《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案新部编本1

《123几类特殊的矩阵变换》导学案1学习任务掌握反射变换与旋转变换的矩阵表示及其几何意义。

从几何上理解二阶矩阵对应的变换是线性变换，并会证明二阶矩阵对应的变换把直线变成直线，或者把直线变为点。

课前预习1•分别研究下列变换矩阵对图屮AABC的作用结果，分析并判断这些矩阵分别表示的是什么变换。

'2.下列变换矩阵把图中的直线变成什么图形？为什么？合作探究例1：求直线y = 4x在矩阵0对应的变换作用下所得的图形。

例厶己知A (0, 0), B (2, 0), C (2, 0), D ((), 1),求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90°后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图。

自我检测1.对任意向量Q和0,及实数2和“，证明下列矩阵都满足M (Aa + “0)=几(M Q ) + “(M0)（3） 请分别给出绕坐标原点逆时针旋转60°的变换矩阵和绕坐标原点顺时针旋转60°的 变换矩阵；（4） 绕坐标原点顺时针旋转&角的变换矩阵是什么？请证明你的结论。

COS& 2. (1) M = sin& ・sin&cos0 表示什么变换?(2)当 & = 30° 时, 图中图形的变换结果是什么？当0 = -30°时呢?a 03•设agR.若M =所定义的线性变换把直线/:2x+y-7 = 0变换成另一_-1 b直线r ：x+y —3 = 0,求的值。

4•如图,求把AABC 变成m 的变换矩阵M,其中A (0, 0), B (2, 0), C (1,1),心勲B 9 C5•求出矩形ABCD 在矩阵0.6 0对应的变换作用下得到的图形，并画出示意图中,其屮A (-1, 0), B (1, 0), C (1, 1), D (-1, I)。

《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案2教学目标（1）了解矩阵的概念（2）掌握几种特殊矩阵教学重点与难点几种特殊矩阵教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学过程问题导入： 矩阵是研究线性变换、向量的线性相关性及线性方程组的解法等的有力且不可替代的工作,在线性代数中具有重要地位. 本章中我们首先要引入矩阵的概念,深入讨论矩阵的运算、矩阵的变换以及矩阵的某些内在特征. 本节中的几个例子展示了如何将某个数学问题或实际应用问题与一张数表——矩阵联系起来,这实际上是对一个数学问题或实际应用问题进行数学建模的第一步.内容要点一、引例引例1 线性方程组与数表的关系引例2 航空公司航班图与数表的关系引例3 某企业季度、产品、产值与数表的关系二、矩阵的概念定义1 由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成的m 行n 列的数表mnm m n n a a a a a a a a a212222111211 称为m 行n 列矩阵, 简称n m ⨯矩阵. 为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用大写黑体字母表示它, 记为)1(212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A这n m ⨯个数称为矩阵A 的元素, ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素. 一个n m ⨯矩阵A 也可简记为)()(ij n m ij n m a A a A A ===⨯⨯或.元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵, 本书中的矩阵都指实矩阵(除非有特殊说明).所有元素均为零的矩阵称为零矩阵, 记为O .所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵.若矩阵)(ij a A =的行数与列数都等于n ，则称A 为n 阶方阵, 记为n A .如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵.定义 如果矩阵B A ,同型矩阵, 且对应元素均相等, 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记为B A =.例1 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8631,562321z y x B z x A ，已知B A =,求z y x ,,. 三、矩阵概念的应用矩阵概念的应用十分广泛,这里,我们先展示矩阵的概念在解决逻辑判断问题中的一个应用. 某些逻辑判断问题的条件往往给的很多,看上去错综复杂,但如果我们能恰当地设计一些矩阵,则有助于我们把所给条件的头绪理清,在此基础上再进行推理,将能起到化简解决问题的目的.四、几种特殊矩阵只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作),,,(21n a a a A =只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b B 21 称为列矩阵或列向量.n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 00000021 称为n 阶对角矩阵,对角矩阵也记为),,,(21n diag A λλλ =.n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 称为n 阶单位矩阵, n 阶单位矩阵也记为n E E = （或 n I I =）当一个n 阶对角矩阵A 的对角元素全部相等且等于某一数a 时，称A 为n 阶数量矩阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 000000. 例题选讲例2甲、乙、丙、丁、戊五人各从图书馆借来一本小说,他们约定读完后互相交换,这五本书的厚度以及他们五人的阅读速度差不多,因此,五人总是同时交换书,经四次交换后,他们五人读完了这四本书,现已知:(1) 甲最后读的书是乙读的第二本书；(2) 丙最后读的书是乙读的第四本书；(3) 丙读的第二本书甲在一开始就读了；(4) 丁最后读的书是丙读的第三本；(5) 乙读的第四本书是戊读的第三本书；(6) 丁第三次读的书是丙一开始读的那本书.试根据以上情况说出丁第二次读的书是谁最先读的书?。

