3-5小样本区间估计

第三章 参数估计 例题3.9:已知某树种木材横纹抗压力服从正态分布. 今对10个试件进行试验,得到以下数据(单位:kg/cm2)
482 493 457 510 446 425 418 394 469 471
求横纹抗压力的置信度为95%的区间估计. 解：计算样本的均值、均方差并查表
x = 457.5, S = 35.217
n 1
2
S X t n 1 n n n 2 2 X X i i
i 1
2 n
2
i 1
12 n
2
2
未知
( n 1) S 2

2
( n 1) S 2 2 n 1
2
( n 1) S 2 , 2 1 n 1
解2：用泊松分布估计 c = 10
4.8412 100 , 18.39 [0.048412, 0.1839] 100
[1 - 0.048412, 1 - 0.1839] = [0.8161,0.9516]
第三章 参数估计 解3∶ n = 100 ,k = 90,1 - α = 0.95 ,n - k = 10
t0.05 9 = 2.262
第三章 参数估计 绝对误差限 相对误差限为
Δ = t0.05 9 S = 2.262 35.217 = 25.191
n 10 Δ 25.191 Δ = = = 0.055 x 457.5
精度为
区间估计为
A = 1 - Δ' = 1 - 0.055 = 0.945
第三章 参数估计 由观测值k、可靠性1-α 、n-k,查二项分布参数p 的置信区间表可直接求出p的置信区间为 [ p1 , p2 ] 满足 P
p1 p p2 = 1- α
例3.10 有一批杀虫剂已存放一年，今随机抽出30瓶
进行检验，结果有12瓶失效。试以95%的可靠性，
估计这批产品中失效瓶数所占比例.
查 (n 1)分布表 ,得
2
2 (n 1),
2 2
1
2 1

2
( n 1 ).
退 出
第三章 参数估计
由此得：

2 1

2
(n 1)
(n 1) S
2

2
(n 1)
2 2
2 (n 1) S 2 ( n 1 ) S 推得： 2 2 2 (n 1) (n 1) 2 1 2
2
第三章 参数估计 3.4.3总体频率p的小样本估计 总体分布∶
X P
0 1-p 1
p
随机抽取 n 个单元组成样本，样本中具有该特点 的单元数 m ~ B n, p
P ( m = k ) = C p 1 - p
k n k n-k
k = 0,1, 2,
,n
m 则样本频率为∶ p = n
n = 30, 1 - α = 0.95, k = 12 , n - k = 30 - 12 = 18 解∶
查表得p的可靠性为95%的置信区间为[0.227, 0.594]
第三章 参数估计
例3.11 在一批染病的苗木上喷洒某种药剂后，随机
从中抽出100粒进行检查，结果有90粒治愈。试以95%
的可靠性，估计这批染病苗木治愈率的置信区间。
第三章 参数估计 区间估计: P 1 ( x1 , x2 , , xn ) 2 ( x1 , x2 , , xn ) 1 大样本估计 小样本估计 极限分布 精确分布 n>=50 n无要求 任意总体 正态总体 N , 2

