人教版数学高考（文）一轮复习训练：第八章练40直线、平面垂直的判定与性质(1)基础巩固1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则( )A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直2.设α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE4.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是( )A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥β5.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有( )A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面BDC6.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在的平面,那么( )A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PA≠PB≠PC7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).8.如图,∠BAC=90°,P C⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC 垂直的直线有;与AP垂直的直线有.9.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: (用序号表示).10.(2017山东临沂一模)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,AE=BE,E D⊥平面ABCD.(1)若M是AB的中点,求证:平面CEM⊥平面BDE;(2)若N为BE的中点,求证:CN∥平面ADE.11.(2017广东江门一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.(1)求四棱锥F-ADEC的体积;(2)求证:平面ADF⊥平面ACF.12.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图①图②(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.能力提升13.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.414.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC 上的射影H必在( )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部15.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC16.若有直线m,n和平面α,β,下列四个命题中,正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βC.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α17.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;(3)若BC=,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.高考预测18.在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=DC=1,BP=BC=,PC=2,AB⊥平面PBC,F为PC 中点.(1)求证:BF∥平面PAD;(2)求证:平面ADP⊥平面PDC;(3)求VP-ABCD.答案：1.D 解析:对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.2.B 解析:如图(1)β∥α,知A错;如图(2)知C错;如图(3),a∥a',a'⊂α,b⊥a',知D错;由线面垂直的性质定理知B正确.3.C 解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,所以选C.4.D 解析:对于A,l⊂α,m⊂β,且l⊥m,如图(1),α,β不垂直;对于B,l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n,如图(2),α,β不垂直;图(1)图(2)对于C,m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m,直线l没有确定,则α,β的关系也不能确定;对于D,l⊂α,l∥m,且m⊥β,则必有l⊥β,根据面面垂直的判定定理知,α⊥β.5.C 解析:∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.故选C.6.C 解析:∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,∴BM=AM=CM.又PM⊥平面ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.7.DM⊥PC(或BM⊥PC) 解析:∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.8.AB,BC,AC AB 解析:∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC.∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,∴AB⊥AP,与AP垂直的直线是AB.9.①③④⇒②(或②③④⇒①) 解析:逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.10.证明:(1)∵ED⊥平面ABCD,∴ED⊥AD,ED⊥BD,ED⊥CM.∵AE=BE,∴Rt△ADE≌Rt△BDE,∴AD=BD.连接DM,则DM⊥AB,∵AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM.又DE⊥CM,BD∩DE=D,∴CM⊥平面BDE,∵CM⊂平面CEM,∴平面CEM⊥平面BDE.(2)由(1)知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,在△EBA中,∵N为BE的中点,∴NG∥AB且NG=AB,又AB∥CD,且AB=2CD,∴NG∥CD,且NG=CD,∴四边形CDGN为平行四边形,∴CN∥DG.又CN⊄平面ADE,DG⊂平面ADE,∴CN∥平面ADE.11.(1)解:∵D,E分别是AB,BC边的中点,∴DE��AC,DE⊥BC,DE=1.依题意,DE⊥EF,BE=EF=2,∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF,∵DE⊂平面ACED,∴平面ACED⊥平面CEF.作FM⊥EC于M,则FM⊥平面ACED,∵∠CEF=60°,∴FM=,梯形ACED的面积S=(AC+ED)×EC=(1+2)×2=3.四棱锥F-ADEC的体积V=Sh=×3×.(2)证法一如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQ��AC,∴NQ��DE,四边形DEQN是平行四边形,DN∥EQ.∵EC=EF,∠CEF=60°,∴△CEF是等边三角形,EQ⊥FC,又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ,∴AC⊥EQ,∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面ACF,∴DN⊥平面ACF,又DN⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.证法二连接BF,∵EC=EF,∠CEF=60°,∴△CEF是边长为2的等边三角形.∵BE=EF,∴∠EBF=∠CEF=30°,∴∠BFC=90°,BF⊥FC.∵DE⊥平面BCF,DE∥AC,∴AC⊥平面BCF.∵BF⊂平面BCF,∴AC⊥BF,又FC∩AC=C,∴BF⊥平面ACF,又BF⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.12.(1)证明:在题图①中,因为AD∥BC,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC,四边形BCDE为平行四边形.所以在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,BE∥CD,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知,A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图①知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.13.C 解析:①若m⊥n,m⊥α,则n可能在平面α内,故①错误;②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α.又∵n⊥β,∴α∥β,故②正确;③过直线m作平面γ交平面β于直线c,∵m,n是两条异面直线,∴设n∩c=O.∵m∥β,m⊂γ,γ∩β=c,∴m∥c.∵m⊂α,c⊄α,∴c∥α.∵n⊂β,c⊂β,n∩c=O,c∥α,n∥α,∴α∥β.故③正确;④∵α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,∴n⊥α.故④正确.故正确命题有三个,故选C.14.A 解析:由BC1⊥AC,又BA⊥AC,则AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.15.D 解析:由题意知,在四边形ABCD中,CD⊥BD,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD,又因为AB⊥AD,且CD∩AD=D,所以AB⊥平面ADC,于是得到平面ADC⊥平面ABC,故选D.16.D 解析:如图(1),β∥α,m⊂β,n⊂β,有m∥α,n∥α,但m与n可以相交,故A错;如图(2),m∥n∥l,α∩β=l,有m∥β,n∥β,故B错;如图(3),α⊥β,α∩β=l,m⊂α,m∥l,故C错.故选D.点评:D选项证明如下:如图(4),α⊥β,设交线为l,在α内作n⊥l,则n⊥β,∵m⊥β,∴m∥n,∵n⊂α,m⊄α,∴m∥α.17.(1)证明:在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC⊥DO.又PO垂直于圆O所在的平面,所以PO⊥AC.因为DO∩PO=O,所以AC⊥平面PDO.(2)解:因为点C在圆O上,所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.又AB=2,所以△ABC面积的最大值为×2×1=1.又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为×1×1=.(3)解:(方法一)在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°.所以PB=.同理PC=,所以PB=PC=BC.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.又因为OP=OB,C'P=C'B,所以OC'垂直平分PB,即E为PB中点.从而OC'=OE+EC'=,亦即CE+OE的最小值为.(方法二)在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,所以∠OPB=45°,PB=.同理PC=.所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.所以在△OC'P中,由余弦定理得,OC'2=1+2-2×1××cos(45°+60°)=1+2-2=2+.从而OC'=.所以CE+OE的最小值为.18.(1)证明:取PD的中点E,连接EF,AE.因为F为PC中点,所以EF为△PDC的中位线,即EF∥DC且EF=DC.又AB∥CD,AB=CD,所以AB∥EF且AB=EF.所以四边形ABFE为平行四边形,所以BF∥AE.又AE⊂平面PAD,BF⊄平面PAD,所以BF∥平面PAD.(2)证明:因为BP=BC,F为PC的中点,所以BF⊥PC.又AB⊥平面PBC,AB∥CD,所以CD⊥平面PBC.又BF⊂平面PBC,所以DC⊥BF.又DC∩PC=C,所以BF⊥平面PDC.由(1)知,AE∥BF,所以AE⊥平面PDC.又AE⊂平面ADP,所以平面ADP⊥平面PDC.(3)解:因为AB⊥平面PBC,AB⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PBC且交线为BC.又BP=BC=,PC=2,所以PB⊥BC.所以PB⊥平面ABCD,即PB是四棱锥的高.所以VP-ABCD=SABCD·PB=×(1+2)×=1.。