几类特殊线性变换及其二阶矩阵【学习目标】知识与能力：1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。

2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。

过程与方法：1．通过与过去知识的对比学习，进一步了解二阶矩阵的概念。

2．以几类特殊线性变换及其二阶矩阵为主，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系。

3．掌握二阶矩阵的一些基本性质。

情感态度与价值观：1．让学生在回顾旧知识时，学习新的知识。

2．培养合作交流意识。

【学习重难点】重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。

难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。

【学习过程】一、自主预习（一）知识点一：线性变换1．在平面直角坐标系o 内，很多几何变换都具有下列形式： ③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做__________。

③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。

是在这个线性变换作用下的__________。

（二）知识点二：线性变换 1．像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表称为__________。

数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素。

元素全为0的二阶矩阵称为__________，简记为0。

矩阵称为二阶__________矩阵，记为E 。

x ax by y cx dy'=+⎧⎨'=+⎩(,)P x y '''(,)P x y a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭0000⎛⎫ ⎪⎝⎭1001⎛⎫ ⎪⎝⎭二、探究思考1．引入平面直角坐标系后，我们可以通过方程来研究平面曲线，也可以通过平面曲线来研究方程。

在引入二阶矩阵概念后，能否对二阶矩阵与平面内的某些几何变换进行类似的研究呢？三、习题检测1．在直角坐标系o 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。

高中新教材数学矩阵教案
一、教学目标：
1. 了解矩阵的定义和性质；
2. 掌握矩阵的加法、减法和数乘法则；
3. 掌握矩阵的乘法规则；
4. 学会使用矩阵解线性方程组。

二、教学重点难点：
1. 矩阵的乘法规则；
2. 矩阵解线性方程组的应用。

三、教学准备：
1. 教师准备课件、教材、教具等教学资源；
2. 学生准备教材、笔记本等学习工具。

四、教学过程：
1. 知识导入：
教师引导学生回顾向量的概念，然后引入矩阵的定义和表示方法，让学生了解矩阵是由数构成的矩形数组。

2. 知识讲解：
（1）矩阵的加法和减法规则：分别对应位置相加或相减；
（2）矩阵的数乘法则：将矩阵的每个元素乘以一个数；
（3）矩阵的乘法规则：行乘以列，乘法不满足交换律。

