2019-2020学年高中数学 3.3《几何概型》教案(2) 苏教版必修3.doc

2019-2020年高中数学 3.3.2 几何概型（二）教案苏教版必修3总课题概率总课时第25课时分课题几何概型（二）分课时第 2 课时教学目标了解几何概型的基本特点；会进行简单的几何概率计算；了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率．重点难点几何概型的概率的求法．引入新课1．什么叫几何概型？其特点如何？2．几何概型的常见类型有几种？例题剖析例1 在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求小于的概率．例2 如图，在圆心角为的扇形中，以圆心为起点作射线．（1）求使得小于的概率；（2）求使得和都不小于的概率．利用随机模拟方法计算曲线和所围成的图形的面积．AB OB例3巩固练习1．已知等腰中，．（1）在直角边上任取一点，求的概率；（2）在内作射线，求的概率．2．在正方体中，棱长为．在正方体内随机取点，求使四棱锥的体积小于的概率．课堂小结几何概型的基本特点；几何概型的概率的求法．课后训练班级：高二（）班姓名：____________ 一基础题1．已知直线，，则直线在轴上的截距大于的概率是________．2．已知实数，可以在，的条件下随机取数，那么取出的数对满足的概率是__________．3．如图，在直角坐标系内，射线落在的终边上，任作一条射线，求射线落在内的概率．4．两根相距的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于的概率．二提高题5．如图，在一个边长为的正方形内部画一个边长为的正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．xA TO2cm三能力题6．向如图所示的正方形椭机地投掷飞镖（假设所有飞镖都一定能投掷在正方形范围内），求飞镖落在阴影部分的概率．2019-2020年高中数学 3.3.2 函数的极值与导数教案新人教A版选修1-1●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．(教师用书独具)●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．●教学流程创设问题情境，引出问题：在x ＝a b 点附近，函数值有何特点？⇒引导学生结合给出图象，观察、比较、分析，导出问题答案，给出极值概念.⇒通过引导学生回答所提问题，理解极大值与极小值大小的辩证关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数极值的步骤和方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握已知函数的极值求参数的方法.⇒通过例3及其变式训练，理解极值的含义，并学会通过极值解决综合问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第58页)函数y ＝f (x )的图象如图所示．1．函数在x ＝a 点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？【提示】 函数在点x ＝a 的函数值比它在点x ＝a 附近的其他点的函数值都小 . 2．f ′(a )为多少？在点x ＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ 【提示】 f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0. 3．函数在x ＝b 点处的情况呢？【提示】 函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.1．极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【问题导思】函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】 不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.(对应学生用书第58页)(1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x＋3ln x .【思路探究】 原函数――→求导导函数―→f x ＝0的点x 0――→判断两侧符号极值【自主解答】 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：∴f (x )极大值＝3，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝x －x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝11．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况．求函数y ＝2x ＋8x的极值．【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝2－8x2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－3时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【思路探究】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？【自主解答】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，－23＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－3处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1.已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 【解】 由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，①f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴a ＝－1，b ＝－9符合题意.y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【思路探究】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？【自主解答】 ∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.∴由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．(对应学生用书第60页)因未验根而致误已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值． 【错解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f－＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.【错因分析】 解出a ，b 值后，未验证x ＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误． 【防范措施】 可导函数在x 0处的导数为0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f ′(x )＝0而求出的参数需要检验，以免出错．【正解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧f＝0，f －＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.(对应学生用书第60页)1．下列说法正确的是( )A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C ．函数f (x )＝|x |只有一个极小值D ．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上一定存在极值【解析】 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a ，b )上没有极值，故A 、B 、D 错误，C 正确，函数f (x )＝|x |只有一个极小值为0.【答案】 C2．函数f (x )的定义域为区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图3－3－5所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极小值的个数为( )图3－3－5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 在(a ，b )内，f ′(x )＝0的点有A 、B 、O 、C .要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．【答案】 A3．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 f ′(x 0)＝0⇒/ y ＝f (x )在x 0处有极值，但y ＝f (x )在x 0处有极值⇒f ′(x 0)＝0，应选B.【答案】 B4．求函数y ＝x ＋1x的极值．【解】 y ′＝1－1x 2＝x 2－1x2，令y ′＝0解得x ＝±1，而原函数的定义域为{x |x ≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：极大值极小值2.(对应学生用书第111页)一、选择题1．已知函数f(x)，x∈R，有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－62．(xx·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是( )A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x( )A．x＝1时，取得极大值B ．x ＝1时，取得极小值C ．x ＝－1时，取得极大值D ．无极值点【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0恒成立． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，f (x )无极值． 【答案】 D4．(xx·临沂高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋5在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意：f ′(－3)＝27－6a ＋3＝0 ∴a ＝5.应选D. 【答案】 D5．如图3－3－7所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图3－3－7A.23B.43C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C 二、填空题6．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】 －197．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8．(xx·昆明高二检测)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：图3－3－8(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 【解析】 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值； 所以只有(3)正确． 【答案】 (3) 三、解答题9．求下列函数的极值． (1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2. 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值， 且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R .f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值； 且f (1)＝22－2＝－1.10．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 【解】 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝a x＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )、f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点.(教师用书独具)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求证：当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点．【证明】 ∵f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0)∴f (x )的定义域为(0，＋∞) f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋b x当ab ＞0时，若a ＞0，b ＞0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的；若a ＜0，b ＜0，则f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递减的．∴当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求函数有极值时a 、b 满足的条件． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋b x. 若函数f (x )有极值，首先f ′(x )＝0，即2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根． 因为ab ≠0，x 2＝－b 2a，所以当ab ＜0时， 2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根x ＝－b 2a . 又当a ＞0，b ＜0时，f ′(x )在x ＝－b 2a 两侧的符号是左负右正，此时函数f (x )在x ＝－b 2a取得极小值； 当a ＜0，b ＞0时，f ′(x )在x ＝－b 2a 两侧的符号是左正右负，此时函数f (x )在x ＝－b2a 取得极大值．综上，函数f(x)＝ax2＋b ln x(ab≠0)有极值时，a，b所满足的条件是ab＜0.。

