2020-2021高三数学上期末试题含答案
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2020-2021高三数学上期末试卷(含答案)(1)一、选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,若对任意*N n ∈,都有()143n p S n ≤-≤成立,则实数p 的取值范围是( )A .()2,3B .[]2,3C .92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅,则数列{}n a 的前20项的和为( ) A .100 B .-100C .-110D .1103.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形C .等腰三角形D .等腰三角形或直角三角形 4.已知在中,,,分别为角,,的对边,为最小角,且,,,则的面积等于( ) A .B .C .D .5.已知x ,y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,z =2x +y 的最大值为m ,若正数a ,b 满足a +b =m ,则14a b+的最小值为( ) A .3B .32C .2D .526.设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为( )A .2B .3C .4D .97.已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是( ) A .[1,4]B .[)2,+∞C .(2,4)D .(4,)+∞8.“0x >”是“12x x+≥”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=,则15793log ()a a a ++的值是( )A .-5B .-15C .5D .1510.已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧,给出以下结论:①3450a b -+>;②当0a >时,+a b 有最小值,无最大值;③221a b +>;④当0a >且1a ≠时,11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,正确的个数是( ) A .1B .2C .3D .411.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2,n S ,3n a 成等差数列,则5S 的值是( ) A .243-B .242-C .162-D .24312.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若2b c =,a =7cos 8A =,则ABC ∆的面积为( ) AB .3CD二、填空题13.若,a b ∈R ,0ab >,则4441a b ab++的最小值为___________.14.已知n S 为数列{a n }的前n 项和,且22111n n n a a a ++-=-,21313S a =,则{a n }的首项的所有可能值为______15.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是__________.16.△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若acosB =5bcosA ,asinA ﹣bsinB =2sinC ,则边c 的值为_______.17.已知x ,y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩,则2z x y =+的最大值为______.18.数列{}n a 满足10a =,且()1*11211n nn N a a +-=∈--,则通项公式n a =_______.19.数列{}n a 满足:1a a =(a R ∈且为常数),()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩,当100a =时,则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.20.已知数列{}n a (*n ∈N ),若11a =,112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2lim n n a →∞= . 三、解答题21.在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,且2sin 3tan c B a A =.(1)求222b c a+的值; (2)若2a =,求ABC ∆面积的最大值. 22.已知数列中,,. (1)求证:是等比数列,并求的通项公式; (2)数列满足,求数列的前项和.23.设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ,其中11a =. (Ⅰ)证明:32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列; (Ⅱ)令112n n b a =--,设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ,求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.24.在数列{}n a 中, 已知11a =,且数列{}n a 的前n 项和n S 满足1434n n S S +-=, n *∈N . (1)证明数列{}n a 是等比数列;(2)设数列{}n na 的前n 项和为n T ,若不等式3()1604nn aT n+⋅-<对任意的n *∈N 恒成立, 求实数a 的取值范围. 25.己知数列的前n 项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n 项和.26.在等差数列{}n a 中,2723a a +=-,3829a a +=-. (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)若数列{}n n a b +的首项为1,公比为q 的等比数列,求{}n b 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立, 当1n =时,13p ≤≤ 当2n =时,26p ≤≤当3n =时,443p ≤≤ 归纳得:23p ≤≤故选B点睛:根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ,为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论,求得最后的结果2.B解析:B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅,可得a 2k ﹣1+a 2k =﹣(2k ﹣1).即可得出.【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅,∴a 2k ﹣1+a 2k =﹣(2k ﹣1).则数列{a n }的前20项的和=﹣(1+3+……+19)()101192⨯+=-=-100.故选:B . 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.3.C解析:C 【解析】在ABC ∆中,222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅,2222a a b c ∴=+-,,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形,故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状,属于中档题.判断三角形状的常见方法是:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4.C解析:C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出;利用余弦定理构造关于的方程解出,再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得:,即解得:或为最小角本题正确选项: 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系,关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程,从而求得边长.5.B解析:B 【解析】 【分析】作出可行域,求出m ,然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值,从而用基本不等式求得最小值. 【详解】作出可行域,如图ABC ∆内部(含边界),作直线:20l x y +=,平移该直线,当直线l 过点(3,0)A 时,2x y +取得最大值6,所以6m =.1411414143()()(5)(52)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=,当且仅当4b a a b =,即12,33a b ==时等号成立,即14a b +的最小值为32. 故选:B. 【点睛】本题考查简单的线性规划,考查用基本不等式求最值,解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值,从而用基本不等式求得最小值.6.D解析:D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域,如图,画出可行域ABC ∆,(2,0)A ,(1,1)B ,(3,3)C , 平移直线2z x y =+,由图可知,直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值,2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.A解析:A 【解析】分析:,a b R +∈,由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,可得()214ab a b ≥+,又115a b a b +++=,可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭,化简整理即可得出. 详解:,a b R +∈,由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,可得()214ab a b ≥+,又115a b a b+++=, 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭, 化为()()2540a b a b +-++≤, 解得14a b ≤+≤, 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选:A.点睛:本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.C解析:C 【解析】先考虑充分性,当x>0时,12x x +≥=,当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.再考虑必要性,当12 xx+≥时,如果x>0时,22210(1)0x x x-+≥∴-≥成立,当x=1时取等.当x<0时,不等式不成立. 所以x>0.故选C.9.A解析:A【解析】试题分析:331313log1log log log1n n n na a a a+++=∴-=Q即13log1nnaa+=13nnaa+∴=∴数列{}n a是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a∴++=++=⨯=15793log()5a a a∴++=-.考点:1.等比数列的定义及基本量的计算;2.对数的运算性质.10.B解析:B【解析】【分析】【详解】∵点M(a,b)与点N(0,−1)在直线3x−4y+5=0的两侧,∴()()34530450a b-+⨯++<,即3450a b-+<,故①错误;当0a>时,54a b+>,a+b即无最小值,也无最大值,故②错误;设原点到直线3x−4y+5=0的距离为d,则22513(4)==+-d,则22a b+>1,故③正确;当0a>且a≠1时,11ba+-表示点M(a,b)与P(1,−1)连线的斜率.∵当0a=,b=54时,51194114ba++==---,又直线3x−4y+5=0的斜率为34,故11ba+-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛:本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有:①直线型,转化成斜截式比较截距,要注意z 前面的系数为负时,截距越大,z 值越小;②分式型,其几何意义是已知点与未知点的斜率;③平方型,其几何意义是距离,尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方;④绝对值型,转化后其几何意义是点到直线的距离.11.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列,所以223n n S a =+,当1n =时,111223,2S a a =+∴=-;当2n ≥时,1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-,即11322n n a a -=,即()132nn a n a -=≥,∴数列{}n a 是首项12a =-,公比3q =的等比数列,()()55151213242113a q S q---∴===---,故选B.12.D解析:D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=,故需要求出边b 与c ,由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解:在ABC ∆中,2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =,a =22246748c c c +-=, 解得:2c =由7cos 8A =得sin A ==所以,11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种:一是12(底⨯高),二是1sin 2bc A .借助12(底⨯高)时,需要将斜三角形的高与相应的底求出来;借助1sin 2bc A 时,需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.二、填空题13.4【解析】(前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以同时取得则当且仅当时取等号)【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式(1)当且仅当时取等号;(2)当且仅解析:4 【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ,(前一个等号成立条件是222a b =,后一个等号成立的条件是12ab =,两个等号可以同时取得,则当且仅当2224a b ==时取等号). 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式,(1)22,,2a b a b ab ∈+≥R ,当且仅当a b =时取等号;(2),a b R +∈ ,a b +≥ ,当且仅当a b =时取等号;首先要注意公式的使用范围,其次还要注意等号成立的条件;另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.14.【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首解析:34,- 【解析】 【分析】根据题意,化简得22111n n n a a a ++-=-,利用式相加,得到2213113112S a a a --=-,进而得到211120a a --=,即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-,所以22111n n n a a a ++-=-, 所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ,将以上各式相加,得2213113112S a a a --=-,又21313S a =,所以211120a a --=,解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用,其中解答中利用数列的递推关系式,得到关于数列首项的方程求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.15.【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案:点睛:根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的解析:a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩,解得a << ∴实数a的取值范围是.答案: 点睛:根据三角形的形状判断边满足的条件时,需要综合考虑边的限制条件,在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用,必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零,并由此得到不等式,进一步得到边所要满足的范围.16.3【解析】【分析】由acosB =5bcosA 得由asinA ﹣bsinB =2sinC 得解方程得解【详解】由acosB =5bcosA 得由asinA ﹣bsinB =2sinC 得所以故答案:3【点睛】本题主要解析:3 【解析】 【分析】由acosB =5bcosA 得22223a b c -=,由asinA ﹣bsinB =2sinC 得222a b c -=,解方程得解. 【详解】由acosB =5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB =2sinC 得222a b c -=,所以222,33c c c =∴=. 故答案:3 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A (解析:5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域,利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示),化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时,z 取得最大值,联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A (1,2),故max 145z =+=故答案为:5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值,是基础题18.【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项解析:2221n n -- 【解析】 【分析】构造数列11n nb a =-,得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-,得到2221n n a n -=-. 【详解】 设11n n b a =-,则12n n b b +-=,11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法,构造数列11n nb a =-是解题的关键,意在考查学生对于数列通项公式的记忆,理解和应用.19.【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足:(且为常数)当时则所以(常数)故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为:【点睛】 解析:1849【解析】 【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足:1a a =(a R ∈且为常数),()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩, 当100a =时,则1100a =, 所以13n n a a +-=-(常数), 故()10031n a n =--,所以数列的前34项为首项为100,公差为3-的等差数列. 从35项开始,由于341a =,所以奇数项为3、偶数项为1, 所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=,故答案为:1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式,需熟记公式,同时也考查了分类讨论的思想,属于中档题.20.【解析】【分析】由已知推导出=(=1+()从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足:∴()+()+……+()=++……+==(∴=(;又+……+()=1+++……+=1+=1+()即=1+()∴-=-解析:23-【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =23(11)4n -,21n S -=1+13(1114n --),从而22n n a S =-21n S -=21132n -n -23,由此能求出2lim n n a →∞【详解】 ∵数列{}n a 满足:1 1a =,112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭, ∴(12a a +)+(34 a a +)+……+(212 n n a a -+)=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=11124114n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=23(11)4n-, ∴2n S =23(11)4n -; 又12345a a a a a +++++……+(2221 n n a a --+)=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2111124114n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=1+13(1114n --),即21n S -=1+13(1114n --) ∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -23∴2211lim lim(32n n n n a n -→∞→∞=-2)3=-23,故答案为:-2 3【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,数列的极限的求法,考查逻辑思维能力及计算能力,属于中档题.三、解答题21.(1)2224b c a+=(2 【解析】 【分析】(I )由题意2sin 3tan c B a A =,利用正、余弦定理化简得2224b c a +=,即可得到答案. (II )因为2a =,由(I )知222416b c a +==,由余弦定理得6cos A bc=,进而利用基本不等式,得到6cos bc A =,且(0,)2A π∈,再利用三角形的面积公式和三角函数的性质,即可求解面积的最大值. 【详解】解:(I )∵2sin 3tan c B a A =, ∴2sin cos 3sin c B A a A =, 由正弦定理得22cos 3cb A a =,由余弦定理得22222?32b c a cb a bc+-=,化简得2224b c a +=,∴2224b c a+=. (II )因为2a =,由(I )知222416b c a +==,∴由余弦定理得2226cos 2b c a A bc bc+-==, 根据重要不等式有222b c bc +≥,即8bc ≥,当且仅当b c =时“=”成立, ∴63cos 84A ≥=. 由6cos A bc =,得6cos bc A =,且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ∴ABC ∆的面积116sin sin 3tan 22cos S bc A A A A==⨯⨯=. ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A++=+==,∴tan 3A =≤=∴3tan S A =≤∴ABC ∆的面积S . 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题,对于解三角形问题,通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系,利用“角转边”寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系求角,利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,经常利用三角形内角和定理,三角形面积公式,结合正、余弦定理解题.22.(1)答案见解析;(2).【解析】试题分析:⑴根据数列的递推关系,结合等比数列的定义即可证明是等比数列,并求的通项公式,⑵利用错位相减法即可求得答案;解析:(1)∵∴∴,∵,,∴是以为首项,以4为公比的等比数列∴,∴,∴,(2),∴①②①-②得∴.23.(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)6 【解析】 【分析】(Ⅰ)由递推公式凑出1132n n a a ++--与32n n a a --的关系,即可得证(Ⅱ)由(Ⅰ)可得2111222n n n n n a b a a --=-==--,即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式,再用错位相减法求和,证明其单调性,可得得解. 【详解】 解:(Ⅰ)()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312628n n n n a a a a --+=--+2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--,公比为2的等比数列(Ⅱ)由(Ⅰ)知,322n n n a a -=-, 即2111222n n n n n a b a a --=-==--, 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅()()123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅①23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②,①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-1(32)26n n +=-⋅-. 1S (23)26n n n +∴=-⋅+2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>(),S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q , 87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =. 【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列,以及错位相减法求和,属于中档题. 24.(1)见解析(2) (,20)-∞ 【解析】分析:(1)利用1434n n S S +-=推出134n n a a +=是常数,然后已知2134a a =,即可证明数列{}n a 是等比数列;(2)利用错位相减法求出数列{}n na 的前n 项和为n T n ,化简不等式31604nn aT n⎛⎫+⋅-< ⎪⎝⎭,通过对任意的*n N ∈恒成立,求实数a 的取值范围.详解:(1) Q 已知*1434,n n S S n N +-=∈,∴ 2n ≥时, 143 4.n n S S --= 相减得1430n n a a +-=. 又易知0,n a ≠134n n a a +∴=. 又由*1434,n n S S n N +-=∈得()121434,a a a +-=22133,44a a a ∴=∴=. 故数列{}n a 是等比数列.(2)由(1)知1133144n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.01133312444n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ,123333124444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 相减得213113333341344444414nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L ,331616444n nn T n ⎛⎫⎛⎫∴=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴不等式31604n n a T n ⎛⎫+⨯-< ⎪⎝⎭为33316164160444n n na n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 化简得2416n n a +>. 设()2416f n n n =+,*n N ∈Q ()()120min f n f ∴==.故所求实数a 的取值范围是(),20-∞.点睛:本题考查等比数列的判断,数列通项公式与前n 项和的求法,恒成立问题的应用,考查计算能力. 25.(1);(2)【解析】 【分析】 (1)运用,证明数列是等比数列,计算通项,即可。