3. 练习演练：
教师设计一些练习题，让学生熟练掌握矩阵的加法、减法、数乘法和乘法规则。

4. 拓展延伸：
教师设计一些拓展练习题，让学生进一步理解矩阵的应用，如用矩阵解线性方程组。

5. 归纳总结：
教师引导学生总结本节课的重点内容，强化学生对矩阵知识的掌握。

六、课堂小结：
总结本节课的重点内容，鼓励学生积极思考，提高对矩阵知识的理解和运用能力。

七、作业布置：
布置相关的作业，巩固学生对矩阵知识的掌握。

以上就是高中新教材数学矩阵教案范本，希望可以帮助到您。

矩阵变换基本定理教案1. 简介本教案将介绍矩阵变换的基本定理，包括线性变换、齐次坐标和变换矩阵等概念。

通过研究本教案，学生将能够理解矩阵变换的原理和基本运算。

2. 线性变换线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。

在矩阵变换中，线性变换可以表示为矩阵乘法的形式。

本节将介绍线性变换的定义、性质和示例，以便学生能够理解线性变换的基本概念。

2.1 定义线性变换是指对向量空间中的向量进行运算的变换，满足以下性质：- 保持向量加法：T(u + v) = T(u) + T(v)，其中u和v是向量。

- 保持标量乘法：T(ku) = kT(u)，其中k是标量。

2.2 性质线性变换具有以下性质：- 线性变换的零向量映射为零向量：T(0) = 0。

- 线性变换的逆变换也是线性变换。

- 线性变换的复合仍然是线性变换。

2.3 示例例如，对于平面上的旋转变换，可以用一个旋转矩阵表示线性变换。

该矩阵可以对平面上的向量进行旋转操作。

学生可以通过实际示例来理解线性变换的作用和性质。

3. 齐次坐标齐次坐标是矩阵变换中常用的一种坐标表示方式，可以将平面上的点表示为齐次坐标向量。

本节将介绍齐次坐标的定义、表示方式和使用方法，以便学生能够理解和应用齐次坐标。

3.1 定义齐次坐标是一种将平面上的点表示为向量的方式，使用齐次坐标可以方便地进行矩阵变换。

齐次坐标向量通常表示为(n, m, p)，其中n、m、p是实数。

3.2 表示方式齐次坐标可以通过除以最后一个分量将其转换为非齐次坐标。

例如，(x, y, 1)可以表示平面上的点(x, y)。

3.3 作用齐次坐标在矩阵变换中起到重要的作用，可以简化矩阵乘法运算并实现更复杂的变换操作。

学生可以通过实际应用案例来理解齐次坐标在矩阵变换中的作用。

4. 变换矩阵变换矩阵是表示矩阵变换的矩阵，可以将向量根据变换规则映射到另一个向量。

本节将介绍变换矩阵的定义、构造和应用，以便学生能够掌握变换矩阵的基本概念和使用方法。

《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案3教学目标1． 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系教学重难点熟练的掌握和了解几种特殊的变换教学过程介绍以下特殊阵(共同特点都是方阵)1，对角阵n 阶方阵 12n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 主元之外都是0 称为对角阵，一般它与任意n 阶方阵相乘不能交换，但两个对角阵相乘是能交换的，数与对角阵相乘，对角阵相加、乘还是对角阵。

再进一步特殊化就是λλ=i2、数量矩阵对于任意常数λ，n 阶方阵λ=λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭叫数量矩阵。

它与任意n 阶方阵相乘可交换，以数量矩阵乘以一个矩阵B 相当于数λ乘以矩阵B3,单位阵当λ=1时数量阵就是单位阵，即111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭记为E 显然E 在矩阵乘法中的作用与数1在数的乘法中的是相同的即AE=EA 。

一般称 n 阶的方阵E 为单位矩阵。

即主元是1，非主元是零例7：利用矩阵乘法，将线性方程组表为矩阵形式。

n 个未知量m 个方程的方程组系数矩阵、未知量列矩阵、常量列矩阵n 个未知量m 个方程的方程组的矩阵形；齐次方程组的矩阵形 AX=B AX=0 方程组可表示为AX=B.此式为方程组矩阵型。

齐次方程组可表为AX=0四，转置矩阵定义4：将m ⨯ n 矩阵A 的行与列互换所得的n ⨯ m 矩阵，称为矩阵A 的转置矩阵，记为A T 转置矩阵有如下性质：1 (A T )T =A2, (A+B)T =T T B A +3. T T kA )kA (=4 . T T T A B )AB (=五．方阵的幂与方阵的行列式对于幂了解，重点掌握行列式定义5：由n 阶方阵的元素按原相对位置构成的行列式就是detA 或A 。

