(完整版)勾股定理练习题(含答案)

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

勾股定理习题集一、选择题（本大题共13小题，共39.0分）1.下列命题中，是假命题的是( )A. 在△ABC中，若∠B=∠C−∠A，则△ABC是直角三角形B. 在△ABC中，若a2=(b+c)(b−c)，则△ABC是直角三角形C. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形D. 在△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则△ABC是直角三角形2.已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a=4，b=71；2 c=81；②a2：b2：C2=1：3：2；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④∠A=2∠B=2∠C.2其中能判断△ABC是直角三角形的有( )个．A. 1B. 2C. 3D. 43.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A. 2，5，7B. 4，5，6C. √2，√3，√5D. 32，42，524.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A. 4B. 6C. 16D. 555.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据( )A. 13，10，10B. 13，10，12C. 13，12，12D. 13，10，116.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为( )A. √37B. 5C. 25D. 77.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90∘，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=( )A. 136B. 64C. 50D. 818.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是( )A. 8B. 10C. 20D. 329.如图，第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去.通过观察与研究，写出第2016个正方形的边长a2016为( )A. a 2016=4(12)2015 B. a 2016=2(√23)2015C. a 2016=4(12)2016D. a 2016=2(√22)201610. 如果将长为6cm ，宽为5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( ) A. 8cm B. 5√2cm C. 5.5cm D. 1cm 11. △ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为( )A. 42B. 32C. 42或32D. 37或3312. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，AC =6，BC =8，AD 是∠BAC 的平分线.若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是( )A. 2.4B. 4C. 4.8D. 513. 如图所示，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为( )A. 45√5B. 23√5 C. 25√5 D. 43√3二、填空题（本大题共15小题，共45.0分）14. 如图，AD =13，BD =12，∠C =90∘，AC =3，BC =4.则阴影部分的面积=______ ．15. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为______ cm 2． 16. 如图，在△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是______．17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为______ cm2．18.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是______ ．19.如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，OA=OA1=OA2=⋯OA n=1，则第n个直角三角形的面积为______ ．20.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是______ ．21.如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150∘；④∠APC=105∘.其中一定正确的是______ .(把所有正确答案的序号都填在横线上)22.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中说法正确的结论有______ ．23.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为______ ．24.若直角三角形的两条边长为a，b，且满足(a−3)2+|b−4|=0，则该直角三角形的第三条边长为______ ．25.如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积______ ．26.如果一架25分米长的梯子，斜边在一竖直的墙上，这时梯足距离墙角7分米，若梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将向右滑______ 分米．27.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90∘到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=______ 度.28.已知a是√13的整数部分，3+√3=b+c，其中b是整数，且0<c<1，那么以a、b为两边的直角三角形的第三边的长度是______ ．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）29.如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，∠B=30∘，AD⊥AB，垂足为A，CD=1cm，求AB的长．30.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）31.如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？32.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．(1)作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD=______ ；(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．33.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点B1到最短路径的距离．34.在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．(1)填表：三边a、b、c a+b−c Sl3、4、525、12、1348、15、176=______ ，(用含有m的代数式表示)；(2)如果a+b−c=m，观察上表猜想：Sl(3)说出(2)中结论成立的理由．35.点A，B的位置如图，在网格上确定点C，使AB=AC，∠BAC=90∘．(1)在网格内画出△ABC；(2)直接写出△ABC的面积为______．36.如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处.已知CE=3cm，AB=8cm.求：(1)AD的长；(2)阴影部分的面积．37.小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC−AA1=√2.52−0.72−0.4=2而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程______，解方程得x1=______，x2=______，∴点B将向外移动______米.(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．38.如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．(1)怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？(2)长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．答案和解析【答案】1. C2. C3. C4. C5. B6. B7. B8. B9. B10. A11. C12. C13. A14. 2415. 12016. 601317. 2718. 4719. √n220. 12521. ①②③22. ①②③23. 6cm224. 5或√725. 90cm226. 827. 13528. √7或529. 解：在△ABC中，∠BAC=120∘，∠B=30∘，∴∠C=180∘−120∘−30∘=30∘，∠DAC=120∘−90∘=30∘；即∠DAC=∠C，∴CD=AD=1cm．=√3．在Rt△ABD中，AB=ADtan30∘30. 解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90∘，∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，BF=√AF2−AB2=√102−82=6，∴FC=BC−BF=4，设EC=x，则DE=8−x，EF=8−x，在Rt△EFC中，∵EC2+FC2=EF2，∴x2+42=(8−x)2，解得x=3，∴EC的长为3cm．31. 解：设AE=x，则BE=25−x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2=102+x2，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2=152+(25−x)2，由题意可知：DE=CE，所以：102+x2=152+(25−x)2，解得：x=15km.(6分)所以，E应建在距A点15km处．32. 14−x33. 解：(1)如图，木柜的表面展开图是矩形或ACC1A1．故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的或AC1；(2)蚂蚁沿着木柜表面矩形爬过的路径的长是l1=√42+(4+5)2=√97．蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB1C1D爬过的路径AC1的长=√97，蚂蚁沿着木柜表面ACC1A1爬过的路径AC1的长是l2=√(4+4)2+52=√89．l1>l2，故最短路径的长是l2=√89．(3)作B1E⊥AC1于E，∵∠C1EB1=∠C1A1A，∠A1C1A是公共角，∴△AA1C1∽△B1EC1，即B1EAA1=B1C1AC1，则B1E=B1C1AC1⋅AA1=4√89⋅5=2089√89为所求．34. m435. 536. 解：(1)如图，∵CD=AB=8，CE=3，∴EF=DE=8−3=5；由勾股定理得：CF=4；由题意得：AF=AD(设为λ)，∠AFE=∠D=90∘；∵∠B=∠C=90∘；∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC，∴∠BAF=∠EFC，而∠B=∠C，∴△ABF∽△FCE，∴ABCF =AFEF，解得：AF=10．∴AD=AF=10．(2)由题意得：S△AEF=S△ADE，∴S阴影=S矩形ABCD−2S△ADE=10×8−2×12×10×5=80−50=30．37. (x+0.7)2+22=2.52；0.8；−2.2(舍去)；0.838. 解：(1)设CD=xm，则DE=(32−2x)m，依题意得：x(32−2x)=126，整理得x2−16x+63=0，解得x1=9，x2=7，当x1=9时，(32−2x)=14当x2=7时(32−2x)=18>15(不合题意舍去)∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地．(2)设CD=ym，则DE=(32−2y)m，依题意得y(32−2y)=130整理得y2−16y+65=0△=(−16)2−4×1×65=−4<0故方程没有实数根，∴长方形场地面积不能达到130m2．【解析】1. 解：A、在△ABC中，若∠B=∠C−∠A，则△ABC是直角三角形，是真命题；B、在△ABC中，若a2=(b+c)(b−c)，则△ABC是直角三角形，是真命题；C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形，是假命题；D、在△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则△ABC是直角三角形，是真命题；故选C．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2. 解：①∵a2+b2=2894=(172)2，c2=(812)2=(172)2∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；②∵a2：b2：c2=1：3：2，∴设a2=x，则b2=3x，c2=2x，∵x+2x=3x，∴a2+c2=b2，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x．∵∠A+∠B+∠C=180∘，∴3x+4x+5x=180∘，解得x=15∘，∴∠A=45∘，∠B=60∘，∠C=75∘，∴此三角形不是直角三角形，故本小题错误；④∵∠A=2∠B=2∠C，∴设∠B=∠C=x，则∠A=2x，∴x+x+2x=180∘，解得：x=45∘，∴∠A=2x=90∘，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确．故选C．分别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．3. 解：A、22+52≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、(√2)2+(√3)2=(√5)2，能构成直角三角形，故符合题意；D、(32)2+(42)2≠(52)2，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4. 解：∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90∘；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90∘，AC=CD，∴△ACB≌△DCE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=11+5=16，故选：C．运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．5. 解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直)2+122=132，符合勾股定理，故选B．角三角形，且(102根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线.根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理．6. 解：设一直角边为x，则另一直角边为7−x，x(7−x)=6，根据题意得12解得：x=4或x=3，则另一直角边为3和4，根据勾股定理可知斜边长为√32+42=5，故选：B．x(7−x)，根据“面积为6”作为设一直角边为x，则另一直角边为7−x，可得面积是12相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长．此题主要利用三角形的面积公式寻找相等关系，同时也考查了勾股定理的内容.找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．7. 解：由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，如果连接BD，在直角三角形ABD和BCD中，BD2=AD2+AB2=CD2+BC2，即S1+S4=S3+S2，因此S2=100−36=64，故选B．连接BD，即可利用勾股定理的几何意义解答．本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．8. 解：重叠部分△AFC的面积是矩形ABCD的面积减去△FBC与△AFD’的面积再除以2，矩形的面积是32，∵AB//CD，∴∠ACD =∠CAB ，∵△ACD′由△ACD 翻折而成，∴∠ACD =∠ACD′，∴∠ACD′=∠CAB ，∴AF =CF ，∵BF =AB −AF =8−AF ，∴CF 2=BF 2+BC 2∴AF 2=(8−AF)2+42∴AF =5，BF =3∴S △AFC =S △ABC −S △BFC =10．故选B ．解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力．9. 解：第2016个正方形的边长a 2016=2(√22)2015． 故选B 第一个正方形的边长是2，设第二个的边长是x ，则2x 2=22，则x =√2，即第二个的边长是：2(√22)1；设第三个的边长是y ，则2y 2=x 2，则y =2(√22)x =2(√22)2，同理可以得到第四个正方形的边长是2(√22)3，则第n 个是：2(√22)n−1． 正确理解各个正方形的边长之间的关系是解题的关键，大正方形的边与相邻的小正方形的边，正好是同一个等腰直角三角形的斜边与直角边．10. 解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为：√62+52=√61≈7.8，故折痕长不可能为8cm ．故选：A ．