二次函数与方程和不等式练习题

二次函数与方程不等式练习及答案1.如图K13-1是二次函数y=-x2+2x+4的图象,则使y≤1成立的x的取值范围是()图K13-1A.-1≤x≤3B.x≤-1C.x≥1D.x≤-1或x≥32.二次函数y=ax2+bx的图象如图K13-2,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()图K13-2A.-3B.3C.-6D.93.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是()A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0D.x1=1,x2=34.若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,则m的取值范围是()A.m>1B.m<1C.m>1且m≠0D.m<1且m≠05.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图K13-3,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正确结论的个数是()图K13-3A.0B.1C.2D.36.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 m 3 …有以下几个结论:①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下;②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1;③方程ax2+bx+c=0的根为0和2;④当y>0时,x的取值范围是x<0或x>2.其中正确的是()A.①④B.②④C.②③D.③④7.若抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点,写出一个满足条件的c的值:.8.若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点,则a的取值范围是.9.如图K13-4,直线y1=kx+n(k≠0)与抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)分别交于A(-1,0),B(2,-3)两点,那么当y1>y2时,x的取值范围是.图K13-410.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:x…-1 0 1 2 3 …y…10 5 2 1 2 …则当y<5时,x的取值范围是.11.如图K13-5,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(1,-2),该图象与x轴的另一个交点为C,则AC的长为.图K13-512.已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A,B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于.13.已知二次函数y=x2-4x+3.图K13-6(1)用配方法将y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式;(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象;(3)当0≤x≤3时,y的取值范围是.14.一个二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x…-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …y…0 2 0 m-6 …(1)求这个二次函数的表达式;(2)求m的值;(3)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;(4)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围.图K13-715.如图K13-8,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,其中点B的坐标为B(4,0),抛物线的对称轴交x轴于点D,CE∥AB,并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论:①a>0;②b>0;③4a+2b+c<0;④AD+CE=4.其中所有正确结论的序号是.图K13-816.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+2m-7的图象经过点(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)把-4<x<1时的函数图象记为H,求此时函数y的取值范围;(3)在(2)的条件下,将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象H的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=x+b与图象M有三个公共点,求b的取值范围.参考答案1.D2.B [解析] ∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,∴a>0, -b 24a =-3,即b 2=12a.∵一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根,∴Δ=b 2-4am ≥0,即12a-4am ≥0,即12-4m ≥0,解得m ≤3,∴m 的最大值为3.故选B . 3.B 4.D5.D [解析] ①∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点,∴b 2-4ac>0,故①正确;②∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线与y 轴交于正半轴,∴c>0.∵对称轴方程x=-b2a >0,∴ab<0.∵a<0,∴b>0,∴abc<0,故②正确;③∵一元二次方程ax 2+bx+c-m=0没有实数根,∴抛物线y=ax 2+bx+c 和直线y=m 没有交点,由图可得m>2,故③正确.故选D . 6.D7.c=2(答案不唯一,c>1即可) 8.a<94且a ≠0 9.-1<x<210.0<x<4 [解析] 由表可知,抛物线的对称轴为直线x=2,所以x=4时,y=5,所以y<5时,x 的取值范围为0<x<4.11.3 [解析] 由二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点(-1,0),(1,-2),得{1−b +c =0,1+b +c =−2,解得{b =−1,c =−2,所以y=x 2-x-2.令x 2-x-2=0,解得x 1=-1,x 2=2,所以AC 的长为3. 12.613.解:(1)由题意得y=(x-2)2-1. (2)如图:(3)-1≤y ≤314.解:(1)设这个二次函数的表达式为y=a (x-h )2+k. 依题意可知,顶点为(-1,2),∴y=a (x+1)2+2. ∵图象过点(1,0),∴0=a(1+1)2+2.∴a=-1.2∴这个二次函数的表达式为y=-1(x+1)2+2.2.(2)m=-52(3)如图.(4)x<-3或x>115.②④16.解:(1)将(1,0)代入,得m=2.∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.(2)抛物线y=x2+2x-3开口向上,且在-4<x<1范围内有最低点, ∴当x=-1时,y有最小值为-4.当x=-4时,y=5.∴y的取值范围是-4≤y<5.(3)当直线y=x+b经过(-3,0)时,b=3.变换后抛物线的解析式为y=-x2-2x+3(-3≤x≤1).联立可得:-x2-2x+3=x+b,.令判别式为零可得b=214.由图象可知,b的取值范围是3<b<214。

