初中三角函数知识点总结及典型习题(含答案)

初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、 正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小7、 正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的 边和角。

依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。

（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。

用字母i 表示，即i y 。

坡度一 般写成1: m 的形式，如i 1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作 （叫做坡角），那么h + i tan 。

l3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向）， 南 偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。

铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、 如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东 保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面 米高。

锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b的平方和等于斜边 c 的平方。

a 2b2 c 22、以以下图，在Rt△ABC中，∠ C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正A的对边sin A a0 sin A1sin A cosBsin Ac(∠A 为锐角 )弦斜边cos A sin B余A的邻边cos A b0 cos A1sin2A cos2A1cos Ac弦斜边(∠A 为锐角 )正的对边a tan A0tan A cot Btan A A tan Acot A tan B切A的邻边b(∠A 为锐角 )1tan A(倒数 )余A的邻边cot A b cot A0cot Acot AA的对边a(∠A 为锐角 )tan A cot A1切3、随意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；随意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

sin A cosB由 A B90sin A cos(90A)B 对cos A sin B得 B90A cos A sin(90A)斜边c a 边AbC邻边4、随意锐角的正切值等于它的余角的余切值；随意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

tan A cot B由 A B90tan A cot(90 A)cot A tan B得 B90A cot A tan(90A)5、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特别角的三角函数值(重要 )三角函数0°30°45°60°90°sin01231 222cos13210 222tan0313-3cot-313036、正弦、余弦的增减性：当 0°≤≤ 90°时， sin随的增大而增大， cos随的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当 0°< <90°时， tan随的增大而增大， cot随的增大而减小。

三角函数知识点及典型例题三角函数知识点及典型例题§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}|360,S k k Z ββα==+?∈.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α.3、弧长公式： R4、扇形面积公式： S=21 lr=21αr 2.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）_______sin r y =α，________cos rx=α，_____tan x y =α.3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法. 4、诱导公式一：()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+kk k （Z k ∈）5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：22sin cos 1αα+=.2、商数关系：sin tan cos ααα=. §1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=-3、诱导公式四：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=-4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=??-=-5、诱导公式六：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ-=??+=+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.§1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象1、能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=?ωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、对于函数：()()0,0sin >>++=ω?ωA b x A y 有：振幅A ，周期ωπ2=T ，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==f .第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ . tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=-二倍角的正弦、余弦、正切公式1、_cos sin 2_2sin ααα=，变形：cos α=ααsin 22sin .2、22cos2cossin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-变形1：21cos 2cos 2αα+=，变形2：21cos 2sin 2αα-=. 3、22tan tan 21tan ααα=- 1、注意正切化弦、平方降次. 解三角形 1、正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === 2、余弦定理a A bc c b cos 222-+=变形 cosA=bca cb 2222-+b B ac c a cos 2222-+=变形 cosB=acb c a 2222-+c C ab b a cos 2222-+=变形cosC=abc b a 2222-+3、三角形面积公式： S =21absinC=21bcsinA=21acsinB 课本题(必修4)1.（P 11 习题13）若扇形的周长为定值l ，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？22.（P 23 练习4）已知sin （4π-x ）=-51，且0<x<="">623.（ P 24 习题9(2)）设tan α=-21，计算αααα22cos 2cos sin sin 1--。

三角函数的定义专题关键词： 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标： 理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系☆ 对角的概念的理解：（1）无界性 R ∈α 或 ),(+∞-∞ （2）周期性（3）终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Zπαπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Zπα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

（答：Zk k ∈+,32ππ）☆ 角与角的位置关系的判断 （1） 终边相同的角 （2） 对称关系的角（3） 满足一些常见关系式的两角例如：若α是第二象限角，则2α是第_____象限角 ：一、三）☆ 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.例如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ）☆ 三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。

但既有联系，又有区别。

定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。

锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)(倒数)余切(∠A为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数0°30°45°60°90°011001--106、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。

8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：；②角的关系：A B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。

用字母表示，即。

坡度一般写成的形式，如等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

初中三角函数知识点总结及典型习题初中三角函数知识点总结及典型习题一、角度和弧度制1. 角度制：以度（°）作为单位来度量角的大小，一周为360°，一个直角为90°。