根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大． 11. 解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 中，BD =√AB 2−AD 2=√152 −122 =9，在Rt △ACD 中，CD =√AC 2−AD 2=√132 −122=5∴BC =5+9=14∴△ABC 的周长为：15+13+14=42；(2)当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 中，BD =√AB 2−AD 2=√152 −122 =9，在Rt △ACD 中，CD =√AC 2−AD 2=√132 −122=5，∴BC =9−5=4．∴△ABC 的周长为：15+13+4=32∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32．故选C ．本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，运用勾股定理可将BD 和CD 的长求出，两者相加即为BC 的长，从而可将△ABC 的周长求出；(2)当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，运用勾股定理可将BD 和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．12. 解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC=6，BC=8，∠ACB=90∘，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10．∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，∴CM=AC⋅BCAB =6×810=245，即PC+PQ的最小值为245．故选：C．过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC 的平分线.得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．13. 解：△ABC的面积=12×BC×AE=2，由勾股定理得，AC=√12+22=√5，则12×√5×BD=2，解得BD=45√5，故选：A．根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．14. 解：在RT△ABC中，AB=√AC2+BC2=5，∵AD=13，BD=12，∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形，阴影部分的面积=12AB×BD−12BC×AC=30−6=24．答：阴影部分的面积=24．故答案为：24．先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形．15. 解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x=60，∴x=2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242=262，∴三角形为直角三角形，∴S=10×24÷2=120cm2．故答案为：120．根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用．16. 解：过A作AF⊥BC于F，连接CD；△ABC中，AB=AC=13，AF⊥BC，则BF=FC=12BC=5；Rt△ABF中，AB=13，BF=5；由勾股定理，得AF=12；∴S△ABC=12BC⋅AF=60；∵AD=BD，∴S△ADC=S△BCD=12S△ABC=30；∵S△ADC=12AC⋅DE=30，即DE=2×30AC=6013．故答案为：6013．过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出△ABC的面积；连接CD，由于AD=BD，则△ADC、△BCD等底同高，它们的面积相等，由此可得到△ACD的面积；进而可根据△ACD的面积求出DE的长．此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．17. 解：∵最大的正方形的边长为3cm，∴正方形G的面积为9cm2，由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，故答案为：27．根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．18. 解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：x2=32+52=34；y2=22+32=13；z2=x2+y2=47；即最大正方形E的边长为：√47，所以面积为：z2=47．故答案为：47．分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=32+52，y2=22+32，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．19. 解：根据题意可知：OA1=√2，OA2=√3，…∴第n个直角三角形的直角边OA n−1长为√n．∵第n个直角三角形的另一条直角边长为1．∴第n个直角三角形的面积为12×1×√n=√n2．故答案为：√n2．这是一个规律性题目，第一个三角形的斜边正好是第二个三角形的直角边，依次进行下去，且有一个直角边的边长为1.从而可求出面积．本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理求出三角形的斜边正好是下一个三角形的直角边．20. 解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM(三线合一)，BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM=√AB2−BM2=√52−32=4，又S△AMC=12MN⋅AC=12AM⋅MC，∴MN=AM⋅CMAC =125．连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理.特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．21. 解：△ABC是等边三角形，则∠BAC=60∘，又≌△APB，则AP= AP′，∠PAP′=∠BAC=60∘，是正三角形，①正确；又PA：PB：PC=3：4：5，∴设PA=3x，则：PP′=PA=3x，P′C=PB=4x，PC=5x，根据勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且∠PP′C=90∘，②正确；又是正三角形，∴∠AP′P=60∘，∴∠APB=150∘③正确；错误的结论只能是∠APC=105∘．故答案为①②③．先运用全等得出AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，从而∠PAP′=∠BAC=60∘，得出△PAP′是等边三角形，∠AP′P=60∘，PP′=AP，再运用勾股定理逆定理得出∠PP′C=90∘，由此得解．本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质以及等边三角形的知识，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．22. 解：①∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49，故本选项正确；②由图可知，x−y=CE=√4=2，故本选项正确；③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，×xy+4=49，列出等式为4×12即2xy+4=49；故本选项正确；④由2xy+4=49可得2xy=45①，又∵x2+y2=49②，∴①+②得，x2+2xy+y2=49+45，整理得，(x+y)2=94，x+y=√94≠9，故本选项错误．∴正确结论有①②③．故答案为①②③．根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．23. 解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴ED=BE，设AE=xcm，则ED=BE=(9−x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9−x)2，解得：x=4，=6(cm2)，∴△ABE的面积为：3×4×12故答案为：6cm2．首先翻折方法得到ED=BE，在设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．24. 解：该直角三角形的第三条边长为x，∵直角三角形的两条边长为a，b，且满足(a−3)2+|b−4|=0，∴a=3，b=4．若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42=x2，∴x=5；若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2=42，∴x=√7；∴第三边的长为5或√7．故答案为：5或√7．设该直角三角形的第三条边长为x，先根据非负数的性质求出a、b的值，再分4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．25. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=12CM，BC=AD=24CM，AD//BC，∠A=90∘，∴∠EDB=∠CBD．∵△CBD与△C′BD关于BD对称，∴△CBD≌△C′BD，∴∠EBD=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE．设DE为x，则AE=24−x，BE=x，由勾股定理，得122+(24−x)2=x2，解得：x=15，∴DE=15cm，∴S△BDE=15×12=90cm2．2故答案为90．根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出BE=DE，由勾股定理就可以得出DE的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．26. 解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90∘，即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，AC=√AB2−BC2=24分米．∴OC=AC−AC=24−4=2分米，在Rt△COD中，由勾股定理可得：CD2=OC2+OD2，OD=15分米，BD=OD−OB=15−7=8分米，故答案为：8．梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于△ABC和△EFC，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状.由题意可得出AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，将AB、CB的值代入该式求出AC的值，OC=AO−AC；在Rt△COD中，求出OD的值，BD=OD−OB=15−7=8分米，即求出了梯脚移动的距离．本题主要考查勾股定理在实际中的应用，通过作相应的等价图形，可以使解答更加清晰明了．27. 解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90∘到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C∴∠BEE′=∠BE′E=45∘，∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，∴EC2=E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90∘，∴∠AEB=135∘．故答案为：135．首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′=∠BE′E=45∘，即可得出答案．此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出△EBE′是直角三角形是解题关键．28. 解：∵√9<√13<√16，∴3<√13<4，∴a=3，∵1<√3<2，∴4<3+√3<5，又∵b是整数，且0<c<1，∴b=4，c=√3−1．分两种情况：①若b=4为直角边，则第三边=√a2+b2=√32+42=5；若b=4为斜边，则第三条边=√b2−a2=√42−32=√7．故答案为√7或5．先根据√9<√13<√16，可得出a的值，根据1<√3<2，结合b是整数，且0<c<1，求出b、c的值，再分情况讨论，①b为直角边，②b为斜边，根据勾股定理可求出第三边的长度．本题考查了估算无理数的大小、勾股定理的知识，注意“夹逼法”的运用是解答本题的关键．29. 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，易求得∠BAC=120∘，故∠DAC=∠C=30∘，由此可证得△ADC是等腰三角形，即可求出AD的长，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AB的长．此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的应用；求得∠DAC= 30∘是正确解答本题的关键．30. 根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90∘，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8−x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42= (8−x)2，然后解方程即可．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了勾股定理．31. 根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．32. 解：(1)∵BC=14，BD=x，∴DC=14−x，故答案为：14−x；(2)∵AD⊥BC，∴AD2=AC2−CD2，AD2=AB2−BD2，∴132−(14−x)2=152−x2，解得：x=9；(3)由(2)得：AD=√AB2−BD2=√152−92=12，∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×14×12=84．(1)直接利用BC的长表示出DC的长；(2)直接利用勾股定理进而得出x的值；(3)利用三角形面积求法得出答案．此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．33. 根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．34. 解：(1)∵Rt△ABC的面积S=12ab，周长l=a+b+c，故当a、b、c三边分别为3、4、5时，S=12×3×4=6，l=3+4+5=12，故Sl=12，同理将其余两组数据代入可得Sl 为1，32．∴应填：12，1，32(2)通过观察以上三组数据，可得出m4．(3)∵l=a+b+c，m=a+b−c，∴lm=(a+b+c)(a+b−c)=(a+b)2−c2=a2+2ab+b2−c2．∵∠C=90∘，∴a2+b2=c2，s=12ab，∴lm=4s.即sl =m4．(1)Rt△ABC的面积S=12ab，周长l=a+b+c，分别将3、4、5，5、12、13，8、15、17三组数据代入两式，可求出Sl的值；(2)通过观察以上三组数据，可得出：Sl =m4；(3)根据lm=(a+b+c)(a+b−c)，a2+b2=c2，S=12ab可得出：lm=4s，即Sl=m4．本题主要考查勾股定理在解直角三角形面积和周长中的运用．35. 解：(1)如图所示：(2)在△ABC中，∠BAC=90∘，∴AB=AC=√12+32=√10．故△ABC的面积为√10×√10÷2=5．故答案为：5．(1)先连结AB，再确定C点，连结AC，BC即可求解；(2)根据勾股定理得到AB，AC的长，再根据三角形面积公式即可求解．本题考查了勾股定理，学生作图与根据图象分析处理、以及计算面积的能力．36. (1)证明△ABF∽△FCE，列出比例式ABCF =AFEF，求出AF=10，得到AD=AF=10．(2)运用S阴影=10×8−2×12×10×5=80−50=30，即可解决问题．该题主要考查了旋转变换的性质及其应用、勾股定理及其应用等问题．37. 解：(1)(x+0.7)2+22=2.52，故答案为；0.8，−2.2(舍去)，0.8．(2)①不会是0.9米，若AA1=BB1=0.9米，则A1C=2.4米−0.9米=1.5米，B1C=0.7米+0.9米=1.6米，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25∵A1C2+B1C2≠A1B12，∴该题的答案不会是0.9米．②有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x+0.7)2+(2.4−x)2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0(舍)∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC 下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．(1)直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可；(2)把(1)中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入(1)中方程，求出x的值符合题意．本题考查的是解直角三角形的应用及一元二次方程的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．38. (1)首先设CD=xm，则DE=(32−2x)m，进而利用面积为126m2得出等式求出即可；(2)结合(1)中求法利用根的判别式分析得出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形的面积是解题关键．。