二次函数与二元一次方程组、不等式专项练习60题（有答案）1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c ＞0；（2）方程ax 2+bx+c=0两根之和小于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y=x+bc 的图象 一定不过第二象限，其中错误的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，图象上有两点分别为A （2.18，﹣0.51）、B （2.68，0.54），则方程ax 2+bx+c=0的一个解只可能是（ ）A ． 2.18B ． 2.68C ． ﹣0.51D ． 2.453．方程x 2+3x ﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程 x 3﹣x ﹣1=0的实数根x 0所在的范围是（ ）A ． ﹣1＜x 0＜0B ． 0＜x 0＜1C ． 1＜x 0＜2D ． 2＜x 0＜34．根据二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）得到一些对应值，列表如下：判断一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个解x 1的范围是（ ）A ． 2.1＜x 1＜2.2B ． 2.2＜x 1＜2.3C ． 2.3＜x 1＜2.4D ． 2.4＜x 1＜2.55．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A ． 抛物线开口向上B ． 抛物线与y 轴交于负半轴C ． 当x=3时，y ＜0D ．方程ax 2+bx+c=0有两个相等实数根6．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： x 2.2 2.3 2.4 2.5y ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 x…﹣2﹣11234…若，则一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根x 1，x 2的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B ．﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C ． 0＜x1＜1，1＜x2＜2D ．﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜47．根据抛物线y=x 2+3x ﹣1与x 轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）A ． x 2﹣1=﹣3xB ． x 2+3x+1=0C ． 3x 2+x ﹣1=0D ． x 2﹣3x+1=08．已知二次函数y=x 2+2x ﹣10，小明利用计算器列出了下表：那么方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似根是（ ） A ． ﹣4.1 B ． ﹣4.2 C ． ﹣4.3 D ． ﹣ 4.49．根据关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0，可列表如下：则方程x 2+px+q=0的正数解满足（ ）A ． 解的整数部分是0，十分位是5B ． 解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ． 解的整数部分是1，十分位是210．根据下列表格中的二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的自变量x 与函数y 的对应值，判断ax 2+bx+c=0 的一个解x 的取值范围为（ ）A ． 1.40＜x ＜1.43B ． 1.43＜x ＜1.44C ． 1.44＜x ＜1.45D ． 1.45＜x ＜1.4611．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2=（ ）A ． ﹣1.3B ． ﹣2.3C ． ﹣0.3D ． ﹣3.312．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.6，x 2=（ ）A ． ﹣1.6B ． 3.2C ． 4.4D ． 以上都不对y…m ﹣2mm ﹣2… x ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4 x 2+2x ﹣10 ﹣1.39 ﹣0.76﹣0.11 0.56 x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x 2+px+q﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 x 1.43 1.44 1.45 1.46y=ax 2+bx+c﹣0.095 ﹣0.046 0.003 0.05213．二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=_________．14．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是_________．15．抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_________．16．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为_________．17．抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_________．18．开口向下的抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m=_________．19．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=_________．20．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是_________．21．对于二次函数y=x 2+2x ﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x 2+2x ﹣5=0的一个正根的近似值是 _________ ．（精确到0.1）．22．根据下列表格中y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是 _________ ． x 6.17 6.18 6.196.20y=ax 2+bx+c﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.0423．抛物线y=2x 2﹣4x+m 的图象的部分如图所示，则关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x+m=0的解是 _________ ．24．二次函数y=ax 2+bx+c 的部分对应值如下表：①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）； ②与y 轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y 为﹣5．以上结论正确的是 _________ ．25．二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … ﹣1 0 1 2 3 …y … ﹣1 ﹣ ﹣2﹣…根据表格中的信息，完成下列各题 （1）当x=3时，y= _________ ；（2）当x= _________ 时，y 有最 _________ 值为 _________ ； （3）若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，试比较两函数值的大 小：y 1 _______ y 2（4）若自变量x 的取值范围是0≤x ≤5，则函数值y 的取值范围是 _________ ．