数学分析下——二元函数的极限课后习题

二元函数求极限
如果能说明二元极限不存在，那么极限也就不用求了，说明极限不存在的方法有：
①令 y=kx 或其他的形式，将其代入，说明极限与 k 有关，代入后除了 k 以外不含有其他字母；
②找两个特殊路径代入，说明两极限不同即可说明极限不存在；
③极坐标换元代入，要根据变量趋势合理换元，说明极限跟极角\theta 有关即可。

2.二元极限存在，计算其极限
若根据题意，极限一定存在，那么可采用以下方法计算：
①等价无穷小替换；
②常用结论：如无穷小量乘以有界量依然为无穷小；
③不严谨的方法：极坐标换元，这种做法本质上还是一类路径而不是任意路径，有时会出错；
④夹逼准则，根据结构合理放缩。

第十六章 多元函数的极限与连续2二元函数的极限一、二元函数的极限定义1：设f 为定义在D ⊂R 2上的二元函数，P 0为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得 当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(P)-A|<ε，则称f 在D 上当P →P 0时以A 为极限，记作：DP P P 0lim ∈→f(P)=A. 当明确P ∈D 时，也简写为0P P lim →f(P)=A.当P ,P 0分别以坐标(x,y), (x 0,y 0)表示时，也常写为)y ,x ()y ,x (00lim→f(P)=A.例1：依定义验证：)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.证：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2定义R 2上. |x 2+xy+y 2-7|=|(x 2-4)+xy-2+(y 2-1)|=|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)|=|(x-2)(x+y+2)+(y-1)(y+3)| ≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|.方法一：在点P 0(2,1)的δ方邻域中，U ⁰(P 0;δ)内所有点组成的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<δ, 0<|y-1|<δ}. ∴当点P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有|x 2+xy+y 2-7|≤|x-2|(|x-2|+|y-1|+5)+|y-1|(|y-1|+4)<δ(3δ+9)=3δ2+9δ. ∴∀ε>0，只要取δ=612ε189++->0，当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有|x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.方法二：先取δ=1，则U ⁰(P 0;1)内的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<1, 0<|y-1|<1}.于是有|y+3|≤|y-1|+4<5，|x+y+2|≤|x-2|+|y-1|+5<7. ∴|x 2+xy+y 2-7|≤7|x-2|+5|y-1|<7(|x-2|+|y-1|). ∴∀ε>0，只要取δ=min{1,14ε}，则当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有 |x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.例2：设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，，，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 证：函数f(x,y)定义R 2上.方法一：在方邻域U ⁰(O;δ)内的点集为{(x,y)|0<|x|<δ, 0<|y|<δ}.又2222y x y x xy +-=|xy|2222yx y x +-≤|xy|2xy y x 22-=2y x 22-≤2|y ||x |22+，∴∀ε>0，只要取δ=ε，则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有2222yx y x xy +-<δ2=ε，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 方法二：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∵2222yx y x xy +-=41r 2|sin4φ|≤41r 2，∴∀ε>0，只要取δ=2ε，则当0<r=22y x +<δ时，不管φ取什么值，都有|f(x,y)-0|<ε， ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.定理16.5：DP P P 0lim ∈→f(P)=A 的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要P 0是E 的聚点，就有EP P P 0lim ∈→f(P)=A.证：[必要性]若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ，E ⊂D 以P 0为聚点，则∀ε>0，∃δ>0，当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，有|f(P)-A|<ε，从而当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩E 时，仍有 |f(P)-A|<ε，∴EP P P 0lim ∈→f(P)=A.[充分性]若DP P P 0lim ∈→f(P)≡/ A ，则存在ε0>0，使得对任意的n ，存在P n ∈U ⁰(P 0;n1)∩D 满足|f(P n )-A|≥ε0. 令E={P n |n=1,2,…}，则E ⊂D 以P 0为聚点，对数列{f(P n )}有EP P P 0lim ∈→f(P)=∞→n lim f(P n )≠A. 反之则有当EP P P 0lim ∈→f(P)=A ，有DP P P 0lim ∈→f(P)=A.推论1：设E 1⊂D ，P 0是E 1的聚点，若10E P P P lim ∈→f(P)不存在，则DP P P 0lim ∈→f(P)也不存在.推论2：设E 1,E 2⊂D ，P 0是它们的聚点，若存在极限10E P P P lim ∈→f(P)=A 1, 20E P P P lim ∈→f(P)=A 2, 但A 1≠A 2, 则DP P P 0lim ∈→f(P)不存在.推论3：极限DP P P 0lim ∈→f(P)存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件P n ≠P 0, 且∞→n lim P n =P 0的点列{P n }，它所对应的数列{f(P n )}都收敛.证：[必要性]由定理16.5可知DP P P 0lim ∈→f(P)=A ，即∞→n lim f(P n )=A ，得证！[充分性]设{P n }为D 中各项不同于P 0但收敛于P 0的点列，记∞→n lim f(P n )=A. 对任一D 中的点列{Q n }，Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，作D 中的点列C n =⎩⎨⎧=-=k2n Q 1k 2n P k k ，，，则C n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，从而，∞→n lim f(C n )存在，∴∞→n lim f(P n )=∞→k lim f(C 2k-1)=∞→k lim f(C 2k )=∞→n lim f(Q n )=A. 若DP P P 0lim ∈→f(P)≠A ，则由定理16.5的充分性证明可知：必存在D 中的一个点列{Q n }, Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，使得∞→n lim f(Q n )≠A ，矛盾！∴DP P P 0lim ∈→f(P)=A 存在.例3：讨论f(x,y)=22yx x y+当(x,y)→(0,0)时是否存在极限. 解法一：当动点(x,y)沿着直线y=mx 趋近于(0,0)时， ∵f(x,y)=f(x,mx)=2m1m +，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=2m 1m+. 显然， 当m 不同时，对应的极限值不同. ∴所讨论的极限不存在. 解法二：假设极限存在为A ，∵f(x,y)定义在R 2-(0,0)上， 又在{(x,y)|y=x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=22y x x y +=21，∴A=21. 又在{(x,y)|y=2x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=22y x x y +=52≠A. 矛盾！ ∴所讨论的极限不存在.例4：二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012，讨论当(x,y)→(0,0)时是否存在极限.解：函数定义在R 2上，记E={(x,y)|0<y<x 2,-∞<x<+∞}, 显然动点(x,y)在E 上沿着任何曲线趋于原点时,f(x,y)趋于0，而在E c 上沿着任何曲线趋于原点时，f(x,y)趋于1. ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.定义2：设D 为二元函数f 的定义域，P 0(x 0,y 0)为D 的一个聚点. 若对任何正数M ，总存在P 0的一个δ邻域，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时， 都有f(P)>M 则称f 在D 上当P →P 0时，存在非正常极限+∞，记作：)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=+∞或 0PP lim →f(P)=+∞.若f(P)<-M ，则0P P lim →f(P)=-∞；若|f(P)|<M ，则0P P lim →f(P)=∞.例5：设f(x,y)=22y32x 1+，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=+∞. 解：函数定义在R 2-(0,0)上，在聚点O(0,0)的任一δ方邻域U ⁰(O;δ)内， {(x,y)|0<|x|<δ,0<|y|<δ}，∴22y 32x 1+>25δ1，即对任意M>0，只要取δ<5M 1, 则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)，就有22y 32x 1+>25δ1>M ，即 )0,0()y ,x (lim→f(x,y)=+∞.