3.3 几何概型第2课时导入新课设计思路一：〔问题导入〕以下图是卧室与书房地砖示意图，图中每一块地砖除颜色外完全一样，小猫分别在卧室与书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上概率大？卧室〔书房〕设计思路二：〔情境导入〕在概率论开展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果随机试验是不够，还必须考虑有无限多个试验结果情况.例如一个人到单位时间可能是8：00 至9：00之间任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中任何一点……这些试验可能出现结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全一样，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留可能性一样，对于这样一个随机事件概率，有如下结论：对于一个随机试验，如果我们将每个根本领件理解为从某特定几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到时机都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件概率模型，它特点是：〔1〕试验中所有可能出现结果，也就是根本领件有无限多个. 〔2〕根本领件出现可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中有限性推广到无限性，而保存等可能性，这就是几何概型.几何概型概率计算方法如下：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内〞为事件A ，那么事件A 发生概率为P(A)= .这里要求D 测度不为0，其中“测度〞意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形与立体图形时，相应“测度〞分别是长度、面积与体积等.对于导入思路二：〔1〕几何概率模型：如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型.〔2〕几何概型概率公式：P 〔A 〕=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 〔3〕几何概型特点：1°试验中所有可能出现结果〔根本领件〕有无限多个.2°每个根本领件出现可能性相等.应用例如思路1例1 取一个边长为2a 正方形及其内切圆〔如下图〕，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，豆子落入圆中概率应该等于圆面积与正方形面积比.解：记“豆子落入圆内〞为事件A ，那么 P(A)=4422ππ==a a 正方形面积圆的面积. 答：豆子落入圆内概率为4π.点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件概率类型虽然每一个事件发生都是等可能，但是几何概型是有无数个根本领件情形，古典概型是有有限个根本领件情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：〔1〕在Excel 软件中，选定A1，键入“=〔rand 〔〕-0.5〕*2”. 〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞.选定A2～A1 000，B1～B1 000，按“ctrl+V〞.此时，A1～A1 000，B1～B1 000均为［-1，1］区间上均匀随机数.〔3〕选定D1，键入“=power 〔A1，2〕+ power 〔B1，2〕〞；再选定D1，按“ctrl+C〞；选定D2～D1 000，按“ctrl+V〞，那么D列表示A2+B2.〔4〕选定F1，键入“=IF〔D1＞1，1，0〕〞；再选定F1，按“ctrl+C〞；选定F2～F1 000，按“ctrl+V〞，那么如果D列中A2+B2＞1，F列中值为1，否那么F列中值为0.〔5〕选定H1，键入“FREQUENCY〔F1：F10，0.5〕〞，表示F1～F10中小于或等于0.5个数，即前10次试验中落到圆内豆子数；类似，选定H2，键入“FREQUENCY〔F1：F20，0.5〕〞，表示前20次试验中落到圆内豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY 〔F1：F50，0.5〕〞，表示前50次试验中落到圆内豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY〔F1：F100，0.5〕〞，表示前100次试验中落到圆内豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY〔F1：F500，0.5〕〞，表示前500次试验中落到圆内豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY〔F1：F1 000，0.5〕〞，表示前1 000次试验中落到圆内豆子数.〔6〕选定I1，键入“H1*4/10〞，表示根据前10次试验得到圆周率π估计值；选定I2，键入“H2*4/10〞，那么I2为根据前20次试验得到圆周率π估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π估计值，I6为根据前1 000次试验得到圆周率π估计值.如图：例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC概率.分析：在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度.那么原问题就转化为求AM小于AC′概率.所以，当点M 位于以下图中线段AC′上时，AM＜AC，故线段AC′即为区域d.区域d测度就是线段AC′长度，区域D测度就是线段AB长度.解：在AB上截取AC′=AC.于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)=.2.答：AM小于AC′概率为2变式训练：假设将例2改为：如以下图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC概率.解：此时，应该看作射线CM落在∠ACB内部是等可能.公式中区域D是∠ACB〔内部〕，而区域d求法应该与原题是一样，即在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度〔如图〕，那么区域d就是∠ACC′〔内部〕.从而区域d测度就是∠ACC′度数，区域D测度就是∠ACB度数.∠ACC′==67.5°，所以所求事件概率为.点评：由此可见，背景相似问题，当等可能角度不同时，其概率是不一样.此题可参考习题3.3第6题.例3 (会面问题)甲、乙二人约定在12 点到下午5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内各时刻到达是等可能，且二人互不影响.求二人能会面概率.分析：两人相约时间都是5小时，设X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，因此，0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达时刻就构成一个正方形，而两人能会面必须满足|X －Y|≤1，而这个不等式所表示是一个带状，位于正方形内图形，由于两人到达时刻是随机，而且，在每一个时刻到达可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：记A={二人能会面}.以 X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，于是0≤X≤5,0≤Y≤5,即点M 落在图中阴影局部.所有点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能，所以落在正方形内各点是等可能，符合几何概型条件.二人会面条件是：|X －Y|≤1,故正方形面积为5×5=25，阴影局部面积为5-2×21×42259. 点评： 建立适当数学模型，是解决几何概型问题关键.对于“碰面问题〞可以模仿此题建立数学模型.例4 如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色靶心，也不扎在两个区域之间，更不会脱靶，求飞镖扎在以下区域概率：(1)编号为25区域；(2)编号在6到9之间区域；(3)编号为奇数区域.〔每一个小区域面积一样〕分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子每一个位置可能性一样，因此，符合几何概型特点.解： 假设靶子每一个区域面积为1个单位，那么靶子所在圆面积为28个单位.〔1〕记事件A 为“飞镖扎在编号为25区域〞，那么P(A)= 281. 〔2〕记事件B 为“飞镖扎在编号为6到9之间区域〞，那么P(B)= .〔3〕记事件C 为“飞镖扎在编号为奇数区域〞，那么P(C)=.答：〔1〕飞镖扎在编号为25区域概率为281；(2)飞镖扎在编号在6到9之间区域概率为71；(3)飞镖扎在编号为奇数区域概率为21. 点评：仔细研读题目，从题目提供信息进展分析，寻找适当解题方法，是解决此题要害所在.思路2例1 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10 mL ，含有麦诱病种子概率是多少分析：病种子在这1 L 种子中分布可以看作是随机，取得10 mL 种子可视为区域d ，所有种子可视为区域D.解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子〞这一事件记为A ，那么 P(A)=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦诱病种子概率为1001. 点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器任何一个位置，而且在每一个位置可能性一样，符合几何概型特点，所以运用几何概型概率计算方法来解决此题.例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)概率是多少？分析：由于两人到达与离开时刻是随机，而且，在每一个时刻到达或离开可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：如图，以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能，所以符合几何概型条件.根据题意，只要点落到阴影局部，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P(A)==87.5%.点评：建立适当数学模型，该模型符合几何概型特点，这是解答此题关键所在.另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验.设X是0到1之间均匀随机数，Y也是0到1之间均匀随机数.如果Y+7＞X+6.5，即Y＞X-0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟方法：〔1〕选定A1，键入函数“=rand〔〕〞；〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞，选定A2～A50，B1～B50，按“ctrl+V〞.此时，A1～A50，B1～B50均为［0，1］区间上均匀随机数.用A列数加7表示父亲离开家时间，B列数加6.5表示送报人送到报纸时间.如果A+7＞B+6.5，即A-B＞-0.5，那么表示父亲在离开家前能得到报纸.〔3〕选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C〞，选定D2D50，按“ctrl+V〞.〔4〕选定E1，键入函数“=FREQUENCY〔D1：D50，-0.5〕〞，E1表示统计D列中小于或等于-0.5数个数，即父亲在离开家前不能得到报纸频数.〔5〕选定F1，键入“=〔50-E1〕/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸频率.下面是我们在计算机上做50次试验，得到结果是P(A)=0.88，如图：例3 假设一个直角三角形两直角边长都是0到1之间随机数，试求斜边长小于34事件概率.分析：由于直角边长是0到1之间随机数，因此设两直角边长分别为x,y，而x,y满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，x,y可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示图形任何一个位置，而且在每个位置可能性一样，满足几何概型特点.解：设两直角边长分别为x,y，那么0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，如右图，样本空间为边长是1正方形区域，而满足条件事件所在区域面积为.因此，所求事件概率为P=.点评：根据条件，构造满足题目条件数学模型，再运用几何概型概率计算方法来计算某个事件发生概率，是一种常用求解概率问题方法.例4 甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面概率.分析：当两人到达碰面地点时间相差在20分钟之内时，两人能碰面.我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点时间.解： 运用转盘模拟方法.具体步骤如下：〔1〕做两个带指针〔分针〕转盘，标上刻度在0到60来表示时间，如右图；〔2〕每个转盘各转m 次，并记录转动得到结果，以第一个转盘结果x 表示甲到达碰面地点时间，以第二个转盘结果y 表示乙到达碰面地点时间；〔3〕统计两人能碰面〔满足|x －y|<20〕次数n ；〔4〕计算m n 值，即为两人能碰面概率近似值〔理论值为95〕. 点评：实施模拟方法除了转盘模拟方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟，具体操作如下：〔1〕新建一个电子表格文件，在A1位置输入：=RAND( )60，产生一个0到60随机数x ；〔2〕将A1位置处表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60随机数y ；〔3〕在C1位置处输入：=IF 〔A1-B1<=-20，0，IF 〔A1-B1<20，1，0〕，判断两人能否碰面〔即是否满足|x －y|<20〕，如果是，就返回数值1，否那么返回数值0；〔4〕将第一行三个表达式复制100行，产生100组这样数据，也就是模拟了100次这样试验，并统计每次结果；〔5〕在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面频率，即事件“两人能碰面〞发生概率近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:4.设A={射线OA落在∠xOT内}.因为射线OA落在∠xOT内是随机，也就是射线OA可以落在∠xOT内任意一个位置，这符合几何概型条件，区域d测度是60，区域D测度是360，根据几何概型概率计算公式，得P(A)=.5.运用计算机模拟结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题背景，判断是否符合几何概型特点，如是那么选择符合题意“测度〞，运用求几何概型概率方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题模拟方法来模拟得到问题近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题概率，以及运用模拟方法求某一个事件概率近似值.结合上节课内容可以知道，几何概型概率问题仍然是随机事件概率，与古典概型区别是古典概型所含根本领件个数是有限个，而几何概型所包含根本领件个数是无限.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：〔1〕与长度有关几何概型；〔2〕与面积有关几何概型；〔3〕与体积有关几何概型；(4)与角度有关几何概型.其中我们对与面积有关几何概型与与体积有关几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.3 4、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型又一随机事件概率模型，在解决实际问题时首先根据问题背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者区别在于构成该事件根本领件个数是有限个还是无限个.在使用几何概型概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生概率只与构成该事件区域长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣量〔如概率值、常数〕有关，然后设计适当试验，并通过这个试验结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用方法.习题详解1.记A={灯与两端距离都大于2 m}.因为把一盏灯挂在绳子上位置是随机，也就是说灯挂在绳子上位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型条件，根据P=，得P(A)= .答：灯与两端距离都大于2 m概率为13.2.记A={所投点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入大正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入小正方形内概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积比，即 P(A)=943222==大正方形面积小正方形面积. 答：所投点落入小正方形内概率为94.3.记A={所投点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入矩形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入梯形内部概率应该等于梯形面积与矩形面积比，即 P(A)=125)2131(21=⨯⨯+⨯=b a b a a 矩形面积梯形面积. 答：所投点落在梯形内部概率为125. 4.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型条件，根据几何概型求概率计算公式，得P(A)=. 答：乘客到达站台立即乘上车概率为π21. 5.分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点〞概率比拟困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，再求“硬币落下后与格线有公共点概率〞.解：因为直径等于2 cm 硬币投掷到正方形网格上是随机，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型条件.要求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，根据几何概型求概率计算公式：P(A)=，因为每个小正方形边长都等于6 cm ，硬币直径为2 cm ，设有n 个小正方形，那么区域d 测度为n·π·12，区域D 测度n·62，故“硬币落下后与格线无公共点〞概率为，而事件“硬币落下后与格线有公共点〞是“硬币落下后与格线无公共点〞对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点〞概率为1－36π.答：硬币落下后与格线有公共点概率为1－36π.6.贝特朗算出了三种不同答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.贝特朗解法如下：解法一：任取一弦AB ，过点A 作圆内接等边三角形〔如图1〕.因为三角形内角A 所对弧，占整个圆周31.显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦长度才能超过正三角形边长a ，故所求概率是31.解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 直径PQ.过点P 作圆内接等边三角形，交直径于N ，并取OP 中点M 〔如图2〕.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直弦，如果通过MN 线段，其弦心距均小于QN ，那么该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是21.解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形内切圆〔如图3〕，这个圆是大圆同心圆，而且它半径是大圆21，它面积是大圆4141. 图1 图2 图3细细推敲一下，三种解法前提条件各不一样：第一种假设了弦端点在四周上均匀分布；第二种假设弦中点在直径上均匀分布；第三种假设弦中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同答案.这是因为在那时候概率论一些根本概念〔如事件、概率及可能性等〕还没有明确定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格理论根底，这样，对同一问题可以有不同看法，以致产生一些奇谈怪论.。