定理2—1设A , B 是同阶方阵则AB =B A 此定理可推广到有限小结：理解矩阵的有关概念，掌握矩阵的乘法及矩阵与行列式的区别。

挑战课改的数学教案：剖析矩阵变换的精髓教学目标：1. 理解矩阵的概念及其在数学中的应用。

2. 掌握矩阵的基本运算，包括加法、减法、数乘和矩阵乘法。

3. 理解矩阵变换的实质，并能够运用矩阵变换解决实际问题。

4. 培养学生的逻辑思维能力，提高他们分析问题和解决问题的能力。

教学内容：第一章：矩阵的概念与基本运算1.1 矩阵的定义与表示1.2 矩阵的加法与减法1.3 矩阵的数乘1.4 矩阵的乘法第二章：矩阵变换的本质2.1 矩阵变换的定义2.2 矩阵变换的图像解释2.3 矩阵变换的性质2.4 逆矩阵与逆变换第三章：矩阵变换在几何中的应用3.1 二维空间中的矩阵变换3.2 三维空间中的矩阵变换3.3 投影矩阵与图像变换3.4 矩阵变换与线性方程组第四章：矩阵变换在计算机图形学中的应用4.1 计算机图形学中的矩阵变换4.2 二维图形变换：平移、缩放、旋转4.3 三维图形变换：投影、视图转换4.4 矩阵变换与计算机动画第五章：矩阵变换在实际问题中的应用5.1 线性方程组的矩阵表示5.2 高斯消元法与矩阵变换5.3 特征值与特征向量5.4 矩阵变换与优化问题教学方法：1. 采用讲授与讨论相结合的方式，引导学生深入理解矩阵变换的概念和性质。

2. 通过具体的例题和实际应用问题，让学生掌握矩阵变换的方法和技巧。

3. 利用多媒体教学手段，如动画和图形展示，帮助学生直观地理解矩阵变换的效果。

4. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，培养他们的创新能力和解决问题的能力。

教学评估：1. 定期进行课堂测验和作业批改，了解学生对矩阵变换的理解和掌握程度。

2. 组织小组讨论和报告，评估学生在合作学习中的表现和思维能力。

3. 布置综合性的课后习题和项目任务，考察学生运用矩阵变换解决实际问题的能力。

4. 期末考试对学生进行全面评估，包括矩阵变换的基本概念、运算方法和应用领域。

第六章：矩阵变换在物理学中的应用6.1 经典力学中的矩阵变换6.2 电磁学中的矩阵变换6.3 相对论中的矩阵变换6.4 矩阵变换与量子力学第七章：矩阵变换在信号处理中的应用7.1 信号处理中的矩阵变换7.2 傅里叶变换与矩阵变换7.3 拉普拉斯变换与矩阵变换7.4 矩阵变换与数字信号处理第八章：矩阵变换在机器学习中的应用8.1 机器学习中的矩阵变换8.2 特征变换与降维8.3 线性回归与矩阵变换8.4 神经网络与矩阵变换第九章：矩阵变换在数据挖掘中的应用9.1 数据挖掘中的矩阵变换9.2 关联规则挖掘与矩阵变换9.3 聚类分析与矩阵变换9.4 矩阵变换与数据可视化第十章：矩阵变换在其它学科领域的应用10.1 生物学中的矩阵变换10.2 化学中的矩阵变换10.3 经济学中的矩阵变换10.4 矩阵变换与地球科学教学方法与评估：6. 采用案例分析和实验验证的方式，让学生了解矩阵变换在不同学科中的应用。

《1.2.2 矩阵变换》教案3教学目标一、知识与技能：掌握投影变换对应的矩阵及其几何意义二、过程与方法：自学指导法三、情感态度与价值观：体会知识间的联系教学难点、重点投影变换的矩阵表示教学过程一、复习变换，二、指导问题1、投影变换的几何意义是什么？（将平面图形投射到一个点或一条直线上）2、投影变换是否为一一映射？（不是）。