二 、累次极限概念：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限； x 与y 依一定的先后顺序相续趋于x 0与y 0时f 的极限称为累次极限.定义3：设f(x,y),(x,y)∈D ，D 在x 轴、y 轴上的投影分别为X,Y ，即 X={x|(x,y)∈D}, Y={y|(x,y)∈D}，x 0与y 0分别是X,Y 的聚点. 若对每一个y ∈Y(y ≠y 0)，存在极限0x x lim →f(x,y)，它一定与y 有关，故记作φ(y)=0x x lim →f(x,y)，若又存在极限L=0y y lim →φ(y)，则称极限L 为f(x,y)先对x(→x 0)，后对y(→y 0)的累次极限，记作L=0xx y y lim lim →→f(x,y).类似地可定义先对y 后对x 的累次极限K=0yy x x lim lim →→f(x,y).注：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限.例6：证明f(x,y)=22y x x y+关于原点的两个累次极限都存在且相等. 证：(例3中已证(x,y)→(0,0)时,f 的重极限不存在.) 当y ≠0时，0x lim →f(x,y)=220x yx x ylim+→=0；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0； 当x ≠0时，0y lim →f(x,y)=220y y x x ylim+→=0；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，得证！例7：讨论f(x,y)=yx y x y -x 22+++关于原点的重极限和两个累次极限.解：在不同的直线y=mx 上，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=m1m-1+，显然 f(x,y)关于原点的重极限的取值与m 有关，∴不存在.0x lim →f(x,y)=y x y x y -x lim220x +++→=y-1；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y lim →(y-1)=-1. 0y lim →f(x,y)=yx y x y -x lim220y +++→=x+1；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0y lim →(x+1)=1.例8：讨论f(x,y)=xsin y 1+y sin x1关于原点的重极限和两个累次极限. 解：∵|xsin y 1+ysin x 1|≤|x|+|y|，∴∀ε>0，总存在δ=2ε，使得 当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有|xsin y 1+ysin x1|<2δ=ε，∴重极限存在等于0. 又对任何y ≠0，当x →0时，仅第二项不存在极限，同理 对任何x ≠0，当y →0时，仅第一项不存在极限， ∴两个累次极限都不存在.定理16.6：若f(x,y)在点(x 0,y 0)存在重极限与累次极限0yy x x lim lim →→f(x,y)，则它们必相等. 证：设)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A ，则∀ε>0，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有|f(x,y)-A|<2ε. 又对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，有0y y lim →f(x,y)=φ(x)，即有 |f(x,y)-φ(x)|<2ε，∴|f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|<ε，又 |f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|≥ |f(x,y)-A+φ(x)-f(x,y)|=|φ(x)-A|， ∴对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，|φ(x)-A|<ε，即0x x lim →φ(x)=A ，∴0y y x x lim lim →→f(x,y)=)y ,x ()y ,x (0lim →f(x,y).推论1：若两个累次极限和重极限都存在，则三者相等.推论2：若两个累次极限都存在但不相等，则重极限必不存在.习题1、试求下列极限：(1)2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→；(2)2222)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→；(3)1y x 1y x lim 2222)0,0()y ,x (-+++→； (4)44)0,0()y ,x (yx 1x y lim++→；(5)y 2x 1lim )2,1()y ,x (-→；(6)22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→； (7)2222)0,0()y ,x (yx )y x sin(lim ++→. 解：(1)当(x,y)≠(0,0)时，∵2222yx y x +≤2xy →0, (x,y)→(0,0)，∴2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0. (2)2222)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→1y x 1lim 22)0,0()y ,x (=+∞. (3)1y x 1y x lim2222)0,0()y ,x (-+++→=222222)0,0()y ,x (yx )1y x 1)(y (x lim+++++→=()1y x 1lim 22)0,0()y ,x (+++→=2. (4)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0. 又当(x,y)∈U ⁰(0;1)时，0<r<1，∴44y x 1x y ++≥222)y (x |x y |1+-≥22222)y 2(x )y x (2++-=422r r -2>42r 1→+∞ (r →0)； ∴44)0,0()y ,x (yx 1x y lim ++→=+∞. (5)∵y 2x 1-=2)-y (1)-2(x 1-≥2-y 1-x 21+→∞, (x,y)→(1,2)，∴y2x 1lim)2,1()y ,x (-→=∞. (6)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∵22yx 1sin)y x (++=2r 1sin )φsin φ(cos r +=2r 1sin )φsin φ(cos r +≤2r →0. ∴22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→=0. (7)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∴2222)0,0()y ,x (yx )y x sin(lim ++→=220r r r sin lim →=1.2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：(1)f(x,y)=222y x y +；(2)f(x,y)=y 1sin x 1sin )y x (+；(3)f(x,y)=22222y)x (y x y x -+； (4)f(x,y)=y x y x 233++；(5)f(x,y)=x 1sin y ；(6)f(x,y)=3322yx y x +；(7)f(x,y)=sinxy e -e y x .解：(1)∵2220y 0x y x y lim lim +→→=0x lim →0=0；2220x 0y yx y lim lim +→→=0y lim →1=1；∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(2)当x ≠0时，y1sin x 1sin )y x (lim 0y +→不存在； 当y ≠0时，y1sin x1sin )y x (lim 0x +→也不存在； 又y1sinx 1sin )y x (+≤|x|+|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.(3)222220y 0x y)x (y x y x lim lim -+→→=0x lim →0=0；222220x 0y y)x (y x y x lim lim -+→→=0y lim →0=0；又f(x,x)=1,(x ≠0)，f(x,0)=0, (x ≠0)，∵0x lim →f(x,x)≠0x lim →f(x,0)；∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(4)y x y x lim lim 2330y 0x ++→→=0x lim →x=0；yx y x lim lim 2330x 0y ++→→=0y lim →y 2=0；现让动点(x,y)沿曲线y=x 2(x 2-1)向点(0,0)移动，则有0x lim →f(x,x 2(x 2-1))=)1-x (x x )1-x (x x lim 22232630x ++→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→3220x )1-x (x x 1lim =∞≠0； ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(5)x1sin y lim lim 0y 0x →→=0x lim →0=0；当y ≠0时，x1sin y lim 0x →不存在；∴函数在点(0,0)累次极限x1sin y lim lim 0x 0y →→不存在.又x1siny ≤|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.(6)∵33220y 0x y x y x lim lim +→→=0x lim →0=0；33220x 0y yx y x lim lim +→→=0y lim →0=0；现让动点(x,y)沿曲线y=x(x-1)向点(0,0)移动，则有0x lim →f(x,x(x-1))=333240x )1-x (x x )1-x (x lim +→=320x )1-x (1)1-x (x lim +→=1≠0； ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在. (7)∵sinx y e -e lim y x 0y →=∞；sinx y e -e lim yx 0x →=∞； ∴sinx y e -e lim lim y x 0y 0x →→和sinx ye -e lim lim yx 0x 0y →→都不存在. 