2020-2021学年山东省济宁市高三(上)期末数学试卷一、选择题(共8小题).1.设集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},B={x|y=ln(x﹣1)},则A∩B=()A.(1,2]B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)2.若复数(i为虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为()A.﹣B.﹣C.D.3.若tanα=2,则=()A.B.C.D.14.“a=1”是“直线ax+(2a﹣1)y+3=0与直线(a﹣2)x+ay﹣1=0互相垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.2020年11月,中国国际进口博览会在上海举行,本次进博会设置了“云采访”区域,通过视频连线,帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人.某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访,其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访,另外2名记者和2名摄影师分两组(每组记者和摄影师各1人),分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访.如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作,则所有不同的安排方案有()A.36种B.48种C.72种D.144种6.函数f(x)=x﹣ln|e2x﹣1|的部分图象可能是()A.B.C.D.7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作斜率为的直线l交抛物线C于A、B两点,若线段AB中点的纵坐标为,则抛物线C的方程是()A.y2=3x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x8.已知函数f(x)(x∈R)的导函数是f′(x),且满足∀x∈R,f(1+x)=﹣f(1﹣x),当x>1时,f(x)+ln(x﹣1)•f′(x)>0,则使得(x﹣2)f(x)>0成立的x 的取值范围是()A.(0,1)⋃(2,+∞)B.(﹣∞,﹣2)⋃(2,+∞)C.(﹣2,﹣1)⋃(1,2)D.(﹣∞,1)⋃(2,+∞)二、选择题(共4小题).9.已知a,b,c,d均为实数,下列说法正确的是()A.若a>b>0,则>B.若a>b,c>d,则a﹣d>b﹣cC.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a+b=1,则4a+4b≥410.直线l过点P(1,2)且与直线x+ay﹣3=0平行,若直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则实数a的值可以是()A.0B.C.D.﹣11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且直线x=﹣是其中一条对称轴,则下列结论正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为B.函数f(x)在区间[﹣,]上单调递增C.点(﹣,0)是函数f(x)图象的一个对称中心D.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的图象向左平移个单位长度,可得到g(x)=sin2x的图象12.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,M为BC的中点,将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M,连接B1C和B1D,N为B1D的中点,则在翻折过程中,下列说法中正确的是()A.AM⊥B1CB.CN的长为定值C.AB1与CN的夹角为D.当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时,三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是8π三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.设集合{}2A |60x x x =−−≤,{}B |10x x =−<,则AB =A .{}|3x x ≤B .{}|31x x −≤<C .{}|21x x −≤<−D .{}|21x x −≤< 2.已知复数i1i z =+(其中i 为虚数单位),则z 的共轭复数为 A .11i 22−+ B .11i 22−− C .11i 22+ D .11i 22−3.已知直线l 过点(2,2),则“直线l 的方程为y =2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.十二生肖是中国特有的文化符号,有着丰富的内涵,它们是成对出现的,分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对.每对生肖相辅相成,构成一种完美人格.现有十二生肖的吉祥物各一个,按照上面的配对分成六份.甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢.如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖,则不同的选法种数共有A .12种B .16种C .20种D .24种5.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,且满足BEEC =,CD 2CF =,则AE AF +=AB .3C .D .46.把物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是1C θ︒,空气的温度是0C θ︒,那么min t后物体的温度θ(单位:C ︒)满足公式010()e kt θθθθ−=+−(其中k 为常数).现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却,2min 后物体的温度是32C ︒.则再经过4min 该物体的温度可冷却到A .12C ︒B .14.5C ︒ C .17C ︒D .22C ︒7.已知双曲线C :22221(00)x y a b a b−=>>,的左、右顶点分别为A ,B ,其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ,另一条渐近线与直线PA 垂直,则C 的离心率为A .3B .2C D8.已知函数()(1)e x f x a x x =+−,若存在唯一的正整数0x ,使得0()0f x <,则实数a 的取值范围是 A .[12e −,334e ) B .[334e ,223e ) C .[223e ,12e ) D .[12e ,12) 二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)9.为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求,促进学生增强体质,健全人格,锤炼意志,某学校随机抽取了甲、乙两个班级,对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位:分钟)进行了调研.根据统计数据制成折线图如下:下列说法正确的是A .班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B .班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C .班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D .班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10.已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0),若()06f π=,则下列说法一定正确的是A .()12f x π−为奇函数 B .()f x 的最小正周期为πC .()f x 在区间[12π−,125π]上单调递增 D .()f x 在区间[0,2021π]上有4042个零点 11.如图,在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB =2,点P 为线段AD 1上一动点,则下列说法正确的是 A .直线PB 1∥平面BC 1DB .三棱锥P—BC 1D 的体积为13C .三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D .直线PB 1与平面BCC 1B 112.已知红箱内有5个红球、3个白球,白箱内有3个红球、5个白 第11题球,所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去,第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去,依次类推,第k +1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去.记第n 次取出的球是红球的概率为n P ,则下列说法正确的是A .21732P =B .117232n n P P +=+C .211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D .对任意的i ,j N *∈且1i j n ≤<≤,11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.已知1sin()63απ+=,则5sin()6απ−的值为 . 14.若实数x ,y 满足lg lg lg()x y x y +=+,则xy 的最小值为 . 15.已知奇函数()f x 在(0,+∞ )上单调递减,且(4)0f =,则不等式(1)0xf x +>的解集为 .16.已知直线l 与抛物线C :28y x =相切于点P ,且与C 的准线相交于点T ,F 为C 的焦点,连接PF 交C 于另一点Q ,则△PTQ 面积的最小值为 ;若|TF |5=,则|PQ |的值为 .(本小题第一空2分,第二空3分)四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)在平面四边形ABCD 中,AB =2,BC =5,∠ABC =120°,AD,∠ADC =2∠ACD ,求△ACD 的面积. 18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)在①218()n n n nb a a +=⋅,②2n n n b a =⋅,③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并求解该问题.若 ,求数列{}n b 的前n 项和n T .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中,AB =AC =2,D 为BC 的中点,平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ,设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线.(1)证明:l ⊥平面BB 1C 1C ;(2)已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形,且∠B 1BC =60°,求二面角D—AC 1—C 的余弦值.某县在实施脱贫工作中因地制宜,着力发展枣树种植项目.该县种植的枣树在2020年获得大丰收,依据扶贫政策,所有红枣由经销商统一收购.为了更好的实现效益,县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克,进行质量检测,根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.右表是红枣的分级标准,其中一级品、二级品统称为优质品.经销商与某农户签订了红枣收购协议,规定如下:从一箱红枣中任取4个进行检测,若4个均为优质品,则该箱红枣定为A 类;若4个中仅有3个优质品,则再从该箱中任意取出1个,若这一个为优质品,则该箱红枣也定为A 类;若4个中至多有一个优质品,则该箱红枣定为C 类;其它情况均定为B 类.已知每箱红枣重量为10千克,A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元.现有两种装箱方案:方案一:将红枣采用随机混装的方式装箱;方案二:将红枣按一、二、三、四等级分别装箱,每箱的分拣成本为1元. 以频率代替概率解决下面的问题.(1)如果该农户采用方案一装箱,求一箱红枣被定为A 类的概率; (2)根据所学知识判断,该农户采用哪种方案装箱更合适,并说明理由.21.(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若折线0)y k x =≠与C 相交于A ,B 两点(点A 在直线x =的右侧),设直线OA ,OB 的斜率分别为1k ,2k ,且212k k −=,求k 的值.22.(本小题满分12分)已知函数()ln(1)f x a x x =−+. (1)讨论()f x 的单调性; (2)若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0,+∞)恒成立,求实数a 的取值范围.山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.设集合{}2A |60x x x =−−≤,{}B |10x x =−<,则AB =A .{}|3x x ≤B .{}|31x x −≤<C .{}|21x x −≤<−D .{}|21x x −≤< 答案:D解析:{}2A |60x x x =−−≤=[﹣2,3],{}B |10x x =−<=(−∞,1),故AB =[﹣2,1).选D .2.已知复数i1i z =+(其中i 为虚数单位),则z 的共轭复数为 A .11i 22−+ B .11i 22−− C .11i 22+ D .11i 22−答案:D解析:i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−,则1i 22z =−.选D . 3.已知直线l 过点(2,2),则“直线l 的方程为y =2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案:A解析:“直线l 的方程为y =2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y =2”,故选A .4.十二生肖是中国特有的文化符号,有着丰富的内涵,它们是成对出现的,分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对.每对生肖相辅相成,构成一种完美人格.现有十二生肖的吉祥物各一个,按照上面的配对分成六份.甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢.如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖,则不同的选法种数共有A .12种B .16种C .20种D .24种答案:B解析:甲若选牛,则有1124C C 种;甲若选马,则有1124C C 种.故共有16种,选B .5.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,且满足BEEC =,CD 2CF =,则AE AF +=AB .3 C.D .4答案:B解析:由题意知△AEF 的等边三角形,故AE AF +=3,选B .6.把物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是1C θ︒,空气的温度是0C θ︒,那么min t后物体的温度θ(单位:C ︒)满足公式010()e kt θθθθ−=+−(其中k 为常数).现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却,2min 后物体的温度是32C ︒.则再经过4min 该物体的温度可冷却到A .12C ︒B .14.5C ︒ C .17C ︒D .22C ︒ 答案:C解析:221321240e e 2k k −−=+⇒=,6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=,故选C . 7.已知双曲线C :22221(00)x y a b a b−=>>,的左、右顶点分别为A ,B ,其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ,另一条渐近线与直线PA 垂直,则C 的离心率为A .3B .2CD 答案:B解析:将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立:()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得P(322a b a −,222a b b a −),因为OP =a ,则322222222()()a a b a b a b a+=−−,化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=,选B .8.已知函数()(1)e x f x a x x =+−,若存在唯一的正整数0x ,使得0()0f x <,则实数a 的取值范围是 A .[12e −,334e ) B .[334e ,223e ) C .[223e ,12e ) D .[12e ,12) 答案:C解析:0()0f x <,参变分离得:000(1)e x x a x <+,令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+,2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+,所以0()g x 在[1,+∞)且0x Z ∈单调递增, 求得1(1)2e g =,22(2)3eg =,故要使存在唯一的正整数0x ,使得0()0f x <, 则223e ≤a <12e,选C . 二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)9.为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求,促进学生增强体质,健全人格,锤炼意志,某学校随机抽取了甲、乙两个班级,对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位:分钟)进行了调研.根据统计数据制成折线图如下:下列说法正确的是A .班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B .班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C .班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D .班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案:AC解析:班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65,故B 错误;班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小,故D 错误.综上选AC .10.已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0),若()06f π=,则下列说法一定正确的是 A .()12f x π−为奇函数 B .()f x 的最小正周期为π C .()f x 在区间[12π−,125π]上单调递增 D .()f x 在区间[0,2021π]上有4042个零点答案:BD解析:()12f x π−为偶函数,故A 错误;()f x 在区间[12π−,125π]上单调,但不一定是单调递增,故C 错误.综上选BD .11.如图,在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB =2,点P 为线段AD 1上一动点,则下列说法正确的是A .直线PB 1∥平面BC 1DB .三棱锥P—BC 1D 的体积为13C .三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD .直线PB 1与平面BCC 1B 1答案:ABD解析:因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ,PB 1⊂平面AB 1D 1,所以直线PB 1∥平面BC 1D ,A 正确;V P—BC1D =V A—BC1D =V C1—ABD =111112=323⨯⨯⨯⨯,故B 正确;三棱锥D 1—BC 1D=S 球=246ππ=,故C 错误;PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1,所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最,故D 正确.综上选ABD .12.已知红箱内有5个红球、3个白球,白箱内有3个红球、5个白球,所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去,第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去,依次类推,第k +1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去.记第n 次取出的球是红球的概率为n P ,则下列说法正确的是A .21732P =B .117232n n P P +=+C .211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D .对任意的i ,j N *∈且1i j n ≤<≤,11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案:ACD解析:第n 此取出球是红球的概率为n P ,则白球概率为(1)n P −,对于第1n +次,取出红球有两种情况. ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅(条件概率), ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅, 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+(转化为数列问题), 所以1111()242n n P P +−=−, 令12n n a P =−,则数列{n a 为等比数列,公比为14,因为158P =,所以118a =, 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+, 所以21732P =,故选项A 正确; [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−,故117232n n P P +=+不成立,故选项B 错误; 经验证可得,211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+,故选项C 正确;1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−,故D 正确. 三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.已知1sin()63απ+=,则5sin()6απ−的值为 . 答案:13解析:51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=. 14.若实数x ,y 满足lg lg lg()x y x y +=+,则xy 的最小值为 .答案:4解析:11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=, 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥,当且仅当x =y =2时取“=”.15.已知奇函数()f x 在(0,+∞ )上单调递减,且(4)0f =,则不等式(1)0xf x +>的解集为 .答案:(0,3)(﹣5,﹣1)解析:0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−,故原不等式的解集为(0,3)(﹣5,﹣1).16.已知直线l 与抛物线C :28y x =相切于点P ,且与C 的准线相交于点T ,F 为C 的焦点,连接PF 交C 于另一点Q ,则△PTQ 面积的最小值为 ;若|TF |5=,则|PQ |的值为 .(本小题第一空2分,第二空3分)答案:16,252解析:当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小,为16;当TF =5时,可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3,故PQ 的斜率为43或43−,故PQ =2228254sin 2()5p α==. 四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)在平面四边形ABCD 中,AB =2,BC =5,∠ABC =120°,AD,∠ADC =2∠ACD ,求△ACD 的面积.解:在△ABC 中,由余弦定理可得:所以在△ACD 中,由正弦定理可得:,即所以所以 因为,所以所以所以18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)在①218()n n n nb a a +=⋅,②2n n n b a =⋅,③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并求解该问题.若 ,求数列{}n b 的前n 项和n T .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解:(1)因为所以所以当时,适合上式,所以(2)若选①: 因为所以若选②:因为所以则两式相减可得:所以若选③:当n为偶数时,当n为奇数时,综上:19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=2,D为BC的中点,平面BB1C1C⊥平面ABC,设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线.(1)证明:l⊥平面BB1C1C;(2)已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形,且∠B1BC=60°,求二面角D—AC1—C的余弦值.解:(1)证明:因为AB=AC=2,D为BC的中点,所以AD⊥BC,又因为平面BB1C1C⊥平面ABC,且平面BB1C1C平面ABC=BC,AD 平面ABC,所以AD⊥平面BB1C1C,而AD∥平面A1B1C1,且AD⊂平面AC1D,平面AC1D平面A1B1C1=l,所以AD∥l,所以l⊥平面BB1C1C;(2)因为AD⊥平面BB1C1C,AD⊂平面AC1D,所以平面AC1D⊥平面BB1C1C,在平面BB1C1C内,过C作CH⊥DC1于点H,则CH⊥平面AC1D,过C作CG⊥AC1于点G,则G为线段AC1的中点,连接HG,则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角,在直角中,在中,,在中,,在直角中,,所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20.(本小题满分12分)某县在实施脱贫工作中因地制宜,着力发展枣树种植项目.该县种植的枣树在2020年获得大丰收,依据扶贫政策,所有红枣由经销商统一收购.为了更好的实现效益,县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克,进行质量检测,根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.右表是红枣的分级标准,其中一级品、二级品统称为优质品.经销商与某农户签订了红枣收购协议,规定如下:从一箱红枣中任取4个进行检测,若4个均为优质品,则该箱红枣定为A 类;若4个中仅有3个优质品,则再从该箱中任意取出1个,若这一个为优质品,则该箱红枣也定为A 类;若4个中至多有一个优质品,则该箱红枣定为C 类;其它情况均定为B 类.已知每箱红枣重量为10千克,A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元.现有两种装箱方案:方案一:将红枣采用随机混装的方式装箱;方案二:将红枣按一、二、三、四等级分别装箱,每箱的分拣成本为1元. 以频率代替概率解决下面的问题.(1)如果该农户采用方案一装箱,求一箱红枣被定为A 类的概率;(2)根据所学知识判断,该农户采用哪种方案装箱更合适,并说明理由. 解:(1)从红枣中任意取出一个,则该红枣为优质品的概率是,记“如果该农户采用方案一装箱,一箱红枣被定为A 类”为事件A ,则(2)记“如果该农户采用方案一装箱,一箱红枣被定为B 类”为事件B ,“如果该农户采用方案一装箱,一箱红枣被定为C 类”为事件C ,则所以如果该农户采用方案一装箱,每箱红枣收入的数学期望为:元;由题意可知,如果该农户采用方案二装箱,则一箱红枣被定为A 类的概率为,被定为C 类的概率也为,所以如果该农户采用方案二装箱,每箱红枣收入的数学期望为: 元;所以该农户采用方案二装箱更合适.21.(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若折线0)y k x =≠与C 相交于A ,B 两点(点A 在直线x =的右侧),设直线OA ,OB 的斜率分别为1k ,2k ,且212k k −=,求k 的值.解:(1)由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,又因为,所以所以椭圆C 的标准方程为(2)因为折线与椭圆C 相交于A ,B 两点,设点B 关于x 轴的对称点为B′, 则直线与椭圆C 相交于A ,B′两点,设则由得所以所以整理得解得22.(本小题满分12分)已知函数()ln(1)f x a x x =−+. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0,+∞)恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)若,,此时在上单调递减;若,由得,此时在上单调递减,在上单调递增;综上所述,,在上单调递减;,在上单调递减,在上单调递增;(2)因为记所以在上单调递增,所以,所以恒成立;若不合题意;若,由(1)知,在上单调递减,所以不合题意;若,记记所以在上单调递增,所以所以符合题意;综上实数a的取值范围是.。
2020-2021高三数学上期末试题带答案(1) 一、选择题1.已知数列{}n a的前n项和为n S,且1142n na-⎛⎫=+-⎪⎝⎭,若对任意*Nn∈,都有()143np S n≤-≤成立,则实数p的取值范围是()A.()2,3B.[]2,3C.92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.已知正数x、y满足1x y+=,且2211x ymy x+≥++,则m的最大值为()A.163B.13C.2D.43.设,x y满足约束条件330280440x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩,则3z x y=+的最大值是()A.9B.8C.3D.44.等比数列{}n a的前n项和为n S,若36=2S=18S,,则105SS等于( )A.-3B.5C.33D.-315.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将1,2,...,9填入33⨯的方格内,使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地,将连续的正整数1,2,3,…,2n填入n n⨯的方格内,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为n N(如:在3阶幻方中,315N=),则10N=()A.1020B.1010C.510D.5056.数列{}n a为等比数列,若11a=,748a a=,数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S,则5(S=)A.3116B.158C.7D.317.已知集合2A{t|t40}=-≤,对于满足集合A的所有实数t,使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A .()(),13,∞∞-⋃+B .()(),13,∞∞--⋃+C .(),1∞--D .()3,∞+8.设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩,则1y x +的最大值是( )A .-1B .12C .1D .329.“0x >”是“12x x+≥”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件10.已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =,则数列的第2018项为( ) A .15B .25C .35D .4511.已知数列{}n a 中,()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和,5S的值为( ) A .63B .61C .62D .5712.在等差数列 {}n a 中, n S 表示 {}n a 的前 n 项和,若 363a a += ,则 8S 的值为( )A .3B .8C .12D .24二、填空题13.已知x y ,满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,,,,则222x y y ++的取值范围是__________.14.已知数列{}n a 满足:11a =,{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ,记数列{}n a 的前n项和为n S ,若对所有满足条件的{}n a ,10S 的最大值为M 、最小值为m ,则M m +=______.15.已知数列{}n a ,11a =,1(1)1n n na n a +=++,若对于任意的[2,2]a ∈-,*n ∈N ,不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立,则实数t 的取值范围为________16.在平面直角坐标系中,设点()0,0O ,()3,3A ,点(),P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩,则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 17.已知x ,y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩,则2z x y =+的最大值为______.18.在等比数列中,,则__________.19.数列{}n a 满足:1a a =(a R ∈且为常数),()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩,当100a =时,则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.20.已知是数列的前项和,若,则_____.三、解答题21.已知000a b c >,>,>,函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x >的解集; (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 22.已知在公比为q 的等比数列{}n a 中,416a =,()34222a a a +=+. (1)若1q >,求数列{}n a 的通项公式;(2)当1q <时,若等差数列{}n b 满足31b a =,512b a a =+,123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+,求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和.23.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(3cos )()cos a B C c b A -=-.(1)求A ; (2)若3b =D 在BC 边上,2CD =,3ADC π∠=,求ABC △的面积.24.已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.(1)求ϕ值及图中0x 的值;(2)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ,求a 的值.25.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=,432a a -=. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =,求k 的值. 26.