2
p p
3.4 小样本方法(用精确分布进行参数区间估计) 一、一个正态总体未知参数的置信区间
x - Δ, x + Δ = 457.5 - 25.191,
457.5 + 25.191 = 432.31, 482.69
2）方差的区间估计
设X 1 ,, X n为总体 X ~ N ( , )的一个样本 .
2
对于给定的 1 ， 查 2 分 布 表 ， 得 1与 2， 使得： 2
X -
0 / n
} 1-
由正态分布表的构造， 由P{| U | } 1 ，可知：
U
-U
(X - ) n
0
U
推得，随机区间： [X -U
0
n
, X U
0
n
]
是 的置信度为 1 的置信区间 .
例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的 幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）; 假设标准差 0 7，置信度为 95%；
已知n 16, 0.05. 由样本值算得： s 2 0.00244 . 解： 2 2 2 查 (n 1)分布表 , 得 0.025 (15) 27.5, 0.975 (15) 6.26.
2 2 ( n 1) S 15 0.00244 ( n 1) S , , 2 ( n 1) 2 ( n 1) 27.5 1 2 2
[X U
0
n
, X U
Βιβλιοθήκη Baidu0
n
]
(2) 方差未知时，估计均值
由于方差 2未知，
而选取样本函数： T
X S/ n
~ t ( n 1).
对于给定的 1 ，查t分布表，找 1与2，使得：
P{1 T 2 } 1 ，
我们仍然取成对称区间 [ , ],使得：
15 0.00244 0.0013,0.0058 6.26
第三章 参数估计 例 3.12:已知某树种木材横纹抗压力服从正态分布. 今对10个试件进行试验,得到以下数据(单:kg/cm2) 482 493 457 510 446 425 418 394 469 471 以95%的置信度对抗压力的方差进行区间估计.
k
60
100
Δk
=40
下限 W1 0.752 上限 W2 0.929
0.838 ΔW1=0.086 0.955 ΔW2=0.026
用线性插值法计算得:
ΔW1 0.086 W1 = 0.752 + (90 - 60) = 0.752 + 30 = 0.8165 Δk 40 ΔW2 0.026 W2 = 0.929 + (90 - 60) = 0.929 + 30 = 0.9485 Δk 40
1） 均值的区间估计
设X 1 ,, X n为总 体 X ~ N ( , )的一 个样本 , 在置 信度 1 下，来确 定 的置 信区间 [ 1， 2 ].
2
(1)方差已知时，估计均值
2 设已知方差 2 0 ,
构造样本的函数 U
X
0 / n
~ N (0,1).
2
样本函数： 2
( n 1) S 2
~ (n 1).
2
P{1 2 } 1 ，
第三章 参数估计
虽 然 2 分 布 密 度 函 数 无 对 称 ， 性我 们 仍 采 用 使 概 率 对称的区间：
P{ 2 1 } P{ 2 2 } / 2，
推得，置信区间为：
S S [X -t ( n 1) , X t ( n 1) ] n n
[X -t ( n 1)
例2 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度 分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度; 设温度 X ~ N ( , 2 )。
试求总体均值 的置信区间 .
已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得： 解：
1 x (115 120 110 ) 115 9
u 0.05 1.96
115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9
110.43 , 119.57
对于给定的置信度 1 ， 查 正 态 分 布 表 ， 找 出 1， 2， 使 得: P{ U } 1 .
1 2
由此可找出无穷多组 1， 2； 通 常 我 们 取 对 称 区 间[ , ], 使 ： P{| U | } 1 -
即：
P{-
已知n 7, 0.05. 由样本值算得： 解：
S S , X t ( n 1) ] n n
在置信度为 95%时，试求温度的均值 的所在范围。
x 112.8, s 2 1.29. t0.05 (6) 2.447
1.29 1.29 , 112.8 2.447 112.8 2.447 7 7 111.75, 113.85
即置信区间为：
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 2 ( n 1) , 2 ( n 1) 1 2 2
退 出
第三章 参数估计
例3 设某机床加工的零件长度 X ~ N ( , 2 )， 今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下： 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时，试求总体方差 2的置信区间.
2 n = 10 , S = 35.22 , S = 1240.45 解∶
2 χ 查表： 0.975 9 = 2.7, 2 χ0.025 9 = 19
2 2 ( n 1) S /19, ( n 1) S /2.7 9 1240.45/19, 9 1240.45/2.7
W
的置信区间为[0.8165, 0.9485] ，可靠性为95%。
第三章 参数估计
习题3：15，20，21，22, 23*
= 587.58, 4134.83
一个正态总体未知参数的置信区间
待估参数 随机变量 随机变量 的分布 双侧置信区间的上、下限

已知
2
X
/ n X
S/ n
1
N 0， 1
X U

n
2未知
t n 1
2
已 知

2
X
i 1
n
i

2 n
P{| T | } 1 ，
即 P{
X S/ n
} 1 ，
第三章 参数估计
由t分布表的构造及 P{| T | } 1 ，可知：
t ( n 1), 由此得： X- -t ( n 1) t ( n 1) S/ n
第三章 参数估计
解1：用正态分布估计
w= 90 = 0.9 W 100
ΔW = U α W 1 - W /n = 1.96 0.9 0.1 = 0.0588 100
w - , w + = 0.9 - 0.0588,
0.9 + 0.0588 = 0.8412, 0.9588