3.3 几何概形-苏教版必修3教案教学目标1.理解几何概念中的相关术语和概念。

2.掌握计算几何图形的相关面积、周长和体积等方面的知识。

3.能够应用几何知识解决生活中常见的问题。

教学内容1.点、线、面的定义点是几何概念中最基本的要素，不具备长度、宽度和高度等特征。

线是两个点通过直线相连的形状，具备长度但没有宽度和高度。

面是由三条或三条以上的线围成的封闭区域，具备面积但没有高度。

2.计算图形的周长和面积•矩形、正方形的周长和面积•直角三角形的周长和面积•一般三角形的周长和面积•圆形的周长和面积3.空间几何图形的计算•正方体、长方体、正棱柱的表面积和体积•正棱锥、正四面体的表面积和体积•圆柱、圆锥、球体的表面积和体积4.几何问题的应用在生活中，我们经常会遇到一些几何问题，例如房屋建造、道路设计、园林设计等。

本部分将通过一些实例对几何知识的应用进行讲解、掌握。

教学方法本课采取“质询式教学”、“实践类教学”和“探究式学习”等多种教学方法，通过让学生进行实际操作和探究来加深对几何概念和应用的理解和记忆。

教学评估本课程的评估将从知识掌握、应用能力和思维能力三个方面进行评估。

1.知识掌握：课后进行小测验，检查学生对课程知识的掌握情况。

2.应用能力：进行一些实例分析和探究练习，检查学生对课程知识的应用能力。

3.思维能力：通过一些思维导图、绘画和手工制作等练习，检查学生的创造力和思维能力。

教学理念在几何学习中，我们需要寓教于乐、融会贯通。

在教学过程中，我们需要注意以下几点。

1.重视学生的参与度：在课堂上，我们要注重学生参与度的提高，采取互动式教学方式激发学生的兴趣。

2.加强实践性教学：几何学习需要通过实践来加深对概念的理解和记忆，因此我们需要注重实践性教学。

3.多元化的教学策略：根据不同学生的学习特点和需求，采取多元化的教学策略，以满足学生的心理和认知需求。

总结通过本次几何概形的教学，学生将对几何概念和计算有更深入的了解，能够应用几何知识解决更广泛的实际问题。

内容：3． 3几何概型教课目的：1、知识与技术：（1）正确理解几何概型的观点；（2）掌握几何概型的概率公式：P（ A） = d的测度；D的测度（3）会依据古典概型与几何概型的差别与联系来鉴别某种概型是古典概型仍是几何概型；（4）会利用平均随机数解决详细的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）发现法教课，经过师生共同研究，领会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，领会数学知识与现实世界的联系，培育逻辑推理能力；（2）经过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成着手、动脑的优秀习惯。

3、感情态度与价值观：本节课的主要特色是随机试验多，学习时养成好学谨慎的学习习惯。

教课要点：几何概型的观点、公式及应用；教课难点：利用计算器或计算机产生平均随机数并运用到概率的实质应用中．教课过程：一、问题情境1．取一根长度为３ｍ的绳索，拉直后在随意地点剪断，那么剪得两段的长都不小于１ｍ的概率有多大？2．射箭竞赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心” ．奥运会的竞赛靶面直径为１２２ｃｍ，靶心直径为１２．２ｃｍ．运动员在７０ｍ外射箭．假定射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？3．两个人商定在8： 00 至 9： 00 之间到某地址约会，规定先到的人等十分钟后走开，问两人能会面的概率是多大？二、建构数学从上边的剖析能够看到，关于一个随机试验，我们将每个基本领件理解为从某个特定的几何地区内随机地取一点，该地区中每一点被取到的时机都同样。

