郴州数学圆几何综合专题练习（解析版）
一、初三数学圆易错题压轴题（难）
1．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G．
（1）如图1，求证：GD＝GF；
（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）1810
．
【解析】
【分析】
（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A＝∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A＝∠GDF，等量代换得∠GDF＝∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD＝GF；（2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G＝90°，即可得：∠ADF＝45°；
（3）由等腰直角三角形可得AH＝BH＝12，DF＝AB＝12，由四边形ABCD内接于⊙O，可得：∠BCG＝45°＝∠CBG，GC＝GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN＝m，利用勾股定理可求得m＝2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F 作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK．【详解】
解：（1）证明：∵DE⊥AB
∴∠BED＝90°
∴∠A+∠ADE＝90°
∵∠ADC＝90°
∴∠GDF+∠ADE＝90°
∴∠A＝∠GDF
∵BD BD
∴∠A＝∠GFD
∴∠GDF ＝∠GFD
∴GD ＝GF
（2）连接OD 、OF
∵OD ＝OF ，GD ＝GF
∴OG ⊥DF ，PD ＝PF
在△DPH 和△FPB 中
PD PF DPH FPB PH PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DPH ≌△FPB （SAS ）
∴∠FBP ＝∠DHP ＝90°
∴∠GBH ＝90°
∴∠DGF ＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°
∴∠GDF ＝∠DFG ＝45°
∴∠ADF ＝45°
（3）在Rt △ABH 中，∵∠BAH ＝45°，AB ＝
∴AH ＝BH ＝12
∴PH ＝PB ＝6
∵∠HDP ＝∠HPD ＝45°
∴DH ＝PH ＝6
∴AD ＝12+6＝18，PN ＝HM ＝
12
PH ＝3，PD ＝
∵∠BFE ＝∠EBF ＝45°
∴EF ＝BE
∵∠DAE ＝∠ADE ＝45°
∴DE ＝AE
∴DF ＝AB ＝
∵四边形ABCD 内接于⊙O
∴∠DAB +∠BCD ＝180°
∴∠BCD ＝135°
∴∠BCG ＝45°＝∠CBG
∴GC ＝GB
又∵∠CGP ＝∠BGP ＝45°，GP ＝GP
∴△GCP ≌△GBP （SAS ）
∴∠PCG ＝∠PBG ＝90°
∴∠PCD ＝∠CDH ＝∠DHP ＝90°
∴四边形CDHP 是矩形
∴CD ＝HP ＝6，PC ＝DH ＝6，∠CPH ＝90°
令CN ＝m ，则PN ＝6﹣m ，MN ＝m +3 在Rt △PMN 中，∵PM 2+PN 2＝MN 2
∴32+（6﹣m ）2＝（m +3）2，解得m ＝2
∴PN ＝4
过点N 作NS ⊥DP 于S ，
在Rt △PSN 中，PS ＝SN ＝22
DS ＝62﹣22＝42
SN 221tan DS 2
42SDN ∠=== 连接AF ，FK ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，过点F 作FR ⊥DK 交DK 的延长线于点R 在Rt △DFQ 中，FQ ＝DQ ＝12
∴AQ ＝18﹣12＝6
∴tan 1226
FQ FAQ AQ ∠=== ∵四边形AFKD 内接于⊙O ，
∴∠DAF +∠DKF ＝180°
∴∠DAF ＝180°﹣∠DKF ＝∠FKR
在Rt △DFR 中，∵DF ＝1122,
tan 2FDR ∠= ∴12102410,FR DR == 在Rt △FKR 中，∵FR ＝
1210 tan ∠FKR ＝2 ∴KR ＝6105
∴DK ＝DR ﹣KR ＝24106101810=
-= ．
【点睛】
本题是一道有关圆的几何综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形性质及判定，等腰直角三角形性质，解直角三角形等知识点；解题关键是添加辅助线构造直角三角形．
2．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.
（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？
（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.
【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3
【解析】
试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由
AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；
（2）证法同（1）；
（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.
（1）连接OD
∵DE为⊙O的切线
∴∠ODE=90°
∴∠CDE+∠ADO=90°
∵AB=6，BC=8，AC=10
∴∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