令动点(x,y)沿x 轴正向趋于(0,0)时，可知)0,0()y ,x (lim →f(x,y)也不存在.3、证明：若)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，且y 在b 的某邻域内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，则ax b y lim lim →→f(x,y)=A.证：由)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∀ε>0，∃δ1>0，当0<|x-a|<δ1, 0<|y-b|<δ1, 且(x,y)≠(a,b)时，有|f(x,y)-A|<2ε. 又由y 在b 的某邻域δ2内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，即|f(x,y)-φ(y)|<2ε. 令δ=min{δ1, δ2}，当0<|y-b|<δ时， 令x →a ，就有|φ(y)-A|=|φ(y)-f(x,y)+f(x,y)-A|≤|φ(y)-f(x,y)|+|f(x,y)-A|<ε, 即by lim →φ(y)=ax b y lim lim →→f(x,y)=A.4、试应用ε-δ定义证明222)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0.证：∵当(x,y)≠(0,0)时，222yx y x +≤2xy y x 2=2x; ∴∀ε>0，∃δ=2ε>0，使得当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有222y x y x +<2δ=ε，∴222)0,0()y ,x (yx yx lim +→=0.5、叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.解：(1)二元函数极限的惟一性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)存在，则它只有一个极限. 证明如下：设A, B 都是二元函数f(x,y)在点P 0(a,b)处的极限，则∀ε>0，∃δ>0， 使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(x,y)-A|<2ε;|f(x,y)-B|<2ε， ∴|A-B|=|A-f(x,y)+f(x,y)-B|≤|f(x,y)-A|+|f(x,y)-B|<ε； 又由ε的任意性知A=B ，得证！(2)二元函数极限的局部有界性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，则存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使f(x,y)在U ⁰(P 0;δ)∩D 上有界. 证明如下： ∵)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∴对ε=1，∃δ>0，使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时， 就有|f(x,y)-A|<ε=1，即A-1<f(x,y)-A<A+1，得证!(3)二元函数极限的局部保号性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A>0(或<0)，则对任意正数r(0<r<|A|), 存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使得 对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，恒有f(x,y)>r>0(或f(x,y)<-r<0). 证明如下： 设A>0，取ε=A-r>0，则∃δ>0，使得对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，有 |f(x,y)-A|<ε=A-r ，即f(x,y)>A-(A-r)=r>0，得证! 同理可证A<0的情形.6、试写出下列类型极限的精确定义： (1)),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=A ；(2)),0()y ,x (lim+∞→f(x,y)=A.解：(1)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数M ，使得当(x,y)∈D, 且x>M, y>M 时，恒有|f(x,y)-A|<ε， 则称当(x,y)→(+∞,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=A.(2)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数δ，使得当(x,y)∈D, 且0<|x|<δ, y>δ1时，恒有|f(x,y)-A|<ε， 则称当(x,y)→(0,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：),0()y ,x (lim+∞→f(x,y)=A.7、试求下列极限：(1)4422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→；(2)),()y ,x (lim+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y)； (3)xsiny),()y ,x (xy 11lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞+∞→；(4)yx x )0,()y ,x (2x 11lim++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+.解：(1)当x>0, y>0时，4422y x y x ++≤2222y2x y x +=222x 12y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，∴4422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→=0.(2)当x,y 充分大时，e x >x 2, e y >y 2， ∴|(x 2+y 2)e -(x+y)|<2222yx y x +=22x 1y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，∴),()y ,x (lim+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y) =0.(3)xsiny),()y ,x (xy 11lim⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞+∞→=ysiny ),()y ,x (xy ),()y ,x (xy 11lim xy 11lim⋅+∞+∞→+∞+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =e ·1=e.(4)∵x)0,()y ,x (x 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→=e ，∴yx x )0,()y ,x (2x 11lim ++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=yx x )0,()y ,x (e lim++∞→= e.8、试作一函数f(x,y)使当x →+∞,y →+∞时， (1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在.解：(1)函数f(x,y)=222yx x + ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0; +∞→+∞→x y lim lim f(x,y)=1；∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)不存在.(2)f(x,y)=x yyx +sinxsiny ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)和+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)都不存在.而|x y y x +sinxsiny|≤xy y x +=y1x 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞). ∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=0.(3)函数f(x,y)=sinxsiny 满足当(x,y)→(+∞,+∞)时，三个极限都不存在. (4)函数f(x,y)=y1sinx 满足：+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0；+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)不存在；而∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=0.9、证明：定理16.5及其推论3. 证：见定理16.5及其推论3.10、设f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U ⁰(P 0)上有定义，且满足： (1)在U ⁰(P 0)上，对每个y ≠y 0, 存在极限0x x lim →f(x,y)=ψ(x)；(2)在U ⁰(P 0)上，关于x 一致地存在极限0y y lim →f(x,y)=φ(x).试证明：0y y x x lim lim →→f(x,y)=0xx y y lim lim →→f(x,y).证：由条件(1)知, ∀ε>0，∃δ>0，对每个y ≠y 0，只要(x,y)∈U ⁰(P 0,δ1)， 就有|f(x,y)-ψ(x)|<3ε；由条件(2)知，对上面的ε，∵0<|y-y 0|<δ， ∴对所有x ，只要(x,y)∈U ⁰(P 0)，就有|f(x,y)-φ(x)|<3ε. ∴0x x y y lim lim →→f(x,y)存在，记为A ，则|0xx lim →f(x,y)-A|=|ψ(x)-A|<3ε， 又|φ(x)-A|≤|f(x,y)-φ(x)|+|f(x,y)-ψ(x)|+|ψ(x)-A|<3ε+3ε+3ε=ε， ∴0x x lim →φ(x)=A ，即0y y x x lim lim →→f(x,y)=0xx y y lim lim →→f(x,y).。

