层次分析法例题资料讲解

层次分析法例题

专题：层次分析法

一般情况下，物流系统的评价属于多目标、多判据的系统综合评价。 如果仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断，缺乏定量分析依据来评价系 统方案的优劣，显然是十分困难的。尤其是物流系统的社会经济评价很难 作出精确的定量分析。

层次分析法(Analytical Hierarchy Process )由美国著名运筹学家萨蒂 (T .

L . Saaty )于

1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、实 用的定性分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法。目前，该方法 在国内已得到广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评 比、地区经济发展方案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择 及评比等方面。它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、 实用的决策方法。

♦层次分析法的基本原理

人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物 品。这时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。假设有 n 个物品，其 真实重量用

w 1 , w 2,…W n 表示。要想知道w 1 , w 2,…W n 的值，最简单的就 是用秤称出它们的重量，但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到 它们的重量比矩阵A 。

如果用物品重量向量W=[w 1 , w 2 ,…W n ]T 右乘矩阵A ,则有:

矩阵A 的唯一非零解，也是最大的特征值。这就提示我们，可以利用求物

/ w 2 / w 2

V V ■

叫/叫

W /叫

/讥

z

W

V V P

W /1V

由上式可知, n 是A 的特征值，W 是A 的特征向量。根据矩阵理论,

品重量比判断矩阵的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量W。从而

确定最重的物品。

将上述n个物品代表n个指标(要素)，物品的重量向量就表示各指标

(要素)的相对重要性向量，即权重向量；可以通过两两因素的比较，建立判断矩阵，再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要。依此类推，如果n个物品代表n 个方案，按照这种方法，就可以确定哪个方案最有价值。

♦应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下：

(1)将复杂问题所涉及的因素分成若干层次，建立多级递阶的层次结构模型(目标层、判断层、方案层)。

(2)标度及描述。同一层次任意两因素进行重要性比较时，对它们的重要性之比做出判断，给予量化。

(3)对同属一层次的各要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评价尺度确定其相对重要度，据此构建判断矩阵A。

(4)计算判断矩阵的特征向量，以此确定各层要素的相对重要度(权重)。

(5)最后通过综合重要度(权重)的计算，按照最大权重原则，确定最优方案。

某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中B i表示功能，B2

表示价格，B3表示可维护性。C i , C2 , C3表示备选的3种品牌的设备

解题步骤:

目标层

判断层功能B i价格B2维护性B3

W r

产品C i产品C2产品C3

购买设备A

图设备采购层次结构图

1、标度及描述

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1〜9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

注：a jj表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系:

a ij=1/a ji ；a i=1 ；i, j=1 , 2,…，n 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。

2、构建判断矩阵A

判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：

•判断矩阵A B（即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较）如表1所示；

•判断矩阵B1 C （相对功能，各方案的相对重要性比较）如表2所示；

•判断矩阵B2 C （相对价格，各方案的相对重要性比较）如表3所示；

•判断矩阵B3 C （相对可维护性，各方案的相对重要性比较）如表4所示。

表1判断矩阵A B

表2判断矩阵B1 C

2 C2311/

3 C3531

表3判断矩阵B2-C

B2C

1

C

2

C3 C1127 C21/215 C31/71/51

表4判断矩阵B3 C

B3C1C2C3 C1131/7 C2l/311/9

C

3791

、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标

一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。

•求和法

1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）: b j= a j/逊;

2）将归一化的矩阵按行求和：C i=Ib ij （i=1 , 2, 3….n）;

3）将C i归一化：得到特征向量W= （w1, w2,…W n）T, W i=C i /艺i C, W即为A的特征向量的近似值；

4）求特征向量W对应的最大特征值:

sax

•求根法

1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根;

w i

2) _________________________ 将W i归一化，得到w i n ；W= (w1,

w2,…w n) T即为A的特

w i

i 1

征向量的近似值;

3）求特征向量W对应的最大特征值:

（1）判断矩阵A B的特征根、特征向量与一致性检验

(i =1,