一个随机事件的发生则理解为恰巧取到上述地区内的某个指定地区中的点．这里的地区能够是线段、平面图形、立体图形等．用这类方法办理随机试验，称为几何概型．在几何地区Ｄ中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个地区内”为事件Ａ，则事件Ａ发生的概率：d的测度Ｐ（Ａ）＝．这里要求Ｄ的测度不为０，此中“测度”的意义依Ｄ确立，当Ｄ分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．三、数学运用1．例题例 1 取一个边长为２ａ的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．思虑：由此例可知，豆子落入圆内的概率P( A)，我们可用Ｅｘｃｅｌ来模拟4撒豆子的试验，以此来预计圆周率，请你设计出有关算法。

3.3 几何概型何概型的概率.1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．预习交流1几何概型的概率计算与构成事件的区域形状、位置有关吗？提示：几何概型的概率只与它的测度(长度、面积、体积等)有关，而与构成事件的区域形状、位置无关．2．几何概型的计算公式及特点(1)几何概型的特点：①在每次试验中，不同的试验结果有无穷多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．(2)几何概型的概率计算公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的测度D的测度(d ⊆D )．预习交流2(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，x 2≤14的概率为__________．(2)如图的矩形，长为2米，宽为1米．在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗．据此可以估计出图中阴影部分的面积为__________．(3)如图所示，有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏时规定：当指针指向B 区域时，甲获胜；否则，乙获胜．在两种情形下甲获胜的概率分别为__________．提示：(1)12 (2)2325 (3)12，35一、长度型几何概型一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看见下列两种情况的概率各是多少？(1)红灯； (2)黄灯． 思路分析：解答本题的关键是将基本事件的全部及事件A 所包含的基本事件转化为相应区间的长度．解：到达路口的每一时刻都是一个基本事件，且是等可能的，基本事件有无穷多个，所以这是几何概型问题．总的时间长度为30＋5＋40＝75秒，设看到红灯为事件A ，看到黄灯为事件B ，(1)出现红灯的概率为：P (A )＝构成事件A 的时间长度总的时间长度＝3075＝25.(2)出现黄灯的概率为：P (B )＝构成事件B 的时间长度总的时间长度＝575＝115.1．两根电线杆相距100 m ，若电线遭受雷击，且雷击点距电线杆距离为10 m 之内时，电线杆上的输电设备将受损，则遭受雷击时设备受损的概率为__________．答案：15解析：距电线杆10 m 的线段有两处，左右各一段，遭受电击的线段长为20 m ．故所求概率为20100＝15.2．一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，求某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率．解：如图所示，△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，则△ABC 的周长为3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A ，则()++3+2+11++122DE FG MN P A BC CA AB ===.3．取一根长度为3 m 的树干，把它锯成两段，那么锯得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解：从每一个位置锯断都是一个基本事件，锯断位置可以是长度为3 m 的树干上的任意一点，基本事件有无限多个，是几何概型问题．如图所示，记“锯得两段树干长都不小于1 m”为事件A ，把树干三等分，于是当锯断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于树干长的13，于是事件A 发生的概率P (A )＝构成事件A 的树干长度总的树干长度＝13.(1)几何概型概率计算的基本步骤是：①判断是否为几何概型．尤其要注意判断等可能性；②计算所有基本事件的“测度”与事件A 所包含的基本事件对应的区域的“测度”(如长度、面积、体积、角度等)；③代入几何概型的概率计算公式进行计算．(2)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d .在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．二、面积型几何概型取一个边长为2a 的正方形及其内切圆、外接圆，随机向外接圆内丢一粒豆子，求豆子落入图内4个白色区域的概率．思路分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入外接圆内任一点都是机会均等的，于是豆子落入图内4个白色区域的概率应等于4个白色区域的面积和与外接圆面积的比．解：记“豆子落入4个白色区域”为事件A ，则由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入外接圆内任一点都是机会均等的，于是豆子落入图内4个白色区域的概率应等于4个白色区域的面积和与外接圆面积的比．即P (A )＝4个白色区域的面积和外接圆的面积＝正方形的面积－内切圆的面积外接圆的面积＝4a 2－πa 2π(2a )2＝4－π2π.1．如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架蕴藏着石油．假如某投资公司在此海域里随意选定一点钻探，则钻到石油的概率是__________．答案：11 250解析：由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率等于贮藏石油的海域面积与整个海域面积之比，即P ＝4050 000＝11 250.2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为__________．答案：π16解析：D 区域：2,2x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩形成面积为42的正方形区域，E 区域：x 2+y 2≤1形成面积为π的圆形区域．如图所示．记P (A )为事件“落入E 中”的概率，则P (A )=π16.3．如图，矩形花园ABCD 中，AB 为4米，BC 为6米，一只小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区的概率是多少？解：矩形面积为：4×6=24(米2)，阴影部分面积为：12×4×6=12(米2)，P (小鸟落在阴影区)=121=242. (1)几何概型要求每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的测度(长度、面积、体积)为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件．如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．(2)解与面积有关的几何概型问题的关键是：①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； ②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．三、体积型几何概型已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，求使得V P －ABC＜12V S －ABC 的概率． 思路分析：解答本题时可先找出满足条件的点P 的位置，再用几何概型求概率．解：∵V P －ABC =13S △ABC ·h ， V S －ABC =13S △ABC ·3，∴当32h <时， V P －ABC ＜12V S －ABC ， 即点P 的位置应该在中截面的下方(不妨设中截面为面A′B′C′)，据比例的性质可知31128S A B C S ABC V V -'''-⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据几何概型的概率计算公式，所以所求概率为78S ABC S A B C S ABC V V V --'''--=.1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD的体积小于16的概率为__________．答案：12解析：如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. 设M －ABCD 的高为h ，则13×S ABCD ×h ＜16， 又S ABCD =1，∴h ＜12，即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率1122V P V ==正方体正方体.2．有一杯1升的水，其中漂浮有1个被核污染的微生物，用一个小杯从这杯水中随意取出0.1升，求这一小杯水中含有这个微生物的概率．解：总的基本事件为杯中水的体积，事件A 包含的基本事件为取出水的体积，所以小杯水中含有这个微生物的概率为P (A )＝构成事件A 的水的体积总的水的体积＝0.11＝110.3．如图，在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．解：在AB 上取AC ′=AC ， 则∠ACC ′=180452︒-︒=67.5°. 设A ={在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC }． 则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )=67.53=904. (1)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．(2)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，那么我们就要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出构成事件A 的区域体积及试验的全部结果构成的区域体积．(3)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度、区域体积内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的，从而可以用几何概型的概率公式求解．1．(2012湖北高考改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是__________．答案：1－2π解析：设OA =OB ＝2R ，连接AB ，如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积，S 阴影＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝πR 2，故所求的概率是(π－2)R 2πR2＝1－2π.2．面积为S 的△ABC 中，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为__________．答案：123．在边长为2的正方体内任取一点，则该点在正方体的内切球内的概率为__________．答案：π6解析：记“该点落入内切球内”的事件为A ，则P (A )＝内切球体积正方体体积＝4π3·1323＝π6. 4．在长为4米的绳子上任取一点剪开，则使两段绳子的长度一段大于3米，一段小于1米的概率是__________．答案：12解析：如图，显然当剪断点在AB 或CD 上时满足条件“一段大于3米，一段小于1米”，∴P (“一段大于3米，一段小于1米”)＝AB ＋CD AD ＝24＝12.5．在区间(0,3)内随机地取一个数，则这个数大于2的概率为多少？ 解：几何区域D 为区间长度，所以这个数大于2的概率为大于2的区间长度与总区间长度之比，即P ＝3－23＝13.。