在四边形ABCD 中,120BAD ︒∠=,60BCD ︒∠=,1cos 7D =-,2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长; (2) 求BC 的长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立, 当1n =时,13p ≤≤ 当2n =时,26p ≤≤当3n =时,443p ≤≤ 归纳得:23p ≤≤故选B点睛:根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ,为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论,求得最后的结果2.B解析:B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=,对代数式2211x y y x +++变形,然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值,即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=,则()()113x y +++=,()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝, 当且仅当12x y ==时,等号成立,即2211x y y x +++的最小值为13,则13m ≤. 因此,实数m 的最大值为13. 故选:B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数,对代数式合理变形是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.3.A解析:A 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值,其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.4.C解析:C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比,再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q (公比显然不为1),则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---,得2q =, 因此,()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---,故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算,利用等比数列求和公式求出其公比,是解本题的关键,一般在求解等比数列问题时,有如下两种方法:(1)基本量法:利用首项和公比列方程组解出这两个基本量,然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算;(2)性质法:利用等比数列下标有关的性质进行转化,能起到简化计算的作用.5.D解析:D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数,其和为()222112...,2n n n n ++++=Q 阶幻方共有n 行,∴每行的和为()()2221122n n n n n++=,即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==,故选D.6.A解析:A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式,再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列,11a =,748a a =,638q q ∴=,解得2q =, 1112n n n a a q --∴==, Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S , 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-.故选A . 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式,考查基本分析求解能力,属基础题.7.B解析:B 【解析】 【分析】由条件求出t 的范围,不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立,即不等式()()110x t x +-->恒成立,再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理. 【详解】由240t -≤得,22t -≤≤,113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立,即不等式2210x tx t x +--+>恒成立,即不等式()()110x t x +-->恒成立,∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立, ∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立,113t -≤-≤Q只需3x >或1x <-即可. 故选:B . 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题,难度较大,充分利用恒成立的思想解题是关键.8.D解析:D 【解析】 【分析】由约束条件确定可行域,由1y x+的几何意义,即可行域内的动点与定点P (0,-1)连线的斜率求得答案. 【详解】由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩,作出可行域如图,联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩,解得A (112,),1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P (0,-1)连线的斜率,由图可知,113212PAk +==最大. 故答案为32. 【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,属于中档题型.9.C解析:C 【解析】先考虑充分性,当x>0时,12x x +≥=,当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性,当12x x+≥时,如果x>0时,22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立,当x=1时取等.当x<0时,不等式不成立. 所以x>0. 故选C.10.A解析:A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项,可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列,即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q , 211215a a =-=,32225a a ==,43425a a ==,5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列,则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.11.D解析:D 【解析】解:由数列的递推关系可得:()11121,12n n a a a ++=++= , 据此可得:数列{}1n a + 是首项为2 ,公比为2 的等比数列,则:1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ,分组求和有:()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.12.C解析:C 【解析】 【分析】由题意可知,利用等差数列的性质,得18363a a a a +=+=,在利用等差数列的前n 项和公式,即可求解,得到答案。
2020~2021学年度第一学期期末学业水平检测高三数学试题 2021.01本试卷6页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置;2.作答选择题时:选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上;非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效;3.考生必须保证答题卡的整洁,考试结束后,请将答题卡上交.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若全集R U =,集合2{R |60}A x x x =∈+−≥,集合{R |lg(1)0}B x x =∈−<,则R ()A B = ð( )A .(1,2)−B .(1,2)C .(3,2)−D .(3,1)−2.21sin 7022sin 10+°=−°( )A .2B .1−C .1D .123.“40,2x a x x ∀>≤++”的充要条件是( )A .2a >B .2a ≥C .2a <D .2a ≤4.《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把93 个面包分给5个人,使每个人所得面包个数成等比数列,且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三,则最小的一份为( )A .3B .4C .8D .95.已知双曲线2222:1(0)cos sin 2x y πθθθΓ−<<的焦点到渐近线的距离等于12,则θ=( ) A .3πB .4πC .6πD .12πA .cos 1()22x xx f x −+=+ B .cos sin ()22x xx x xf x −+=+C .cos sin ()22x xx x xf x −+=− D .cos sin ()22x xx x xf x −+=+ 7.设α,β是两个不同的平面,l 是一条直线,以下结论正确的是( )A .若l α⊥,//αβ,则l β⊥B .若//l α,//l β,则//αβC .若l α⊥,αβ⊥,则l β⊂D .若//l α,αβ⊥,则l β⊥8.某种芯片的良品率X 服从正态分布2N(0.95,0.01),公司对科技改造团队的奖励方案如下: 若芯片的良品率不超过95%,不予奖励;若芯片的良品率超过95%但不超过96%,每张芯片 奖励100元;若芯片的良品率超过96%,每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为( )元 A .52.28B .65.87C .50.13D .131.74附:随机变量ξ服从正态分布2(,)N µσ,则()0.6826P µσξµσ−<<+=,(22)0.9544P µσξµσ−<<+=,(33)0.9974P µσξµσ−<<+=.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020-2021高三数学上期末试题带答案(3)一、选择题1.若正实数x ,y 满足141x y +=,且234yx a a +>-恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .[]1,4-B .()1,4-C .[]4,1-D .()4,1-2.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形C .等腰三角形D .等腰三角形或直角三角形3.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为( ) A .65B .184C .183D .1764.正项等比数列中,的等比中项为,令,则( ) A .6B .16C .32D .645.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若36=2S =18S ,,则105S S 等于( ) A .-3 B .5C .33D .-316.若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1),则4a b +的最小值为( ) A .6 B .8 C .9 D .10 7.已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、,面积为S ,且223tan 2S B =+,则A 等于( )A .6π B .4π C .3π D .2π 8.数列{}n a 中,对于任意,m n N *∈,恒有m n m n a a a +=+,若118a =,则7a 等于( ) A .712 B .714 C .74D .789.已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A .140B .280C .168D .5610.已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最小值为( )A .1B .2C .3D .611.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2,n S ,3n a 成等差数列,则5S 的值是( ) A .243-B .242-C .162-D .24312.已知x ,y 均为正实数,且111226x y +=++,则x y +的最小值为( ) A .20B .24C .28D .32二、填空题13.数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ,且*2(2,)n n S a n n N =≥∈,则{}n a 的通项公式n a =____;14.在等差数列{}n a 中,12a =,3510a a +=,则7a = .15.设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤,则4z x y =+的最大值为 .16.已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==,则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.17.已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩,若对任意*n N ∈都有1n n a a +>,则实数a 的取值范围是_________.18.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +1(n ∈N *),则a n =________. 19.若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________.20.已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠,前n 项和为n S,且数列也为公差为d 的等差数列,则d =______.三、解答题21.在平面内,将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转,如图,小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标,他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1,且20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.顺次连结A ,A 1,B ,B 1,C ,C 1,A ,得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .(1)当θ=6π时,求六边形徽标的面积; (2)求六边形徽标的周长的最大值.22.已知正项等比数列{}n a 满足26S =,314S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2log n n b a =,已知数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T 证明:1n T <.23.已知函数()21f x x =-. (1)若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞,求实数m 的值; (2)若不等式()2232y y af x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立,求正实数a 的最小值.24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4133n n S a =-. (1)求{}n a 的通项公式;(2)若1n b n =+,求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 25.已知0a >,0b >,且1a b +=. (1)若ab m ≤恒成立,求m 的取值范围; (2))若41212x x a b+≥--+恒成立,求x 的取值范围. 26.已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==. (1)求{}n a 的通项公式; (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-,为数列{}n b 的前n 项和,是否存在正整数m ,()1k m k <<,使得23k m T T =?若存在,求出m ,k 的值;若不存在,请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】 根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合基本不等式可求得44yx +≥,从而得到关于a 的不等式,解不等式求得结果. 【详解】 由题意知:1442444y y x yx x x y y x⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >,0y > 40x y ∴>,04yx>424x y y x ∴+≥=(当且仅当44x y y x =,即4x y =时取等号) 44yx ∴+≥ 234a a ∴-<,解得:()1,4a ∈- 本题正确选项:B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题,关键是配凑出符合基本不等式的形式,从而求得最值.2.C解析:C 【解析】在ABC ∆中,222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅,2222a a b c ∴=+-,,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形,故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状,属于中档题.判断三角形状的常见方法是:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.3.B解析:B 【解析】分析:将原问题转化为等差数列的问题,然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解:由题意可得,8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列,且前8项和为996, 设首项为1a ,结合等差数列前n 项和公式有:811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=, 解得:165a =,则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛:本题主要考查等差数列前n 项和公式,等差数列的应用,等差数列的通项公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.D解析:D 【解析】因为,即,又,所以.本题选择D 选项.5.C解析:C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比,再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q (公比显然不为1),则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---,得2q =, 因此,()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---,故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算,利用等比数列求和公式求出其公比,是解本题的关键,一般在求解等比数列问题时,有如下两种方法:(1)基本量法:利用首项和公比列方程组解出这两个基本量,然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算;(2)性质法:利用等比数列下标有关的性质进行转化,能起到简化计算的作用.6.C解析:C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.7.C解析:C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=,结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=,从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, ∴5666A 或πππ-=(舍)∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式,以及三角恒等变换,熟练掌握边角的转化是解本题的关键.8.D解析:D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.9.A解析:A 【解析】由等差数列的性质得,5611028a a a a +==+,∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==,故选A. 10.A解析:A 【解析】 【分析】画出可行域,平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处,由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示,平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处,此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选:A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.11.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列,所以223n n S a =+,当1n =时,111223,2S a a =+∴=-;当2n ≥时,1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-,即11322n n a a -=,即()132nn a n a -=≥,∴数列{}n a 是首项12a =-,公比3q =的等比数列,()()55151213242113a q S q---∴===---,故选B.12.A解析:A 【解析】分析:由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解:,x y Q 均为正实数,且111226x y +=++,则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛:本题考查了基本不等式的性质,“一正、二定、三相等”.二、填空题13.【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得:即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得:即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式解析:21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】 【分析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n Sa n n N --=≥∈,两式相减得:122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈,即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈,可知从第二项起数列是等比数列,即可写出通项公式. 【详解】因为()*22,n n S a n n N=≥∈所以()*1123,n n S a n n N--=≥∈两式相减得:122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列, 又22221+S a a ==,所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈,又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式,等比数列,数列的通项公式,属于中档题.14.8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8解析:8 【解析】 【分析】 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 则351712610a a a a a d +=+=+=, 所以71101028a a =-=-=,故答案为8.15.【解析】试题分析:约束条件的可行域如图△ABC 所示当目标函数过点A(11)时z 取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解解析:【解析】 .试题分析:约束条件的可行域如图△ABC 所示.当目标函数过点A(1,1)时,z 取最大值,最大值为1+4×1=5.【考点】线性规划及其最优解.16.【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时解析:323【解析】 【分析】求出数列{}n a 的公比,并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项,然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ,即可计算出所求极限值. 【详解】由已知3212a q a ==,23112()()22n n n a --=⨯=,3225211111()()()2()2224n n n n n n a a ----+=⋅==⋅,所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =,公比为1'4q =的等比数列, 11223118[(1()]3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ,1223132132lim ()lim [1()]343n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=L . 故答案为323. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算,同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.17.【解析】【分析】由题若对于任意的都有可得解出即可得出【详解】∵若对任意都有∴∴解得故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性不等式的解法考查了推理能力与计算能力属于中档题解析:17,212⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>,可得5610012a a a a -<,>,<<. 解出即可得出. 【详解】∵511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩,若对任意*n N ∈都有1n n a a +>, ∴5610012a a a a -<,>,<<.. ∴11 0()510122a a a a --⨯+<,>,<< , 解得17 212a << . 故答案为17,212⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.an=4n=12n+1n≥2【解析】【分析】根据和项与通项关系得结果【详解】当n≥2时an =Sn -Sn -1=2n +1当n =1时a1=S1=4≠2×1+1因此an =4n=12n+1n≥2【点睛】本题考 解析:【解析】 【分析】根据和项与通项关系得结果. 【详解】当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1, 当n =1时,a 1=S 1=4≠2×1+1,因此a n =.【点睛】本题考查和项与通项公式关系,考查基本分析求解能力.19.1【解析】试题分析:由得所以(当且仅当即时等号成立)所以答案应填1考点:1对数的运算性质;2基本不等式解析:1 【解析】试题分析:由log 41,a b =-得104a b=>, 所以112144a b b b b b+=+≥⋅=(当且仅当14b b =即12b =时,等号成立) 所以答案应填1.考点:1、对数的运算性质;2、基本不等式.20.【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即:整理得:上式对任意正整数n 成立则解得:【点睛】本题 解析:12【解析】 【分析】表示出n S n S n + 【详解】等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,前n 项和为n S ,设其首项为1a ,则n S=()112n nna d-+,又数列也为公差为d=()1n d-()1n d=-=上式对任意正整数n成立,则)212122dddda d d⎧=⎪=⎪-+=⎪⎩,解得:12d=,134a=-【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和及通项公式,考查了方程思想及转化思想、观察能力,属于中档题.三、解答题21.(1) 234a;(2)【解析】【分析】(1)连接OB,则123AOBπθ∠=-,由等边三角形ABC的边长为a,可得OA OB==,再利用三角形面积公式求解即可;(2)根据三角形的对称性可得12sin sin22AAOAθθ==,112sin sin3232222A B OBπθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则周长为关于θ的函数,进而求得最值即可【详解】(1)Q等边三角形ABC的边长为a,OA OB∴==,连接OB,123AOBπθ∴∠=-,2123sin sin 236S OA ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, ∴当6πθ=时,六边形徽标的面积为234S a =(2)在1AOA V 中,12sinsin 232AA OA a θθ==, 在1BOA V 中,112sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 设周长为()f q ,则()()113sin 23f AA A B θπθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,20,3θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 当且仅当232θππ+=,即3πθ=时,()max fθ=【点睛】本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想22.(1)2nn a =; (2)见解析.【解析】 【分析】(1)由等比数列前n 项和公式求出公比q 和首项1a ,得通项公式; (2)用裂项相消法求出和n T ,可得结论. 【详解】(1)设等比数列的首项及公比分别为10a >,0q >,26S =Q ,314S =,显然1q ≠,()()21311611141a q qa qq⎧-⎪=-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩,解得122a q =⎧⎨=⎩, 2n n a ∴=;(2)证明:由(1)知,n b n =,则11111(1)1n n b b n n n n +==-++, 121n n n T b b b b -∴=++⋯⋯++1111111111223111n n n n n =-+-+⋯⋯+-+-=--++, *n N ∈Q ,1n T ∴<.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和与通项公式,考查裂项相消法求数列的和.基本量法是解决等差数列和等比数列的常用方法.裂项相消法、错位相减法、分组(并项)求和法是数列求和的特殊方法,它们针对的是特殊的数列求和. 23.(1) 32m =;(2)4. 【解析】试题分析:(Ⅰ)先根据绝对值定义解不等式解集为][(),22,-∞-⋃+∞,再根据解集相等关系得122m +=,解得32m =.(Ⅱ)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题,即()max212322y yax x --+≤+,根据绝对值三角不等式可得()max21234x x --+=,再利用变量分离转化为对应函数最值问题:()max242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦,根据基本不等式求最值: ()()224224242y yy y ⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦,因此4a ≥,所以实数a 的最小值为4.试题解析:(Ⅰ)由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][(),22,-∞-⋃+∞. 由221x m ≤+,得1122m x m --≤≤+, 所以,由122m +=,解得32m =. (Ⅱ)不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322yya x x --+≤+, 由题意知()max212322y yax x --+≤+. 