高中数学人教A选修23课件11分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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温馨提示1.分类加法计数原理是对完成这件事的所有方法的一 个分类,分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类的标准,然后 在确定的分类标准下进行分类;其次,分类时要注意满足一个基本 要求:完成这件事的任何方法必属于其中的某一类,并且分别属于 不同类的两种方法都是不同的方法.只有满足这些条件,才能使用 分类加法计数原理. 2.分步乘法计数原理是指完成这件事的任何一种方法,都要分成 n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点确定一个分步标准,其次, 分步时还要注意满足完成一件事情必须且只需连续完成这n个步 骤后才能完成.只有满足这些条件,才能使用分步乘法计数原理.
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【变式训练1】 在所有两位数中,个位上的数字大于十位上的数 字的两位数,共有多少个? 解:方法一:按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类, 在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4 个、3个、2个、1个, 根据分类加法计数原理,符合题意的两位数的个数共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36. 方法二:按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9的情况分成8类,在 每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6 个、7个、8个,根据分类加法计数原理知,符合题意的两位数的个 数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36.
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示例
某校有 12 名语文教师、 13 名 数学教师和 15 名英语教师, 市教育局拟召开一个新课程 研讨会.该校若从语文、数学 或英语教师中选派 1 名教师 参会,求不同选派方法的种数 选派 1 名教师
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题型二
分步乘法计数原理的应用
【例2】 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的 点,问: (1)点P可表示平面上多少个不同的点? (2)点P可表示平面上多少个第二象限内的不同的点? 分析完成“确定点P”这件事,需要依次确定点P的横坐标和纵坐标, 应运用分步乘法计数原理求解. 解:(1)确定平面上的点P(a,b),可分两步完成:第一步确定a的值,有6 种不同方法;第二步确定b的值,也有6种不同方法.根据分步乘法计数 原理,得到平面上不同的点P的个数为6×6=36. (2)确定平面上第二象限内的点P(a,b),可分两步完成:第一步确定a 的值,因为a<0,所以有3种不同方法;第二步确定b的值,因为b>0,所以 有2种不同方法.由分步乘法计数原理,得到平面上第二象限内不同的 点P的个数为3×2=6.
某大学食堂备有 6 种荤菜、5 种素菜、 3 种汤.现要配制 “一荤一素一汤”的 套餐,求可以配制 的不同套餐的种数 配制套餐
分 析 如何完成 这件事
完成的这件 事是什么
先配一种荤菜,再 从语文、数学或英语教师中 配一种素菜,最后 任意选派 1 名 配一种汤
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【做一做3】 某单位职工举行无偿献血活动,在体检合格的人 中,O型血的共有18人,A型血的共有10人,B型血的共有8人,AB型血 的共有3人.完成下面两件事:①从中任选1人去献血;②从四种血型 的人中各选1人去献血.不同选法的种数分别是( ) A.4 320,39 B.39,39 C.39,4 320 D.4 320,4 320 解析:①任选1人去献血,即不论选哪种血型的哪个人,这件“任选1 人去献血”的事情都可以完成,所以用分类加法计数原理,共有 18+10+8+3=39种不同选法.②要从四种血型的人中各选1人去献 血,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的 事情才能完成,所以用分步乘法计数原理,共有18×10×8×3=4 320 种不同的选法. 答案:C
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【做一做2】 已知集合A={1,2},B={3,4,5},从集合A和集合B中各 取一个元素,分别作为平面直角坐标系中的点的横坐标与纵坐标, 则不同点的个数为( ) A.5 B.6 C.10 D.12 解析:完成这件事可分两步:第一步,从集合A中任取一个元素作为 点的横坐标,有2种不同的方法;第二步,从集合B中任取一个元素作 为点的纵坐标,有3种不同的方法.由分步乘法计数原理,共有2×3=6 种不同的方法,故有6个不同的点. 答案:B
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2.对于两个计数原理的综合应用问题,是应该先分类还是先分步 剖析对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步, 分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要 注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互 不干扰. 我们也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格,使问 题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题.
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题型一 分类加法计数原理的应用
【例1】 某校从高二的4个班中抽出一些同学组成数学课外小组, 其中一、二、三、四班分别抽出了4名、5名、6名、7名同学.若任 选其中1名同学担任组长,有多少种不同的选法? 分析本题要完成的一件事是“任意选出1名同学担任组长”,所以 只要从4个班抽出的同学中任意选出1名同学就算完成任务,故应用 分类加法计数原理求解. 解:分四类:第一类,从一班抽出的同学中选1名同学担任组长,有4 种不同选法;第二类,从二班抽出的同学中选1名同学担任组长,有5 种不同选法;第三类,从三班抽出的同学中选1名同学担任组长,有6 种不同选法;第四类,从四班抽出的同学中选1名同学担任组长,有7 种不同选法.根据分类加法计数原理,共有4+5+6+7=22种不同选法.
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反思分类加法计数原理要求每一类方案中的各种方法都是相互独 立的,且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事.在 应用该原理解题时,要根据问题的特点,确定好分类的标准.分类时 应满足:完成一件事的任何一种方法,必属于某一类且仅属于某一 类.
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DHale Waihona Puke 例透析IANLI TOUXI
2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有 n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 知识拓展完成一件事需要n个步骤,完成第1步有m1种不同的方法, 完成第2步有m2种不同的方法……完成第n步有mn种不同的方法,那 么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
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反思利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:(1)要按事件发生 的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;(2)各步中的方法互相依 存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事.
第一章
计数原理
-1-
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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1.通过实例,总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的意义, 分清它们的条件和结论. 2.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,理解两个原理的 区别与联系. 3.能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计 数原理解决一些简单的实际问题.
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