814§2 多元函数的极限习题参考解答1. 依定义验证22(,)(2,1)lim ()7x y x xy y →++=。

解 因为()()12472222−+−++=−++y xy x y xy x()()()()()()31221112222+−+++−≤−++−+−+−+=y y y x x y y y y x x x先限制在点(2，1)的1=δ的方邻域 (){}11,12,<−<−y x y x 内讨论，于是有，,541413<+−≤+−=+y y y ()()5122+−+−=++y x y x7512<+−+−≤y x所以， 1527722−+−≤−++y x y xy x ()127−+−<y x 。

设ε为任给正数，取),14,1min(εδ=则当)1,2(),(,1,2≠<−<−y x y x δδ时，就有， 2277214x xy y δδε++−<⋅=<。

2. 依定义证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x 。

证 因为)(21)(|0|2222222122y x y x y x y x xy +=++≤−+， 可见，对∀ε >0， 取εδ2=， 则当δ<−+−<22)0()0(0y x , 即),(),(δO U D y x P D∩∈时， 总有|22yx xy +−0|<ε，因此。

0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x3. 证明极限 242)0,0(),(limy x yx y x +→不存在。

815证：当点P (x ，y )沿y 轴趋于点(0, 0)时，00lim lim 20242)0,0(),(==+→→y y x y x y y x ； 当点P (x ， y )沿y 轴趋于点(0, 0)时，00lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f 。

§2 二元函数的极限一 二元函数的极限定义1 设f 为定义在⊂D R 2二元函数，0P 为的D 一个聚点，A 是一个确定的实数。

若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当()D P U P o δ;0∈时，都 有(),ε<-A P f则称f 在．D ．上．当0P P →时，以A 为极限，记作 ().lim 0A P f D P P P =∈→ ()1 在对于D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作().lim A P f PP =→ ()'1 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，()'1也常写作().,lim )(),(0,0A y x f y x y x =→ ()"1 例1 依定义验证.7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x证 因为722-++y xy x)1(2)4(22-+-+-=y xy x )1)(1()1(2)2()2)(2(-++-+-+-+=y y y y x x x.3122+-+++-≤y y y x x先限制在点(2,1)的1=δ方邻域(){}11,12,<-<-y x y x内讨论，于是有,541413<+-≤+-=+y y y5)1()2(2+-+-=++y x y x.7512<+-+-≤y x所以1527722-+-≤-++y x y xy x ).12(7-+-<y x设ε为任给的正数，取)14,1min(εδ=，则当)1,2(),(,1,2≠<-<-y x y x δδ时， 就有 .27722εδ<∙<-++y xy x □例2 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明 ．000=→)y ,x (f lim ),()y ,x ( 证 对函数的自变量作极坐标变换.sin ,cos ϕϕrl y r x ==。

高二数学必修二：多元函数的极限习题解析多元函数的极限在高二数学必修二中是一个非常重要的概念。

它不仅被广泛运用在解析几何、微积分等数学领域，也有着深远的实际应用。

在本文中，我们将重点解析多元函数的极限的相关习题，帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。

1. 习题一：求极限给定函数 f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x + y)，求函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限。

解析：为了求得函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限，我们可以先尝试直接代入该点。

但由于分母中含有 (x + y)，而在点 (0, 0) 处，分母值为 0，因此无法直接代入。

为了解决这个问题，我们可以考虑用极坐标来表示点 (x, y)。

令 x = rcosθ，y = rsinθ，其中 r > 0，θ ∈ [0, 2π)。

代入函数 f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x + y) 中，得到：f(rcosθ, rsinθ) = (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) / (rcosθ + rsinθ)= r^2 (cos^2θ + sin^2θ) / (r(cosθ + sinθ))= r (cos^2θ + sin^2θ) / (cosθ + sinθ)= r / (cosθ + sinθ)当r → 0 时，函数f(r, θ) 的极限为：lim (r→0) f(r, θ) = lim (r→0) (r / (cosθ + sinθ))= 0 / (cosθ + sinθ)= 0因此，函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限为 0。

2. 习题二：求极限给定函数 f(x, y) = (xy) / (x^2 + y^2)，求函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限。

解析：同样地，我们可以先尝试直接代入该点，但由于分母中含有 (x^2 + y^2)，在点 (0, 0) 处分母值为 0，因此无法直接代入。

二元函数求极限例题在数学中，求极限是一个重要的概念，给出任意一个函数，可以求出它的极限，相信很多同学对这一概念都不陌生。

下面，让我们以一下例题来了解二元函数求极限的实际操作。

例题1：求函数f（x，y）=（2x+2y）/（x^2+y^2）的极限解法：我们首先假定x和y都走向零，我们可以建立一个二元函数：f（x，y）=（2x+2y）/（x^2+y^2）首先知道当x和y都朝0走的时候，那么f（0，0）=2，但是只有当x和y都走到0的时候，f（x，y）才能够等于2，但是如果x 和y的值都不为零的时候就无法得出结论。

因此我们必须分别求出当x和y朝0走的时候，f（x，y）的极限，由于函数中有x^2+y^2，因此当x和y都走向0的时候，分母会比较小，所以我们可以先设置一个小的正数δ，这里我们可以取δ=1/2.其次，极限的定义：当x走向0的时候，f（x，y)的极限，只要给定一个δ>0，使x的绝对值小于δ，并且y的绝对值小于δ，那么f（x，y）的值就要接近极限2.因此，我们可以把δ写成x^2+y^2<1/4，即当x和y绝对值均小于1/2时，f（x，y）的值与极限2接近。

下面我们来检验这个性质，比如当x=1/10，y=1/10时，我们可以计算出f（x，y）=2.2，而当x=1/100，y=1/100时，f（x，y）= 1.999，从计算结果可以看出，当x和y的绝对值都小于1/2时，f（x，y）的值越来越接近极限2。

由此可以得出结论：当x和y趋向零的时候，f（x，y）的极限为2例题2：求函数f（x，y）=（2x-y）/（x^2+y^2）的极限解法：同样，我们先假设x和y朝0走，得到二元函数：f（x，y）=（2x-y）/（x^2+y^2）同样，当x和y都朝0走的时候，那么f（0，0）=0，但是只有当x和y都走到0的时候，f（x，y）才能够等于0，但是如果x和y 的值都不为零的时候就无法得出结论。

因此，我们也必须分别求出当x和y朝0走的时候，f（x，y）的极限。

第二节 二元函数的极限1、试求下列极限（包括非正常极限）：（1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2x 2+y2 ； （3）(,)(0,0)lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1x 4+y 4 ； （5）(,)(1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0)lim x y (x+y)sin 1x 2+y 2 ；（7）(,)(0,0)limx y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2. 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：（1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1y ；（3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3x 2+y ；（5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2x 3+y 3 ；（7）f(x,y)=e x -e ysinxy . 3、证明：若1。