因为()()212321234x x x x --+≤--+=, 所以242y y a +≥,即()242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立,则()max 242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦.而()()224224242yyyy⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦,当且仅当242y y =-,即1y =时等号成立,故4a ≥,所以实数a 的最小值为4. 24.(1)14n n a -=(2)322499n n n T +=⨯- 【解析】 【分析】(1)利用公式1n n n a S S -=-代入计算得到答案.(2)先计算得到()114n n n a b n -=+⨯,再利用错位相减法计算得到答案.【详解】 (1)因为4133n n S a =-,所以()1141233n n S a n --=-≥, 所以当2n ≥时,14433n n n a a a -=-,即14n n a a -=, 当1n =时,114133S a =-,所以11a =,所以14n n a -=.(2)()114n n n a b n -=+⨯,于是()01221243444414n n nT n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ,①()12314243444414n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ,②由①-②,得()121223244414433n nn n T n n -⎛⎫-=++++-+⨯=-+⨯ ⎪⎝⎭L , 所以322499n n n T +=⨯-. 【点睛】本题考查了数列的通项公式,利用错位相减法计算数列的前n 项和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 25.(1)14m ≥(2)[]6,12- 【解析】 【分析】(1)由已知根据基本不等式得2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭,再由不等式的恒成立的思想:ab m ≤恒成立,则需()max m ab ≥得所求范围;(2)根据基本不等式得()41419a b a b a b ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭,再根据不等式恒成立的思想得到绝对值不等式2129x x --+≤,运用分类讨论法可求出不等式的解集. 【详解】(1)0a >,0b >,且1a b +=,∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时“=”成立,由ab m ≤恒成立,故14m ≥. (2)∵(),0,a b ∈+∞,1a b +=,∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,故若41212x x a b+≥--+恒成立,则2129x x --+≤, 当2x -≤时,不等式化为1229x x -++≤,解得62x -≤≤-,当122x -<<,不等式化为1229x x ---≤,解得122x -<<, 当12x ≥时,不等式化为2129x x ---≤,解得1122x ≤≤. 综上所述,x 的取值范围为[]6,12-. 【点睛】本题综合考查运用基本不等式求得最值,利用不等式的恒成立的思想建立相应的不等关系,分类讨论求解绝对值不等式,属于中档题.26.(1)*21,n a n n N =-∈(2)存在,2,12m k ==【解析】 【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的通项公式与前n 项和公式得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,从而求出21n a n =-; (2)由(1)得()2122n n n S n n -=+⨯=,由211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭,利用裂项相消法得21n n T n =+,若23k m T T =,则()2232121k m k m =++,整理得223412m k m m =+-,由1k m >>得11m <<+,从而可求出答案. 【详解】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈;(2)()2122n n n S n n -=+⨯=,211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭,1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,若23k m T T =,则()2232121k m k m =++,整理得223412m k m m=+-, 又1k m >>,2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩,整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩,解得112m <<+, 又*m N ∈,2m ∴=,12k ∴=, ∴存在2,12m k ==满足题意. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和,考查裂项相消法求和,属于中档题.。
2020-2021高三数学上期末试卷及答案(3) 一、选择题1.已知数列{}n a的前n项和为n S,且1142nna-⎛⎫=+-⎪⎝⎭,若对任意*Nn∈,都有()143np S n≤-≤成立,则实数p的取值范围是()A.()2,3B.[]2,3C.92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为()A.65B.184C.183D.1763.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将1,2,...,9填入33⨯的方格内,使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地,将连续的正整数1,2,3,…,2n填入n n⨯的方格内,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为n N(如:在3阶幻方中,315N=),则10N=()A.1020B.1010C.510D.5054.设实数,x y满足242210x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩,则1yx+的最大值是()A.-1B.12C.1D.325.“0x>”是“12xx+≥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知数列{}n a满足112,0,2121,1,2n nnn na aaa a+⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a=,则数列的第2018项为()A .15B .25C .35D .457.设2z x y =+,其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩,若z 的最小值是12-,则z 的最大值为( ) A .9-B .12C .12-D .98.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2,n S ,3n a 成等差数列,则5S 的值是( ) A .243-B .242-C .162-D .2439.已知数列{}n a 中,()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和,5S的值为( )A .63B .61C .62D .5710.在△ABC 中,若1tan 15013A C BC ︒===,,,则△ABC 的面积S 是( ) A .338- B .334- C .33+ D .33+ 11.ABC ∆中有:①若A B >,则sin sin A>B ;②若22sin A sin B =,则ABC ∆—定为等腰三角形;③若cos acosB b A c -=,则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有( ) A .0B .1C .2D .312.在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,90ABC ∠=o ,22AB BC CD ==,则cos DAC ∠=( )A .25B .5 C .310D .10 二、填空题13.已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最大值为__________.14.关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ,b ],则b -a =________. 15.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升; 16.若为等比数列的前n 项的和,,则=___________17.设{}n a 是公比为q 的等比数列,1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=L ,若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中,则6q = .18.在等差数列{}n a 中,12a =,3510a a +=,则7a = .19.已知0a >,0b >,且31a b +=,则43a b+的最小值是_______. 20.已知是数列的前项和,若,则_____.三、解答题21.若0,0a b >>,且11ab a b+= (1)求33+a b 的最小值;(2)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由.22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足37a =,999S =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若()2n n n a b n N *=∈,求数列{}n b 的前n 项和n T . 23.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,且2222cos cos b c a ac C c A +-=+.(1)求A ;(2)在ABC ∆中,3BC =D 为边AC 的中点,E 为AB 边上一点,且DE AC ⊥,62DE =,求ABC ∆的面积. 24.已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,等差数列{}n b 的公差为2d ,设n A ,n B 分别是数列{}n a ,{}n b 的前n 项和,且13b =,23A =,53A B =. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)设11n n n n c b a a +=+•,数列{}n c 的前n 项和为n S ,证明:2(1)n S n <+.25.己知数列的前n 项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n 项和.26.如图,在四边形ABCD 中,7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=(1)求CAD ∠的正弦值;(2)若2BAC CAD ∠=∠,且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍,求AB 的长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立, 当1n =时,13p ≤≤ 当2n =时,26p ≤≤ 当3n =时,443p ≤≤归纳得:23p ≤≤ 故选B点睛:根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ,为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论,求得最后的结果2.B解析:B 【解析】分析:将原问题转化为等差数列的问题,然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解:由题意可得,8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列,且前8项和为996, 设首项为1a ,结合等差数列前n 项和公式有:811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=, 解得:165a =,则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛:本题主要考查等差数列前n 项和公式,等差数列的应用,等差数列的通项公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.D解析:D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数,其和为()222112...,2n n n n ++++=Q 阶幻方共有n 行,∴每行的和为()()2221122n n n n n++=,即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==,故选D.4.D解析:D 【解析】 【分析】由约束条件确定可行域,由1y x+的几何意义,即可行域内的动点与定点P (0,-1)连线的斜率求得答案. 【详解】由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩,作出可行域如图,联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩,解得A (112,),1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P (0,-1)连线的斜率, 由图可知,113212PAk +==最大.故答案为32. 【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,属于中档题型.5.C解析:C 【解析】先考虑充分性,当x>0时,1122x x x x+≥⋅=,当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性,当12x x+≥时,如果x>0时,22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立,当x=1时取等.当x<0时,不等式不成立. 所以x>0. 故选C.6.A解析:A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项,可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列,即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ,211215a a =-=,32225a a ==,43425a a ==,5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列,则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.7.B解析:B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域,当目标函数过点A 时,z 取最小值,即min 12z =-,可求得k 的值,当目标函数过点B 时,z 取最大值,即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域,如下图阴影部分,目标函数可化为2y x z =-+,联立20x y y k +=⎧⎨=⎩,可得()2,A k k -,当目标函数过点A 时,z 取最小值,则()2212k k ⨯-+=-,解得4k =,联立0x y y k-=⎧⎨=⎩,可得(),B k k ,即()4,4B ,当目标函数过点B 时,z 取最大值,max 24412z =⨯+=.故选:B.【点睛】本题考查线性规划,考查学生的计算求解能力,利用数形结合方法是解决本题的关键,属于基础题.8.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列,所以223n n S a =+,当1n =时,111223,2S a a =+∴=-;当2n ≥时,1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-,即11322n n a a -=,即()132nn a n a -=≥,∴数列{}n a 是首项12a =-,公比3q =的等比数列,()()55151213242113a q S q---∴===---,故选B.9.D解析:D 【解析】解:由数列的递推关系可得:()11121,12n n a a a ++=++= , 据此可得:数列{}1n a + 是首项为2 ,公比为2 的等比数列,则:1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ,分组求和有:()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.10.A解析:A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c , 【详解】A 是三角形内角,1tan 3A =,∴sin A = 由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 2a C c A ===, 又2222cos c a b ab C =+-,即22512cos15012b b b =+-︒=+,2302b +-=,32b =(32b =舍去),∴11sin 122ABC S ab C ∆==⨯︒=. 故选:A . 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,考查同角间的三角函数关系.解三角形中公式较多,解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式,再选用哪个公式.要有统筹安排,不致于凌乱.11.C解析:C 【解析】 【分析】①根据正弦定理可得到结果;②根据A B =或,2A B π+=可得到结论不正确;③可由余弦定理推得222a b c =+,三角形为直角三角形. 【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理sin sin a bA B =知sinA sinB >,①正确;②22sin A sin B =,则A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形;所以②错误;③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=,化简得222a b c =+,所以③正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.C解析:C 【解析】 【分析】设1BC CD ==,计算出ACD ∆的三条边长,然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠. 【详解】如下图所示,不妨设1BC CD ==,则2AB =,过点D 作DE AB ⊥,垂足为点D ,易知四边形BCDE 是正方形,则1BE CD ==,1AE AB BE ∴=-=, 在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+=,同理可得225AC AB BC =+=,在ACD ∆中,由余弦定理得2222310cos 2252AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅⨯⨯, 故选C .【点睛】本题考查余弦定理求角,在利用余弦定理求角时,首先应将三角形的边长求出来,结合余弦定理来求角,考查计算能力,属于中等题.二、填空题13.10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时解析:10 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域,由2z x y =+得2y x z =-+,平移直线2y x z =-+,根据z 的几何意义求出最优解,进而得到所求的最大值.【详解】画出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示.由2z x y =+得2y x z =-+.平移直线2y x z =-+,结合图形可得,当直线经过可行域内的点A 时,直线在y 轴上的截距最大,此时z 取得最大值.由402x yy+-=⎧⎨=-⎩,解得62xy=⎧⎨=-⎩,故点A的坐标为(6,2)-,所以max26210z=⨯-=.故答案为10.【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用,解题时要先判断出目标函数中z的几何意义,然后再结合图形求解,常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种,其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域.14.4【解析】【分析】设f(x)x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x轴平行的直线y=a和y=b如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间;此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有解析:4【解析】【分析】设f(x)3 4 =x2﹣3x+4,其函数图象是抛物线,画两条与x轴平行的直线y=a和y=b,如果两直线与抛物线有两个交点,得到解集应该是两个区间;此不等式的解集为一个区间,所以两直线与抛物线不可能有两个交点,所以直线y=a应该与抛物线只有一个或没有交点,所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b,利用f (b)=b求出b的值,由抛物线的对称轴求出a的值,从而求出结果.【详解】解:画出函数f(x)=34x2﹣3x+4=34(x-2)2+1的图象,如图,可得f(x)min=f(2)=1,由图象可知,若a>1,则不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集分两段区域,不符合已知条件,因此a≤1,此时a≤x2-3x+4恒成立.又不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集为[a,b],所以a≤1<b,f(a)=f(b)=b,可得2233443344a a bb b b⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩由34b 2-3b +4=b ,化为3b 2-16b +16=0, 解得b =43或b =4. 当b =43时,由34a 2-3a +4-43=0,解得a =43或a =83, 不符合题意,舍去,所以b =4,此时a =0,所以b -a =4.故答案为:4【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题,解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题,是中档题.15.【解析】试题分析:由题意可知解得所以考点:等差数列通项公式 解析:6766【解析】试题分析:由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=,解得137,2266a d ==,所以5167466a a d =+=. 考点:等差数列通项公式. 16.-7【解析】设公比为q 则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3=q6-1q3-1=q3+1=-8+1=-7解析:-7【解析】设公比为,则,所以.. 17.【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9解析:9-【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--,四项24,36,54,81--成等比数列,公比为32q =-,6q = -9. 18.8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8 解析:8【分析】【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则351712610a a a a a d +=+=+=,所以71101028a a =-=-=,故答案为8.19.【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为:【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解 解析:25【解析】【分析】利用1的代换,将求式子43a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b++的最小值,再利用基本不等式,即可求得最小值.【详解】 因为4343123123()(3)4913225b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++≥+⋅=, 等号成立当且仅当21,55a b ==. 故答案为:25.【点睛】 本题考查1的代换和基本不等式求最值,考查转化与化归思想的运用,求解时注意一正、二定、三等的运用,特别是验证等号成立这一条件.20.4950【解析】【分析】由an+Sn =2nan+1+Sn+1=2n+1两式相减可得2an+1﹣an =2n 即可计算【详解】解:∵an+Sn =2nan+1+Sn+1=2n+1两式相减可得2an+1﹣an解析:【解析】【分析】由a n +S n =2n ,a n +1+S n +1=2n +1,两式相减可得2a n +1﹣a n =2n .即可计算.【详解】解:∵a n +S n =2n ,a n +1+S n +1=2n +1,两式相减可得2a n +1﹣a n =2n .则(2a 2﹣a 1)(2a 3﹣a 2)…(2a 100﹣a 99)=21•22•23…299=24950.本题考查了数列的递推式,属于中档题.三、解答题21.(1);(2)不存在.【解析】【分析】(1)由已知11a b+=,利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥,利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ,由不等式的传递性,可求33+a b 的最小值;(2)由基本不等式可求23a b +的最小值为6>,故不存在.【详解】(111a b =+≥,得2ab ≥,且当a b ==故33+ab ≥≥a b ==所以33+a b的最小值为 (2)由(1)知,23a b +≥≥由于6>,从而不存在,a b ,使得236a b +=成立.【考点定位】基本不等式.22. (Ⅰ)21n a n =+,n *∈N (Ⅱ)2552n n n T +=-【解析】试题分析:(1)先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可(2)利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时,注意相减时项的符号变化,中间部分利用等比数列求和时注意项数,最后要除以1q - 试题解析:(Ⅰ)由题意得:1127989992a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+,*n N ∈ (Ⅱ)由(Ⅰ)得:212n nn b += 23435792122222n n n T +=++++⋯+ ① 234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋯++ ②①-②得:23411311112122222222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=- 故2552n nn T +=- 点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.23.(1) 3A π=【解析】【分析】(1)由余弦定理得2cos cos cos b A a C c A =+,再由正弦定理得2sin cos sin()B A A C ⋅=+,进而得1cos 2A =,即可求解(2)在Rt AED ∆中,求得2AD =,AC =,再ABC ∆中由正弦定理得4B π=,结合三角形的面积公式,即可求解.【详解】 (1)由余弦定理有22cos cos cos bc A ac C c A =+,化简得2cos cos cos b A a C c A =+,由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin sin()B A A C C A A C ⋅=⋅+=+∵A B C π++=,∴2sin cos sin B A B ⋅=,∵0B π<<,∴sin 0B ≠,∴1cos 2A =,又由0A π<<,∴3A π=. (2)在AEC ∆中,D 为边AC 的中点,且DE AC ⊥,在Rt AED ∆中,2DE =,3A π=,所以2AD =,AC =ABC ∆中由正弦定理得sin sin AC BC B A =,得sin B 4B π=,512C π=,所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=【点睛】 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用,其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系,熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时,运用正弦定理求解;当涉及三边或两边及其夹角时,运用余弦定理求解.24.(1)n a n =,21n b n =+;(2)见解析【解析】【分析】(1)由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ,的方程组求解则n a n =可求,进而得21n b n =+(2)利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明 【详解】 (1)因为数列{}n a ,{}n b 是等差数列,且23A =,53A B =,所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得111a d =⎧⎨=⎩, 所以()11?n a a n d n =+-=,即n a n =,()11221n b b n d n =+-⋅=+,即21n b n =+.综上,n a n =,21n b n =+.(2)由(1)得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭, 所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式及求和公式,裂项相消求和,考查推理计算能力,是中档题25.(1);(2) 【解析】【分析】(1)运用,证明数列是等比数列,计算通项,即可。