勾股定理练习附答案一、相信你的选择1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）．A ．16πB ．12πC ．10πD ．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．A ．12B ．7＋7C ．12或7＋7D ．以上都不对3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（ ）．A ．小于1mB ．大于1mC ．等于1mD ．小于或等于1m4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm二、试试你的身手5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____．6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元．三、挑战你的技能9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，……，a n ，请求出a 2，a 3，a 4的值； 150o20米30米（2）根据以上规律写出a n的表达式．10、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（3取1.732，结果保留三个有效数字）11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？12、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）参考答案一、相信你的选择1、D2、C3、A4、D二、试试你的身手5．a ＝b ，b ＝4（提示：设a ＝3k ，b ＝2k ，由勾股定理，有（3k ）2＋（2k ）2＝（213）2，解得a ＝b ，b ＝4．）；6．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt △ABC ，利用勾股定理，AB 2＝AC 2＋BC 2＝192＋392＝1882，AB ≈43）；7．3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；8、150a ．三、挑战你的技能9、解析：利用勾股定理求斜边长．（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，AC ＝22BC AB +＝2211+＝2．同理：AE ＝2，EH ＝22，…，即a 2＝2，a 3＝2，a 4＝22．（2）a n ＝12-n （n 为正整数）．10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则ED ＝BC ＝30米，EB ＝DC ＝1.4米．设AE ＝x 米，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，则AD ＝2x ．由勾股定理得：AE 2＋ED 2＝AD 2，即x 2＋302＝（2x ）2，解得x ＝103≈17.32．∴AB ＝AE ＋EB ≈17.32＋1.4≈18.7（米）．答：树高AB 约为18.7米．11、解析：本题要注意判断角的大小，根据题意知：∠1＝∠2＝45°，从而证明△ABC 为直角三角形，这是解题的前提，然后可运用勾股定理求解．B 在O 的东南方向，A 在O 的西南方向，所以∠1＝∠2＝45°，所以∠AOB ＝90°，即△AOB 为Rt △．BO ＝16×23＝24（海里），AB ＝30海里，根据勾股定理，得AO 2＝AB 2－BO 2＝302－242＝182，所以AO ＝18．所以乙船的速度＝18÷23＝18×32＝12（海里/时）．答：乙船每小时航行12海里．12、解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2， ∴3x ＋x ＝2，∴x ＝3－1．即CD ＝3－1≈0.732＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。

