八年级数学上册全册全套试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上，
(1) 求证：点A 为BE 的中点
(2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标.
(3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI.
【答案】（1）证明见解析；（2）22(0,
)7
F ；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）过E 点作E
G ⊥x 轴于G ，根据B 、E 点的坐标，可证明△AEG ≌△ABO ，从而根据全等三角形的性质得证；
（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，过D 作DK ⊥x 轴于K ，然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ，进而求出D 点的坐标，然后设F 坐标为（0，y ），根据S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标；
（3）连接MI 、NI ，根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ，从而得到
∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ，作IS⊥OM 于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ，得到C △POQ 周长.
试题解析：（1）过E 点作EG⊥x 轴于G ，
∵B （0，-4），E （-6,4），∴OB=EG=4，
在△AEG 和△ABO 中，
∵
90
EGA BOA
EAG BAO
EG BO
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△AEG≌△ABO（AAS），∴AE=AB
∴A为BE中点
（2）过A作AD⊥AE交EF延长线于D，过D作DK⊥x轴于K，
∵∠FEA=45°，∴AE=AD，
∴可证△AEG≌△DAK，∴D（1,3），
设F（0，y），
∵S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD，
∴()()() 111
347463
222
y y +⨯=+⨯++
∴22
7
y=
∴
22
0,
7
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
（3）连接MI、NI
∵I为△MON内角平分线交点，∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，在△MIN和△MIA中，
∵
MN MA
NMI AMI
MI MI
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△MIN≌△MIA（SAS），
∴∠MIN=∠MIA，
同理可得∠MIN=∠NIB，
∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，∠MON=90°，
∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°，
∴∠AIB=135°×3-360°=45°，
连接OI，作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON，OI平分∠MON，
∴IH=IS=OH=OS，∠HIS=90°，∠HIP+∠QIS=45°，
在SM上截取SC=HP，可证△HIP≌△SIC，∴IP=IC，
∠HIP=∠SIC，∴∠QIC=45°，
可证△QIP≌△QIC，
∴PQ=QC=QS+HP，
∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.
2．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.
（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD
（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的
点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+1
2
BC+CD.
【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）（1）运用SAS证明△ABE≌AFE即可；
（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得出DF=DC，即可得出结论；
（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE≌△AFE（SAS），△DGE≌△DCE（SAS），由全等三角形的性质得出BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=GE，∠CED=∠GED，进而证明△EFG是等边三角形；
（2）由△EFG是等边三角形得出GF=EE=BE=1
2
BC，即可得出结论．
【详解】
（Ⅰ）（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△ABE ≌△AFE （SAS ），
（2）∵△ABE ≌△AFE ，
∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，
∵E 为BC 的中点，
∴BE=CE ，
∴FE=CE ，
∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠DEF=∠DEC ，
在△DEF 和△DEC 中，
FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△DEF ≌△DEC （SAS ），
∴DF=DC ，
∵AD=AF+DF ，
∴AD=AB+CD ；
（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，
∴BE=CE=12
BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），
△DEG ≌△DEC （SAS ），
∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，
∵BE=CE ，
∴FE=GE ，
∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，
∴∠AEF+∠GED=60°，
∴∠GEF=60°，
∴△EFG 是等边三角形，
（2）∵△EFG 是等边三角形，
∴GF=EF=BE=12
BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+
12BC ．