在学过的平移、伸压、恒等、反射及旋转变换中，是否为一一映射？（是）3、投影变换矩阵如何求出？例1、矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001，A(2,1),B(1,3),C(2,2) (1)求在M 作用下，A 、B 、C 对应的点A /、B /、C /的坐标(2)矩阵将直线AB 、AC 变成什么图形？对应变换的几何意义是什么？解：(1)A /(2,0), B /(1,0),C /(2,0)(2)都变成了x 轴，是向x 轴上的投影变换练习：写出到直线y=2x 的投影变换矩阵及垂直投影变换矩阵（⎥⎦⎤⎢⎣⎡0201，（x 0,y 0）垂直投影到直线y=2x 上的点(x,y),则：根据200⨯--x x y y =-1及y=2x 解得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=000054525251y x y y x x ，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡54525251）例2、求直线x+y=5在矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100对应的变换下得到的图形 解：设(x 0,5-x 0)在A 作用下对应的点为(x,y), ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100⎥⎦⎤⎢⎣⎡-005x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡50,所以变换后得到点(0,5)练习：若曲线y=sinx 在矩阵M 对应的投影变换作用下变成直线y=0,求M ，并求在M 作用下曲线f(x,y)=0变成的方程（M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001,y=0） 例3、求椭圆x 2+42y =1在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000作用下对应的图形 解：设(x 0,y 0)为已知椭圆上任意一点，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000作用下变为点(x,y) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y ，于是x=0,y=y 0,由于(x 0,y 0)在椭圆上，故-2≤y 0≤2,所以变成了y 轴上在[-2,2]间的线段 说明：注意变形的等价性练习：求曲线y 2=x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001对应的变换作用下得到的图形（射线OX ） 三、小结：投影变换的定义及矩阵的找法四、作业：1、设L 是过原点的直线，倾斜角为600，A 是到直线L 的垂直投影变换，求A 及点P(2,-1)在A 作用下象P /的坐标2、矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a 10将直线L:2x+y-7=0变成L /:x+y-3=0，求a 、b 3、二阶矩阵M 对应的变换将点(1,-1)、(-2,1)分别变成(5,7)、(-3,6)(1)求M (2)求直线L:x-y=4在此变换下得到的L /的方程。

《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案1教学目标1． 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系教学重难点了解并掌握几种特殊的矩阵变换，可以简单的运用。