勾股定理课时练（1）8. 一个部件的形状以下图，已知AC=3cm， AB=4cm，BD=12cm。

求 CD的长 .1. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2 BC 2 AC 2的值是（）2.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的部件ABCD ，AD ∥ BC，斜腰 DC 的长为10 cm，∠ D=120°，则该部件另一腰 AB 的长是 ______ cm（结果不取近似值） . 第 8 题图3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 _______．9. 如图，在四边形 ABCD中，∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， BC=2，CD=3，求 AB 的长 .4.一根旗杆于离地面12 m处断裂，如同装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m，旗杆在断裂以前高多少m ？第 9 题图10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，5. 如图，以以下图，今年的冰雪灾祸中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4 他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家. 他要达成这件事情所走的最短行程是多少？米处，那么这棵树折断以前的高度是米 .“路”3m4m第 5 题图第 2 题图11 如图，某会展中心在会展时期准备将高5m, 长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯 , 已知地毯平方米 18 6. 飞机在空中水平飞翔, 某一时辰恰巧飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处 , 过了 20 秒, 飞机距离元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道起码需要多少元钱?这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞翔多少千米 ?13m 5m第 11 题12. 甲、乙两位探险者到荒漠进行探险，没有了水，需要找寻水源．为了不致于走散，他们用两部7. 以下图，无盖玻璃容器，高18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm的点 C 处有一对话机联系，已知对话机的有效距离为15 千米．清晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米 / 时的速度向蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距张口 1 cm的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 / 时的速度向北前进，上午10： 00，甲、乙二人相距多远？所走的最短路线的长度 . 还可以保持联系吗？第 7 题图第一课时答案：1.A ，提示：依据勾股定理得BC 2 AC 2 1，所以AB 2BC 2 AC 2 =1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4 步.3. 60 ，提示：设斜边的高为x ，依据勾股定理求斜边为122 52 169 13 ，再利13用面积法得，15 12 1 13 x, x 60 ；2 2 134.解：依题意， AB=16 m， AC=12 m，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2AB 2AC 216 212 220 2,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ),故旗杆在断裂以前有32 m高.6. 解: 如图 , 由题意得 ,AC=4000 米 , ∠C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002400023000(米),3所以飞机飞翔的速度为540 (千米/小时)2036007.解：将曲线沿 AB睁开，以下图，过点 C 作 CE⊥ AB于 E.在R t CEF , CEF90 ，EF=18-1-1=16（ cm ），1CE=30(cm) ，2. 60CE 2 EF 2 30 2 16 2 34( ) 由勾股定理，得CF=8.解：在直角三角形ABC中，依据勾股定理，得在直角三角形 CBD中，依据勾股定理，得2 2 2 2CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9.解：延伸 BC、AD交于点 E. （以下图）∵∠ B=90°，∠ A=60°，∴∠ E=30°又∵ CD=3，∴ CE=6，∴ BE=8，设 AB=x，则 AE=2x，由勾股定理。

勾股定理练习题及答案1. 直角三角形1.1 已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：c = √(a^2 + b^2)其中，a和b分别为两个直角边的长度。

代入已知值，可以得到：c = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm所以，斜边的长度为5cm。