2. 弧度制：以弧长等于半径长度的圆心角为一弧度（rad），一周为2π rad，一个直角为π/2 rad。

二、常用三角函数1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值为对边与斜边的比值。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值为邻边与斜边的比值。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值为对边与邻边的比值。

三、三角函数的周期性1. 正弦函数与余弦函数的周期均为2π。

2. 正切函数的周期为π。

四、三角函数的基本性质1. 正弦函数和余弦函数的值域为[-1,1]，在[-π/2,π/2]内单调递增。

2. 正切函数的值域为(-∞,∞)，在每个周期内交替上升和下降。

3. 正弦函数与余弦函数的图像为波形，以坐标原点为对称中心。

4. 正切函数的图像为周期为π的波形。

五、三角函数的正负关系1. 在第一象限，正弦函数、余弦函数和正切函数均为正。

2. 在第二象限，正弦函数为正，余弦函数和正切函数为负。

3. 在第三象限，正弦函数和正切函数为负，余弦函数为正。

4. 在第四象限，正弦函数为负，余弦函数和正切函数为正。

六、三角函数的基本公式1. 正弦函数的基本公式：sin(α±β) = sinαcosβ± cosαsinβ2. 余弦函数的基本公式：cos(α±β) = cosαcosβ∓ sinαsinβ3. 正切函数的基本公式：tan(α±β) = (tanα± tanβ) / (1∓tanαtanβ)七、三角函数之间的倒数关系1. 正弦函数与余弦函数的关系：sin(π/2-θ) = cosθ，cos(π/2-θ) = sinθ2. 正弦函数与正切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ3. 余弦函数与正切函数的关系：tan(π/2-θ) = 1 / tanθ，cot(π/2-θ) = 1 / cotθ八、特殊角的三角函数值1. 30°的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为1/√3。

三角函数知识点1.①与α （ 0o < a < 360° ）终边一样的角的集合（角 {夕 ∣∕ = Aχ360°+αM ∈z}②终边在X 轴上的角的集合：M∕ = -180°M∈Z } ③终边在y 轴上的角的集合：{夕∕ = "180°+90F ∈z} ④终边在坐标轴上的角的集合：∖β∖β = k×90∖kez} ⑤终边在尸轴上的角的集合：物IP = ZXI800+45°∕ ∈z} ⑥终边在y = -x 轴上的角的集合：MIP = AXI800-45Fez}⑦假设角α与角夕的终边关于X 轴对称，那么角α与角耳的关系：α = 360*-夕 ⑧假设角α与角夕的终边关于y 轴对称，那么角α与角力的关系：α = 3602 + 180°-夕 ⑨假设角α与角夕的终边在一条直线上，那么角α与角夕的关系：α = 180Z +/⑩角。

与角夕的终边互相垂直，那么角α与角〃的关系：α = 360Z +尸土90° 2.角度与弧度的互换关系：360O=2Λ- 180O=Λ- 1O=0.01745 1=57.30O=57O18,注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.弧度与角度互换公式：Irad=竺2°=57° 18' I 0 =，_»0.01745 (rad)π1803、弧长公式：/=|a1r. 扇形面积公式：S 扇形=g∕r = ；IaI •产4、三角函数：设a 是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x, y ） P 与原点的距离为r,那么sina= ~ » CoSa = Mtana =2； cota=-irrXyr ∙ r SeCa =―，・ csca = •X y5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM; 正切线：AT.7.三角函数的定义域:a 与角力的终边重合）： SMCoS1.角函数俵大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限•半所在区域8、同角三角函数的根本关系式：包3 = tanα* CoSa SinaIana COta = I CSCa sina = I seca∙cosa = Isin2 a+ cos2a = 1 sec2 a-tan2a -1 csc2 a-cot2a = I任意角1.以下命题中正确的选项是()A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角S=a +左∙360° ( λr∈Z),那么a与f终边一样2.终边落在X轴上的角的集合是( )A. ｛ a I a =k ∙ 360° ,K∈Z ｝B. ｛ a ∣ a=(2k+l)・ 180° ,K∈Z )C. ｛ a I a =k ∙ 180° , K∈Z ｝D. ｛ a ∣a =k ∙ 180o +90o , K∈Z ｝3.角a =45°+ k∙ 180o , A ∈ Z 的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限4.设A = ｛小于90"的角｝, 5 = ｛锐角｝，C=｛第一象限的角｝,。