教学过程1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义（１）一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ）由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形.在本节中研究的变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等六个变换．（２）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己.（３）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001)0k (>确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换，这时称矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001伸压变换矩阵． 当M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩,当1k >时伸长,当1k 0<<时压缩.变换T M 确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿x 轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x 轴方向伸长或压缩,以1k 0<<为例，对于x 轴上方的点向下压缩，对于x 轴下方的点向上压缩，对于x 轴上的点变换前后原地不动．当M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001时确定的变换将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩,当1k >时伸长,当1k 0<<时压缩．在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．恒等变换是伸压变换的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究． （４）将一个平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵称为反射变换矩阵，对应的变换称为反射变换，关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，定直线称为反射轴，定点称为反射点．反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.在中学里常研究的反射变换有： 由矩阵M １=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001确定的变换是关于x 轴的轴反射变换，由矩阵M ２=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001确定的变换是关于y 轴的轴反射变换,由矩阵M ３=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001确定的变换是关于原点的中心反射变换．由矩阵M ４=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110确定的变换是关于直线y=x 的轴反射变换． 学习反射变换要与函数图象的变换、解几中二次曲线变换的知识联系起来考虑.其实质是变换对纵横坐标产生的影响.（５）将一个平面图形绕一个定点旋转角α得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时旋转变换的变换矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ．旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转180的变换相当于关于定点作中心反射变换．（６）将一个平面图投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵M １=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001，M ２=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101 ，M ３=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000确定的投影变换．需要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射． （７）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 或⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵．以⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 为例，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k 把平面上的点)y ,x (沿x 轴方向平移｜ky|个单位，当ky ＞０时沿x 轴正方向移动，当ky ＜０时沿x 轴负方向移动，当ky ＝０时原地不动，切变变换有如下性质：（１）x 轴上的点是不动点；（２）保持图形面积大小不变,点间的距离和夹角大小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的．切变变换的实质是横（纵坐标）成比例地运动.2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵一般地，二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线，把直线变为直线的变换叫做线性变换，本节中所研究的6种变换均为线性变换，在研究平面上多边形或直线在矩阵的变换作用后的图形时，只需考察顶点（或端点）的变化结果即可．3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系如恒等变换可以看做伸压、旋转、切变变换的特殊情形;关于坐标原点的中心反射变换可以看做是绕原点作了)Z k ()1k 2(∈π+角度的旋转变换，它还可以看做是先作关于x 轴的反射再作关于y 轴的反射的复合; 绕原点作了β+α角度的旋转变换可以看做是先绕原点作了α角度的旋转变换再绕原点作了β角度的旋转变换等等.基础训练１、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变成正方形，则a ＝（ ）. Ａ、21 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、31 2、已知矩阵M 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，M 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，M 3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，则由M 1，M 2，M 3确定的变换分别是（ ）A 、恒等变换、反射变换、投影变换B 、恒等变换、投影变换、反射变换C 、投影变换、反射变换、恒等变换D 、反射变换、恒等变换、投影变换3、直线x+y=5在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100 对应的变换作用下得到的图形是（ ）A 、直线x+y=5 B 、直线y=5 C 、直线x=5 D 、点（0，54、将向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为=______________. 5、图中正方形ABCD 在由矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011所确定变换的作用后的图形的 _____________.6、若直线y=4x-4在矩阵M 对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1，则 M=__________.解题指导例1、求圆C ：224x y +=在矩阵2001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型.解：设P(x,y)是圆C ：224x y +=上的任一点, P 1)y ,x (''是P(x,y) 在矩阵2001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的伸压变换下的曲线上的对应点 , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x y x y x 21002 即 ⎩⎨⎧='='y y x x 2,所以⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 2 代入224x y +=得 22''44x y += 方程221164x y +=表示的曲线为椭圆 点评：通过变换矩阵建立所求曲线上的点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键． 例２、若曲线y=x 2（x≥0）在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的曲线为y=x 2（x≤0），求矩阵M.解：由两曲线之间的关系知：矩阵M 对应的反射变换是以y 轴为轴的反射变换，所以M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001点评：这类问题在求解时应先确定两曲线之间的反射变换是中心对称反射变换还是是轴对称变换．如果是轴对称变换再进一步确定对称轴，进而写出变换矩阵．例３、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A′B′C′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A′（0，0）， C′（-3，1），试求矩阵M 并求B′的坐标.解、由题意旋转中心为原点，设逆时旋转角为α)20(πα≤≤， 则旋转变换矩阵为Ｍ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13 ∴⎩⎨⎧=-=-1cos 23sin 2αα∴ 故而3πα= ∴Ｍ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321 设B′（x,y ）,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321⎥⎦⎤⎢⎣⎡31＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31 ∴)3,1(B -'点评：逆时针旋转角为α时的旋转矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ，若顺时针旋转角为α时，则将上述矩阵中的α换为－α即可．例４、已知在矩阵M 的作用下点A （1，2）变成了点A′（11，5），点B （3，-1）变成了点B′（5，1），点C （x ，0）变成了点C′（y ，2），求（1）矩阵M ；求（2）x 、y 值. 解： （1）设矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡51121，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1513 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=+=+135352112d c b a d c b a ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====2143d c b a ，∴M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2143（2）由 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2143⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡20y x 得⎩⎨⎧==23x y x ∴⎩⎨⎧==62y x点评：求变换矩阵通常用待定系数法．例５、给定二阶矩阵M ，对任意向量 αβ和，证明：()M M M αβαβ+=+证明：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，11x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，22x y β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 121212121212()()()()()x x a x x b y y a b M y y c x x d y y c d αβ++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦121122121122x x ax by ax by a b a b M M y y cx dy cx dy c d c d αβ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1212121212121212()()()()ax ax by by a x x b y y cx cx dy dy c x x d y y ++++++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦得证点评：更一般地，可以证明：λλλλM M M 2121)(+=+，其中21,λλ为任意实数。