1.2 已知直角三角形的斜边长度为10cm，其中一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。

解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2将已知值代入，可以得到：10^2 = 6^2 + b^2100 = 36 + b^2b^2 = 100 - 36b^2 = 64b = √64 = 8cm所以，另一条直角边的长度为8cm。

2. 直角三角形的应用2.1 一根长度为12cm的电话线在地面上拉出了一个直角三角形，其中一条直角边长为9cm，求另一条直角边和斜边的长度。

解答：根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为9cm，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 9^2 + b^2c^2 = 81 + b^2又已知三角形的斜边是长为12cm的电话线，所以可以得到另一个公式：c = 12将这两个公式结合，可以得到以下方程：81 + b^2 = 12^281 + b^2 = 144b^2 = 144 - 81b^2 = 63b = √63 ≈ 7.94cm所以，另一条直角边的长度约为7.94cm，斜边的长度为12cm。

2.2 一根高度为10m的电线杆倒在地面上形成了一个直角三角形，其中一条直角边长为8m，求另一条直角边和斜边的长度。

解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为8m，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 8^2 + b^2c^2 = 64 + b^2又已知三角形的斜边是高度为10m的电线杆，所以可以得到另一个公式：c = 10将这两个公式结合，可以得到以下方程：64 + b^2 = 10^264 + b^2 = 100b^2 = 100 - 64b^2 = 36b = √36 = 6m所以，另一条直角边的长度为6m，斜边的长度为10m。

勾股定理测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形答案：B2. 如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个直角三角形的斜边长度为13，一条直角边为5，另一条直角边的长度是多少？A. 12B. 10C. 8D. 6答案：A4. 勾股定理的公式是什么？A. a + b = cB. a * b = cC. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 - b^2 = c^2答案：C5. 如果一个三角形的三边长分别为7、24和25，那么这个三角形是直角三角形吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 直角三角形中，如果一条直角边长为x，另一条直角边长为y，斜边长为z，根据勾股定理，我们有________。

答案：x^2 + y^2 = z^27. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是________。

答案：108. 在一个直角三角形中，如果斜边的长度是20，一条直角边长为15，另一条直角边的长度是________。

答案：5√3 或25√3/39. 勾股定理的发现归功于古希腊数学家________。

答案：毕达哥拉斯10. 勾股定理在数学中也被称为________定理。

答案：毕达哥拉斯定理三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个直角三角形的斜边长度为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。

答案：根据勾股定理，另一条直角边的长度为√(17^2 - 8^2) =√(289 - 64) = √225 = 15。

12. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(9^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15。

13. 一个直角三角形的斜边长度为25，一条直角边长为15，求另一条直角边的长度。

勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中　∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2⇔3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,　m 2+n 2是一组勾股数。

②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。

212-k 212+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。

122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na,　nb,　nc (n 是正整数)也是勾股数。

典型例题分析例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=____　依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d 则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2 S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4例2 已知线段a ，求作线段 a5分析一：a ＝＝525a 224a a +∴a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。

勾股定理练习一、单选题（共12题；共24分）1.如图，长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm 至D点，则橡皮筋被拉长了（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=5，BC=3，那么AC等于（）A. B. 3 C. 4 D. 53.在下列的线段中，能组成直角三角形的是( )A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，64.如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A. 12 米B. 13 米C. 14 米D. 15 米5.一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（）A. 4B.C. 4或D. 26.在△ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则AB=（）A. B. 5 C. D. 77.如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（）A. 0.9米B. 1.3米C. 1.5米D. 2米8.若直角三角形的三边长分别为2、4、x，则x的可能值有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A. 25海里B. 30海里C. 40海里D. 50海里10.一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A. 20cmB. 50cmC. 40cmD. 45cm11.如图所示：某商场有一段楼梯，高BC=6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A. 8mB. 10mC. 14mD. 24m12.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A. 米B. 米C. (米D. 3 米二、填空题（共8题；共8分）13.在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为________cm2．14.若直角三角形两直角边长分别为6和8，则它的斜边长为________．15.直角三角形两直角边长分别为，，则斜边长为________．16.如图，作一个长方形，以数轴的原点为中心，长方形对角线为半径，交数轴于点A，则点A表示的数是________．17.如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为________ m．18.已知一个直角三角形的两条直角边的差为2，两条直角边的平方和为8，则这个直角三角形的面积是________19.已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于________ cm2．20.学校有一块长方形的花圃如右图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步（假设1米=2步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！三、作图题（共1题；共5分）21.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，①在图1中画出边长分别为：3，2 ，的三角形（不写画法）；②在图2中画出边长分别为，4，，4的平行四边形（不写画法）．四、计算题（共1题；共5分）22.已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．23.有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？24.如图，梯形ABCD是由三个直角三角形拼成的，各直角边的长度如图所示。

勾股定理课堂学习检测—、填空题：! •若是直角三角形的两直角边长别离为a、b,斜边长为c,那么 _______ 二3 ;这必然理在我国被称为 ______ ・2・厶中，zC二90°, a、b、c别离是乙B、/U的对边・(1) ____________________________ 假设a=5, b = 12t那么c二;⑵假设c 41, ”40,那么0二____________ ;(3) 假设z»=30\ a",那么c二 _________ . b二____ :(4) 假设z/l二45°,日二丄，那么" ______ , c二____ ・3•如图是由边长为lm的正方形地砖铺设的地面示用意，小明沿图中所示的折线从XB-C所走的路程为4 •等腰直角三角形的斜边为10,那么腰长为_______ ,斜边上的高为______ •5 •在直角三角形中，一条直角边为11cm ,另两边是两个持续自探数,那么此直角三角形的周长为二瞬题6 • R^ABC中#斜边BC二2 .那么+ BO的值为()•(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7 •如图，L ABC中f AB二AC^ 10 , BD是边上的高线.DC=2 ,那么SQ等于().(A)4 (B)6 (C)8 (D) 2 価8 •如图，M^ABC中,zC 90°,假设AB二15cm #那么正方形"比和正方形BCFG的面积和为（）.(A)l 50cm2(B )200cm2(C)225cm2(D)无法计算三、解答题9.在RtZUBC 中，ZC=90° , ZA> ZB. ZC 的对边别离为a、b. c.(1)假设a : b=3 : 4, c=75cm,求a、b；(2)假设a : c = 15 : 17, b=2A,求AABC 的面积;(3)假设c—a=4, b = 16f求a、c；(4)假设ZA=30。

