解三角形
【考纲要求】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几
何计算有关的实际问题. 【重难点】三角形中的边角互化、恒等变换问题．
【知识梳理】
1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理 公式 a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R
a 2＝_____________；
b 2＝_____________；
c 2＝_____________ 常见
变形 (1)a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____；
(2)sin A ＝____，sin B ＝____，sin C ＝____； (3)a ∶b ∶c ＝____________________；
(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝_____， cos A ＝_____________； cos B ＝_____________； cos C ＝_____________
2.三角形的面积公式：=∆ABC S _________________________________________．
【典例精讲】
考点1 正、余弦定理的简单运用
例1（1）【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，6b =23
π∠A =，则∠B =． （2）【2016高考全国I 卷】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =， 2cos 3
A =，则b=（ ） （A 2
B 3
C ）2（
D ）3
（3）【2013全国II 卷】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π
=，
4
C π=，则ABC ∆的面积为（ ） （A ）232（B 31（C ）232（
D 31
变式 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32，A ＝30°，
则B ＝．
考点2解三角形中的边角互化问题
例2 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且c b C a -=2cos 2求A 的大小. 变式【2015高考新课标1】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.
（1）若a b =，求cos ;B （2）若B=90°，且2=a ，求△ABC 的面积
探究1: 对于例2及变式的第一问是否都有两种不同的解法？对此你有什么发现？ 考点3解三角形中的恒等变换问题
例3.在△ABC 中，A,B,C 的对边分别是c b a ,,，若2,cos cos 2
===+b a c B a A b ，求△ABC 的周长.
变式：【2016年天津高考】在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知
sin 23sin a B b A =.(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若1cos A 3
=，求sinC 的值. 探究3: 解三角形的恒等变换常常有一些常用的结论？请归纳好并写下来.
【课堂小结】
通过本节课的学习，从知识与方法层面你有什么收获？
【课后巩固】
1）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5
A =-
，求sin B ＝． 2） 在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,cos cos A B b a =则ABC ∆的形状是． 3）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b 3， A ＋C ＝2B ， 则sin C ＝ .
4） 在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12
DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为 33∠BAC ＝______ _ ．
5） 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是．
6） 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若223a b bc -=
， sin C ＝3B ， 则A ＝．
7）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝
63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．