2020-2021高三数学上期末试题及答案(7)一、选择题1.设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩,则46y x ++的取值范围是A .3[3,]7- B .[3,1]- C .[4,1]-D .(,3][1,)-∞-⋃+∞2.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,若,1,3A b π==ABC ∆的面积为32,则a 的值为( ) A .2B .3C .3 D .13.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且239522,1a a a a ⋅==,则1a = ( )A .12B .2C .2D .224.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若36=2S =18S ,,则105S S 等于( ) A .-3B .5C .33D .-315.已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩,若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32,则正实数a 的值为( ) A .4 B .3C .2D .16.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若∠C=120°,c=a ,则A .a >bB .a <bC .a =bD .a 与b 的大小关系不能确定7.“0x >”是“12x x+≥”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*21n n S a n N =-∈,则5a 等于( )A .16-B .16C .31D .329.已知01x <<,01y <<,则)AB.CD.10.已知数列{}n a的前n项和为n S,1112n na S a+=,=,则nS=()A.12n-B.13()2n-C.12()3n-D.112n-11.等差数列{}n a中,34512a a a++=,那么{}n a的前7项和7S=()A.22B.24C.26D.2812.一个递增的等差数列{}n a,前三项的和12312a a a++=,且234,,1a a a+成等比数列,则数列{}n a的公差为 ( )A.2±B.3C.2D.1二、填空题13.设x>0,y>0,x+2y=4,则(4)(2)x yxy++的最小值为_________.14.ABC∆内角A、B、C的对边分别是a,b,c,且2cos(32)cosb C ac B=-.当b=2a c=,ABC∆的面积为______.15.若x,y满足约束条件13x yx yxy-≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则2z x y=-的最大值是__________.16.观察下列的数表:24 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30…… ……设2018是该数表第m行第n列的数,则m n⋅=__________.17.在钝角ABCV中,已知1AB AC==,若ABCV BC的长为______.18.已知n S为数列{}n a的前n项和,且13a=,131n na S+=+,*n∈N,则5S=______. 19.ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c,已知)cos cos,60a C c Ab B-==︒,则A的大小为__________.20.设x ,y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.三、解答题21.已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C的对边,且sin cos 20A a B a --=.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)若b =ABC ∆a c +的值. 22.若0,0ab >>,且11a b+=(1)求33+a b 的最小值;(2)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由. 23.等差数列{}n a 中,71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设1n nb na =,求数列{}n b 的前n 项和n S . 24.已知函数()21f x x =-. (1)若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞,求实数m 的值; (2)若不等式()2232y y af x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立,求正实数a 的最小值.25.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)令2n n n b a =⋅*()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T .26.已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-. (1)求证:A B =;(2)若c =3cos 4C =,求ABC ∆的周长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域,而46y x ++表示两点P (x,y )与A (-6,-4)连线的斜率,所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-,选B.点睛:线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2.B解析:B 【解析】试题分析:由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点:考查三角形面积计算公式及余弦定理.3.D解析:D 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q=,又因为等比数列{}n a 的公比为正数,所以q212a a q ===,故选D. 4.C解析:C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比,再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q (公比显然不为1),则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---,得2q =, 因此,()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---,故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算,利用等比数列求和公式求出其公比,是解本题的关键,一般在求解等比数列问题时,有如下两种方法:(1)基本量法:利用首项和公比列方程组解出这两个基本量,然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算;(2)性质法:利用等比数列下标有关的性质进行转化,能起到简化计算的作用.5.D解析:D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域,根据目标函数的几何意义,利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++, 设11y k x +=+,则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率, 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32,即12z k =+的最小值是32,由3122k +=,得14k =,即k 的最小值是14,作出不等式组对应的平面区域如图:由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时,直线的斜率k 最小,此时011314k a +==+, 得314a +=,得1a =. 故选:D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数,解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解,考查数形结合思想的应用,属于中等题.6.A解析:A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,进而求得a ﹣b 的表达式,根据表达式与0的大小,即可判断出a 与b 的大小关系. 【详解】解:∵∠C =120°,ca ,∴由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,()2=a 2+b 2+ab .∴a 2﹣b 2=ab ,a ﹣b ,∵a >0,b >0, ∴a ﹣b ,∴a >b 故选A . 【点睛】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题.7.C解析:C 【解析】先考虑充分性,当x>0时,12x x +≥=,当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性,当12x x+≥时,如果x>0时,22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立,当x=1时取等.当x<0时,不等式不成立. 所以x>0. 故选C.8.B解析:B 【解析】 【分析】令1n =,由11a S =可求出1a 的值,再令2n ≥,由21n n S a =-得出1121n n S a --=-,两式相减可得出数列{}n a 为等比数列,确定出该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时,1121S a =-,即1121a a =-,解得11a =;当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得122n n n a a a -=-,得12n n a a -=.所以,数列{}n a 是以1为首项,以2为公比的等比数列,则451216a =⨯=,故选:B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ,一般利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用,考查运算求解能力,属于中等题.9.B解析:B 【解析】 【分析】2+≥x y,边分别相加求解。
2020-2021高三数学上期末试卷含答案(6)一、选择题1.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =,则ABC ∆( )A .一定是锐角三角形B .一定是直角三角形C .一定是钝角三角形D .可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形2.在ABC V 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2cos 22C a b a+=,则ABC V 的形状一定是( ) A .直角三角形B .等边三角形C .等腰三角形D .等腰直角三角形3.已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、,面积为S ,且2()tan 23tan 2bc c BS B +=+,则A 等于( )A .6π B .4π C .3π D .2π 4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若∠C=120°,c=a ,则A .a >bB .a <bC .a =bD .a 与b 的大小关系不能确定5.在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若此数列的前10项和S 10=36,前18项的和S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ( ) A .24B .48C .60D .846.已知正项等比数列{}n a 的公比为3,若229m n a a a =,则212m n+的最小值等于( ) A .1B .12C .34 D .327.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,前n 项和为n S ,若26442,S 6a S a =-=,则5a = A .4B .10C .16D .328.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*21n n S a n N =-∈,则5a 等于( )A .16-B .16C .31D .329.已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤,则24z x y =+的最小值是( )A .6-B .5C .10D .10-10.在R 上定义运算:A()1B A B =-,若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .11a -<<B .02a <<C .1322a -<< D .3122a -<< 11.如图,为了测量山坡上灯塔CD 的高度,某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo,=30αo ,若山坡高为=35a ,则灯塔高度是( )A .15B .25C .40D .6012.ABC ∆中有:①若A B >,则sin sin A>B ;②若22sin A sin B =,则ABC ∆—定为等腰三角形;③若cos acosB b A c -=,则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有( ) A .0B .1C .2D .3二、填空题13.设x >0,y >0,x +2y =4,则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.14.在等差数列{}n a 中,首项13a =,公差2d =,若某学生对其中连续10项进行求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下9项的和为185,则此连续10项的和为 . 15.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是__________. 16.若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n naa +-= ②1111n na a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121n n a a +-=,则D 型数列{}n a 的序号为_______.17.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=,则k = . 18.如果一个数列由有限个连续的正整数组成(数列的项数大于2),且所有项之和为N ,那么称该数列为N 型标准数列,例如,数列2,3,4,5,6为20型标准数列,则2668型标准数列的个数为______.19.若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________. 20.设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{}nS 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______.三、解答题21.在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,且2sin 3tan c B a A =.(1)求222b c a+的值; (2)若2a =,求ABC ∆面积的最大值.22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足()*2N n n S a n n =-∈.(Ⅰ)证明:{}1n a +是等比数列; (Ⅱ)求13521n a a a a -+++⋯+的值.23.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)令2n n n b a =⋅*()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T .24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且221n n n S na a =+-. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,证明:4nT <. 25.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求{}n b 的前n 项和n T . 26.已知0a >,0b >,且1a b +=. (1)若ab m ≤恒成立,求m 的取值范围; (2))若41212x x a b+≥--+恒成立,求x 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =,得出::5:11:13a b c =,可得出角C 为最大角,并利用余弦定理计算出cos C ,根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =,可得出::5:11:13a b c =, 设()50a t t =>,则11b t =,13c t =,则角C 为最大角,由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯,则角C 为钝角,因此,ABC ∆为钝角三角形,故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状,只需得出最大角的属性即可,但需结合大边对大角定理进行判断,考查推理能力与计算能力,属于中等题.2.A解析:A 【解析】 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =,结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =,即可确定ABC V 的形状. 【详解】22cos 2a baC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式,在化简2cos22C a b a+=时,将边化为角,使边角混杂变统一,还有三角形内角和定理的运用,这一点往往容易忽略.3.C解析:C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=,结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=,从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 223tan 2bc c B B +=+即c tan asinB a 3tan 13sin b B B B cosB+==++,,∴()3sinAsin B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ ∴3sinA cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, ∴5666A 或πππ-=(舍) ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式,以及三角恒等变换,熟练掌握边角的转化是解本题的关键.4.A解析:A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,进而求得a ﹣b 的表达式,根据表达式与0的大小,即可判断出a 与b 的大小关系. 【详解】解:∵∠C =120°,ca ,∴由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,()2=a 2+b 2+ab .∴a 2﹣b 2=ab ,a ﹣b ,∵a >0,b >0, ∴a ﹣b ,∴a >b 故选A . 【点睛】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题.5.C解析:C 【解析】试题分析:∵11011101100000a a a d a a ⋅∴>,<,<,>,<,∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=(),选C . 考点:1.等差数列的求和;2.数列的性质.6.C解析:C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3,且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=,当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛:利用基本不等式解题的注意点:(1)首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件,即“一正、二正、三相等”,且这三个条件必须同时成立.(2)若不直接满足基本不等式的条件,需要通过配凑、进行恒等变形,构造成满足条件的形式,常用的方法有:“1”的代换作用,对不等式进行分拆、组合、添加系数等. (3)多次使用基本不等式求最值时,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.7.C解析:C 【解析】由64S S -=6546a a a +=得,()22460,60q q a q q +-=+-=,解得2q =,从而3522=28=16a a =⋅⨯,故选C.8.B解析:B 【解析】 【分析】令1n =,由11a S =可求出1a 的值,再令2n ≥,由21n n S a =-得出1121n n S a --=-,两式相减可得出数列{}n a 为等比数列,确定出该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时,1121S a =-,即1121a a =-,解得11a =;当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得122n n n a a a -=-,得12n n a a -=.所以,数列{}n a 是以1为首项,以2为公比的等比数列,则451216a =⨯=,故选:B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ,一般利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用,考查运算求解能力,属于中等题.9.A解析:A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示,作直线:24l z x y =+,则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍, 联立3{x x y =+=,解得3{3x y ==-,结合图象知,当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时,直线l 在y 轴上的截距最小, 此时z 取最小值,即()min 23436z =⨯+⨯-=-,故选A. 考点:线性规划10.C解析:C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选:C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键11.B解析:B 【解析】 【分析】过点B 作BE DC ⊥于点E ,过点A 作AF DC ⊥于点F ,在ABD ∆中由正弦定理求得AD ,在Rt ADF ∆中求得DF ,从而求得灯塔CD 的高度. 【详解】过点B 作BE DC ⊥于点E ,过点A 作AF DC ⊥于点F ,如图所示,在ABD ∆中,由正弦定理得,sin sin AB ADADB ABD=∠∠,即sin[90(90)]sin(90)h ADαβα=︒--︒-︒+,cos sin()h AD αβα∴=-,在Rt ADF ∆中,cos sin sin sin()h DF AD αβββα==-,又山高为a ,则灯塔CD 的高度是3340cos sin 22356035251sin()2h CD DF EF a αββα=-=-=-=-=-. 故选B .【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理,考查了转化思想,属中档题.12.C解析:C 【解析】 【分析】①根据正弦定理可得到结果;②根据A B =或,2A B π+=可得到结论不正确;③可由余弦定理推得222a b c =+,三角形为直角三角形. 【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理sin sin a b A B =知sinA sinB >,①正确;②22sin A sin B =,则A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形;所以②错误;③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=,化简得222a b c =+,所以③正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.二、填空题13.9【解析】【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x +2y =4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析:9 【解析】【分析】将分式展开,利用基本不等式求解即可 【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+又x +2y =422,xy ≥即2xy ≤,当且仅当2,1x y ==等号成立,故原式9≥ 故填9 【点睛】本题考查基本不等式求最值,考查等价变换思想与求解能力,注意等号成立条件14.200【解析】试题分析:等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点:等差数列解析:200 【解析】试题分析:等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x N ++⋯∈,遗漏的项为*+,x n a n N ∈且19,n ≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+,化简得4494352x n ≤=+≤,所以5x =,511a =,则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯.考点:等差数列.15.【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案:点睛:根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的 解析:2210a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩,解得2210a << ∴实数a 的取值范围是(22,10). 答案:(22,10) 点睛:根据三角形的形状判断边满足的条件时,需要综合考虑边的限制条件,在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用,必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零,并由此得到不等式,进一步得到边所要满足的范围.16.①②③④【解析】【分析】根据D 型数列的定义逐个判断正项数列是否满足即可【详解】对①因为且正项数列故故所以成立对②故成立对③成立对④故成立综上①②③④均正确故答案为:①②③④【点睛】本题主要考查了新定解析:①②③④【解析】【分析】根据D 型数列的定义,逐个判断正项数列{}n a 是否满足11n n a a +-<即可.【详解】对①,因为2211n n a a +-=,且正项数列{}n a .故()222211211n n n n n a a a a a +=+<++=+,故11n n a a +<+.所以11n n a a +-<成立. 对②, 1111111111n n n n n n n a a a a a a a +++-=?=Þ++, 故22101111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +--=---++==<<+成立. 对③, 112221101111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++⎛⎫=⇒-=-=-<< ⎪+++⎝⎭成立 对④, ()2222112121211n n n n n n n a a a a a a a ++-=⇒=+<++=+.故11n n a a +<+,11n n a a +-<成立.综上, ①②③④均正确.故答案为:①②③④【点睛】本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明11n n a a +-<.属于中等题型. 17.10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k 的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式等差数 解析:10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得70a =,结合等差数列的性质即可求得k 的值.【详解】因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅41234S a a a a =+++,且94S S =所以567890a a a a a ++++=由等差数列性质可知70a =因为40k a a +=所以4770k a a a a +=+=则根据等差数列性质可知477k +=+可得10k =【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式,等差数列性质的应用,属于基础题.18.6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n(2a1+n-1)=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n(2a1+n-1)=解析:6【解析】【分析】由题意,公差d=1,na 1+()12n n -=2668,∴n (2a 1+n-1)=5336=23×23×29,得出满足题意的组数,即可得出结论.【详解】由题意,公差d=1,na 1+()12n n -=2668,∴n (2a 1+n-1)=5336=23×23×29, ∵n <2a 1+n-1,且二者一奇一偶,∴(n ,2a 1+n-1)=(8,667),(23,232),(29,184)共三组;同理d=-1时,也有三组.综上所述,共6组.故答案为6.【点睛】本题考查组合知识的运用,考查等差数列的求和公式,属于中档题.19.1【解析】试题分析:由得所以(当且仅当即时等号成立)所以答案应填1考点:1对数的运算性质;2基本不等式解析:1【解析】试题分析:由log 41,a b =-得104a b =>,所以114a b b b +=+≥=(当且仅当14b b =即12b =时,等号成立) 所以答案应填1.考点:1、对数的运算性质;2、基本不等式.20.【解析】分析:设公差为d 首项利用等差中项的性质通过两次平方运算即可求得答案详解:设公差为d 首项和都是等差数列且公差相等即两边同时平方得:两边再平方得:又两数列公差相等即解得:或为正项数列故答案为:点 解析:14【解析】分析:设公差为d ,首项1a ,利用等差中项的性质,通过两次平方运算即可求得答案. 详解:设公差为d ,首项1a ,Q {}n a 和都是等差数列,且公差相等,∴=,即=,两边同时平方得:()1114233a d a a d +=+++14a d +=两边再平方得:()221111168433a a d d a a d ++=+, ∴2211440a a d d -+=,12d a =,又两数列公差相等,2112a a d a =-==,12a =,解得:114a =或10a =, Q {}n a 为正项数列,∴114a =.故答案为:14. 点睛:本题考查等差数列的性质,考查等差中项的性质,考查化归与方程思想.三、解答题21.(1)2224b c a+=(2 【解析】【分析】(I )由题意2sin 3tan c B a A =,利用正、余弦定理化简得2224b c a +=,即可得到答案.(II )因为2a =,由(I )知222416b c a +==,由余弦定理得6cos A bc =,进而利用基本不等式,得到6cos bc A =,且(0,)2A π∈,再利用三角形的面积公式和三角函数的性质,即可求解面积的最大值.【详解】解:(I )∵2sin 3tan c B a A =,∴2sin cos 3sin c B A a A =,由正弦定理得22cos 3cb A a =, 由余弦定理得22222?32b c a cb a bc+-=,化简得2224b c a +=, ∴2224b c a +=. (II )因为2a =,由(I )知222416b c a +==, ∴由余弦定理得2226cos 2b c a A bc bc+-==, 根据重要不等式有222b c bc +≥,即8bc ≥,当且仅当b c =时“=”成立, ∴63cos 84A ≥=. 由6cos A bc =,得6cos bc A =,且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ∴ABC ∆的面积116sin sin 3tan 22cos S bc A A A A ==⨯⨯=. ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A++=+==,∴tan 3A =≤=∴3tan S A =≤∴ABC ∆的面积S.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题,对于解三角形问题,通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系,利用“角转边”寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系求角,利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,经常利用三角形内角和定理,三角形面积公式,结合正、余弦定理解题.22.(I )见解析;(II )()2413n n --【解析】【分析】(I )计算1n S -,根据,n n S a 关系,可得121n n a a -=+,然后使用配凑法,可得结果. (II )根据(1)的结果,可得n a ,然后计算21n a -,利用等比数列的前n 和公式,可得结果.【详解】(I )由2n n S a n =-①当1n =时,可得111211S a a =-⇒=当2n ≥时,则()1121n n S a n --=--②则①-②:()12212n n n a a a n -=--≥则()1121121n n n n a a a a --=+⇒+=+又112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项,2为公比的等比数列(II )由(I )可知:1221n n n n a a +=⇒=- 所以2121121412n n n a --=-=⋅- 记13521n n T a a a a -=+++⋯+ 所以()2144 (42)n n T n =+++- 又()()241444144...4143n n n --+++==- 所以()()4412411233n n n T n n --=⋅-=- 【点睛】本题考查,n n S a 的关系证明等比数列以及等比数列的前n 和公式,熟练公式,以及掌握,n n S a 之间的关系,属基础题.23.