一、选择题1．如图，点A 的坐标是(2)2，，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．（2，0）B ．（4，0）C ．（－22，0）D ．（3，0）2．如图，OP ＝1，过点P 作PP 1⊥OP ，且PP 1＝1，得OP 1＝2；再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得OP 2＝3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2……依此法继续作下去，得OP 2018的值为( )A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019 3．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45︒，若AD =4，CD =2，则BD 的长为（ ）A ．6B ．27C ．5D ．254．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对 5．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )A ．3，4，5B ．1，12C．8，12，13 D．2、3、56．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A．3 B．5 C．4.2 D．47．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则 h 的取值范围是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm 8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，25三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．②B．①②C．①③D．②③9．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是()A．5 B．4 C34D．43410．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2C．a=2，b=3，c=4 D．(b+c)(b-c)=a²二、填空题11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．13．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．14．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.15．如图，△ABC 是一个边长为1的等边三角形，BB 1是△ABC 的高，B 1B 2是△ABB 1的高，B 2B 3是△AB 1B 2的高，……B n-1B n 是△AB n-2B n-1的高，则B 4B 5的长是________，猜想B n-1B n 的长是________．16．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．18．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________19．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______三、解答题21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．22．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．23．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．24．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.25．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.26．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.27．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．28．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).29．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD 30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.30．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【详解】解：（1）当点P 在x 轴正半轴上，①以OA 为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，OA=22，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA= 22∴OA=AP=2∴P的坐标是（-220）．故选D．2．D解析：D【解析】【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.【详解】∵OP=1，OP12OP23OP34=2，∴OP45…，OP20182019故选D【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．3．A解析：A【解析】【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接C D′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD 与∠CAD′的关系，根据SAS ，可得△BAD 与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD 与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，则有∠AD′D=∠D′AD=45︒，∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，''BC CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=22'AD AD +＝42，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′=22DC DD +'=()22422+=6，故选 A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线作出全等图形是解题关键．4．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断.【详解】解：由已知可得CD=BD=5,22251213+=即222BD AD AB +=,ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=︒，90ADC ∴∠=︒222AD CD AC ∴+= 2251213AC ∴=+=13AB AC ∴==故ABC 是等腰三角形.故选C【点睛】本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.5．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．【详解】A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意；B. 12+12=（2）2，能构成直角三角形，故不符合题意；C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；D.（2）2+（3）2=（5）2，能构成直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．C解析：C【分析】根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．【详解】设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，由勾股定理可得：222=OA OB AB +即：()2224=10x x +-，解得：x ＝4.2故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．故答案选：C ．本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．7．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD 是筷子，AB 长是杯子直径，BC 是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm ，BC=8cm ，△ABC 是直角三角形∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.8．D解析：D【分析】根据三角形勾股定理的逆定理符合222a b c +=即为直角三角形 ，所以将数据分别代入，符合即为能构成直角三角形．【详解】由题意得：①2222+3=134≠ ；②2223+4=25=5 ；③2221+2=5=5 ， 所以能构成直角三角形的是②③．故选D ．【点睛】考查直角三角形的构成，学生熟悉掌握勾股定理的逆定理是本题解题的关键，利用勾股定理的逆定理判断是否能够成直角三角形．解析：D【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x；②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x故选：D10．C解析：C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．【详解】A、∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，是直角三角形，错误；B、∠A：∠B：∠C＝1：3：2，可得∠B＝90°，是直角三角形，错误；C、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即a2+c2＝b2，故是直角三角形，错误；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．二、填空题11．103．【解析】试题解析：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，x+4y=103，所以S2=x+4y=103．考点：勾股定理的证明．12．96 25【分析】将△B´CF的面积转化为求△BCF的面积，由折叠的性质可得CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B´CF，CE⊥AB，可证得△ECF是等腰直角三角形，EF＝CE，∠EFC＝45°，由等面积法可求CE的长，由勾股定理可求AE的长，进而求得BF的长，即可求解．【详解】根据折叠的性质可知，CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B´CF，CE⊥AB，∴∠DCE＋∠B´CF＝∠ACE＋∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，且CE⊥AB，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∵S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CE，∴AC•BC＝AB•CE，∵根据勾股定理求得AB＝10，∴CE＝245，∴EF＝245，∵AE 185，∴BF＝AB−AE−EF＝10－185－245＝85，∴S△CBF＝12×BF×CE＝12×85×245＝9625，∴S△CB´F＝96 25，故填：96 25．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．13．48【分析】用a和b表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S的面积．【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()223S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，∴()()2222144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=2233144a b +=2248a b +=，∴248S =．故答案是：48．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．14．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．15 【分析】 根据等边三角形性质得出AB 1＝CB 1＝12，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理求出BB 1＝ABC 113ABB BCB S S ==B 1B 2，由勾股定理求出BB 2，根据11221ABB BB B AB B S S S =+代入求出B 2B 3=，B 3B 4=B 4B 5=，推出B n ﹣1B n ＝2n ． 【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴BA ＝AC ，∵BB 1是△ABC 的高，∴AB 1＝CB 1＝12，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理得：BB 1=；∴△ABC 的面积是12×1=；∴1112ABB BCB SS ==⨯，12=×1×B 1B 2，B 1B 2，由勾股定理得：BB 234=， ∵11221ABB BB B AB B S S S =+，2313112422B B =⨯⨯⨯，B 2B 3，B 3B 4＝16，B 4B 5＝332， …， B n ﹣1B n ＝32n ．故答案为：332，32n ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律．16．5【分析】 在直角ABC 中，依据勾股定理求出AC 的长度，再算出BD ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.【详解】解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，∴22=10AC AB BC +=,又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =∴6810BE ⨯=，5BD =,∴=4.8BE ,∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,∴5AD AE ED =+=.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.17．4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可【详解】∵AC的垂直平分线FG，∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC）=30°，∴∠B=∠G，∴BF=FG，∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE，即（2AE）2=AE2+32，∴AE=3（负值舍去）即CE=3，同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，（2EF）2=EF2+（3）2，∴EF=1（负值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．18．【解析】【分析】延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD、BC相交于E，∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB，CE=2CD∵AB=3，AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x，DE=x即x=2x=即CD=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE和直角△CDE，是解题的关键．19．10【分析】首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．【详解】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N′=22+=10．OM ON''故答案为10．【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．20．522,32++【分析】过B作BF⊥CA于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC的长．【详解】分两种情况：①当∠C为锐角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，由折叠可得，折痕PE垂直平分AB，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP是等腰直角三角形，∴BF=DF=22，又∵BC=3，∴Rt△BFC中，CF=221-=，BC BF∴AC=AP+PF+CF=5+22；②当∠ACB为钝角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=22又∵BC=3，∴Rt△BCF中，221-=，BC BF∴AC=AF-CF=3+22故答案为：5+223+22【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析；（3）363【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．【详解】（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，∴∠ACB =∠ABC ，∴AB =AC ．∵∠ACD =∠ADC ，∴AC =AD ，∴AB =AC =AD ．∴四边形ABCD 是邻和四边形；（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，∴AC =()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等．分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC 为等边三角形，过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =160302⨯︒=︒， ∴122AG AD ==，22224223DG AD AG =-=-=，∴S △ADC =1423432⨯⨯=，S △ABC =12AB×BC =23， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =63；②当CD =CB =BD =23时，如图所示：∴△BDC 为等边三角形，过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠BDE =160302⨯︒=︒， ∴132BE BD == ()()22222333DE BD BE =-=-=， ∴S △BDC =1233332⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ， ∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒，∴DF=123 S △ADB =12332⨯=， ∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =3；③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．∴邻和四边形ABCD 的面积是3或3【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．22．(1)2；(2)32q p =；(3)27OM =【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==， ∴223MN MO NO p =-=， ∴32q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =∴2MF =，23ME =， ∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒， 在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．23．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.24．（1）详见解析；（241；（33【分析】 （1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以3AB所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.25．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92；②k 的取值范围为13k ≤<；（3）ABC ∆203123． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1故该命题是真命题；（2）①90,6CB b A ∠=︒=22236c a b a ∴=++根据优三角形的定义，分以下三种情况：当2a b c +=时，26236a a +=+，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根 当2a c b +=时，23612a a +=，解得92a = 当2bc a +=时，26362a a +=，解得86a =>，不符题意，舍去综上，a 的值为92； ②由题意得：,,a b c 均为正数 根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a ≥≥）当2a b c +=时，则1b k a=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+ 则2a b b a a b +-<<+，解得3b a <，即3b k a=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2a c b +=时，则1c k a =≥ 由三角形的三边关系定理得c a b a c -<<+ 则2a c c a a c +-<<+，解得3c a <，即3c k a=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2b c a +=时，则1c k b =≥ 由三角形的三边关系定理得c b a b c -<<+ 则2b c c b b c +-<<+，解得3c b <，即3c k b=< 故此时k 的取值范围为13k ≤<综上，k 的取值范围为13k ≤<；（3）如图，过点A 作AD BC ⊥，则180********ABC ABD ∠=︒-︒∠-==︒︒ 设BD x =22,AB BD x AD ∴====AC ===11422ABC S BC AD ∆=⋅=⨯= ABC ∆是优三角形，分以下三种情况：当2AC BC AB +=时，即44x =，解得103x =则103ABC S ∆===当2AC AB BC +=时，即28x =，解得65x =则655ABC S ∆===当2BC AB AC +=时，即242424x x x +=++，整理得234120x x ++=，此方程没有实数根综上，ABC ∆的面积为2033或1235．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键．26．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=t v t (26t ≤<) 【分析】（1）作AE ⊥BC 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC ，然后利用勾股定理求出AE ，再用等面积法可求出CD 的长；（2）①过B 作BF ⊥AC 于F ，易得BF=CD ，分别讨论Q 点在AF 和FC 之间时，根据△BQF ≌△CPD ，得到PD=QF ，建立方程即可求出t 的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q 在FC 之间求出t 的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AE ⊥BC 于E ，∵AB=AC ，∴BE=12BC=25在Rt △ABE 中，()2222AE=AB BE =1025=45--∵△ABC 的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB10⋅⨯（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22AD=AC CD=6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，∴此种情况不符合题意，舍去；当Q点在FC之间时，如图所示，此时PD=6-t，QF=2t-6由PD=QF得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t的值为4.（3）同（2）可知v＞1时，Q在AF之间不存在CP=BQ，Q在FC之间存在CP=BQ，Q在F点时，显然CP ≠BQ ，∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，∴PD=6-t ，QF=vt-6，由PD=QF 得6-t=vt-6， 整理得12-=t v t， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC∴610<≤vt ，代入12-=t v t得 61210<-≤t ，解得26t ≤<所以答案为12-=t v t (26t ≤<) 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.27．（1）假；（2）∠A ＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a 2=c 2，再由勾股定理得a 2+b 2=c 2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a ，AD=CD=a ，DB=AB-AD=c-a ，DG=BG=12（c-a ），AG=12（a+c ），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt △ABC 是类勾股三角形，∴ab +a 2＝c 2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得，a 2+b 2＝c 2，∴ab +b 2＝a 2+b 2，∴ab ＝a 2，∴a ＝b ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A。