26．阅读材料，解答问题．例 用图象法解一元二次不等式：．x 2﹣2x ﹣3＞0解：设y=x 2﹣2x ﹣3，则y 是x 的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3．∴由此得抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0． ∴x 2﹣2x ﹣3＞0的解集是：x ＜﹣1或x ＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2﹣2x ﹣3＞0的解集是 _________ ；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2﹣1＞0．x … ﹣3 ﹣20 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7…27．一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．28．画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么；（2）当x取何值时，y＞0；（3）当x取何值时，y＜0．29．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？30．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=_________的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=_________的图象与一个一次函数y=_________的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．31．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞532．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ． a bc ＜0B ． a +c ＜bC ． b ＞2aD ． 4a ＞2b ﹣c33．现定义某种运算a ⊕b=a （a ＞b ），若（x+2）⊕x 2=x+2，那么x 的取值范围是（ ）A ． ﹣1＜x ＜2B ． x ＞2或x ＜﹣1C ． x ＞2D ． x＜﹣134．如图，一次函数y 1=kx+n （k ≠0）与二次函数y 2=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象相交于A （﹣1，5）、B （9，2）两点，则关于x 的不等式kx+n ≥ax 2+bx+c 的解集为（ ）A ． ﹣1≤x ≤9B ． ﹣1≤x ＜9C ． ﹣1＜x ≤9D ． x ≤﹣1或x ≥935．如图所示的抛物线是二次函数y=ax 2﹣3x+a 2﹣1的图象，那么下列结论错误的是（ ）36．已知：二次函数y=x 2﹣4x ﹣a ，下列说法中错误的个数是（ ）①若图象与x 轴有交点，则a ≤4；②若该抛物线的顶点在直线y=2x 上，则a 的值为﹣8；③当a=3时，不等式x 2﹣4x+a ＞0的解集是（3，0）；④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点x ，则a=﹣1；⑤若抛物线与x 轴有两个交点，横坐标分别为x1、x 2，则当x 取x 1+x 2时的函数值与x 取0时的函数值相等． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 437．二次函数y=ax 2的图象如图所示，则不等式ax ＞a 的解集是（ ）A ． x ＞1B ． x ＜1C ． x ＞﹣1D ． x ＜﹣138．如图，函数y=x 2﹣2x+m （m 为常数）的图象如图，如果x=a 时，y ＜0；那么x=a ﹣2时，函数值（ ）A ． 当y ＜0时，x ＞0B ． 当﹣3＜x ＜0时，y ＞0C ． 当x ＜时，y 随x 的增大而增大D ．上述抛物线可由抛物线y=﹣x 2平移得到A．y＜0 B．0＜y＜m C．y=m D．y＞m39．已知：二次函数y=x2﹣4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=﹣3．A．1B．2C．3D．440．如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+n的图象相交于A（0，4），B（4，1）两点，下列三个结论：①不等式y1＞y2的解集是0＜x＜4②不等式y1＜y2的解集是x＜0或x＞4③方程ax2+bx+c=kx+n的解是x1=0，x2=4其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个41．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是_________．42. 如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是_________．43．已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）请写出该函数的对称轴，顶点坐标；（2）函数图象与x轴交点坐标为_________，与y轴的交点坐标为_________；（3）当_________时y＞0，_________时y随x的增大而增大；（4）写出不等式x2﹣6x+5＜0的解集．_________44．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：（1）b_________0（填“＞”、“＜”、“=”）；（2）当x满足_________时，ax2+bx+c＞0；（3）当x满足_________时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．45．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．x1=_________，x2=_________；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．_________；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．_________；（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________．46．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中，正确的说法有_________．（请写出所有正确说法的序号）47．如图是函数y=x2+bx﹣1的图象，根据图象提供的信息，确定使﹣1≤y≤2的自变量x的取值范围是_________．48．已知抛物线y=x2﹣x﹣6，则不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为_________．49．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为_________．50．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）不等式ax2+bx+c＞0的解集为_________．（2）若y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是_________．（3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围是_________．51．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为_________．52．函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，观察图象，使y≥l成立的x的取值范围是_________．53．