(1)n a n =(2)1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】试题分析:(Ⅰ)因为数列是等差数列,所以根据等差数列的通项公式建立关于首项和公差的方程组11246{434102a d a d +=⨯+=,即可解得11{1a d ==,从而写出通项公式n a n =; (Ⅱ)由题意22n n n nb a n =⋅=⋅,因为是等差数列与等比数列相乘的形式,所以采取错位相减的方法,注意错位相减后利用等比数列前n 项和公式,化简要准确得1(1)22n n T n +=-⋅+.试题解析:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,由2446,10a a S +==, 可得11246{434102a d a d +=⨯+=, 即1123{235a d a d +=+=, 解得11{1a d ==, ∴()111(1)n a a n d n n =+-=+-=, 故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =(Ⅱ)依题意,22n n n n b a n =⋅=⋅,∴12n n T b b b =+++L231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ,又2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ,两式相减得2311(22222)2n n n n T n -+-=+++++-⋅L()1212212nn n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-,∴1(1)22n n T n +=-⋅+考点:1、等差数列通项公式;2、等差数列的前n 项和;3、等比数列的前n 项和;4、错位相减法.24.(1)1()2n n a n N *+=∀∈;(2)见解析 【解析】【分析】(1)根据前n 项和与通项间的关系得到,221n n n S na a =+-,()1112121n n n S n a a ---=-+-,两式做差即可得到数列11n n a a n n -=+,数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列,112n a n =+,即12n n a +=;(2)根据第一问得到()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+,裂项求和即可. 【详解】(1)当1n =时,111221S a a =+-,即11a =,当2n ≥时,221n n n S na a =+- ①, ()1112121n n n S n a a ---=-+- ②-①②,得()112122n n n n n a na n a a a --=--+-,即()11n n na n a -=+,所以11n n a a n n -=+,且1122a =, 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列,112n a n =+,即()*12n n a n N +=∀∈. (2)由(1)得12n n a +=,所以()()22144114111na n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+, 所以()()22224444444423412233411n T n n n =++++<++++⨯⨯⨯++L L ,11111111414142233411n n n L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系,求n a 表达式,一般是写出1n S -做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等.25.(Ⅰ)13,1,{3,1,n n n a n -==>; (Ⅱ)13631243n nn T +=-⨯. 【解析】【分析】(Ⅰ)利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解;(Ⅱ)结合第(Ⅰ)问的结果,利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式,并结合其通项的结构特征,采用错位相减法求其前n 项和n T .【详解】(Ⅰ)因为233=+n n S ,所以,1233a =+,故13,a =当1n >时,11233,n n S --=+此时,1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以,13,1,{3,1,n n n a n -==> (Ⅱ)因为3log n n n a b a =,所以113b =, 当1n >时,()11133log 313n n n n b n ---==-⋅ 所以1113T b ==, 当1n >时, ()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-L , 所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦L ,两式相减,得()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅L ()11121313313n n n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯所以13631243n nn T +=-⨯, 经检验,1n =时也适合, 综上可得:13631243n n n T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系,特殊数列的求和问题,关键在于运用错位相减法进行数列求和,注意考虑1n =的情况,属于中档题.26.(1)14m ≥(2)[]6,12- 【解析】【分析】(1)由已知根据基本不等式得2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,再由不等式的恒成立的思想:ab m ≤恒成立,则需()max m ab ≥得所求范围;(2)根据基本不等式得()41419a b a b a b ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭,再根据不等式恒成立的思想得到绝对值不等式2129x x --+≤,运用分类讨论法可求出不等式的解集.【详解】(1)0a >,0b >,且1a b +=,∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时“=”成立,由ab m ≤恒成立,故14m ≥. (2)∵(),0,a b ∈+∞,1a b +=,∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,故若41212x x a b+≥--+恒成立,则2129x x --+≤, 当2x -≤时,不等式化为1229x x -++≤,解得62x -≤≤-, 当122x -<<,不等式化为1229x x ---≤,解得122x -<<, 当12x ≥时,不等式化为2129x x ---≤,解得1122x ≤≤. 综上所述,x 的取值范围为[]6,12-.【点睛】本题综合考查运用基本不等式求得最值,利用不等式的恒成立的思想建立相应的不等关系,分类讨论求解绝对值不等式,属于中档题.。
2020-2021高三数学上期末试卷(带答案)(1)一、选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,若对任意*N n ∈,都有()143n p S n ≤-≤成立,则实数p 的取值范围是( )A .()2,3B .[]2,3C .92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,若,1,3A b π==ABC ∆的面积为3,则a 的值为( ) A .2B .3C .3 D .13.设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A .5-B .4C .3-D .114.正项等比数列中,的等比中项为,令,则( ) A .6B .16C .32D .645.在ABC ∆中,2AC =,22BC =135ACB ∠=o ,过C 作CD AB ⊥交AB 于D ,则CD =( ) A 25B 2C 3D 56.在ABC V 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2cos 22C a b a+=,则ABC V 的形状一定是( ) A .直角三角形 B .等边三角形C .等腰三角形D .等腰直角三角形7.若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1),则4a b +的最小值为( ) A .6 B .8 C .9 D .10 8.已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、,面积为S ,且223tan 2S B =+,则A 等于( )A .6π B .4π C .3π D .2π9.已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是( ) A .[1,4]B .[)2,+∞C .(2,4)D .(4,)+∞10.等差数列{}n a 中,已知611a a =,且公差0d >,则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A .6B .7C .8D .911.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若2b c =,a =7cos 8A =,则ABC ∆的面积为( ) AB .3CD.212.设x y ,满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩,,„„…则2z x y =-的最大值为( ).A .10B .8C .3D .2二、填空题13.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边为,,a b c ,若23sin c ab C =,则当b aa b+取最大值时,cos C =__________;14.已知0a >,0b >,当()214a b ab++取得最小值时,b =__________. 15.已知数列{}n a 满足:11a =,{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对所有满足条件的{}n a ,10S 的最大值为M 、最小值为m ,则M m +=______.16.若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩,则3z x y =-的最小值等于_____.17.已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩,若对任意*n N ∈都有1n n a a +>,则实数a 的取值范围是_________.18.设(3()lg f x x x =+,则对任意实数,a b ,“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件.(填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一)19.已知数列{}n a (*n ∈N ),若11a =,112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2lim n n a →∞= . 20.已知是数列的前项和,若,则_____.三、解答题21.设函数()112f x x =++|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ;(2)已知两个正数m ,n 满足m 2+n 2=a ,求11m n+的最小值. 22.在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-,②sin cos()6a Bb A π=+,③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题解答. 在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a bc ,6b c +=,6a =, . 求ABC ∆的面积.23.已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,等差数列{}n b 的公差为2d ,设n A ,n B 分别是数列{}n a ,{}n b 的前n 项和,且13b =,23A =,53A B =. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)设11n n n n c b a a +=+•,数列{}n c 的前n 项和为n S ,证明:2(1)n S n <+.24.已知函数()()22f x x x a x R =++∈(1)若函数()f x 的值域为[0,)+∞,求实数a 的值;(2)若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立,求实数a 的取值范围。
2020-2021高三数学上期末试卷及答案(4)一、选择题1.若函数y =f (x )满足:集合A ={f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列,则称函数f (x )是“等差源函数”,则下列四个函数中,“等差源函数”的个数是( ) ①y =2x +1;②y =log 2x ;③y =2x+1;④y =sin44x ππ+()A .1B .2C .3D .42.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A .11a b> B .a b -> C .22a b > D .33a b <3.设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩,则3z x y =+的最大值是( )A .9B .8C .3D .44.在ABC ∆中,2AC =,BC =135ACB ∠=o ,过C 作CD AB ⊥交AB 于D ,则CD =( ) ABCD5.已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+,则20a =( ) A .99B .101C .399D .4016.已知集合2A {t |t 40}=-≤,对于满足集合A 的所有实数t ,使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A .()(),13,∞∞-⋃+B .()(),13,∞∞--⋃+C .(),1∞--D .()3,∞+7.设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩,则1y x +的最大值是( )A .-1B .12C .1D .328.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,前n 项和为n S ,若26442,S 6a S a =-=,则5a = A .4B .10C .16D .329.如图,为了测量山坡上灯塔CD 的高度,某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo,=30αo ,若山坡高为=35a ,则灯塔高度是( )A .15B .25C .40D .6010.设x y ,满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩,,„„…则2z x y =-的最大值为( ).A .10B .8C .3D .211.若变量x ,y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,,,则2yz x =-的取值范围是( ) A .113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B .11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,C .111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, D .3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1(1)()n n n S nS n N *++∈<.若871a a <-,则( ) A .n S 的最大值为8S B .n S 的最小值为8S C .n S 的最大值为7S D .n S 的最小值为7S二、填空题13.已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值,则a 的取值范围为_____________. 14.已知0a >,0b >,当()214a b ab++取得最小值时,b =__________. 15.数列{}n a 满足14a =,12nn n a a +=+,*n N ∈,则数列{}n a 的通项公式n a =______.16.设0a >,若对于任意满足8m n +=的正数m ,n ,都有1141a m n ++≤,则a 的取值范围是______.17.若正数,a b 满足3ab a b =++,则+a b 的取值范围_______________。
2020-2021高三数学上期末试卷附答案(4)一、选择题1.下列结论正确的是( ) A .若a b >,则22ac bc > B .若22a b >,则a b > C .若,0a b c ><,则a c b c +<+ D<a b <2.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A .11a b> B .a b -> C .22a b > D .33a b <3.已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩,若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32,则正实数a 的值为( ) A .4B .3C .2D .14.数列{}{},n n a b 为等差数列,前n 项和分别为,n n S T ,若3n 22n n S T n +=,则77a b =( ) A .4126B .2314C .117 D .1165.设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为( )A .2B .3C .4D .96.已知等比数列{}n a 的各项都是正数,且13213,,22a a a 成等差数列,则8967a a a a +=+ A .6B .7C .8D .97.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC ∆为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是( )A .2a b =B .2b a =C .2A B =D .2B A =8.已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最小值为( )A .1B .2C .3D .69.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若2b c =,a =7cos 8A =,则ABC ∆的面积为( ) A .17B .3C .15D .15210.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1112n n a S a +=,=, 则n S =( )A .12n -B .13()2n -C .12()3n - D .112n - 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1(1)()n n n S nS n N *++∈<.若871a a <-,则( ) A .n S 的最大值为8S B .n S 的最小值为8S C .n S 的最大值为7S D .n S 的最小值为7S12.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A .(4,1)-B .(1,4)-C .(1,4)D .(0,4)二、填空题13.已知实数,且,则的最小值为____14.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边为,,a b c ,若23sin c ab C =,则当b aa b+取最大值时,cos C =__________;15.已知0a >,0b >,当()214a b ab++取得最小值时,b =__________. 16.已知0,0x y >>,1221x y +=+,则2x y +的最小值为 . 17.在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若三角形的面积2223()4S a b c =+-,则角C =__________. 18.设0a >,若对于任意满足8m n +=的正数m ,n ,都有1141a m n ++≤,则a 的取值范围是______.19.已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-,则不等式250bx x a -+>的解集是_________. 20.已知是数列的前项和,若,则_____.三、解答题21.已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,若z ax y =+的最大值为39a +,最小值为33a -,求实数a 的取值范围.22.已知函数()21f x x =-. (1)若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞,求实数m 的值; (2)若不等式()2232y yaf x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立,求正实数a 的最小值.23.已知数列{}n a 中,11a =,其前n 项的和为n S ,且当2n ≥时,满足21nn n S a S =-.(1)求证:数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列; (2)证明:2221274n S S S +++<L . 24.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-,其中n *∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设23nn n a b n n=+,求数列{}n b 的前n 项和为n T .25.在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ,若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-,,c =sin B =2sin A ,(1)求C (2)求a 的值.26.已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==. (1)求{}n a 的通项公式; (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-,为数列{}n b 的前n 项和,是否存在正整数m ,()1k m k <<,使得23k m T T =?若存在,求出m ,k 的值;若不存在,请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】选项A 中,当c=0时不符,所以A 错.选项B 中,当2,1a b =-=-时,符合22a b >,不满足a b >,B 错.选项C 中, a c b c +>+,所以C 错.选项D 中,因为0a ≤<b ,由不等式的平方法则,()()22a b <,即a b <.选D.2.D解析:D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ,根据幂函数的性质即可判断正确 故选D3.D解析:D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域,根据目标函数的几何意义,利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++, 设11y k x +=+,则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率, 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32,即12z k =+的最小值是32, 由3122k +=,得14k =,即k 的最小值是14,作出不等式组对应的平面区域如图:由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时,直线的斜率k 最小,此时011314ka +==+, 得314a +=,得1a =. 故选:D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数,解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解,考查数形结合思想的应用,属于中等题.4.A解析:A 【解析】依题意,113713113713132412226132a a a S b b b T +⋅===+⋅.5.D解析:D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域,如图,画出可行域ABC ∆,(2,0)A ,(1,1)B ,(3,3)C ,平移直线2z x y =+,由图可知,直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值,2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.D解析:D 【解析】 【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ,(q >0),由题意可得关于q 的式子,解之可得q ,而所求的式子等于q 2,计算可得. 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ,(q >0)由题意可得31212322a a a ⨯=+, 即q 2-2q-3=0, 解得q=-1(舍去),或q=3,故()26728967679a a qa a q a a a a .++===++ 故选:D . 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,求出公比是解决问题的关键,属基础题.7.A解析:A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=,选A.【名师点睛】本题较为容易,关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ,B ,C 的式子,用正弦定理将角转化为边,得到2a b =.解答三角形中的问题时,三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件,不容忽视. 8.A解析:A 【解析】 【分析】画出可行域,平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处,由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示,平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处,此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选:A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.9.D解析:D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=,故需要求出边b 与c ,由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解:在ABC ∆中,2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =,a =22246748c c c +-=, 解得:2c =由7cos 8A =得sin A ==所以,11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种:一是12(底⨯高),二是1sin 2bc A .借助12(底⨯高)时,需要将斜三角形的高与相应的底求出来;借助1sin 2bc A 时,需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.10.B解析:B 【解析】 【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==,得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==,,1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-,即11323,2n n n n S S S S ++==, 而111S a ==,所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法,利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.11.C解析:C 【解析】 【分析】由已知条件推导出(n 2﹣n )d <2n 2d ,从而得到d >0,所以a 7<0,a 8>0,由此求出数列{S n }中最小值是S 7.【详解】∵(n +1)S n <nS n +1, ∴S n <nS n +1﹣nS n =na n +1 即na 1()12n n d-+<na 1+n 2d ,整理得(n 2﹣n )d <2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2=﹣n 2﹣n <0 ∴d >0∵87a a -<1<0 ∴a 7<0,a 8>0 数列的前7项为负, 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C . 【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的灵活运用.12.B解析:B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性,把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数,由2(4)(3)f a f a ->,可得243a a -<,整理得2340a a --<,解得14a -<<,所以不等式的解集为(1,4)-. 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式,通常根据函数的单调性转化求解,一般不代入解析式.二、填空题13.3+54【解析】【分析】由a+b =2得出b =2﹣a 代入代数式中化简后换元t =2a ﹣1得2a =t+1得出1<t <3再代入代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分子分母中同时除以t 利用基本不等 解析:【解析】 【分析】由a +b =2得出b =2﹣a ,代入代数式中,化简后换元t =2a ﹣1,得2a =t +1,得出1<t <3,再代入代数式化简后得出,然后在分式分子分母中同时除以t ,利用基本不等式即可求出该代数式的最小值. 【详解】解:由于a +b =2,且a >b >0,则0<b <1<a <2, 所以,,令t =2a ﹣1∈(1,3),则2a =t +1, 所以,. 当且仅当,即当时,等号成立. 因此,的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,解本题的关键就是对代数式进行化简变形,考查计算能力,属于中等题.14.【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为:【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公 213【解析】 【分析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-,结合条件23sin c ab C =,将式子b aa b+通分化简得3sin 2cos C C +,再由辅助角公式得出b aa b +()13sin C ϕ=+,当2C πϕ+=时,b aa b +取得最大值,从而求出结果. 【详解】在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab++++====+()13sin C ϕ=+,其中213sin 13ϕ=,313cos 13ϕ=, 当b a a b +132C πϕ+=,∴213cos cos sin 213C πϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.213【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.15.【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成立的条件【详解】(当且仅当等号成立)(当且仅当等号成立)(当且仅当等号成立)故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中 解析:14【解析】 【分析】根据均值不等式知,4244a b ab ab +≥=()2416a b ab +≥,再由4416216844ab ab a b a b+≥⋅=⋅⋅即可求解,注意等号成立的条件. 