完整版)勾股定理测试题(含答案)18.2勾股定理的逆定理达标训练一、基础巩固1.下列条件满足不是直角三角形的三角形是（）A。

三内角之比为1∶2∶3B。

三边长的平方之比为1∶2∶3C。

三边长之比为3∶4∶5D。

三内角之比为3∶4∶52.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）。

图18-2-43.如图18-2-5，以直角三角形ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________。

图18-2-54.如图18-2-6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB 中点，F为AD上的一点，且AF=√10，则BE的长为_________。

图18-2-65.一个零件的形状如图18-2-7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=12，BC=13，这个零件符合要求吗？试判断△XXX的形状。

图18-2-76.已知△ABC的三边分别为k2-1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形。

二、综合应用7.已知a、b、c是直角三角形ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图18-2-8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。

求证：△ABC是直角三角形。

图18-2-89.如图18-2-9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论。

图18-2-910.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△XXX的形状。

解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，(A)∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形。

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC=AD－CD=13－12=25 ∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得 AB=AC－BC=5－3=16 ∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P.求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD、BC交于E。

勾股定理练习题【1】一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+14. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 337.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是． 二、综合发展: 1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15， 小汽车 小汽车 B C 观测点A CB EC D所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案:260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．。

勾股定理课时练（1）1.在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是______cm （结果不取近似值）.3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4.一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地6.飞机在空中水平飞行上方4000米处,过了209.如图，在四边形CD=3，求AB 的长10.如图，一个牧童在小河的南的小屋B 的西8km 2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC ，所以AB222AC BC ++=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.3.1360，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+，再利用面积法得，136011米,由勾所以飞机飞行的速度为CE=60.2⨯，由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+8.解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169，所以CD=13. 9.解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）第5题图第8题∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8， 设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。