挑战课改的数学教案：剖析矩阵变换的精髓一、教学目标1. 理解矩阵变换的概念，掌握矩阵变换的基本性质。

2. 能够运用矩阵变换解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提升数学素养。

二、教学内容1. 矩阵变换的定义及基本性质2. 矩阵变换在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：矩阵变换的概念、基本性质及应用。

2. 难点：矩阵变换在实际问题中的应用。

四、教学方法与手段1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究、合作交流。

2. 利用多媒体课件，直观展示矩阵变换的过程及应用。

3. 结合实例，让学生感受矩阵变换在实际问题中的重要性。

五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对矩阵变换的思考。

2. 知识讲解：介绍矩阵变换的定义、基本性质及计算方法。

3. 案例分析：分析矩阵变换在实际问题中的应用，如线性方程组求解、图像变换等。

4. 课堂练习：设置一些有关矩阵变换的练习题，巩固所学知识。

5. 总结与反思：让学生谈谈对矩阵变换的理解，以及在学习过程中遇到的困难和建议。

6. 课后作业：布置一些有关矩阵变换的应用题，让学生课后思考。

六、教学评价1. 课后收集学生的课堂练习和课后作业，评估学生对矩阵变换知识的掌握程度。

2. 观察学生在课堂讨论和问题解答中的表现，了解他们的理解深度和应用能力。

3. 设计问卷调查，收集学生对教案设计的反馈，以便对后续教学进行改进。

七、教学拓展1. 邀请数学系的教授或行业专家进行专题讲座，加深学生对矩阵变换在科学研究和工程应用中的认识。

2. 组织学生参观相关领域的实验室或企业，实地了解矩阵变换技术的应用。

3. 推荐学生阅读矩阵变换的经典教材和最新研究论文，拓宽视野。

八、教学资源1. 教案、PPT课件、练习题及答案。

2. 相关领域的视频资料、学术论文和案例分析。

3. 数学软件工具（如MATLAB、Mathematica等），供学生进行实践操作。

九、教学进度安排1. 第一课时：导入及矩阵变换定义、性质讲解。

矩阵与变换教材解读与教学建议第一篇：矩阵与变换教材解读与教学建议人教A版选修4—2《矩阵与变换》教材解读与教学建议金克勤“矩阵与变换”这一模块是高中新课程中的新增内容，为了提高对新增内容教学的认识，更准确地把握教学要求，结合教学实践对《矩阵与变换》作教材解读。

一、教学要求解读 1．基本要求（1）理解二阶矩阵的概念。

（2）了解线性变换与二阶矩阵之间的关系。

（3）掌握旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示。

（4）了解变换和矩阵相等的概念。

（5）了解二阶矩阵与向量相乘的概念，会用矩阵与向量的乘积表示线性变换。

（6）了解线性变换的基本性质。

（7）了解一些重要的线性变换对单位正方形区域的作用。

（8）理解复合变换的意义。

（9）了解矩阵与矩阵相乘的意义，会用矩阵的乘法表示复合变换。

（10）掌握矩阵乘法的性质。

（11）理解逆变换的概念，根据变换与矩阵的关系理解逆矩阵的意义。

（12）会利用二元一次方程组求逆矩阵。

（13）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义。

（14）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。

（15）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。

（16）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。

（17）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。

（18）初步了解矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。

（19）初步会求二阶方阵的特征值与特征向量。

（20）初步利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示。

（21）初步了解三阶或高阶矩阵。

（22）了解矩阵的应用。

2．发展要求（1）从代数和几何的角度理解矩阵乘法的性质。

（2）了解各种变换矩阵逆矩阵的意义。

（3）特征向量与特征值的应用。

3．对教学要求的解读（1）深入浅出，扩展视野。

矩阵与变换这一专题，是中学课程内容的延伸与拓展，它以初中数学平面几何知识为基础（学生熟悉对称变换、轴对称变换、中心对称变换、放缩变换等为背景）开展研究，以低维度的二阶矩阵为研究对象，通过几何图形的变换研究二阶矩阵。