3.3几何概型（二）引入新课1．什么叫几何概型？其特点如何？2．几何概型的常见类型有几种？例题剖析例1 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．BM例2 如图，在圆心角为︒90的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ． （1）求使得AOC ∠小于︒30的概率；（2）求使得AOC ∠和BOC ∠都不小于︒30的概率．利用随机模拟方法计算曲线211===x x xy ，，和0=y 所围成的图形的面积．ABO例3巩固练习1．已知等腰ABC Rt ∆中，︒=∠90C ．（1）在直角边BC 上任取一点M ，求︒<∠30CAM 的概率； （2）在CAB ∠内作射线AM ，求︒<∠30CAM 的概率．2．在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1．在正方体内随机取点M ， 求使四棱锥ABCD M -的体积小于16的概率．课堂小结几何概型的基本特点；几何概型的概率的求法．课后训练 一 基础题1．已知直线b x y +=，]32[ -∈，b ，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是________．2．已知实数y x ，，可以在20<<x ，20<<y 的条件下随机取数，那么取出的 数对)(y x ，满足1)1()1(22<-+-y x 的概率是__________．3．如图，在直角坐标系内，射线OT 落在︒60的终边上，任作一条射线OA ， 求射线OA 落在xOT ∠内的概率．x4．两根相距m 6的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯， 求灯与两端距离都大于m 2的概率．二 提高题5．如图，在一个边长为cm 3的正方形内部画一个边长为cm 2的正方形，向大正方形内 随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．三能力题6．向如图所示的正方形椭机地投掷飞镖（假设所有飞镖都一定能投掷在正方形范围内），求飞镖落在阴影部分的概率．。