三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。

余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。

正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。

二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。

2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。

3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。

4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。

余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。

正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。

三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。

解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。

设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。

解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。

锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方; 222c b a =+2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为∠A 可换成∠B ：定 义表达式取值范围关 系正弦斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A∠A 为锐角B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A∠A 为锐角正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A∠A 为锐角B A cot tan =B A tan cot =AA cot 1tan =倒数 1cot tan =⋅A A余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot a bA =cot 0cot >A∠A 为锐角3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值;4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值;5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值重要三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan 0 33 1 3 不存在αcot不存在3133 0)90cot(tan A A -︒=)90tan(cot A A -︒= B A cot tan =B A tan cot =)90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒= BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边 邻斜边 ABba c A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中,,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．已知：如图,⊙O 的半径OA ＝16cm,OC ⊥AB 于C 点,⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中,OC ⊥AB 于C 点,AB ＝16cm,⋅=∠53sin AOC1求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； 2求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4.已知A ∠是锐角,178sin =A ,求A cos ,A tan 的值类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°．D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =,10BC =,则tan EFC ∠的值为 Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．453. 如图6,在等腰直角三角形ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 为AC 上一点,若1tan 5DBA ∠= ,则AD 的长为 A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.A D E CB FA类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 2012•安徽如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB 的长．例2．已知：如图,△ABC 中,AC ＝12cm,AB ＝16cm,⋅=31sin A 1求AB 边上的高CD ； 2求△ABC 的面积S ； 3求tan B ．例3．已知：如图,在△ABC 中,∠BAC ＝120°,AB ＝10,AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练1．2012•重庆如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是等边三角形．若AB=2,求△ABC 的周长．结果保留根号2．已知：如图,△ABC 中,AB ＝9,BC ＝6,△ABC 的面积等于9,求sin B ．类型四：利用网格构造直角三角形例1 2012•内江如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为 A ．12 B ．55 C ．1010 D ．255对应练习：1．如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.特殊角的三角函数值例1．求下列各式的值CBA︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+2π－10－33tan30°－tan45°=30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=在ABC ∆中,若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ,B A ∠∠，都是锐角,求C ∠的度数.例2．求适合下列条件的锐角α ． 121cos =α 233tan =α 3222sin =α433)16cos(6=- α5已知α 为锐角,且3)30tan(0=+α,求αtan 的值6在ABC ∆中,若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ,B A ∠∠，都是锐角,求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角,且sin A <21,那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角,且030sin cos <A ,则A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB 于E ,BE ＝16cm,⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,3==BC AC ,作∠DAC ＝30°,AD 交CB 于D 点,求：1∠BAD ；2sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中,D 为BC 中点,且∠BAD ＝90°,31tan =∠B ,求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下如图所示： 在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝b ,BC ＝a ,AB ＝c ,①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段如图所示．在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中,∠C ＝90°．1已知：a ＝35,235=c ,求∠A 、∠B ,b ；2已知：32=a ,2=b ,求∠A 、∠B ,c ；3已知：32sin =A ,6=c ,求a 、b ；4已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；5已知：∠A ＝60°,△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图,△ABC 中,∠A ＝30°,∠B ＝60°,AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图,Rt △ABC 中,∠D ＝90°,∠B ＝45°,∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．例4．已知：如图,△ABC 中,∠A ＝30°,∠B ＝135°,AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：例1．2012•福州如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B 在同一直线上,则AB 两点的距离是 A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100米例2．已知：如图,在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°,∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ,求点B 到地面的垂直距离BC ．例3昌平19.