(a,b)lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。

y 在b 的某邻域内，有lim xaf(x,y)=(y)则 yb lim alim xf(x,y)=A.4、试应用ε—δ定义证明(x,y)(0,0)lim x 2yx 2+y2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.6、试写出下列类型极限的精确定义： （1）(x,y)(,)limf(x,y)=A ； （2）(x,y)(0,)limf(x,y)=A.7、试求下列极限：（1）(x,y)(,)lim x 2+y 2x 4+y 4 ； （2）(x,y)(,)lim (x 2+y 2)e -(x+y)；（3）(x,y)(,)lim(1+1xy )xsiny ； （4）(x,y)(,0)lim211+x x yx.8、试作一函数f(x,y)使当x+,y+时，（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.10、设f(x,y)在点0P (x 0,y 0)的某邻域U 。

第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。

(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。

(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。

(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。

2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

摘要本文主要讨论了二元函数的极值问题，不仅介绍了二元函数极值方面的有关概念和定理，还给出了这些定理的证明，并举出了二元函数极值方面的几个理论问题，特别地对极值判别式进行了推广和求解条件极值的拉格朗日乘数法进行了一般化改进.本文以高教版数学分析教材为出发点，在讨论的过程中重温了书本上的定理，更对书中的定理进行升华，使定理能够更好解决实际问题，进而运用的更加广泛.关键词:二元函数；极大值；极小值AbstractThe extremum of function of two variables is expounded in this thesis. Not only are some relevant ideas and definitions are presented in this thesis, but also the relative proof to them. Furthermore, it exhibits several theoretical problems of the extremum of function of two variables as well. Particularly, it expands the discriminant of the extremum and generally improves Lagrangian Multiplier that is to find a minimum or a maximum of a function. On one hand, based on the teaching material of Advanced Mathematics, the thesis reviews the definitions in the textbook throughout the procedure of specification. On the other hand, it sublimates these definitions so that we can solve the practical issues better and use them more widely.Key words：function of two variables；maximun value; minimum value摘要 (I)Abstract ................................................................... I I 目录 ...................................................................... I II 1引言.. (1)2二元函数极值问题的相关概念 (1)2.1二元函数定义 (1)2.2二元函数及其极大极小值的定义 (2)3二元函数的极值问题 (2)3.1二元函数极值存在的必要条件 (2)3.2二元函数极值存在的充分条件 (3)3.3求二元函数极值的步骤 (5)4特殊情况下二元函数极值 (6)5条件极值问题 (8)5.1代入法 (9)5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法 (9)6总结 (13)参考文献 (14)函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征.在一元函数中，可以利用函数的导数求得函数的极值，从而进一步解决一些有关最大，最小值应用问题.同样利用偏导数，也可以解决二元函数的极值问题.2二元函数极值问题的相关概念2.1二元函数定义定义 1 设平面点集D 包含于2R ,若按照某对应法则f ,D 中每一点),(y x P 都有唯一确定的实数z 与之对应,则称f 为在D 上的二元函数.记作,D :R f → （1） 且称D 为f 的定义域；P 对应的z 为f 在点P 的函数值,记作),(y x f z =或)(P f z =；全体函数值的集合称为f 的值域,记作R f ⊂(D).通常还把P 的坐标x 与y 称为自变量，而把z 称为因变量.当把D y x ∈),(和它所有的函数值),(y x f z =一起组成三维数据组()z y x ,,时，三维欧氏空间3R 中的点集}{3)y ,(),,(|),,(R D x y x f z z y x S ⊂∈==便是二元函数f 的图像.通常),(y x f z =的图象是一空间曲面，f 的定义域D 便是该曲面在xOy 平面上的投影.为了方便起见，我们把(1)式所确定的二元函数也记作),(y x f z =, D y x ∈),(,或 )(P f z =，D P ∈,且当它的定义域D 不会被误解的情况下，也简单的说“函数),(y x f z =”或“函数f ”.2.2二元函数及其极大极小值的定义定义 2 设函数f 在点),(000y x P 的某领域)(0P U 内有定义，若对于任何点)(),(0P U y x P ∈,成立不等式)()(0P f P f ≥(或)()(0P f P f ≤)，则称函数f 是在点0P 取得极小值（或极大值），点0P 称为f 的极小（极大）值点.极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点.注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.例如，设2223),(y x y x f +=，221),(y x y x g --=，xy y x h 2),(=.由定义直接知道，坐标原点)0,0(是f 的极小值点，是g 的极大值点，但不是h 的极值点.这是因为对于任何点),(y x ,恒有0)0,0(),(=≥f y x f ；对任意{}1y x |x,y x,y 22≤+∈)()(，恒有1)0,0(),(=≤g y x g ;而对于函数h ，在原点的任意小邻域内，既含有使0),(>y x h 的第一、三象限中的点，又含有使0),(<y x h 的第二、四象限中的点，所以0)0,0(=h 既不是极大值又不是极小值.由定义可见，若f 在点),(00y x 取得极值，刚当固定0y y =时，一元函数),(0y x f 必定在0x x =取得相同的极值.同理，一元函数),(0y x f 必定在0y y =也取得相同的极值. 那么一般情况下如何求二元函数的极值呢？仿照一元函数的极值的讨论，我们得到二元函数极值存在的必要条件如下.3二元函数的极值问题3.1二元函数极值存在的必要条件定理 1 若函数f 在点),(000y x P 处存在偏导数，且函数在该点取得极值，则有0),(),(0000==y x f y x f y x .证明 因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点，若固定),(y x f 中的变量0y y =，则),(0y x f z =是一个一元函数且在0x x =处取得极值，由一元函数极值的必要条件知0),(00=y x f x ，同理有0),(00=y x f y .反之，凡是满足方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y x 的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点．定理说明，只要函数),(y x f z =的两个偏导数存在，那么它的极值点一定是驻点，反过来，驻点是不是一定为极值点呢？例如，函数22y x z +-=，在点()0,0处的两个偏导数为0，即()0,0是驻点，但在()0,0的任一邻域内函数既有正值也有负值，所以()0,0不是极值点，即驻点不一定是极值点.另外，极值点也可能是偏导数不存在的点.比如，上半锥面22y x z +=在点()0,0的偏导数不存在，但()0,0是函数的极小值点，函数极小值为0.3.2二元函数极值存在的充分条件判断二元函数),(y x f 在),(000y x P 取得极值的充分条件，我们假定函数f 有二阶连续偏导数，并记0f p =⎢⎣⎡)()(00P f P f yx xx ⎥⎥⎦⎤)()(00xy P f P f yy =⎢⎣⎡yx xx f f 0xy P yy f f ⎥⎥⎦⎤, 称它为f 在),(000y x P 的黑塞矩阵.