勾股定理练习题一、填空题1、若直角三角形的两边长分别是3、4，则第三边的长为 ；2、若等腰三角形的一边长为6，则另两边的长分别是3、如图：AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D （1）若BC=8，AC=15，则CD= （2）若AB=29，AC=21，则CD=4、如图∠C=30°，AD ⊥BC ，AB ⊥AC ，BE=EC （1）若AE=4，则AD=（2）若DE=3,则BC= ；AB=；AC=5、如图，正方形ABCD ，若OD=3，OC ⊥OD ，OC=OD ，则BD= ，正方形ABCD 的面积=6、直角三角形ABC 中，若周长为30，斜边上中线长为6.5，则该三角形的面积为7、若两条线段长分别是20，25，则当第三条线段的长为时，这三条线段首尾连结可以组成直角三角形。

8、若2224618a b c a c ++=++-，则△ABC 的形状是 二、写出下列命题的逆命题，并判断真假。

1、两条直线平行，同旁内角互补。

2、若x=-3，则2230x x +-=。

3、直角三角形中，30°锐角所对直角边等于斜边的一半。

4、若一个整数的末位数字是0，则这个数能被5整除。

三、解答题1、如图：RtABC中，CA=，AM=AC=12, BN=BC=5, 求MN的长。

2、RtABC中，C=，AD平分C,AC=10cm,AB=26cm,求BD长。

3、RtABC中，C=，AC=BC, BDAB,，AD=12,求BC长。

4、直角三角形中，两条直角边的差为cm,斜边长为。

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=17，BD=9，AD=10，求AC的长B6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，且CD=1.5，BD=2.5，求AC的长A7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=AC且DE∥AC，BE=，求AC，AB的长C8.在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC 的周长9、已知：如图四边形ABCD 中对角线AC 、BD 互相平分，相交于O ，且AC ⊥BD 。

勾股定理学习要点1、认识勾股定理。

2、勾股定理公式=a2＋b2=c2基础练习例题：已知直角三角形高米，底边米，求斜边的长度是多少？解：勾股定理公式=a2＋b2=c21、如图，这个正方形的对角线的长度是5cm.求圆的半径、直径、面积、周长（第1题图）勾股定理测试卷（完卷时间60分钟，满分120分）一、填空题（每小题3分，24分）1. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_________米.2. 在直角三角形中，斜边 =2，则 =_____.3. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是________.（保留π）5. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_________米.6. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于___________.7. 如图，四边形是正方形，垂直于，且 =3， =4，阴影部分的面积是___19___.8. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.二、选择题（每小题3分，共30分）9. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定10. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长( ) （A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm11. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A）25 （B）14 （C）7 （D）7或2512. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )（A）13 （B）8 （C）25 （D）6413. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）14. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A）钝角三角形（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形. 15. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )（A） 25 （B）（C） 9 （D）16. 三角形的三边长为 ,则这个三角形是( )（A）等边三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）锐角三角形.17.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（）. （A）50 元（B）600 元（C）1200 元（D）1500 元18.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（）.（A）12 （B）7 （C）5 （D）13三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 6、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3B ：4C ：5D ：77．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 8．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形 9．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．10. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 11. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为12．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 13. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.14. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____． 15．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．二：应用提升1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？ABAEB4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？小汽车小汽车观测点答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角． 8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ． 15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ． 答案：这辆小汽车超速了．。

《勾股定理》练习题及答案测试1 勾股定理(一)学习要求掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．课堂学习检测一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C 所走的路程为______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．2(A)4 (B)6 (C)8 (D)108．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2 (D)无法计算三、解答题9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个 (C)3 (D)4个二、填空题11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．三、解答题13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．拓展、探究、思考14．如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S1＋S2与S3的关系；图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S1＋S2与S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．测试2 勾股定理(二)学习要求掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两人相距______km ． 3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m 路，却踩伤了花草．4．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ． 二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )． (A)5m(B)7m(C)8m(D)10m6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )． (A)212 (B)310 (C)56(D)58三、解答题7．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3)二、解答题：11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?9 10 11 12拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD ＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．测试3 勾股定理(三)学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝______，AB边上的高CE＝______．2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．3．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝10，则AC＝______，AB边上的高CD＝______．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 二、选择题6．已知直角三角形的周长为62+，斜边为2，则该三角形的面积是( )．(A)41 (B)43 (C)21 (D)17．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7 (B)7或41(C)24(D)24或7三、解答题8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．9．在数轴上画出表示10-及13的点．综合、运用、诊断10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．11．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．12．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．测试4 勾股定理的逆定理学习要求掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．课堂学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形． 7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______． 二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )． (A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a (C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2(B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26(D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形(D)形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．参考答案 第十八章 勾股定理 测试1 勾股定理(一)1．a 2＋b 2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2．3．52． 4．52，5． 5．132cm ． 6．A ． 7．B ． 8．C ． 9．(1)a ＝45cm ．b ＝60cm ； (2)540； (3)a ＝30，c ＝34； (4)63； (5)12．10．B ． 11．.5 12．4． 13．.310 14．(1)S 1＋S 2＝S 3；(2)S 1＋S 2＝S 3；(3)S 1＋S 2＝S 3．测试2 勾股定理(二)1．13或.119 2．5． 3．2． 4．10． 5．C ． 6．A ． 7．15米． 8．23米． 9．⋅3310 10．25． 11．.2232- 12．7米，420元． 13．10万元．提示：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．测试3 勾股定理(三)1．;343415,34 2．16，19.2． 3．52，5． 4．.432a 5．6，36，33． 6．C ． 7．D8．.132 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2＋4m 2＝40，4k 2＋m 2＝25．AB ＝.1324422=+k m9．,3213,31102222+=+=图略．10．BD ＝5．提示：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出(30－x )2＝(x ＋10)2＋202，解得x ＝5．11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴32＋(9－x )2＝x 2．解得x ＝5．12．EC ＝3cm ．提示：设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝622=-AB AF ，CF ＝4．在Rt △CEF中(8－x )2＝x 2＋42，解得x ＝3．13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ，连结AM ，EM ．14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线，垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则.172,34=∴=AC AB 15．128，2n －1．测试4 勾股定理的逆定理1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)． 4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．7．24．提示：7＜a ＜9，∴a ＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c ＜17． 9．D ． 10．C ． 11．C ． 12．CD ＝9． 13．.51+14．提示：连结AE ，设正方形的边长为4a ，计算得出AF ，EF ，AE 的长，由AF 2＋EF 2＝AE 2得结论． 15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a －5)2＋(b －12)2＋(c －13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0． 18．352＋122＝372，[(n ＋1)2－1]2＋[2(n ＋1)]2＝[(n ＋1)2＋1]2．(n ≥1且n 为整数)。