专题4------实对称矩阵的对角化

专题：实对称矩阵的对角化

一、实对称矩阵的定义：

如果矩阵A 满足：①A 是对称矩阵，即T A A =；②矩阵A 中所有元素都是实数（事实上，我们目前接触到的矩阵的元素都是实数，全体实数与全体虚数（如a bi +，0b ≠就是虚数）组成复数集）。那么，称矩阵A 就是实对称矩阵。注意，因为实对称矩阵就是对称矩阵，而对称矩阵是对方阵而言的，故实对称矩阵必须是方阵。

二、实对称矩阵的性质：

① 实对称矩阵必可对角化。（一般的矩阵，也就是非实对称矩阵，可对角化是有条件的，全书P372

页说的很清楚）

② 特征值全是实数，特征向量都是实向量。（关于这一点是没有考点，这只是单纯地作为一条性质

提出来的）

③ 不同特征值的特征向量相互正交。（这一点很重要，对于一般矩阵而言，不同特征值的特征向量

线性无关，不能保证不同特征值的特征向量正交。注意向量正交的定义：设12,a a 为n 维列

向量，1212211212,(,)0,T T

a a a a a a a a a a ⇔===⇒正交线性无关）

④ 假设i λ是实对称矩阵A 的k 重特征值，那么对应于特征值i λ必有k 个线性无关的特征向量，即

齐次线性方程组()0i E A x λ-=的基础解系的向量个数为k ，()i n r E A k λ--=。（对于一般矩阵，若i λ是该矩阵（非实对称矩阵）的k 重特征值，那么对应于特征值i λ的线性无关向量最多为k 个，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=（这里的A 为非实对称矩阵）的基础解系的向量个数最多为k 个，即()i n r E A k λ--≤）

三、基本情况说明：

考虑到考研数三的实际情况，加上为了更加清晰地阐述该问题，我这里论述的实对称矩阵是一个4阶矩阵，在此就不长篇大论一般情况（即A 为n 阶矩阵），希望你从这个特殊例子中看出一般情况。

A 为4阶矩阵，其特征值为1λ、2λ、3λ（3λ为二重特征值）

。 特征值1λ对应的特征向量为1a ，即111Aa a λ=，明显11k a （10k ≠）也为1λ对应的特征向量；

特征值2λ对应的特征向量为2a ，即222Aa a λ=，明显22k a （20k ≠）也为2λ对应的特征向量； 特征值3λ对应的两个线性无关的特征向量为3a 、4a （因为3λ为二重特征值，所以它必有2个线性无关的特征向量），明显3a 、4a 的线性组合3344l a l a +（34,l l 不全为0）也是特征值3λ对应的特征向量。

根据实对称矩阵性质的第二点，这些特征向量之间的关系满足：

1122113344223344(,)(,)(,)0k a k a k a l a l a k a l a l a =+=+=（10k ≠、20k ≠、34,l l 不全为0）

注意3a 、4a 一定线性无关，但是不一定正交，那么3344(,)l a l a （34,l l 都不为0）的值不一定为0。 上面1122(,)k a k a 、113344(,)k a l a l a +、223344(,)k a l a l a +、3344(,)l a l a 都表示内积。

四、实对称矩阵的对角化

全书P372的矩阵相似对角化的方法适合所有矩阵，那么根据该方法，我们构造矩阵P ，令

112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++，（12,k k 都不为0，34,k k 不全为0，34,l l 不全为0，向量3344

k a k a +与向量3344l a l a +线性无关，即

333

4

0k k l l ≠）

，那么一定有121

12333

30

0000

0(,,,)00000

P AP diag λλ

λλλλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢

⎥==⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

（向量3344k a k a +和向量3344l a l a +线性无关的充要条件是

333

4

0k k l l ≠，

133443344334433442,,0x k a k a l a l a k a k a l a l a x ⎛⎫

++⇔++= ⎪⎝⎭线性无关齐次线性方程组（）只有零解

3

313

33433443344344

424

4(,)0,((,))2k

l x k l a a r k a k a l a l a r a a k l x k l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⇔=⇔++== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

只有零解（），由于34(,)2r a a =，所以3

34

4k

l k l ⎛⎫

⎪

⎝⎭

必然满秩，3334

0k k l l ≠）

为什么我把矩阵P 构造成112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++这种形式，而不是像全书上构造成简

单的1234(,,,)P a a a a =。我先说明这种构造的合理性。

把矩阵P 构造成112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++这种形式的合理性说明：由上面的第三点——基本情况说明里面的论述，可以知道：112233443344,,,k a k a k a k a l a l a ++（12,k k 都不为0，34,k k 不全为0，

34,l l 不全为0）这四个向量必然分别是特征值1233,,,λλλλ对应的特征向量，如果向量3344k a k a +和向量3344l a l a +线性无关，那么P 可逆，且11233(,,,)P AP diag λλλλ-=。注意到1234(,,,)P a a a a =是112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++的一种特殊情况。

五、施密特正交化方法的意义说明

考研数三对Schmidt 正交化方法的考察，最多涉及三个向量，因此，我在这里只说明3个向量的Schmidt 正交化。

1a ，2a ，3a 线性无关

令11a β=，2122111(,)

(,)

a a βββββ=-

，313233121122(,)(,)(,)(,)a a a βββββββββ=--。其实不需要严格的证明，通

过观察，我们就会发现1β，2β，3β都是1a ，2a ，3a 的线性组合。注意正交化后的1β，2β，3β是两两正交的。

假设1a ，2a ，3a 都是实对称矩阵A 的关于某一个特征值的i λ的三个线性无关的特征向量，因为1β，

2β，3β都是1a ，2a ，3a 的线性组合，那么1β，2β，3β也是实对称矩阵A 的关于同一个特征值的i λ的

三个线性无关的特征向量。

六、把矩阵P 构造成112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++这种形式的意义说明

矩阵112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++（12,k k 都不为0，34,k k 不全为0，34,l l 不全为0，向量

3344k a k a +与向量3344l a l a +线性无关，即

333

4

0k k l l ≠）包含了所有情况。在矩阵

112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++中令111k a =

，221k a =，33

1k a =，40k =，