如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°, 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°,求风力发电装置的高AB 的长．例4 .如图,小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为1.7米,求这棵树的高度.例5．已知：如图,河旁有一座小山,从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°,又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ,求山的高度及缆绳AC 的长答案可带根号．例5．2012•泰安如图,为测量某物体AB 的高度,在D 点测得A 点的仰角为30°,朝物体AB 方向前进20米,到达点C,再次测得点A 的仰角为60°,则物体AB 的高度为 A ． 10米 B ． 10米 C ． 20米D ． 米例6．2012•益阳超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离AC 为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC=75°．A BCD E1求B 、C 两点的距离；2请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒类型四. 坡度与坡角例．2012•广安如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3,堤坝高BC=50m,则应水坡面AB 的长度是 A ．100m B ．1003m C ．150m D ．503m类型五. 方位角1．已知：如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B 处,测得灯塔M 在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M 之间的最短距离是多少 精确到0.1海里,732.13≈综合题：三角函数与四边形：西城二模1．如图,四边形ABCD 中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2, tan∠BDC= 错误!．1 求BD 的长；2 求AD 的长．2011东一2．如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F ． 1求证：∠BAE =∠DAF ； 2若AE =4,AF =245,3sin 5BAE ∠=,求CF 的长．三角函数与圆：1． 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为 D CB AOyx第8题图CB AA ．12 BC ．35D ．45延庆19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C(2) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径;2013朝阳期末21.如图,DE 是⊙O 的直径,CE 与⊙O 相切,E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B,在EC 上取一个点F,使EF=BF.1求证:BF 是⊙O 的切线; 2若54C cos =, DE =9,求BF 的长．作业：昌平1．已知21sin =A ,则锐角A 的度数是 A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒西城北2．在Rt △ABC 中,∠ C ＝90°,若BC ＝1,AB则tan A 的值为ABC ．12D ．2 房山3．在△ABC 中,∠C =90°,sin A=53,那么tan A 的值等于 .A ．35B . 45C . 34D . 43大兴4. 若sin α=32,则锐角α＝ . 石景山1．如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,BC ＝3,AC =2, 则tan B 的值是A ．23 B ．32CD丰台5．将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tan α的值是 A ．21 B ．2 C ．25 D ．552 大兴5. △ABC 在正方形网格纸中的位置如图所示,则sin α的值是AαA.35B.34C.43D.45通县4．如图,在直角三角形ABC 中,斜边AB 的长为m ,40B ∠=,则直角边BC 的长是 A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m通州期末1．如图,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M , 且OM : OP =4 : 5,则cos α的值等于 A ．34 B ．43 C ．45D ．35西城6．如图,AB 为⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,若OB 长为10, 3cos 5BOD ∠=, 则AB 的长是 A . 20 B. 16 C. 12 D. 87.在Rt △ABC 中,∠C=90°,如果cosA=54,那么tanA 的值是 A ．53 B ．35 C ．43 D ．3411．如图,在△ABC 中,∠ACB =∠ADC= 90°,若sin A =35,则cos ∠BCD 的值为 ．13.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 13．计算︒+︒-︒-︒45tan 30tan 345cos 260sin 2.1322604cos 30+sin 45tan 60-⋅．14.如图,小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为1.7米,求这棵树的高度.15．已知在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,a=64,b=212.解这个直角三角形DCBAA BCD E第1题图O M PBAα20. 如图,在Rt △ABC 中,∠CAB =90°,AD 是∠CAB 的平分线,tan B =21,求CDBD的值．延庆19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径,CB是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (3) 求证：∠AOD=2∠C (4) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径;延庆期末19．如图,某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为30︒,荷塘另一端D 处C 、B 在 同一条直线上,已知32AC =米,16CD =米, 求荷塘宽BD 为多少米 结果保留根号18.6分如图,在△ABC 中,点O 在AB 上,以O 为圆心的圆经过A ,C 两点,交AB 于点D ,已知2∠A +∠B =90︒． 1求证：BC 是⊙O 的切线； 2若OA =6,BC =8,求BD 的长．西城15．如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,点D 在AC 边上．若DB =6,AD =12CD ,sin ∠CBD =23,求AD 的长和tan A 的值．18．如图,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的A 处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处. 1B 处距离灯塔P 有多远2圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上,距离灯塔200海里的O 处．径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B DBOACABCDD 第18题图OCBA危险,并说明理由22．已知,如图,在△ADC 中,90ADC ∠=︒,以DC 为直径作半圆O ,交边AC 于点F ,点B 在CD 的延长线上,连接BF ,交AD 于点E ,2BED C ∠=∠．1求证：BF 是O 的切线；2若BF FC =,3AE =,求O 的半径．15．如图,为了测量楼AB 的高度,小明在点C 处测得楼AB 的顶端A 的仰角为30º,又向前走了20米后到达点D ,点B 、D 、C 在同一条直线上,并在点D 测得楼AB 的顶端A 的仰角为60º,求楼AB 的高．14.2009·眉山中考海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向,2小时后船行驶到C 处,发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B 到C 处的距离;15.2009·常德中考如图,某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ,向前走200米来到山脚A 处,测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5,求山的高度不计测角仪的高度,3 1.73≈,结果保留整数．16.2008·广安中考如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º,已知原滑滑板AB的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上．1改善后滑滑板会加长多少 精确到0.01D O AC B FE2若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行 说明理由;参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449===18. 在一次数学活动课上,海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽,如图13所示,某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ,测得C 在A 北偏西31︒的方向上,沿河岸向北前行20米到达B 处,测得C 在B 北偏西45︒的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度．参考数值：tan31°≈53,sin31°≈21 ．图13。

