明P 在定直线上．【解答】解：（1）双曲线C 中心为原点，左焦点为(-0)， 则222c a b c ce a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪==⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，故双曲线C 的方程为221416x y -=； （2）证明：过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点， 则可设直线MN 的方程为4x my =-，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 记C 的左，右顶点分别为1A ，2A ， 则1(2,0)A -，2(2,0)A ，联立224416x my x y =-⎧⎨-=⎩，化简整理可得，22(41)32480m y my --+=， 故△222(32)448(41)2641920m m m =--⨯⨯-=+>且2410m -≠，1223241m y y m +=-，1224841y y m =-， 直线1MA 的方程为11(2)2y y x x =++，直线2NA 方程22(2)2y y x x =--，故21211212(2)(2)22(2)(6)y x y my x x y x y my +-+==--- 121211212()26my y y y y my y y -++=-12212483222414148641mm y m m m y m ⋅-⋅+--=⋅--1212162141483641my m m y m -+-==---， 故2123x x +=--，解得1x =-， 所以1P x =-，故点P 在定直线1x =-上运动． 22．已知函数()af x ax lnx x=--． （1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是函数()f x的两个极值点，证明：12|()()|f x f x -<【解答】解：（1）由于f （1）1101ax ln =⨯--=， 若1x >，()0f x >，则须有()0f x '…， 又21()a f x a x x'=-+，210a ∴-…，解得12a …， 当12a …时，222211111(1)()(1(1)022x f x a x x x x x -'=+-+-=>…， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递增，()f x f >（1）0=， 当12a <时，由于f '（1）210a =-<，∴存在0x 使得在0(1,)x 上，()0f x '<， ()f x 单调递减，此时()f x f <（1）0=，()0f x ∴>不成立， 综上所述：实数a 的取值范围为1(2，)+∞；（2）证明：由（1）得221()a ax x af x a x x x-+'=-+=，当0a …时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不成立， 当0a >时，△214a =-，①当2140a -…，即12a …，()0f x '…，()f x 单调递增，不成立， ②当2140a ->，即102a <<，()0f x '=，解得1x =或2x =在1(0,)x 上()f x 单调递增，在1(x ，2)x 上()f x 单调递减，在2(x ，)+∞上()f x 单调递增， 又121x x a+=，121x x =， 不妨设120x x <<，则12()()f x f x >，要证明：1212|()()|||f x f x x x -<=-， 故只需证11222112()a aax lnx ax lnx x x x x -----<-， 只需证1212212112()()a x x a x x lnx lnx x x x x --++-<-，需证22121112212()2()(1)x x x lnx x x x x x x -<-+=+++， 令21(1)x t t x =>，则只需证2(1)(*)1t lnt t -<++， 由（1）知12a =，1x >时，11()2lnx x x<-， 1t ∴>时，12，则lnt <，又1t >时，2(1)01t t ->+，2(1)1t lnt t -∴<<++， 即(*)成立，故原式得证．。