已知函数y1=x2与y2=﹣x+3的图象大致如图，若y1≤y2，则自变量x的取值范围是_________．54．已知二次函数y=4x2﹣4x﹣3的图象如图所示，，则函数值y_________0．55．函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是_________．56．已知抛物线y=﹣x2﹣3x﹣（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（3）画出草图；（4）观察草图，指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0．57．如图是二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．（1）求该抛物线的顶点坐标、与x轴的交点坐标（2）观察图象直接指出x在什么范围内时，y＞0？58．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）59．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．60．已知抛物线y1=x2+（m+1）x+m﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为x=﹣1．（1）求m的值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（﹣2m，﹣3m），根据图象回答：当x取什么值时，y1≥y2．参考答案：1.解：∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y值即纵坐标为正，即4a+2b+c＞0；故（1）正确；∵由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根；并且正根的绝对值较大，∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零；故（2）错误；∵函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；不能在整个自变量取值范围内说y随x的增大而增大；故（3）错误；∵由图象可知：c＜0，b＜0，∴bc＞0，∴一次函数y=x+bc的图象一定经过第二象限，故（4）错误；∴错误的个数为3个，故选B．2．解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），∴当x=2.18时，y=﹣0.51；x=2.68时，y=0.54，∴当y=0时，2.18＜x＜2.68，只有选项D符合，故选D．3.解：方程x3﹣x﹣1=0，∴x2﹣1=，∴它的根可视为y=x2﹣1和y=的交点的横坐标，当x=1时，x2﹣1=0，=1，交点在x=1的右边，当x=2时，x2﹣1=3，=，交点在x=2的左边，又∵交点在第一象限．∴1＜x0＜2，故选C．4. ：根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在2.3～2.4之间．故选C．5．解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．6．解：∵，∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A．7．解：∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根，∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根，方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价，∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根．故选A．8．解：根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56，∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，故选C．9. 解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．所以解的整数部分是1，十分位是1．故选C．10．解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45．故选C11．解：方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）∴﹣=﹣1则﹣=﹣2∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根∴x1+x2=﹣又∵x1=1.3∴x1+x2=1.3+x2=﹣2解得x2=﹣3.3．方法二：根据对称轴为；x=﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3，则=﹣1，即=﹣1，解得：x2=﹣3.3，故选D12．解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．13．解：由图可知，对称轴为x=﹣==3，根据二次函数的图象的对称性，=3，解得x2=5．故答案为：514．解：把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c=﹣3，∴y=x2+bx﹣3，∵使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，∴把x=1代入y=x2+bx﹣3得：y=1+b﹣3＜0把x=3代入y=x2+bx﹣3得：y=9+3b﹣3＞0，∴﹣2＜b＜2，即在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数都符合，故答案为：在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数．15.解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+m中，得m=3，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．16．解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x=﹣1或x=3时，函数值y=0，即﹣x2+2x+m=0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．故填空答案：x1=﹣1或x2=3．17. 解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3 ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）18.解：由于抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），∴对称轴为直线x=﹣1，x==﹣1，解得m1=﹣1，m2=2．由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m2﹣2=2＞0，不合题意，应舍去，∴m=﹣1．19．解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），则对称轴为x=﹣1；所以=﹣1，又因为x1=1.3，所以x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．20. 解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=3，而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为1.6，∴x1=1.6；又∵对称轴为x=3，则=3，∴x2=2×3﹣1.6=4.4．21. 