3.3 几何概型整体设计教材分析这部分是新增加的内容.几何概型是另一类等可能性概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率，这一点与古典概型是一致的^本节的教学需要一些实物模型为教具，如教科书中的长度3米的绳子模型、例1中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果.在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高.随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模^^活动.第一个课时主要讲授几何概型的特点及其概率计算公式和运用几何概型解决求某一个事件的概率的例题教学；第二课时主要是通过例题教学及用计算机随机模拟试验（运用Excel 软件），以及课堂练习加强学生对几何概型的巩固^几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关 .如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积土^为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1,但它不是必然事件.教材中例1的教学可以分解为如下步骤：（1）把问题抽象成几何概型.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，则落在某个区域的豆子数只与这个区域的面积大小有关（近似成正比），而与区域的位置和形状无关，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.（2）利用几何概型求概率的公式，得到P（豆子落入圆内尸丁丁——.正万形的面积（3）启发引导学生探究圆周率兀的近似值，用多种方式来模拟 .三维目标1.通过解决具体问题的实例去感受几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法.2.理解几何概型的意义、特点，会用公式计算几何概率^3.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯^4.学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力^重点难点教学重点：1.体会随机模拟中的统计思想.5.用样本估计总体.6.理解几何概型的定义、特点、会用公式计算几何概率^教学难点：1.等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别^2.把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题^课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）根据下述试验，回答问题：一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，试问事件T发生的概率.设计思路二：（情境导入）根据下列游戏，回答相应问题：游戏规则如下：由边长为1米的四方板构成靶子，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块（如图）.由游戏者向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功.试问投中阴影部分即事件A发生的概率.推进新课新知探究我们先来解决导入”中设计思路一中的问题.分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件.注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故设计思路一中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB上的点一一对应.若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N,则显然事件T 所对应的基本事件所对应的点在线段MN上.由于在古典概型中事件T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T 的概率似乎也是合理的. I・••\A M N B线段AB长5,线段AM、BN长为1,则线段MN长为3 解：P （T） =3/5. 此结果用第一节的统计的方法来验证是正确的^从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等 ^用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model ）一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域d内”为事件A ,则事件A发生的概率P（" .这里要求D的测度不为0,其中测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的测度”分别是长度、面积和体积等.类似于设计思路一的解释，完全可以把设计思路二中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，即事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的.这一点我们完全可以用设计思路一的方法验证其正确性.解：P (A) = (1/2) 2/12=1/4.在某些情况中，可把实验中基本事件组中的每一个基本实验与某一个几何区域D中的点一一对应起来，这个区域可以是一段曲线(一维区域) ，或一个平面区域(二维区域)这样在实验中某一事件A,就可与几何区域D中的子区域d表示了，如下图：试验：从D中随机地取一点；事件发生：所取的点属于d;事件未发生：所取的点不属于 d.这样事件A的概率如何计算呢？在设计思路一中，P(A尸子区域d的长度/区域D的长度=3/5.在设计思路二中，P(A尸子区域d的面积/区域D的面积=1/4.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等^用这种方法处理随机试验，称为几何概型( geometric probability model )一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域d内”为事件A ,则事件A发生的概率这里要求D的测度不为0,其中测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的测度”分别是长度、面积和体积等.通过对以上两个设计思路的分析，我们看到事件A的概率用子区域d的大小与几何区域D大小的比值来表示是合理的 .当子区域d和几何区域D是一维区域时，它们的大小用它们的长度来表示；当子区域d和几何区域D是二维区域时，它们的大小用它们的面积来表示；当子区域d 和几何区域D是三维区域时，它们的大小用它们的体积来表示^ 为定义统一，若几何区域的大小我们称为这个区域的测度”，则P(A产子区域d的测度/区域D的测度.由于几何区域d是几何区域D的子集，于是我们有0Wd的测度＜D的测度，在不等式两侧同时除以D的测度(一般假定其为正数)则有0 d的测度D的测度 -------D的测度D的测度D的测度即0< PW j 这个不等式表明几何概型的概率在 0和1之间.注意到当p(A) = 0时，d 的测度一定为0 (一个点的长度是 0, 一条曲线的面积是 0),且当p(A)=1时，d 的测度必须等 于D 的测度.几何概型的基本特点是：(1)在每一次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限个；(2)在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可 能的.从几何概型具有的特点来看，几何概型与古典概型的区别在于， 几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个^应用示例思路1例1判断下列试验中事件 A 发生的概率是古典概型，还是几何概型 .(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率 .分析：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性 .而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关^解：(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有 6X6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果，而且不难发现指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型 .点评：区别某一个问题是属于古典概型还是属于几何概型，要注意抓住它们的特点： 几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个 ^例2在一个量杯中装有1升的水，其中含有一个细菌，现在用一个小杯子从中取出 0.1升的水，求这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率^分析：细菌在量杯的水中的分布可以看成是随机的， 因此符合几何概型的特点， 所以可以运用几何概型概率的解法来求解.解：细菌在水中的分布看成是随机的，符合几何概型的特点，从这个量杯中取出的 0.1升水看成区域d,所有的1升水看成区域 D,记事件A 为小杯子所取出的水中含有这个细答：这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率为0.1.点评：在本题中， 测度”是体积；基本事件(这个细菌可以生存在这 1升水的任何区域) 有无限多个，同时因为是随机分布的，即基本事件是等可能的，所以符合几何概型的特点， 因此，选择几何概型的计算方法计算概率.例3将正方形ABCD 等分成九个小正方形，并用红、黄、蓝三种颜色涂成如图所示的 图案，向正方形 ABCD 内随机投点，分别求下列事件的概率.菌”,则P(A 尸 取出的水的体积 所有水的体积0.1=0.1.(1)点落在红色区域； (2)点落在红色或蓝色区域； (3)点落在黄色或蓝色区域.分析：因为投点时是随机的， 而且点落在正方形是随机分布的， 因此，符合几何概型的特点，所以，用几何概型计算概率的方法来解^解：(1)记事件A 为 熏落在红色区域”，假设正方形 ABCD 的面积为9个单位，则红色区域面积4P(A 尸一…/ -------- --正万形ABCD 的面积 9红色区域与蓝色区域面积之和P(B)= ____________________________正方形ABCD 的面积_黄色区域与蓝色区域面积之和P (C)=正方形ABCD 的面积点评：在本题中，计算概率时所涉及的测度”是正方形的面积，因此，准确判断几何图形的面积是解决 测度”是几何图形的面积的几何概型问题的关键 .例4甲、乙两人相约在上午 9: 00至10: 00之间在某地见面，可是两人都只能在那里 停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？分析：由于甲、乙两人是随机出现在约会地点， 而且在每一时刻出现是等可能的，因此用几何概型来解.解：为(9+x)小时，乙到的时间为(9+y)小时，则0wxwi,0wy 点1( x,y)形成直角 坐标系中的一个边长为 1的正方形，以(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)为顶点(如图).由于 两人都只能停留5分钟即 2 小时，所以在|x —y|」-时，两人才能会面.由于|x — y|」-是两12 12 12条平行直线x-y=— y-x=—之间的带状区域，正方形在这两个带状区域是两个三角形，(2)记事件B 为熏落在红色或蓝色区域 则”, 同样假设正方形 ABCD 的面积为9个单位,(3)记事件C 为熏落在黄色或蓝色区域 则”, 同样假设正方形 ABCD 的面积为9个单位,12 12所以, P(D)=区域A 与B 的面积之和 正三角形的面积其面积之和为(1 - — ) X1——1)=(卫)2,从而带形区域在这个正方形内的面积为1—12 1212 23(H)2=_23_,因此所求的概率为 144 -23. 12 144 1 144点评：本题将时间看成是 测度”，因此，建立适当的 测度”是解决本题的关键.思路2例1有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于 3米，则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于 3米，也就是说只能在距两端都为 3米的中间的4米中截，这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题^10 3 3 2解：记两段木棍都不小于 3米为事件A,则P(A)= 10 3 32.105点评：本题中 测度”为长度.例2飞镖随机地投掷在如图所示的靶子上，(1)在每一个靶子中，飞镖投到区域 A 、B 、C 的概率分别为多少？ (2)在靶子1中，分别投中区域 A 或B 的概率是多少？ ⑶在靶子2中, 飞镖没有投中区域 C 的概率是多少？(假设每一次投掷都没有脱靶 )(靶子1是正三角形，三角形内的三条线段是三角形的顶点与重心的连线；靶子2中水平线是圆的直径，竖直的线段是垂直于直径的半径)分析：由于飞镖投中的位置是随机的，因此，投中的结果有无数个，而飞镖投中任何 位置的可能性相等，因此，本题符合几何概型的特点，所以运用几何概型的概率计算方法来 求解.解：(1)在靶子1中分别记飞镖投到区域 A 、B 、C'为事件A 、B 、C,设正三角形的面 一， …… ______ …____ 工_ ____ ______ 1积为S,则三个小三角形的面积(也就是区域A 、B 、C 的面积)都是正三角形面积的 -,3 S即每个小三角形的面积都是 S,所以，P(A)=P(B)=P(C)=小正，形— 1.3正三角形的面积S 3在靶子2中分别记 飞镖投到区域 A 、B 、C'为事件A 1、B 1、C 1,设圆的面积为 S 1,则 区域A 的面积为—,区域B 、C 的面积为—,因此，P(A 1)= — , P(B 1)=p(C 1)=—.(2)记事件D 为 在靶子1中，分别投中区域 A 或B”,利于I 艳于2⑶记事件 E 为“在靶子2中，飞镖没有投中区域C”，则有 —区域A 与B 的面积之和 P （E）= 圆的面积点评：在本题的飞镖的投掷中，因为是随机投掷，且没有脱靶，因此，符合几何概型的 特点，所以用几何概型来计算有关的概率.在本题中的 测度”是面积.例3如图，正方形 ABCD 内接于半圆，现向半圆内随机投一点，求该点落在正方形内 的概率.分析：由于点是随机投入半圆中， 因此，符合几何概型的特点， 考虑用几何概型的概率计算方法来求解.解：设半圆的半径为 R,正方形ABCD 的边长为x,由平面几何知识可知：x 2=（R — 1）（R+ "得 x 2= 4 R 2.2 2 5记该点 落入正方形内 ”为事件 A ,则 P （A 尸 正’）”^秋 半圆的面积点评：根据实际问题的背景，本题符合几何概型的特点，本题的 测度”是面积.例4某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车 时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0〜60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的 ，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率 .可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站 等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关 ，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件.解：记事件A “等待的时间不多于10分钟”我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻 位于［50,60］这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P （A 尸60 501 ,即此人等6061车时间不多于10分钟的概率为 -6点评：在本题中，到站等车的时刻 X 是随机的，可以是 0到60之间的任何一刻，并且 是等可能的，因此符合几何概型的特点，所以用几何概型概率的计算方法来求解^知能训练1 .在500 mL 的水中有一个草履虫， 现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察， 则发 现草履虫的概率是（）A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定2xR 2 28——〜0.51.2.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率3 .某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图） ，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的 区域，顾客就可以获得 100元、50元、20元的购物券（转盘等分成 20份）.甲顾客购物120 元，他获得购物券的概率是多少？他得到 100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？4 .（丈夫与妻子相遇问题）一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在下午 4: 00到5: 00之间在某一街角相会，他们约好当其中一个先到后一定要等另一人15分钟.若另一人仍不到则离去.试问这对夫妇能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机 的且都在约定的一小时之内.解答：1 .C （提示：由于取水样的随机性，所求事件 A:在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2500=0.004）2 .把硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件 A,为了确定硬币的位置，由硬币中 心O 向靠得最近的平行线引垂线 OM ,垂足为M ,如图所示，这样线段OM 长度（记作OM ）的取值范围就是[o,a],只有当rvO 阵a 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率(r,a ］的长度 a r就是P (A) = J----［0,a ］的长度 a3 .甲顾客购物的钱数在 100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共 等分了 20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，这符合几何概型的条件，因此对于顾客 来说：…j , 1 2 4 7 P （获得购物券）= -------- ---- ；20201P （获得100兀购物券）=一；20P （获得50元购物券）=— 20 …一 /,， 4P （获得20兀购物券）=—— 20 4 .设x 和y 为下午4: 00以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间（以分钟计数），则他们所有可能的到达时间都可由有序数对（ x, v ）来表示，这里0vxv60, 0vy<60,基本 事件组所对110；1.应的几何区域即为边长为60的正方形区域（如下图），为使得两夫妇相遇，他们的到达时间必须在相距15分钟的间隔之内，用数学符号表示即为绝对值不等式| x-y |v 15(例如当妻子比丈夫晚到14分钟时，他们是可以相遇的，这时，只需注意到x-y=— 14, 即给出|x-y|=14,不等式满足)，而基本事件组所对应的几何区域中| x-y | < 15的图形构成事件r 发生的区域，事件r的阴影部分和R的区域如图所示.因此2 2602 45 45"2一一2- 3600 2025 1575 7P(r尸------ 22~~- ----------------- ———.602 3600 3600 16点评：依据实际问题，建立相应的数学模型，将问题转化为几何概型问题是关键所在课堂小结通过这几节课的学习，已经有三种方法来求随机事件发生的概率了.这三种方法分别是一、通过做试验的方法得到随机事件发生的频率，以此来近似估计随机事件的概率；二、用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率；三、用几何概型的公式来计算随机事件发生的概率用古典概型的公式或几何概型的公式来计算事件发生的概率时，首先应该判断该试验是否符合古典概型或几何概型的特征，然后再解题^具体地说，如果一个试验满足：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用古典概型的公式来计算事件发生的概率 .如果一个试验满足：(1)试验中所有可能出现的基本事件有无数个；(2)每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用几何概型的公式来计算事件发生的概率 .第一种方法通过做试验的方法得到事件发生的频率，以此来近似估计概率.这种方法对计算任何随机事件发生的概率的题型都适用.但是，这种方法求出来的是随机事件发生的频率，而不是概率，只是用频率来估计概率.几何概型(1)设线段l是线段L的一部分，向L上任意投一点，若投中线段l上的点的数目与该段的长度成比例，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点投中线段l的概率为l的长度p= ------- •L的长度'(2)设平面图形s是平面图形S的一部分，向图形S上任意投一点，若投中图形s上的数目与该图形的面积成比例，而与图形s在图形S上的相对位置无关，则点投中图形s的概率为s 的长度(3)设空间几何体v 是空间几何体 V 的一部分，向几何体V 上任意投一点，若投中几 何体v 上的数目与该几何体的体积成比例，而与几何体v 在几彳S]■体V 上的相对位置无关， 则点投中几何体v 的概率为v 的长度P= ----- :-.V 的长度作业课本习题 3.3 1、2、3.设计感想由于几何概型是在学习了古典概型之后， 将等可能事件的概念从有限向无限的延伸， 因 此，在引出几何概型之后， 将几何概型的特点与古典概型的特点进行比较，总结它们的相同 地方和不同的地方.两者都是等可能事件，所不同的是，古典概型的基本事件的个数是有限 的，而几何概型的基本事件的个数是无限的，两者的区别必须讲清楚.另外，在几何概型的 概率计算公式中的 测度”，可以是线段的长度，图形的面积，几何体的体积等等，还有一些 是可以转化为上述量的具体问题，要会转化 .(设计者：王国冲) P= S 的长度。