【详解】4244a b ab ab +≥=Q (当且仅当4a b =等号成立),()2416a b ab ∴+≥(当且仅当4a b =等号成立), ()2444a b a b ∴++≥⋅41684ab a b⋅=⋅(当且仅当4a b =等号成立),()224281a a a ∴+=⇒=. 故答案为14b =. 【点睛】本题主要考查了均值不等式,不等式等号成立的条件,属于中档题.16.3【解析】试题分析:根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填:3考点:基本不等式解析:3 【解析】试题分析:根据条件,解得,那么,当且仅当时取得等号,所以的最小值为3,故填:3. 考点:基本不等式17.【解析】分析:利用面积公式和余弦定理结合可得详解:由余弦定理:可得:∴∵∴故答案为:点睛:在解三角形时有许多公式到底选用哪个公式要根据已知条件根据待求式子灵活选用象本题出现因此联想余弦定理由于要求角解析:π3. 【解析】分析:利用面积公式in 12s S ab C =和余弦定理结合可得. 详解:由)22231sin 2S a b c ab C =+-=. 余弦定理:2222cos a b c ab C +-=, 312cos sin 2ab C ab C =, ∴tan 3C = ∵0πC <<, ∴π3C =. 故答案为:π3. 点睛:在解三角形时,有许多公式,到底选用哪个公式,要根据已知条件,根据待求式子灵活选用,象本题出现222a b c +-,因此联想余弦定理2222cos a b c ab C +-=,由于要求C 角,因此面积公式自然而然 选用in 12s S ab C =.许多问题可能比本题要更复杂,目标更隐蔽,需要我们不断探索,不断弃取才能得出正确结论,而这也要求我们首先要熟记公式.18.【解析】【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式求解不等式即可确定实数a 的取值范围【详解】由可得故:当且仅当即时等号成立故只需又则即则的取值范围是【点睛】在 解析:[)1,+∞【解析】 【分析】由题意结合均值不等式首先求得141m n ++的最小值,然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式,求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】由8m n +=可得19m n ++=,故:()1411411411419191n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭11419⎛⨯++= ⎝≥, 当且仅当12141n mn m mn +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩,即3m =,5n =时等号成立,故只需11a≤,又0a >,则1a ≥. 即则a 的取值范围是[)1,+∞. 【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.19.【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根解析:11(,)23--【解析】 【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-,求得,a b 的值,从而求解不等式250bx x a -+>的解集,得到答案.【详解】由题意,因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-,可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩,解得1,6a b =-=-,所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->, 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<,解得1123x -<<-, 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,其中解答中根据三个二次式之间的关键,求得,a b 的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.20.4950【解析】【分析】由an+Sn =2nan+1+Sn+1=2n+1两式相减可得2an+1﹣an =2n 即可计算【详解】解:∵an+Sn =2nan+1+Sn+1=2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析:【解析】 【分析】由a n +S n =2n ,a n +1+S n +1=2n +1,两式相减可得2a n +1﹣a n =2n .即可计算. 【详解】解:∵a n +S n =2n ,a n +1+S n +1=2n +1, 两式相减可得2a n +1﹣a n =2n .则(2a 2﹣a 1)(2a 3﹣a 2)…(2a 100﹣a 99)=21•22•23…299=24950.【点睛】本题考查了数列的递推式,属于中档题.三、解答题21.[]1,1-【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域,利用题中条件找出目标函数z ax y =+取得最大值和最小值的最优解,根据题意将直线z ax y =+与可行域边界线的斜率进行大小比较,可得出实数a 的取值范围. 【详解】作出不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的可行域如下图所示:由z ax y =+得y ax z =-+,Q 目标函数z ax y =+的最大值为39a +,最小值为33a -.∴当直线y ax z =-+经过点()3,9B 时,该直线在y 轴上的截距最大,当直线y ax z =-+经过点()3,3A -时,该直线在y 轴上的截距最小, 结合图形可知,直线y ax z =-+的斜率不小于直线0x y +=的斜率,不大于直线60x y -+=的斜率,即11a -≤-≤,解得11a -≤≤,因此,实数a 的取值范围是[]1,1-.【点睛】本题考查线性目标函数最大值和最小值的最优解问题,对于这类问题,一般要利用数形结合思想,利用目标函数对应直线在坐标轴上的截距最值得出目标函数所在直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系来求解,考查数形结合思想,属于中等题. 22.(1) 32m =;(2)4. 【解析】试题分析:(Ⅰ)先根据绝对值定义解不等式解集为][(),22,-∞-⋃+∞,再根据解集相等关系得122m +=,解得32m =.(Ⅱ)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题,即()max212322y y ax x --+≤+,根据绝对值三角不等式可得()max21234x x --+=,再利用变量分离转化为对应函数最值问题:()max242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦,根据基本不等式求最值: ()()224224242y yy y ⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦,因此4a ≥,所以实数a 的最小值为4.试题解析:(Ⅰ)由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][(),22,-∞-⋃+∞. 由221x m ≤+,得1122m x m --≤≤+, 所以,由122m +=,解得32m =. (Ⅱ)不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322yya x x --+≤+, 由题意知()max212322y yax x --+≤+. 因为()()212321234x x x x --+≤--+=, 所以242y y a +≥,即()242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立,则()max 242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦.而()()224224242y yy y⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦,当且仅当242y y =-,即1y =时等号成立, 故4a ≥,所以实数a 的最小值为4. 23.(1)证明见解析;(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)当n ≥2时,S n ﹣S n ﹣121nn S S =-⇒S n ﹣S n ﹣1=S n •S n ﹣1(n ≥2),取倒数,可得111n n S S --=1,利用等差数列的定义即可证得:数列{1nS }是等差数列; (2)利用222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭进行放缩并裂项求和即可证明【详解】(1)当2n ≥时,211nn n n S S S S --=-,11n n n n S S S S ---=,即1111n n S S --= 从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)可知,()11111n n n S S =+-⨯=,1n S n∴=. 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭.故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时,21714S =<满足题意,故2221274n S S S +++<L . 法二:则当2n ≥时22211111n S n n n n n=<=---, 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 又当1n =时,21714S =<,当时,21714S =<满足题意, 【点睛】本题考查数列递推式的应用,考查等差数列的判定,考查等价转化思想,突出裂项法、放缩法应用的考查,属于难题. 24.(1)()1=3n n a n N -*∈ ;(2)31nn + . 【解析】 【分析】 (1)由31=22n n S a -可得113122n n S a --=-,两式相减可化为()132n n a a n -=≥从而判断出{}n a 是等比数列,进而求出数列{}n a 的通项公式;(2)利用(1),化简可得231131n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,利用裂项求和法求解即可. 【详解】 (1)()*31=22n n S a n N -∈Q ∵, ① 当11311,22n S a ==-,∴11a =, 当2n ≥,∵113122n n S a --=-, ② ①-②:13322n n n a a a -=-,即:()132n n a a n -=≥ 又,对都成立,所以是等比数列,(2)【点睛】本题主要考查等比数列的定义与通项公式,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭;(2)n k n ++ 1n k n k=+; (3)()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭;(4)()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误. 25.(1)23C π=;(2)1a =. 【解析】 【分析】(1)由()2f C =,结合特殊角的三角函数值,求得C .(2)利用正弦定理得到2b a =,利用余弦定理列方程,解方程求得a 的值. 【详解】(1)由()2f C =-,得sin(2)16C π+=-,且(0,)C π∈,所以3262c ππ+=,23C π=- (2)因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得:2227422cos,3a a a a π=+-⨯ 解得1a = 【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值,考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,属于基础题.26.(1)*21,n a n n N =-∈(2)存在,2,12m k ==【解析】 【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的通项公式与前n 项和公式得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,从而求出21n a n =-; (2)由(1)得()2122n n n S n n -=+⨯=,由211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭,利用裂项相消法得21n n T n =+,若23k m T T =,则()2232121k m k m =++,整理得223412m k m m =+-,由1k m >>得11m <<+,从而可求出答案. 【详解】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈;(2)()2122n n n S n n -=+⨯=,211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭,1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,若23k m T T =,则()2232121k m k m =++,整理得223412m k m m=+-, 又1k m >>,2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩,整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩,解得11m << 又*m N ∈,2m ∴=,12k ∴=, ∴存在2,12m k ==满足题意. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和,考查裂项相消法求和,属于中档题.。
2020-2021高三数学上期末试题(含答案)(1)一、选择题1.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,则2z x y =+的最大值为( )A .8B .7C .2D .12.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =,则ABC ∆( )A .一定是锐角三角形B .一定是直角三角形C .一定是钝角三角形D .可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形3.已知等差数列{}n a 满足244a a +=,3510a a +=,则它的前10项的和10S =( ) A .138B .135C .95D .234.已知等比数列{}n a 的各项都是正数,且13213,,22a a a 成等差数列,则8967a a a a +=+ A .6 B .7C .8D .95.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若∠C=120°,c=a ,则A .a >bB .a <bC .a =bD .a 与b 的大小关系不能确定6.已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =,则数列的第2018项为 ( )A .15B .25C .35D .457.已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤,则24z x y =+的最小值是( )A .6-B .5C .10D .10-8.已知数列{}n a 中,()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和,5S的值为( )A .63B .61C .62D .579.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1112n n a S a +=,=, 则n S =( )A .12n -B .13()2n -C .12()3n - D .112n - 10.如图,为了测量山坡上灯塔CD 的高度,某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo,=30αo ,若山坡高为=35a ,则灯塔高度是( )A .15B .25C .40D .6011.设x y ,满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩,,„„…则2z x y =-的最大值为( ).A .10B .8C .3D .212.一个递增的等差数列{}n a ,前三项的和12312a a a ++=,且234,,1a a a +成等比数列,则数列{}n a 的公差为 ( ) A .2±B .3C .2D .1二、填空题13.已知x y ,满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,,,,则222x y y ++的取值范围是__________.14.已知实数x ,y 满足不等式组2202x y y y x+-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩,则1yx +的最大值为_______.15.已知数列{}n a 中,其中199199a =,11()an n a a -=,那么99100log a =________16.已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤,则3z x y =+的最大值为____________.17.已知0a >,0b >,且31a b +=,则43a b+的最小值是_______. 18.已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-,则不等式250bx x a -+>的解集是_________.19.已知()()0f x kx k =>,若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=,且4a b f f k k ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为1,则实数k 的值为______. 20.若无穷等比数列{}n a 的各项和为2,则首项1a 的取值范围为______.三、解答题21.己知数列的前n 项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n 项和.22.在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,7a b ==,面积3S =. (1)求sin A 的值;(2)若点D 在BC 上(不含端点),求sin BDBAD∠的最小值.23.某企业生产A 、B 两种产品,生产每1t 产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表:产品品种劳动力(个)煤()t电()kW h ⋅A3 94 B1045已知生产1t A 产品的利润是7万元,生产1t B 产品的利润是12万元.现因条件限制,企业仅有劳动力300个,煤360t ,并且供电局只能供电200kW h ⋅,则企业生产A 、B 两种产品各多少吨,才能获得最大利润?24.已知()f x a b =⋅v v ,其中()2cos ,32a x x =-v,()cos ,1b x =v ,x ∈R .(1)求()f x 的单调递增区间;(2)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,()1f A =-,7a =且向量()3,sin m B =v 与()2,sin n C =v共线,求边长b 和c 的值. 25.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cos cos 3cos c B b C a B +=.(1)求cos B 的值;(2)若2CA CB -=u u u v u u u v,ABC ∆的面积为22b .26.已知点(1,2)是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点,数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若1log n a n b a +=,求数列{}n n a b •的前n 项和n T【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】试题分析:作出题设约束条件可行域,如图ABC ∆内部(含边界),作直线:20l x y +=,把直线l 向上平移,z 增加,当l 过点(3,2)B 时,3227z =+⨯=为最大值.故选B .考点:简单的线性规划问题.2.C解析:C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =,得出::5:11:13a b c =,可得出角C 为最大角,并利用余弦定理计算出cos C ,根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =,可得出::5:11:13a b c =, 设()50a t t =>,则11b t =,13c t =,则角C 为最大角,由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯,则角C 为钝角,因此,ABC ∆为钝角三角形,故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状,只需得出最大角的属性即可,但需结合大边对大角定理进行判断,考查推理能力与计算能力,属于中等题.3.C解析:C 【解析】试题分析:∵24354{10a a a a +=+=,∴1122{35a d a d +=+=,∴14{3a d =-=, ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=. 考点:等差数列的通项公式和前n 项和公式.4.D解析:D 【解析】 【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ,(q >0),由题意可得关于q 的式子,解之可得q ,而所求的式子等于q 2,计算可得. 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ,(q >0)由题意可得31212322a a a ⨯=+, 即q 2-2q-3=0, 解得q=-1(舍去),或q=3,故()26728967679a a qa a q a a a a .++===++ 故选:D . 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,求出公比是解决问题的关键,属基础题.5.A解析:A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,进而求得a ﹣b 的表达式,根据表达式与0的大小,即可判断出a 与b 的大小关系. 【详解】解:∵∠C =120°,ca ,∴由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,()2=a 2+b 2+ab .∴a 2﹣b 2=ab ,a ﹣b ,∵a >0,b >0, ∴a ﹣b ,∴a >b 故选A . 【点睛】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题.6.A解析:A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项,可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列,即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q , 211215a a =-=,32225a a ==,43425a a ==,5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列,则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.7.A解析:A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示,作直线:24l z x y =+,则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍, 联立3{x x y =+=,解得3{3x y ==-,结合图象知,当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时,直线l 在y 轴上的截距最小, 此时z 取最小值,即()min 23436z =⨯+⨯-=-,故选A. 考点:线性规划8.D解析:D 【解析】解:由数列的递推关系可得:()11121,12n n a a a ++=++= , 据此可得:数列{}1n a + 是首项为2 ,公比为2 的等比数列,则:1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ,分组求和有:()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.9.B解析:B 【解析】 【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==,得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==,,1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-,即11323,2n n n n S S S S ++==, 而111S a ==,所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法,利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.10.B解析:B 【解析】 【分析】过点B 作BE DC ⊥于点E ,过点A 作AF DC ⊥于点F ,在ABD ∆中由正弦定理求得AD ,在Rt ADF ∆中求得DF ,从而求得灯塔CD 的高度.【详解】过点B 作BE DC ⊥于点E ,过点A 作AF DC ⊥于点F , 如图所示,在ABD ∆中,由正弦定理得,sin sin AB ADADB ABD=∠∠,即sin[90(90)]sin(90)h ADαβα=︒--︒-︒+,cos sin()h AD αβα∴=-,在Rt ADF ∆中,cos sin sin sin()h DF AD αβββα==-,又山高为a ,则灯塔CD 的高度是3340cos sin 22356035251sin()2h CD DF EF a αββα⨯⨯=-=-=-=-=-. 故选B .【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理,考查了转化思想,属中档题.11.B解析:B 【解析】 【分析】作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图:化目标函数为2y x z =-, 联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩,解得5,2A(). 由图象可知,当直线过点A 时,直线在y 轴上截距最小,z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,数形结合的思想,属于中档题.12.C解析:C 【解析】 【分析】 【详解】解:∵234,,1a a a +成等比数列, ∴,∵数列{}n a 为递增的等差数列,设公差为d , ∴,即,又数列{}n a 前三项的和,∴,即,即d =2或d =−2(舍去), 则公差d =2. 故选:C .二、填空题13.;【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为:1最大值为所以的最小值为:解析:[]0,9; 【解析】 【分析】 ()()2201x y -++表示的几何意义,画出不等式组表示的平面区域,求出点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值,即可求解222x y y ++的取值范围.【详解】()()22222011x y y x y ++=-++-()()2201x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离1AO =,1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为:110 所以222x y y ++的最小值为:2110-=,最大值为:101=9-故222x y y ++的取值范围为[]09,故答案为:[]09,【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值,属于中档题.14.2【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域根据目标函数的几何意义结合图象即可求解得到答案【详解】由题意作出不等式组表示的平面区域如图所示又由即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率显然直线的斜率最解析:2 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域,根据目标函数的几何意义,结合图象,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,作出不等式组表示的平面区域,如图所示,又由()011y y x x -=+--,即1y x +表示平面区域内任一点(),x y 与点()1,0D -之间连线的斜率,显然直线AD 的斜率最大,又由2202x y y +-=⎧⎨=⎩,解得()0,2A ,则02210AD k -==--,所以1yx+的最大值为2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.15.1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公比的等比数列故答案为:1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通解析:1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log}na是以199991991log9999log a==为首项,以19999为公比的等比数列,然后利用等比数列的通项公式求解.【详解】由11()an na a-=,得991991log logn na a a-=,∴199991991l9oglog9nnaaa-==,则数列99{log}na是以199991991log9999log a==为首项,以19999为公比的等比数列,∴19999991001log(99)199a=⋅=.故答案为:1.【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式,考查运算求解能力,特别是对复杂式子的理解.16.11【解析】试题分析:由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点:简单的线性规划解析:11【解析】试题分析:由题意得,作出不等式组所表示的可行域,如图所示,由3z x y =+,得3y x z =-+,平移直线3y x z =-+,则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时,直线3y x z =-+的截距最大,此时z 有最大值,由2{1y x y =-=,解得(3,2)A ,此时33211z =⨯+=.考点:简单的线性规划.17.【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为:【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解 解析:25【解析】 【分析】利用1的代换,将求式子43a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b++的最小值,再利用基本不等式,即可求得最小值. 【详解】因为4343123123()(3)4913225b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++≥+⋅, 等号成立当且仅当21,55a b ==. 故答案为:25. 【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值,考查转化与化归思想的运用,求解时注意一正、二定、三等的运用,特别是验证等号成立这一条件.18.【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根解析:11(,)23--【解析】 【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-,求得,a b 的值,从而求解不等式250bx x a -+>的解集,得到答案.【详解】由题意,因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-,可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩,解得1,6a b =-=-,所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->, 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<,解得1123x -<<-, 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,其中解答中根据三个二次式之间的关键,求得,a b 的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.19.9【解析】【分析】由求出满足的关系然后利用基本不等式求出的最小值再由最小值为1可得【详解】∵∴即∴当且仅当时等号成立∴故答案为:9【点睛】本题考查基本不等式求最值解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的解析:9 【解析】 【分析】由()()()()f a f b f a f b +=求出,a b 满足的关系,然后利用基本不等式求出4()()a bf f k k +的最小值,再由最小值为1可得k . 【详解】∵()()()()f a f b f a f b +=,()f x kx =,∴ka kb ka kb +=⋅,即11k a b+=, ∴4()()a b f f k k +111144()(4)(5)a b a b a b k a b k b a =+=++=++19(5k k≥+=,当且仅当4a b b a=时等号成立. ∴91k=,9k =. 故答案为:9. 【点睛】本题考查基本不等式求最值.解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值,然后才可用基本不等式求最值,同时还要注意等号成立的条件,等号成立的条件取不到,这个最值也取不到.20.【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所解析:(0,2)(2,4)U . 【解析】 【分析】首先根据无穷等比数列{}n a 的各项和为2,可以确定其公比满足01q <<,利用等比数列各项和的公式得到121a q=-,得到122a q =-,分01q <<和10q -<<两种情况求得1a 的取值范围,得到结果. 【详解】因为无穷等比数列{}n a 的各项和为2, 所以其公比q 满足01q <<,且121a q=-, 所以122a q =-, 当01q <<时,1(0,2)a ∈, 当10q -<<时,1(2,4)a ∈,所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4)U , 故答案是:(0,2)(2,4)U . 【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题,涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件,各项和的公式,注意分类讨论,属于简单题目.三、解答题21.(1);(2)【解析】 【分析】 (1)运用,证明数列是等比数列,计算通项,即可。