解：∵二次函数y=x2+2x﹣5中a=1＞0，∴抛物线开口方向向上，∵对称轴x=﹣=﹣1，∴x＞﹣1时y随x的增大而增大，∵当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0，∴方程x2+2x﹣5=0的一个正根：1.4＜x＜1.45，∴近似值是1.4．答案1.4．22．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故答案为：6.18＜x＜6.19．23．解：观察图象可知，抛物线y=2x2﹣4x+m与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=﹣1，x2=3．故本题答案为：x1=﹣1，x2=3．24．解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．故答案为：①②④．25．解：（1）由表得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣，当x=3时，y==﹣1；（2）将y=x2﹣x﹣配方得，y=（x﹣1）2﹣2，∵a=＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为﹣2；（3）令y=0，则x=±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（﹣2+1，0）∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=﹣2，∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2；故答案为﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．26．解：（1）x＜﹣1或x＞3；（2）设y=x2﹣1，则y是x的二次函数，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1．∴由此得抛物线y=x2﹣1的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0．∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1．27．解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值；当y=1时，x2+7x+9=1，∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈﹣5.6或﹣1.4，∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为x1≈﹣5.6，x2≈﹣1.4．28．解：函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象如图．由图象可知：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解x1=1，x2=3．（2）当1＜x＜3时，y＞0．（3）当x＜1或x＞3时，y＜0．29．解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得﹣32+2×3+m=0解得，m=3 ①把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得﹣x2+2x+3=0，②解②，得x1=3，x2=﹣130．解：（1）由原方程，得：=0，即=；解得x1=，x2=．（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c，∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，①二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解；∴x1•x2==﹣1，即c=﹣a；②x1+x2==1；③由①②③，得：；∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1．（3）31．解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．32．解：A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴左侧，﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故本选项错误；B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确；D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误．故选C．33. 解：由定义运算得：x+2＞x2，即解不等式x2﹣x﹣2＜0，设y=x2﹣x﹣2，函数图象开口向上，图象与x轴交点是（﹣1，0），（2，0），由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，即x的取值范围﹣1＜x＜2．故选A．34．解：由图形可以看出：抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1=kx+n（k≠0）的交点的横坐标分别为﹣1，9，当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即﹣1≤x≤9．故选A．35．解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．∴y=﹣x2﹣3x，∴二次函数与图象的交点为：（﹣3，0），（0，0），∴当y＜0时，x＜﹣3或x＞0，故A选项错误；当﹣3＜x＜0时，y＞0，故B选项正确；当x＜时，y随x的增大而增大故C选项正确；上述抛物线可由抛物线y=﹣x2平移得到，故D选项正确；故选：A．36．解：①∵图象与x轴有交点，则△=16﹣4×1×（﹣a）≥0，解得a≥﹣4；故本选项错误；②∵二次函数y=x2﹣4x﹣a的顶点坐标为（2，﹣a﹣4），代入y=2x得，﹣a﹣4=2×2，a=﹣8，故本选项正确；③表达错误，解集不能表示为（3，0），故本选项错误；④表达错误，点不能用x表示，故本选项错误；⑤由根与系数的关系，x1+x2=4，当x=4时，y=16﹣16﹣a=﹣a，当x=0时，y=﹣a，故本选项正确．故选C．37．解：由图象可知a＜0，∴不等式ax＞a的解集为x＜1．故选B．38．解：x=a代入函数y=x2﹣2x+m中得：y=a2﹣2a+m=a（a﹣2）+m，∵x=a时，y＜0，∴a（a﹣2）+m＜0，由图象可知：m＞0，∴a（a﹣2）＜0，又∵x=a时，y＜0，∴a＞0则a﹣2＜0，由图象可知：x=0时，y=m，又∵x＜1时y随x的增大而减小，∴x=a﹣2时，y＞m．故选：D．39.解：二次函数为y=x2﹣4x+a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16﹣4a≥0，则a≤4，故说法正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+3＜0的解集是x＜0或x＞3，故说法错误；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4+a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3+a，函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=﹣3．故说法正确．故选A．40．①通过图象可知，在点A和B之间y1的图象在y2的上面，也就是y1＞y2，且解集是0＜x＜4，此选项正确；②通过图象可知，在点A的左边和在B的右边，y1的图象在y2的下面，也就是y1＜y2，且解集是x＜0或x＞4，此选项正确；③两函数图象的交点就是y1=y2的解，且解是x1=0，x2=4，此选项正确．故选D．41．解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．42．