定义3 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有直到1+n 阶的连续偏导数，则对)(0P U 内任一点),(00k y h x ++，存在相应的)1,0(∈θ，使得).,()()!1(1),()(!1),()(!21),()(),(),(00100002000000k y h x f y k x h n y x f yk x h n y x f y k x h y x f yk x h y x f k y h x f n n θθ++∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+⋯+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=+++ (2)式称为二元函数f 在点0P 的泰勒公式，其中i m i i m i mm i i m m k h y x f y x C y x f y k x h --=∂∂∂=∂∂+∂∂∑),(),()(00000. 定理2 （极值充分条件）设二元函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有二阶连续偏（2）导数，且0P 为f 的稳定点，则当)(0P H f 为正定矩阵时，此函数f 在0P 有极小值；当)(0P H f 为负定矩阵时，在0P 有极大值；当)(0P H f 为不定矩阵时，在0P 不取极值. 证明 由f 在0P 的二阶泰勒公式，并注意到条件0)()(00==P f P f y x ，有)(),)((),(21),(),(22000y x y x P H y x y x f y x f T f ∆+∆ο+∆∆∆∆=-. 由于)(0P H f 正定，所以对任何)0,0(),(≠∆∆y x 恒使二次型0),)((),(),(0>∆∆∆∆=∆∆T f y x P H y x y x Q .因此存在一个与y x ∆∆,无关的正数q ，使得)(2),(22y x q y x Q ∆+∆≥∆∆.则对于充分小的0()U P 只要),(y x ∈0()U P ，就有0))1()(,()(),(),(),(22222200≥ο+∆∆=∆+∆ο+∆∆≥-q y x y x y x q y x f y x f ，即f 在),(000y x P 取极小值.同理可证)(0P H f 为负定矩阵时，f 在),(000y x P 取极大值.最后，当)(0P H f 不定时，f 在0P 不取极值.假设f 取极值（因为不失一般性，所以我们不妨设为取极大值），对任何过0P 的直线x t x x ∆+=0，y t y y ∆+=0，)(),(),(00t y t y x t x f y x f φ=∆+∆+=在0t 也取极大值.由一元函数取极值的充分条件，0)0(>''φ是不可能的（否则φ在0t 将取极小值），故0)0(≤''φ.而又有 y x yf xf t ∆+∆=φ')(，22)(2)()(y f yf x x f t yy xy xx ∆+∆∆+∆=φ''，T f y x P H y x ),)((),()0(0∆∆∆∆=''φ，这表明)(0P H f 为负半定的.同理，f 倘若取极小值，则将导致)(0P H f 为正半定.也就是说，当f 在0P 取极值时，)(0P H f 必须是正半定或负半定，但这与)(0P H f 不定相矛盾.证毕.若函数f 如定理2所设，设0P 是f 的稳定点，则我们可以将定理2写成如下比较实用的形式：①当0)(0>P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极小值； ②当0)(0<P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极大值； ③当0))((02<-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 不能取得极值；④当0))((02=-P f f f xy yy xx 时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值.3.3求二元函数极值的步骤第一步，首先求出偏导数x f ，y f ，xx f ，yy f ，xy f ；第二步，然后解方程组⎩⎨⎧==00yx f f 求出驻点P ；第三步，求出二元函数在驻点P 处)(P f xx 、)(P f yy 、)(P f xy 的值及))((2P f f f xy yy xx -的符号，再根据定理2判定出极值点；第四步，求出二元函数的极大值或者极小值.例1 求),(y x f y x y xy x +-+-222的极值点.解 由方程组 ⎩⎨⎧=+-==--=012022x y f y x f yx 得f 的稳定点为)0,1(0P ，由于02)(0>=P f xx ,2)(0=P f yy ,1)(0-=P f xy ，03))((02>=-P f f f xy yy xx ,故f 在0P 取极小值1)0,1(-=f .又因为f 处处可微，所以0P 为f 的惟一极值点.例2 求xy y x z 333-+=的极值.解 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322x y f y x f y x 得f 的稳定点为)1,1(1P 、)0,0(2P ，由于x f xx 6=、y f yy 6=、3-=xy f ，所以027))((12>=-P f f f xy yy xx .故f 在1P 取极小值1)1,1(-=f .又因为 09))((22<-=-P f f f xy yy xx ，所以2P 不是f 的极值点.例3 讨论),(y x f =62+-xy y 是否存在极值点.解 由方程组 ⎩⎨⎧=-==-=020x y f y f yx 得稳定点为原点)0,0(0P .又01))((02<-=-P f f f xy yy xx ,故原点不是f 的极值点.又因为f 在定义域内处处存在偏导数，所以f 没有极值点.例4 讨论)2)((),(22y x y x y x f --=在原点是否取得极值.解 容易验证原点为其稳定点，但在原点02=-xy yy xx f f f ,所以无法判定f 在原点是否取得极值.但是，我们又很容易发现，当222y x y <<时，),(y x f 0；当22y x >或2y x <时，),(y x f 0.所以函数f 不可能在原点取得极值.4特殊情况下二元函数极值对于一个二元函数来说，当),(000y x P 为稳定点，判别式0))((02≠-=P f f f M xy yy xx 时，可以判定f 在点0P 取得极小值、极大值或不能取得极值.但是，在判别式为零的时候，就没有肯定的答案了，下面我们就来讨论一下判别式为零时的情形.根据极值的定义可知，要判定),(000y x P 是否为极值点，只要判定),(y x P 在),(000y x P 的某邻域0()U P 内变化时，),(),(00y x f y x f f -=∆是否保持定号，并由此来判断.假设f 的所有二阶偏导数连续，则可以利用泰勒公式来讨论f ∆的符号.定理3 设点),(000y x P 是二元函数),(y x f 的稳定点，0===xy yy xx f f f ，若),(y x f 在0P 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且至少有一个不为零时，则f 在0P 无极值.证明 由所给的泰勒展开式有),(),(][61),(),(3300300y x y x f yf k x f h y x f y x f ∆+∆ο+∂∂-∂∂=- 其中00,y y k x x h -=-=，而)(33y x ∆+∆ο为当),(),(00y x y x →时f 的无穷小量.所以，对于0P 的充分小的邻域0()U P ，只要当)(),(0P U y x ∈时，就能保证),(][61003y x f yf k x f h ∂∂-∂∂与),(),(00y x f y x f - 同号.这是因为),(][61003y x f yf k x f h ∂∂-∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=30033200322003230033),(),(3),(3),(61y y x f k y x y x f hk y x y x f k h x y x f h ， 若),(y x f 在0P 的某邻域内三阶连续偏导数至少有一个不为零，即0),(),(),(),(23003220032200323003≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y y x f y x y x f y x y x f x y x f ， 我们来分情况讨论1若0)(033≠∂∂P xf 时，取00,y y x x h =-=，则 当0x x >时，0>h 则03>h ；当0x x <时，0<h 则30h ； 从而)(0333P x f h ∂∂的符号是不确定的.即当0)(033≠∂∂P xf 时，f 在0P 无极值. 2若0)(033≠∂∂P yf 时，取00,y y k x x -==，同理可得f 在0P 无极值.3若0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P y f ，则0)(023≠∂∂∂P y x f ，或0)(023≠∂∂∂P yx f.不妨设0)(023≠∂∂∂P yx f，此时 ]),(),([21),(),(2003200300y x y x f k y x y x f h y x f y x f ∂∂∂+∂∂∂=-，取0>k 充分小,使得20032003),(),(yx y x f k y x y x f h ∂∂∂>∂∂∂，则),(),(00y x f y x f -的符号是由yx y x f k h ∂∂∂20032),(决定.从而k 取正负号时导致),(),(00y x f y x f -在),(00y x 的任意小邻域可取正可取负.因此，),(),(00y x f y x f -的符号不确定.即当0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P yf，而0)(023≠∂∂∂P y x f 时，f 在0P 无极值.在0)(023≠∂∂∂P yx f时，同理可得f 在0P 无极值. 综上，定理得证.例5 讨论函数323532),(y xy x y x f +-=在原点是否有极值.解 函数),(y x f 在原点处的一，二阶偏导数0=====yy xy xx y x f f f f f ，而0123≠=x f ，由定理3可得，函数),(y x f 在原点不取极值.5条件极值问题在大量二元函数取极值的问题中，有一类问题是经常碰到的，即所谓求函数“条件极值”的问题.例如，要设计一个容量为V 的长方形开口容器，那么，当容器的长，宽，高各等于多少时，其表面积最小？