挑战课改的数学教案：剖析矩阵变换的精髓第一章：矩阵与矩阵变换简介1.1 矩阵的概念1.2 矩阵的运算1.3 矩阵变换的意义1.4 学习目标与教学方法第二章：矩阵的线性变换2.1 线性变换的定义2.2 矩阵与线性变换的关系2.3 线性变换的性质2.4 学习目标与教学方法第三章：矩阵的逆变换3.1 逆变换的概念3.2 矩阵的逆3.3 逆变换的应用3.4 学习目标与教学方法第四章：矩阵的秩与最小多项式4.1 矩阵的秩4.2 最小多项式4.3 秩与最小多项式的应用4.4 学习目标与教学方法第五章：矩阵变换的图像分析5.1 二维坐标系中的矩阵变换5.2 矩阵变换的图像特征5.3 矩阵变换的应用实例5.4 学习目标与教学方法第六章：矩阵的特征值与特征向量6.1 特征值与特征向量的定义6.2 求解特征值与特征向量的方法6.3 特征值与特征向量的应用6.4 学习目标与教学方法第七章：矩阵的对角化7.1 对角化的概念7.2 矩阵对角化的条件7.3 矩阵对角化的方法7.4 对角化在实际问题中的应用7.5 学习目标与教学方法第八章：矩阵变换与线性方程组8.1 线性方程组的概念8.2 矩阵变换与线性方程组的解8.3 矩阵变换在解线性方程组中的应用8.4 学习目标与教学方法第九章：矩阵变换在几何中的应用9.1 矩阵变换与几何变换9.2 矩阵变换在平面几何中的应用9.3 矩阵变换在空间几何中的应用9.4 学习目标与教学方法第十章：矩阵变换在现代科技中的应用10.1 矩阵变换在计算机图形学中的应用10.2 矩阵变换在信号处理中的应用10.3 矩阵变换在其他科技领域中的应用10.4 学习目标与教学方法重点和难点解析重点一：矩阵的概念与运算解析：矩阵是数学中的基础概念，理解矩阵及其运算对于后续学习矩阵变换至关重要。

学生需要掌握矩阵的定义、矩阵的运算规则以及矩阵的性质。

重点二：线性变换与矩阵的关系解析：线性变换是矩阵变换的核心，理解线性变换的定义及其与矩阵的关系对于掌握矩阵变换的实质至关重要。

矩阵表示的变换【学习目标】一、知识与技能：了解数学实验研究方法，理解切变换的几何意义；初步运用矩阵所表示的变换研究问题。

二、方法与过程回顾上一章五种特殊的线性变换，经历欣赏、画图、观察、动手操作、验证等过程，发现矩阵所表示变换的几何性质。

三、情感、态度与价值观形成解决问题的策略和方法，体会和他人合作的重要性，获得解决问题的经验，体验探索的乐趣。

【学习重点】矩阵所表示变换的几何性质探究【学习难点】矩阵所表示变换的几何性质的理论证明【学习过程】一、复习1．基本概念（1）二阶矩阵：由四个数，，，排成的正方形数表称为二阶矩阵。

特别地，称二阶矩阵为零矩阵，简记为0称二阶矩阵为二阶单位矩阵，记为。

（2）向量：向量（）是一对有序数对，叫做它的两个分量，且称为列向量，（）为行向量。

同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。

2．几类特殊线性变换及其二阶矩阵（1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如（其中，，，为常数）的几何变换叫做线性变换。

（2）旋转变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ⎩⎨⎧+=+=dy cx y by ax x ``坐标公式为，变换对应的矩阵为_______________。

（3）反射变换①关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_______________； ②关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_______________； ③关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_______________； （4）伸缩变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_______________； （5）投影变换①投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_______________； ②投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_______________。

二、问题探究实验1 研究矩阵所表示变换的几何性质。

这个矩阵表示的变换将点P （）变到（），变换前后的点的坐标之间的关系为＝ 即 （1） 为了考察变换的作用效果，先用平行于坐标轴的直线，（取整数 0，，，…）将平面分成一个个边长为1的正方形。