——“二元一次方程”课堂教学实录与点评
在江苏省第三届“苏派名师”课堂教学研讨活动中，笔者应邀为来自全省的初中数学老师呈现了一堂概念课《二元一次方程》，它是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》(七年级下册）第十章“二元一次方程组”的第一节内容．巧妙的设计、灵活的教法，学生主体性的充分发挥，给听课老师以极大的教益和深刻的印象，赢得了与会老师的高度评价．
1 教学实录
1．1 创设情境，导入新知
师：同学们，今天的学习从我们身边两个熟知的问题开始，请回答下列问题．
问题1．某市在暑假期间组织了中学生篮球联赛，比赛规则是：赢一场得3分，输一场得1分；
（1）一支球队在联赛中共积分20分．若设该队赢了x场，输了5场；请列出方程；
（2）一支球队在联赛中共积分20分．若设该队赢了x场，输了y场；请列出方程．
问题2．初一(7)班有18名学生相约到公园划船，需要租用船只，公园有A、B两种型号的船，A型船可坐2人，B型船可坐3人，每艘船都坐满．问有多少种租船的方法?（请先设未知数并列出方程）
生1：，
生2：，
生3：设A型船租了x艘，B型船租了y艘；根据题意得：2x + 3y = 18．
1．2 类比旧知，探索新知
师：这三个方程中的第一个方程大家应该很熟悉，它叫…?
生
：一元一次方程．
众
师：请同学们回忆一元一次方程的定义．
生：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程．(投影)
师：后面两个方程能叫一元一次方程吗？如果不能，请大家取个名称．
：二元一次方程．
生
众
师：请同学们观察这两个方程有哪些共同特点，说说命名二元一次方程的理由．
生1：有两个未知数，未知数的次数都是1．
师：本节课，我们就来学习新的知识“二元一次方程”．（教师板书：二元一次方程．）
师：现在老师再给出一个方程，这个方程满足你们所说的三个特点，大家觉得它是二元一次方程吗?
生：不是，因为这一项的次数是2．
师：那么，你们认为含有未知数的项的次数应该是多少才是二元一次方程?
：1．
生
众
师：同学们刚才命名二元一次方程的理由，其中有一条是“未知数的次数都是 1”，而根据现在的回答,你们把理由作了调整，认为应该是“含有未知数的项的次数都是1”,那么我们一起来看看课本上给出的定义是如何描述的．（教师板书：二元一次方程：含有两个未知数（元）,并且所含未知数的项的次数都是1的方程．）
1．3 范例巧练，活用新知
例1．（1）下列方程是二元一次方程的有．（填序号）
①②③④⑤
（2）若方程是关于、的二元一次方程；则＝，＝．
师:请同学们根据二元一次方程的定义,完成例1.
生:第(1)题选②.
师:为何不选④和⑤?
生: ④中中这一项的次数是2, ⑤不是整式方程.
生:第(2)题根据二元一次方程的定义可得,、，则、 .
问题3．已知一元一次方程；它的解是．
生：．
师：这个解正确吗？如何检验？
生：正确．把代入方程，看两边的值是否相等．
师：回答的很好，能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
问题4．下面两对数值，能使二元一次方程两边的值相等的是．（填序号）
① , ② ,
生：①．
师：根据方程的解的定义， ,就是这个二元一次方程的解．下面,我们来看看课本上对二元一次方程的解的定义是如何描述的．
（教师板书：二元一次方程的解：适合二元一次方程的一对未知数的值．）
师：二元一次方程的解的书写格式是用一个大括号把一对未知数的值并列起来．（教师板书：）
师：请思考这个二元一次方程除了这个解,还有没有其他的解．请写好的同学上黑板写,每人写一个．
（很多学生一下子冲到黑板前写出方程组的一个解,教室里沸腾了．）
师：再请同学们做评委,上黑板批,每人批一个解．
（又有大批学生冲到黑板前去批解,教室里再次沸腾．）
师：这个解是谁批的?请这位同学说说判断的方法? (任选了一个被批正确的解)
生：把这个解代入 ,看方程的两边是否相等．
师：请说说这一对未知数的值是同时得到还是有先后顺序得到的? (任选了另一个被批正确的解)
生：是有先后顺序得到的,先得到值,再得到值．
师：值是如何得到的?值又是如何得到的?
生：值是假定的,然后把它代入 ,解出值．
师：说得很好，由此我们可以归纳二元一次方程的解法．
（教师板书：二元一次方程的解法：先假定一个未知数的值，转化为一元一次方程，再求出另一个未知数的值．
师：刚才同学们在黑板上写出了很多解，请猜想二元一次方程在一般情况下有多少个解? 为什么?
生：有无数个．因为在求解的时候，是先假定一个未知数的值，假定的未知数值是不确定的、有无数个，所以有无数多个解．
师：同学们刚才写在黑板上的二十多个解，只有一位学生写的解中两个未知数的取值是分数，事实上，假定的未知数值既可以取整数也可以取分数，当然取整数写解方便些．
例2．已知二元一次方程 2x + y = 9 ；求它所有的正整数解．
师：同学们对二元一次方程的正整数解是怎么理解的？
生：两个未知数的值都要是正整数．
师：说的很好．下面就请同学们把它所有的正整数解写出来．
（老师来回巡视,了解学生做的情况,并请一位学生把答案写在了黑板上．）(学生板书： , , , ．)
师：这位同学写出的解正确吗?
：正确．
生
众
师：说明二元一次方程在一般情况下是有无数多个解，但其特殊解可能只有有限个．
师：刚才我们是已知了二元一次方程来求解,现在倒过来，已知解来写方程．例3．已知是某个二元一次方程的一个解,请写出这个二元一次方程．
师：请写好的同学上黑板写,每人写一个．
（很多学生冲到黑板前写出一个二元一次方程,教室里又一次沸腾了．）
师：再请同学们做评委,上黑板批,每人批一个．
（又一批学生冲到黑板前去批方程,教室里再次沸腾．）
师：这个方程是谁批的?请他说说判断的方法? (任选了一个被批正确的方程)
生：把代入这个方程,看方程的两边是否相等．
师：请说说这个方程如何写出来的?(任选了另一个被批正确的方程)
生：把、各乘上一个系数,然后相加算出和,就得到方程．
师：方法很好．现在同学们在黑板上已经写出了十多个不一样的二元一次方程,那么请同学们猜想一共能写出多少个满足条件的二元一次方程呢?