为了解决上面这个问题，我们不妨设容器的长、宽、高分别为c b a 、、,则该容器表的面积为ac bc ab c b a S 22),,(++=.由此不难看出，上述表面积函数S 的自变量c b a 、、,不仅要符合定义域的要求0,0,0>>>c b a ，而且还须满足条件abc V =.像上面这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值问题（不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题）.一般地，求二元函数的条件极值，在讨论二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题时，我们主要使用下面两个方法.5.1代入法在约束条件0),(=y x g 中，如果能解x (或y ), 即)(y x ϕ=(或)(x y ϕ=),将它代入),(y x f z =中，那么)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=），这样就把二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题，转化为求一元函数)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=）的极值问题了，而一元函数的极值问题已经在微积分中得到圆满解决.例5 求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.解 由约束条件x y -=1代入z 中，得到2)1(x x x x z -=-=，令021x =-='x z ，解得21=x ， 又因为02xx<-=''z ，所以21=x 为极大值点. 故函数z 的极大值为41)21,21(=z .5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法在某些情况下，要想在约束条件0),(=y x g 中解出x (或y )不总是可能的,下面我们介绍一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法:(1)引入辅助变量λ和辅助函数),(),(),,(y x g y x f y x L λλ+=；（2）求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零，然后联立组成方程组即：⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x g y x L y x g y x f y x L y x g y x f y x L y y y x x x λλλλλλ 解上面这个方程组，得出解),(i i y x )2,1(⋯⋯=i ，都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点，这是因为由(3)和(4)得),(),(),(),(y x g y x f y x g y x f yy x x '-=''-='λλ由(6)和(7)得(3) (4) (5)(6)(7)0),(),(),(),(='''-'y x g y x g y x f y x f y x y x 再由(5)得0),(),(=''+'x y x y y x g y x g所以有),(),(y x g y x g y y x x ''-=' 于是0),(),(=''+'x y x y y x f y x f这样我们就容易得到0),(),(=''+'='x y x x y y x f y x f z所以说),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点.这里需要说明一点，如果在实际问题中，能判定函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下只有一个极大值或极小值，并且上面的方程组也只有惟一的解),(00y x ，那么点),(00y x 就是极大值或极小值.当然,在不能判定的情况下，我们还要继续下面的步骤；（3）为了判断),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 是否是极值点，我们设),(y x f z =有连续的一阶、二阶偏导数，y 对x 的一阶、二阶导数存在，那么xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z '''+''''+''+''+''=''),(]),(),(),([),(由一元函数极值的第二判别法得①当0),(<''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极大值),(i i y x f z =； ②当0),(>''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极小值),(i i y x f z =.上面这种方法就是拉格朗日乘数法，辅助函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.这个方法虽然看起来很烦琐，但是它很好的解决了代入法的不足之处，在解决二元函数条件极值问题方面应用非常广泛.现在我们就用拉格朗日乘数法来重新求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.引入辅助变量λ和辅助函数)1(),(),(),,(-++=+=y x xy y x g y x f y x L λλλ；然后求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+=010),,(0),,(y y x x y x L y y x L x λλλλ 解方程组得唯一驻点)21,21(，由于当±∞→x 时，∞→ y ，故-∞→=xy z ，则函数z 必在此处取得极大值41)21,21(=z .当然，我们还可以用步骤三去判断)21,21(是否是极值点.很容易求得y y x f x ='),(、x y x f y ='),(、0),(=''y x f xx、1),(),(=''=''y x f y x f yx xy 、0),(=''y x f yy 、1-='x y 、0=''xx y ，所以，02),(]),(),(),([),()21,21(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z ， 故xy z =在点)21,21(取得极大值41)21,21(=z .例6 求函数y x y x f z +==),(在条件222=+y x 下的极值.解 引入辅助变量λ和辅助函数)2(),,(22-+++=y x y x y x L λλ求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=2021),,(021),,(22y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到两个驻点()11，和()11--，.又有， 1),(),(='='y x f y x f y x ,0),(),(=''=''y x f y x f yy xx,0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ,yxy x -=',3322222yy x y y yx x y yy x y y xxx -=+-=+-='--=''，所以， 02),(]),(),(),([),()1,1(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点()11，取得极大值2)1,1(=z ； 又因为02),(]),(),(),([),()1,1(>='''+''''+''+''+''=--''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点()11--，取得极小值2)1,1(-=--z .例7 求函数22),(y x y x f z +==在条件04=-+y x 下的极值.解: 引入辅助变量λ和辅助函数)1(),,(22-+++=y x y x y x L λλ求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组即：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+=0402),,(02),,(y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到惟一的驻点)2,2(.又有x y x f x 2),(='，y y x f y 2),(='，2),(=''y x f xx ，0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ，2),(=''y x f yy ，1-='x y ，0=''xx y ，所以，04),(]),(),(),([),()2,2(>='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点)2,2(取得极大值8)2,2(=xx z .6总结本文主要讨论数学分析中二元函数的极值问题.把一元函数的极值问题推广到多元函数的情形，得到了一些新的结果，并给出了一些未推广前不能求解，而利用推广后的结论可以求解的例子.本文先证明稳定点为极值点的充分条件，并给出其判别式，再分析判别式为零的情形，来解决与此相关的数学问题.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册 第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [2] 刘玉琏等.数学分析讲义（下册 第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [3]万淑香．二元函数的极值问题[J]．鸡西大学学报，2007，4：75-76．[4]柴文祥等. 二元函数极值判别的一点注记[J].牡丹江师范学院学报，2011，4：3-4 [5]刘连褔.02=-=∆AC B 时二元函数极值问题讨论[J]. 廊坊师范学院学报，2010,10:16-17.[6]刘晓俊. 二元函数求条件极值的方法[J]. 金融教学与研究，1994，3：57-59.。