观察下面两个试验：(1)早上乘公交车去上学，公交车到站的时间可能是7：00至7：10分之间的任何一个时刻． (2)“神七”返回大陆时着陆场为方圆200 km 2的区域，而主着陆场为方圆120 km 2的区域，飞船在着陆场的任何一个地方着陆的可能性是均等的．问题1：上述两个试验中的基本事件的结果有多少个？ 提示：无限个．问题2：每个试验结果出现的可能机会均等吗？ 提示：是均等的．问题3：上述两试验属古典概型吗？提示：不属于古典概型，因为试验结果是无限个． 问题4：能否求两试验发生的概率？ 提示：可以求出．1．几何概型的定义对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2．几何概型的计算公式在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度．这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．1．在几何概型中，“等可能”应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关．2．判断一试验是否是几何概型的关键是看是否具备两个特征：无限性和等可能性．[例1] 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长大于AC 的长的概率．[思路点拨] 在AB 上截取AC ′＝AC ，结合图形分析适合条件的区域可求概率．[精解详析] 设AC ＝BC ＝a ， 则AB ＝2a ，在AB 上截取AC ′＝AC ， 于是P (AM >AC )＝P (AM >AC ′) ＝BC ′AB ＝AB －AC AB ＝2a －a 2a＝2－22. 即AM 的长大于AC 的长的概率为2－22.[一点通]在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中确认边界是问题的关键．1．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为________． 解析：P ＝3－1.53－1＝0.75.答案：0.752．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，在区间[12，2]上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x 0∈[12，2]，∴x 0∈[1，2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23. 答案：23[例2] (湖南高考改编)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内， 用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________．[思路点拨] 可判断为几何概型，利用面积比求其概率．[精解详析] 圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π， 则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.[答案]2π[一点通]解决此类问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形．利用图形的几何特征计算相关面积．3．射箭比赛的箭靶是涂有彩色的五个圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径为122 cm, 靶心直径为12.2 cm ，运动员在70 m 外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为________．解析：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14π×12.2214π×1222＝0.01. 答案：0.014．如图，平面上一长12 cm ，宽10 cm 的矩形ABCD 内有一半径为1 cm 的圆O (圆心O 在矩形对角线交点处)．把一枚半径为1 cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，求硬币不与圆O 相碰的概率．解：由题意可知：只有硬币中心投在阴影部分(区域d )时才符合要求，所以不与圆相碰的概率为8×10－π×2280＝1－π20.[例3] (12分)用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．[思路点拨] 先判断概型为几何概型后利用体积比计算概率．[精解详析] 设“砂粒距离球心不小于1 cm ”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生，即OM ≥1 cm.(3分)设R ＝3，r ＝1，则区域D 的体积为V ＝43πR3(5分)区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.(7分)∴P (A )＝V 1V ＝1－(r R )3＝1－127＝2627.(10分)故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627.(12分)[一点通]如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________．解析：记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A ，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故区域d 为棱长为10的正方体，P (A )＝103303＝127.答案：1276．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M- ABCD 的体积小于16的概率为________．解析：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则V M-ABCD ＝13S 底ABCD ·h ＝16，S 底ABCD ＝1，∴h ＝12.∴只要点M 到平面ABCD 的距离小于12.所有满足点M 到平面ABCD 的距离小于12的点组成以ABCD 为底面，高为h (h ＜12)的长方体，又正方体棱长为1.∴使棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率P ＝121＝12.答案：12利用几何概型计算事件概率分以下几步：(1)判断是否为几何概型，此步关键是把事件看成一次试验，然后看试验是否是等可能试验，并且试验次数是否是无限的.(2)计算基本事件与事件A 所含的基本事件对应的区域的测度(长度、面积或体积)． (3)利用概率公式计算．课下能力提升(十七)一、填空题1．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ________． 解析：[－1，2]的长度为3，[0，1]的长度为1，所以概率是13.答案：132．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．解析：由题意，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π cm 2，故所求概率为77π81π＝7781. 答案：77813.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83. 答案：834．一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析：边长为3，4，5三边构成直角三角形，P ＝（3－1－1）＋（4－1－1）＋（5－1－1）3＋4＋5＝612＝12. 答案：125.如图，在平面直角坐标系中，∠xOT ＝60°，以O 为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT 内的概率是________．解析：以O 为起点作射线，设为OA ，则射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．记“射线OA 落在锐角∠xOT 内”为事件A ，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P (A )＝60360＝16. 答案：16二、解答题6．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，求劣弧AB ︵的长度小于1的概率．解：如图，圆周上使AM ︵的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1AM 2︵的长度为2，B 点落在优弧M 1AM 2︵上就能使劣弧AB ︵的长度小于1，所以劣弧AB ︵的长度小于1的概率为23.7．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 距离大于1的概率．解：区域D 的体积V ＝π×12×2＝2π，当P 到点O 的距离小于1时，点P 落在以O 为球心，1为半径的半球内，所以满足P 到O 距离大于1的点P 所在区域d 的体积为V 1＝V －V 半球＝2π－23π＝43π.所求的概率为V 1V ＝23.8．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率．解：设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23.两人到达约见地点所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：S阴影S单位正方形＝1－（13）212＝89.P＝。