初中三角函数知识点题型总结+课后练习Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

45 锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC求：AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．C4.已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．453. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2 B ．2 C ．1D ．224. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 （2012?安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练1．（2012?重庆）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 类型四：利用网格构造直角三角形例1 （2012?内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．12B ．55C ．1010D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.特殊角的三角函数值AC例1．求下列各式的值︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°=30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数. 例2．求适合下列条件的锐角??．(1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α（5）已知??为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值 （6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数. 例3. 三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A < 21，那么∠A 的取值范围是A. 0°< A < 30°B. 30°< A ＜60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ． 解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． 类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ； (5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：例1．（2012?福州）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ． 200米B ． 200米C ． 220米D ． 100（）米 例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ． 例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ．从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为米，求这棵树的高度.例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．例5．（2012?泰安）如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ． 10米B ． 10米C ． 20米D ． 米例6．（2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈，cos75°≈，tan75°≈，3≈，60千米/小时≈米/秒） 类型四. 坡度与坡角例．（2012?广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到海里，732.13≈)综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC=63． (1) 求BD 的长； (2) 求AD 的长．（2011东一）2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A ，AF ⊥CD 于点F ．AB CD ECB A（1）求证：∠BAE =∠DAF ； （2）若AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．三角函数与圆：1． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．35D ．45（延庆）19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,(1)求证：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。

锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 C A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b的平方和等于斜边 c 的平方。

a 2b2 c 22、如下图，在Rt △ABC中，∠ C为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：定义表达式取值范围关系正sin A A的对边sin Aa 0 sin A 1 sin A cosB弦斜边c( ∠ A 为锐角 )cos A sin B余cos A A的邻边cos A b 0 cos A 1 sin 2 A cos2 A 1 弦斜边 c ( ∠ A 为锐角 )正的对边a tan A 0 tan A cot Btan A A tan A cot A tan B切A的邻边 b ( ∠ A 为锐角 )1tan A ( 倒数 )余cot A A的邻边cot Ab cot A 0 cot Atan A cot A 1切A的对边 a ( ∠ A 为锐角 )3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B sin A cosB 由 A B 90 sin A cos(90 A)对cos A sin B 得 B 90 A cos A sin(90 A) 斜边 c a边bA C邻边4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

tan A cot B 由 A B 90 tan A cot(90 A)cot A tan B 得 B 90 A cot A tan(90 A)5、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值( 重要 )三角函数0°30°45°60°90°sin 0 1 2 312 2 2cos 1 3 2 1 02 2 2tan 0 3 1 3 -3cot - 3 1 3 036、正弦、余弦的增减性：当 0°≤≤ 90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。

xx 。

]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________． 【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二 ：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ． 在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ． 答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。