二元函数求极限例题函数极限是微积分的基本概念，学习微积分最重要的就是理解函数极限的概念及其求解原理，其中二元函数极限求解一直是数学学习者的难点，本文将讲解二元函数求极限的基本原理及求解示例，以便更好地理解这一概念。

二、二元函数极限概念函数极限（limit）是指在函数中变量取某一值时，函数值趋近的极限。

极限的概念是微积分的重要内容，它不仅是求解微积分的基础，而且也在有限阶导数、无穷阶导数等求解中扮演着重要的角色。

从函数极限的定义出发，一般来说，求解一般函数极限的过程就是将变量的值趋近于某一值，以此分析函数的趋势。

根据变量的数量不同，函数极限分为一元函数极限和二元函数极限。

一般情况下，一元函数极限就是将变量的值趋近于某一值，而二元函数极限则比较复杂，它需要分析函数在某一特定点的趋势。

三、求解函数极限的方法一般来说，求取函数极限有三种常用方法：1.用定义求极限：只有当满足定义条件时，才能求取函数极限;2.用中点定理求极限：通过中点定理可以迅速求取函数的极限;3.用函数解析求极限：函数解析能够求取函数的完整解析，从而能够求取函数极限。

虽然上述三种方法都可以求取函数极限，但它们相对于二元函数极限求解有一定的局限性，因此，通常情况下，会借助一些特殊的方法进行求解，比如“函数的性质”、“函数的导数”等。

四、二元函数求极限示例下面举例说明二元函数求极限的方法：例：求函数f(x,y)=xy+x的极限解：考虑到函数的性质，当x趋近于0时，y也趋近于0，因此可以把函数改写为f(x,y)=xy，可以得知极限L=0综上，可以得出函数f(x,y)=xy+x的极限L=0。

五、总结以上就是二元函数求极限的原理及求解示例，其中最重要的就是要正确理解函数极限的定义，正确利用函数性质、函数导数等概念，有效地求解二元函数极限。

二元函数求极限例题极限是数学上最重要的概念之一，极限是指当某个变量的值趋近于某个值时，它的函数的值会趋近于某个值。

针对二元函数求极限，也就是求解一元函数y=f(x)当x趋近于某个值时，y的值趋近于某个值，我们只需要将该函数中x替换为这个某个值，就可以求出当x趋近于某个值时，函数y的值。

接下来我们就通过一个具体的例题来探讨如何求解二元函数极限。

假设有函数y=f(x)，其中f(x)为一个三次函数：f(x)=2x^3-3x^2+5那么，我们就是要计算这个函数当x趋近于1时的极限，那么我们就可以将f(x)中的x替换为1：f(1)=2(1)^3-3(1)^2+5可以得到极限为4，因此，当x趋近于1时，y的极限为4。

接下来，我们将介绍另一种更直接地求解极限的方法，即使用定义求解极限，我们将以函数f(x)=x^2+2为例来说明这种方法：首先，我们将f(x)的解析式写成如下形式：f(x)=limn→∞[(x+1/n)^2+2]也就是说，当x趋近于某个值时，要求极限，只需要将x的值替换为这个值，然后用n的值求解，当n的值趋近于无穷大时，就可以得到极限值。

接下来，我们以函数f(x)=x^2+2为例，求x趋近于1时的极限： f(x)=limn→∞[(1+1/n)^2+2]将x替换为1之后，可以得到f(1)=limn→∞[(1+1/n)^2+2]当n的值趋近于无穷大时，上式的结果可以简化为f(1)=limn→∞[1+2/n+1/n^2+2]可以得到极限为5，因此，当x趋近于1时，y的极限为5。

以上就是求解二元函数极限的方法，以上求解极限的方法可以用于求解其他任何函数的极限。

总之，求解二元函数极限要求我们要熟练掌握极限的概念，能够灵活地把握数学公式，最重要的就是熟悉求解极限的方法，有一定的练习和实践才能真正掌握这种技能。

二元极限习题及答案二元极限习题及答案在数学中，二元极限是研究函数在二维平面上的极限行为的重要概念。

它在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。

本文将介绍一些常见的二元极限习题，并提供详细的解答。

1. 习题一：计算二元函数f(x, y) = (x^2 + y^2)/(x + y)在点(0, 0)处的极限。

解答：要计算该二元函数在(0, 0)处的极限，可以尝试使用极坐标变换。

令x = rcosθ，y = rsinθ，其中r为距离原点的距离，θ为与x轴的夹角。

将x和y代入原函数中得到：f(r, θ) = (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ)/(rcosθ + rsinθ)= r(cos^2θ + sin^2θ)/(cosθ + sinθ)= r/(cosθ + sinθ)当r趋近于0时，函数f(r, θ)趋近于0。

因此，原函数在(0, 0)处的极限为0。

2. 习题二：计算二元函数f(x, y) = (x^2 - y^2)/(x - y)在点(1, 1)处的极限。

解答：要计算该二元函数在(1, 1)处的极限，可以尝试使用直接代入法。

将x和y分别替换为1，得到：f(1, 1) = (1^2 - 1^2)/(1 - 1)= 0/0由于分子和分母都为0，无法直接计算极限。

这时可以尝试对函数进行化简。

将分子进行因式分解，得到：f(x, y) = ((x - y)(x + y))/(x - y)当x ≠ y时，可以约去分子和分母的(x - y)项，得到f(x, y) = x + y。

因此，在点(1, 1)处，函数的极限为2。

3. 习题三：计算二元函数f(x, y) = xy*sin(1/x)在点(0, 0)处的极限。

解答：要计算该二元函数在(0, 0)处的极限，可以尝试使用夹逼定理。

根据夹逼定理，如果存在两个函数g(x, y)和h(x, y)，满足对于所有的(x, y) ∈ D，有g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y)，且lim(g(x, y)) = lim(h(x, y)) = L，那么lim(f(x, y)) = L。