苏教版高中数学三教案：3姜堰市蒋垛中学李凤英教学目标：1．了解几何概型的差不多概念、特点和意义；2．了解测度的简单含义；3．了解几何概型的概率运算公式；4．能运用其解决一些简单的几何概型的概率运算问题．教学重点：测度的简单含义，即：线的测度确实是其长度，平面图形的测度确实是其面积，立体图形的测度确实是其体积等．教学难点：如何确定事件的测度（是长度依旧面积、体积等）．[来源:1ZXXK]教学方法：谈话、启发式．教学过程：一、知识回忆1．复习与长度有关的几何概型．有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段不小于3米的概率有多大？二、学生活动从每一个位置剪断差不多上一个差不多事件,差不多事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.三、建构数学古典概型与几何概型的对比.相同：两者差不多事件的发生差不多上等可能的；不同：古典概型要求差不多事件有有限个，几何概型要求差不多事件有无限多个.2.几何概型的概率公式.四、数学运用1．例题.与面积(或体积)有关的几何概型例1 在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?解：取出10mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 变式训练：1.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm 的小 圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在正方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1元钱.试问：[来源:学|科|网Z|X|X |K]（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内,因此概率为.8132979222=- 探究提高：几何概型的概率运算公式中的“测度”,既包含本例中的面积,也能够包含线段的长度、体积等,而且那个“测度”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.与角度有关的几何概型例2 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．解：在AB 上截取AC ′＝AC ， 故AM ＜AC 的概率等于AM ＜AC ′的概率．记事件A 为“AM 小于AC ”，答：AM ＜AC 的概率等于22． AC M C ’摸索：在等腰直角三角形ABC 中，过点C 在∠C 内作射线CM ，交A B 于M ，求AM 小于AC 的概率．[来源:Z*xx*k ] 现在的测度是作角是平均的，就成了角的比较了． P （A ）＝43283'==∠∠ππACB ACC D d 例3 课本的例4．[来源:学&科&网Z&X&X&K]可化为几何概型的概率问题例4 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去. 求两人能会面的概率.思维启发：在平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达 约会地点的时刻,y 轴表示乙到达约会地点的时刻,用0分到60分表示6时到7时的时刻段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时刻段内到达的时刻.而能会面的时刻由|x －y|≤15所对应的图中阴影部分表示.以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时刻,则两人能够会面的充要条件是|x －y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x ，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：因此，两人能会面的概率是.167 2．练习.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.（1）假如甲船和乙船的停泊时刻差不多上4小时,求它们中 的任何一条船不需要等待码头空出的概率；（2）假如甲船的停泊时刻为4小时,乙船的停泊时刻为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.解 (1)设甲、乙两船到达时刻分别为x ，y,则0≤x ＜24，0≤y ＜24且y －x ≥4或y －x ≤－4. AC B M C’作出区域⎪⎩⎪⎨⎧-<->-<≤<≤44,240,240x y x y y x 或设“两船无需等待码头空出”为事件A,（2）当甲船的停泊时刻为4小时，乙船的停泊时刻为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x －y ≥2或y －x ≥4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域 .2882215764422424222221202021)(.24,240,240==⨯⨯⨯+⨯⨯=⎪⎩⎪⎨⎧>->-<≤<≤B P y x x y y x 或[来源:学#科#网Z#X#X#K]五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1．适当选择观看角度，把问题转化为几何概型求解；2．把差不多事件转化为与之对应的区域D ；3．把随机事件A 转化为与之对应的区域d ；4．利用几何概型概率公式运算．。

2019-2020年高中数学 7.3.3《几何概型3》教案 苏教版必修3学习要求1、增强几何概型在解决实际问题中的应用意识．2、将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．【课堂互动】自学评价1.几何概型的概率：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率．2.与几何概型有关的实际问题：长度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。

【精典范例】例1 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？【分析】病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．【解】取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则101()1000100P A ===取出的种子体积所有种子的体积 答：所求概率为．例2 如图，，，，在线段上任取一点，试求：（１）为钝角三角形的概率；（２）为锐角三角形的概率．【解】如图，由平面几何知识：当时，；当时，，．（１）当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形 记＂为钝角三角形＂为事件，则11()0.45OD EB P M OB ++=== 即为钝角三角形的概率为．（２）当且仅当点在线段上时，为锐角三角，记＂为锐角三角＂为事件，则即为锐角三角形的概率为．例3 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.【解】例4 利用随机模拟方法计算曲线，，和所围成的图形的面积．【分析】在直角坐标系中画出正方形（，，，所围成的部分），用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值．【解】（１）利用计算器或计算机产生两组到区间上的随机数，，；（２）进行平移变换：；（其中分别为随机点的横坐标和纵坐标）（３）数出落在阴影内的点数，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如，做次试验，即，模拟得到，所以，即．【说明】模拟计算的步骤：（１）构造图形（作图）；（２）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率；（３）利用算出相应的量．追踪训练1、如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为 （ A ）． ．． ．2、在区间中任意取一个数，则它与2之和大于的概率是_____1/5___________3、两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m 的概率．解：记“灯与两端距离都大于2m ”为事件A ，则．E D OAC第8课时7.3.3 几何概型(3)分层训练1、如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）．．．．2、现有的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（）．．．．3、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨至6：00和下午4：30至5：30，则该船在一昼夜内可以进港的概率是__________4、一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（）A. B. C. D.5、若过正三角形的顶点任作一条直线，则与线段相交的概率为_______拓展延伸6、往一边长为6厘米的正方形桌面上随机地扔一半径为1厘米的质地均匀的小圆片,求圆片在桌面上与桌面四周无交点的概率.7、从(0,1)中随机地取两个数,求两数平方和小于的概率.温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

几何概型教案设计（防城港市实验高级中学上官雪华）一、教学目标1、知识与技能：①体会几何概型的意义；②了解几何概型的特点和概率计算公式。

2、过程与方法：①让学生感受生活中的数学，通过对几个实例的探究，让学生经历概念数学化的过程；②以问题为载体，让学生参与并成为探索问题的主体，让学生在讨论中明知，在辩论中解惑，在思考中提升。

3、情感态度价值观：体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。

二、教学重点、难点1、重点：掌握几何概型的判断及其概率的计算公式。

2、难点：①理解几何概型的特征，把实际问题转化为用几何概型解决的概率问题（建模）。

②不同测度几何概型问题，在概率公式应用上把握几何概型的区域和测度。

三、教学课时与手段1、教学课时：1课时2、教学手段：多媒体教学四、教学基本流程复习引入→问题猜想→概念形成→对比迁移→思维拓展→课堂小结→知识应用→挑战高考→分层作业五、教学过程一、知识回顾古典概型：1、特点2、计算公式复习题：在区间[0，10]上任意取一个整数，则不大于3的概率为：二、问题猜想探究一：剪彩剪出的数学问题为庆祝防城港市天和百货的正式建成，商家进行了隆重的剪彩仪式，一根长为30cm的彩带，拉直后在任意位置剪断，记“只剪一次，剪得两段的长不小于10cm”为事件A，那么事件A的概率是多少？（提示：可将彩带平均分为三段，找出符合题中的区域）问题1：试验中任意位置剪断彩带会有多少种情况发生？（无限性）问题2：这些情况的发生是等可能的吗？（等可能性）问题3：如何去计算事件A的概率？强调：（等可能性无限性成比例）探究二：飞镖掷出的数学问题某飞镖盘由两个半径分别为5cm和10cm的同心圆组成，现向圆盘投掷飞镖，假设飞镖都能射中圆盘，且射中圆盘上每一个点都是等可能的，记“射中红色区域”为事件A，那么事件A的概率是多少？（强调：等可能性无限性成比例）探究三：取水取出的数学问题有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出升，记“小杯水中含有这个微生物”为事件A，那么事件A的概率是多少？（强调：等可能性无限性成比例）三、概念形成从三个探究的过程，思考以下问题：1、从基本事件的角度出发，这类概率问题的特点是什么？【等可能性、无限性】2、以上两个事件中，事件A的概率与构成事件A的区域长度（面积）有何关系？【成比例】3、这类概率问题的计算方法是什么？【归纳三个测度】师生互动过程：教师组织学生讨论，然后给出结论。