2020-2021高三数学上期末试卷(附答案)(7)一、选择题1.等差数列{}n a 中,已知70a >,390a a +<,则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为( ) A .4SB .5SC .6SD .7S2.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,若,1,3A b π==ABC ∆的面积为3,则a 的值为( ) A .2B .3C .32D .13.已知正数x 、y 满足1x y +=,且2211x y m y x +≥++,则m 的最大值为( ) A .163B .13C .2D .44.已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是( ) A .[1,4]B .[)2,+∞C .(2,4)D .(4,)+∞5.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且()cos 4cos a B c b A =-,则cos2A =( ) A .78B .18C .78-D .18-6.设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩,则1y x +的最大值是( )A .-1B .12C .1D .327.设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A .2B .3C .12D .138.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若∠C=120°,c=a ,则A .a >bB .a <bC .a =bD .a 与b 的大小关系不能确定9.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若2b c =,6a =7cos 8A =,则ABC ∆的面积为( )A .17B .3C .15D .15210.在R 上定义运算:A()1B A B =-,若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .11a -<<B .02a <<C .1322a -<< D .3122a -<< 11.设x y ,满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩,,………则2z x y =-的最大值为( ).A .10B .8C .3D .212.ABC ∆中有:①若A B >,则sin sin A>B ;②若22sin A sin B =,则ABC ∆—定为等腰三角形;③若cos acosB b A c -=,则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有( ) A .0B .1C .2D .3二、填空题13.若,a b ∈R ,0ab >,则4441a b ab++的最小值为___________.14.数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ,且*2(2,)n n S a n n N =≥∈,则{}n a 的通项公式n a =____; 15.关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ,b ],则b -a =________. 16.已知0,0x y >>,1221x y +=+,则2x y +的最小值为 . 17.数列{}n a 满足10a =,且()1*11211n nn N a a +-=∈--,则通项公式n a =_______.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知)3cos cos ,60a C c A b B -==︒,则A 的大小为__________.19.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对应的边长分别为a ,b ,c ,且2cos 3C =,cos cos 2b A a B +=,则ABC ∆的外接圆面积为__________.20.已知二次函数f (x )=ax 2+2x+c (x ∈R )的值域为[0,+∞),则11a c c a+++的最小值为_____.三、解答题21.在()f x 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足(2)cos cos b c A a C -=.(1)求角A 的大小(2)若3a =,求ABC △的周长最大值. 22.若0,0a b >>,且11a b+=(1)求33+a b 的最小值;(2)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由. 23.设函数()112f x x =++|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ;(2)已知两个正数m ,n 满足m 2+n 2=a ,求11m n+的最小值. 24.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求角B 的大小;(2)若D 为AC 的中点,且1BD =,求ABC S ∆的最大值. 25.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?. (1)求()f x 的单调递增区间;(2)设ABC V 为锐角三角形,角A所对边a =,角B 所对边5b =,若()0f A =,求ABC V 的面积.26.设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=3,S 3=13,数列{b n }满足b 1=a 1,点P (b n ,b n +1)在直线x ﹣y +2=0上,n ∈N *. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设c n nnb a =,求数列{c n }的前n 项和T n .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】先通过数列性质判断60a <,再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中,390a a +<,∴39620a a a +=<,即60a <.又70a >,∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值,将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.2.B解析:B 【解析】试题分析:由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点:考查三角形面积计算公式及余弦定理.3.B解析:B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=,对代数式2211x y y x +++变形,然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值,即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=,则()()113x y +++=,()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭41112253113x y y x ⎛++≥⨯+⋅-= ++⎝, 当且仅当12x y ==时,等号成立,即2211x y y x +++的最小值为13,则13m ≤. 因此,实数m 的最大值为13. 故选:B.【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数,对代数式合理变形是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.4.A解析:A 【解析】分析:,a b R +∈,由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,可得()214ab a b ≥+,又115a b a b +++=,可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭,化简整理即可得出. 详解:,a b R +∈,由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,可得()214ab a b ≥+,又115a b a b+++=, 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭, 化为()()2540a b a b +-++≤, 解得14a b ≤+≤, 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选:A.点睛:本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.5.C解析:C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ,进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-. ∴sin A cos B =4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A =4cos A sin C ∴sin C =4cos A sin C ∵0<C <π,sin C ≠0. ∴1=4cos A ,即cos A 14=,那么27cos2218A cos A =-=-. 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用,考查计算能力,属于基础题.6.D解析:D 【解析】 【分析】由约束条件确定可行域,由1y x+的几何意义,即可行域内的动点与定点P (0,-1)连线的斜率求得答案. 【详解】由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩,作出可行域如图,联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩,解得A (112,),1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P (0,-1)连线的斜率, 由图可知,113212PAk +==最大. 故答案为32. 【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,属于中档题型.7.C解析:C 【解析】 【分析】由约束条件可得可行域,将问题变成1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解;通过平移直线可确定最大值取得的点,代入可得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图所示:当2z x y =+取最大值时,1122y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12y x =-,可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时,在y 轴截距最大由240y xx y =⎧⎨--=⎩得:()4,4A max 42412z ∴=+⨯=故选:C 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解,关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解,属于常考题型.8.A解析:A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,进而求得a ﹣b 的表达式,根据表达式与0的大小,即可判断出a 与b 的大小关系. 【详解】解:∵∠C =120°,ca ,∴由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,()2=a 2+b 2+ab .∴a 2﹣b 2=ab ,a ﹣b ,∵a >0,b >0,∴a ﹣b ,∴a >b 故选A . 【点睛】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题.9.D解析:D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=,故需要求出边b 与c ,由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解:在ABC ∆中,2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =,6a =代入上式得22246748c c c +-=, 解得:2c =由7cos 8A =得2715sin 18A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以,111515sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种:一是12(底⨯高),二是1sin 2bc A .借助12(底⨯高)时,需要将斜三角形的高与相应的底求出来;借助1sin 2bc A 时,需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.10.C解析:C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选:C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键11.B解析:B 【解析】 【分析】作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图:化目标函数为2y x z =-,联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩,解得5,2A(). 由图象可知,当直线过点A 时,直线在y 轴上截距最小,z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,数形结合的思想,属于中档题.12.C解析:C 【解析】 【分析】①根据正弦定理可得到结果;②根据A B =或,2A B π+=可得到结论不正确;③可由余弦定理推得222a b c =+,三角形为直角三角形. 【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理sin sin a b A B =知sinA sinB >,①正确;②22sin A sin B =,则A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形;所以②错误;③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=,化简得222a b c =+,所以③正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.二、填空题13.4【解析】(前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以同时取得则当且仅当时取等号)【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式(1)当且仅当时取等号;(2)当且仅解析:4 【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ,(前一个等号成立条件是222a b =,后一个等号成立的条件是12ab =,两个等号可以同时取得,则当且仅当22a b ==时取等号). 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式,(1)22,,2a b a b ab ∈+≥R ,当且仅当a b =时取等号;(2),a b R +∈ ,a b +≥ ,当且仅当a b =时取等号;首先要注意公式的使用范围,其次还要注意等号成立的条件;另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.14.【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得:即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得:即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式解析:21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩ 【解析】 【分析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n Sa n n N --=≥∈,两式相减得:122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈,即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈,可知从第二项起数列是等比数列,即可写出通项公式. 【详解】因为()*22,n n S a n n N=≥∈所以()*1123,n n S a n n N--=≥∈两式相减得:122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列, 又22221+S a a ==,所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈,又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式,等比数列,数列的通项公式,属于中档题.15.4【解析】【分析】设f (x )x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x 轴平行的直线y =a 和y =b 如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间;此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有解析:4 【解析】 【分析】 设f (x )34=x 2﹣3x +4,其函数图象是抛物线,画两条与x 轴平行的直线y =a 和y =b ,如果两直线与抛物线有两个交点,得到解集应该是两个区间;此不等式的解集为一个区间,所以两直线与抛物线不可能有两个交点,所以直线y =a 应该与抛物线只有一个或没有交点,所以a 小于或等于抛物线的最小值且a 与b 所对应的函数值相等且都等于b ,利用f (b )=b 求出b 的值,由抛物线的对称轴求出a 的值,从而求出结果. 【详解】解:画出函数f (x)=34x 2﹣3x +4=34(x -2)2+1的图象,如图,可得f (x )min =f (2)=1,由图象可知,若a >1,则不等式a ≤34x 2-3x +4≤b 的解集分两段区域,不符合已知条件, 因此a ≤1,此时a ≤x 2-3x +4恒成立.又不等式a ≤34x 2-3x +4≤b 的解集为[a ,b ], 所以a ≤1<b ,f (a )=f (b )=b ,可得2233443344a ab b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩由34b 2-3b +4=b ,化为3b 2-16b +16=0, 解得b =43或b =4. 当b =43时,由34a 2-3a +4-43=0,解得a =43或a =83, 不符合题意,舍去, 所以b =4,此时a =0, 所以b -a =4. 故答案为:4 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题,解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题,是中档题.16.3【解析】试题分析:根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填:3考点:基本不等式解析:3 【解析】试题分析:根据条件,解得,那么,当且仅当时取得等号,所以的最小值为3,故填:3.考点:基本不等式17.【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项 解析:2221n n -- 【解析】 【分析】 构造数列11n nb a =-,得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-,得到2221n n a n -=-. 【详解】 设11n n b a =-,则12n n b b +-=,11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法,构造数列11n nb a =-是解题的关键,意在考查学生对于数列通项公式的记忆,理解和应用.18.【解析】由根据正弦定理得即又因为所以故答案为 解析:75︒【解析】)acosC ccosA b -=)sinAcosC sinCcosA sinB -=,即()2A C -=, ()1sin ,?3026A C A C π-=-==︒,又因为180B 120A C +=︒-=︒, 所以2150,A 75A =︒=︒, 故答案为75︒.19.【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知:即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学生的计算能力 解析:9π【解析】 【分析】根据正弦定理得到()1sin sin A B C R +==,再根据cos 3C =计算1sin 3C =得到答案. 【详解】由正弦定理知:cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=,即()1sin sin A B C R +==,cos 3C =,1sin 3C =, 即3R =.故29S R ππ==. 故答案为9π 【点睛】本题考查了正弦定理,外接圆面积,意在考查学生的计算能力.20.4【解析】【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题解析:4 【解析】 【分析】先判断a c 、是正数,且1ac =,把所求的式子变形使用基本不等式求最小值. 【详解】由题意知,044010a ac ac c =-=∴=V >,,,>,则111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=()(),当且仅当1a c ==时取等号.∴11a c c a +++的最小值为4. 【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用.属中档题.三、解答题21.(1)3A π= (2)9【解析】试题分析:(1)由()2cos cos b c A a C -=,根据正弦定理,得2sin cos sin B A B =,可得1cos 2A =,进而可得A 的值;(2)由(1)及正弦定理,得;b B c C ==,可得ABC ∆的周长,33636l B B sin B ππ⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合范围20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即可求ABC ∆的最大值.试题解析:(1)由()2cos cos b c A a C -=及正弦定理,得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+()2sin cos sin sin B A C A B ∴=+= ()0,B π∈Q sin 0B ∴≠ ()0,A π∈Q1cos 2A = 3A π∴=(2)解:由(I )得3A π∴=,由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====所以;b B c C ==ABC ∆的周长33l B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭3sinBcos sin 33cosB ππ⎫=+++⎪⎭33cosB =++36sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q 当3B π=时,ABC ∆的周长取得最大值为9.22.(1);(2)不存在. 【解析】 【分析】 (1)由已知11a b+=,利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥,利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ,由不等式的传递性,可求33+a b 的最小值;(2)由基本不等式可求23a b +的最小值为43,而436>,故不存在. 【详解】 (1)由11ab a b ab=+≥,得2ab ≥,且当2a b ==时取等号.故33+a b 33242a b ≥≥,且当2a b ==时取等号.所以33+a b 的最小值为42;(2)由(1)知,232643a b ab +≥≥. 由于436>,从而不存在,a b ,使得236a b +=成立. 【考点定位】 基本不等式.23.(1)1a =;(2)22. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析:(1)根据单调性求出()f x 的最小值,即可求出a 的值; (2)根据基本不等式的性质求出其最小值即可. 试题解析:(1)f(x)=当x ∈(-∞,0)时,f(x)单调递减; 当x ∈[0,+∞)时,f(x)单调递增; ∴当x =0时,f(x)的最小值a =1. (2)由(1)知m 2+n 2=1,则m 2+n 2≥2mn ,得≥2,由于m>0,n>0, 则+≥2≥2,当且仅当m =n =时取等号. ∴+的最小值为2.24.(1)3π;(23【解析】 【分析】(1)利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭,再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值,结合角B 的范围可得出角B 的大小;(2)由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r,将等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律和定义,并结合基本不等式得出ac 的最大值,再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】(1)由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 由()0,A π∈知sin 0A >, 则31sin cos cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,化简得sin 3cos B B =,tan 3B ∴=. 又()0,B π∈,因此,3B π=;(2)如下图,由13sin 2ABC S ac B ac ∆==,又D 为AC 的中点,则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r,等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r , 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r, 则43ac ≤,当且仅当a c =时取等号,因此,ABC ∆3433=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用,同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题,对于三角形的中线计算,可以利用中线向量进行计算,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 25.(1),2p p 轹÷ê÷÷êøë;(2153【解析】 【分析】(1)利用降次公式化简()f x ,然后利用三角函数单调区间的求法,求得()f x 的单调递增区间.(2)由()0f A =求得A ,用余弦定理求得c ,由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】(1)依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?,由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤,令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2pp 轹÷ê÷÷êøë. (2)由于a b <,所以A 为锐角,即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =,得11cos 20,cos 222A A +==-,所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅,2560c c -+=,解得2c =或3c =.当2c =时,222cos 0238a cb B ac +-==-<,则B 为钝角,与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =. 所以三角形ABC的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=【点睛】本小题主要考查二倍角公式,考查三角函数单调性的求法,考查余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,属于基础题.26.(1)a n =3n ﹣1,b n =2n ﹣1(2)T n =3﹣(n +1)•(13)n ﹣1【解析】 【分析】(1)利用基本量法求解n a ,再代入()1,n n P b b +到直线20x y -+=可得{}n b 为等差数列,再进行通项公式求解即可. (2)利用错位相减求和即可. 【详解】(1)递增等比数列{a n }的公比设为q ,前n 项和为S n ,且a 2=3,S 3=13, 可得a 1q =3,a 1+a 1q +a 1q 2=13,解得q =3或q 13=, 由等比数列递增,可得q =3,a 1=1,则13-=n n a ; P (b n ,b n +1)在直线x ﹣y +2=0上,可得b n +1﹣b n =2, 且b 1=a 1=1,则b n =1+2(n ﹣1)=2n ﹣1; (2)c n nn b a ==(2n ﹣1)•(13)n ﹣1,前n项和T n=1•1+3•13+5•19++L(2n﹣1)•(13)n﹣1,1 3T n=1•13+3•19+5•127++L(2n﹣1)•(13)n,相减可得23T n=1+2(1139+++L(13)n﹣1)﹣(2n﹣1)•(13)n=1+2•111133113n-⎛⎫-⎪⎝⎭--(2n﹣1)•(13)n,化简可得T n=3﹣(n+1)•(13)n﹣1.【点睛】本题主要考查了等比等差数列的通项公式求解以及错位相减的求和方法,属于中档题.。