解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）而对称轴x=1∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）当y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方此时x＜﹣1或x＞3故填空答案：x＜﹣1或x＞3．43.解：（1）根据二次函数的性质可知对称轴为x=﹣=﹣=3顶点坐标为x=﹣=3，y===﹣4，故对称轴为x=3，顶点坐标为（3，﹣4）；（2）令y=0，即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5故函数图象与x轴交点为（1，0），（5，0）∴c=0，故图象与y轴交点为（0，5）；（3）由图象可知当x＜1或x＞5时，y＞0当x＞3时，y随x的增大而增大（4）由图象可知，x2﹣6x+5＜0的解集为1＜x＜5．44．解：（1）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，a＞0，∵对称轴经过x轴的负半轴，即可得出a，b同号，∴b＞0，故答案为：b＞0；（2）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），而ax2+bx+c＞0，即y＞0，∴x＜﹣4或x＞2；故答案为：x＜﹣4或x＞2；（3）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），∴抛物线的对称轴为x=﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．故答案为：x＜﹣1．45．解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（1，0），（3，0）∴方程ax2+bx+c=0的两个根x1=1，x2=3；（2）由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：1＜x＜3时，二次函数y=ax2+bx+c的值大于0∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3；（3）由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x＞2；（4）由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，2），当直线y=k，在（0，2）的下边时，一定与抛物线有两个不同的交点，因而当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．46．解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①错误；由图象可知：﹣=1，∴2a+b=0，∴②正确；当x=1时，y=a+b+c＞0，∴③错误；由图象可知：当x＞1时，函数y随x的增大而减小，∴④错误；根据图象，当﹣1＜x＜3时，y＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤．47．解：∵y=x2+bx﹣1经过（3，2）点，∴b=﹣2，∵﹣1≤y≤2，∴﹣1≤x2﹣2x﹣1≤2，解得2≤x≤3或﹣1≤x≤0．48. 解：∵x2﹣x﹣6=0∴x1=﹣2，x2=3∴抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（3，0）而抛物线y=x2﹣x﹣6开口向上当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣2＜x＜3故填空答案：﹣2＜x＜3．49. 解：当y=0时，即x2﹣2x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3．故填空答案：﹣1＜x＜3．50．解：（1）依题意因为ax2+bx+c＞0，得出x的取值范围为：1＜x＜3；（2）如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为：x＞2；（3）由顶点（2，2）设方程为a（x﹣2）2+2=0，∵二次函数与x轴的2个交点为（1，0），（3，0），∴a=﹣2，∴抛物线方程为y=﹣2（x﹣2）2+2，y=﹣2（x﹣2）2+2﹣k实际上是原曲线下移k个单位，由图形知，当k＜2时，曲线与x轴有两个交点．故k＜2．故答案为：（1）1＜x＜3；（2）x＞2；（3）k＜2．51．解：∵直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3；故答案为：x＜1或x＞3．52．解：直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值为x≤﹣1或x≥3，故答案为x≤﹣1或x≥3．53.解：根据图象知，当y1≤y2时，自变量x的取值范围是﹣2≤x≤．故答案为﹣2≤x≤．54．解：由图可知，﹣＜x＜时，函数图象在x轴的下方，所以y＜0．故答案为：＜．55．解：当y=1时，x2﹣2x﹣2=1，解得（x+1）（x﹣3）=0，x1=﹣1，x2=3．由图可知，x≤﹣1或x≥3时y≥1．故答案为x≤﹣1或x≥3．56．解：（1）∵y=﹣x2﹣3x﹣=﹣（x2+6x+5）=﹣（x2+6x+9﹣4）=﹣（x+3）2+2，∴开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，2）；（2）∵令x=0，得：y=﹣，∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，﹣）；令y=0，得到﹣x2﹣3x﹣=0，解得：x=﹣1或x=﹣5，故抛物线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）和（﹣5，0）；（3）草图为：（4）根据草图知：当x=﹣1或x=﹣5时，y=0，当﹣5＜x＜﹣1时y＞0，当x＜﹣5或x＞﹣1时y＜0．57．解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x=1，与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）；（2）由图象可知，当x＞3或x＜﹣1时，y＞0．58．解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2，∴y=（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=；顶点坐标是（，﹣）；（3）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．59．解：（1）由二次函数的图象经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点，得，解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为；（2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0，解这个方程，得x1=﹣3，x2=1，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）；（3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．60．解：（1）由题意，有，解得m=1．（2）∵m=1，∴y1=x2+2x﹣3，∴y1=（x+1）2﹣4，列表为：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y=x2+2x﹣3 …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …描点并连线为：（3）∵m=1∴P（﹣2，﹣3），∴可以画出直线的图象．∴由图象得x≤﹣2或x≥1时，y1≥y2．。

人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题一单项选择题1．已知关于x的不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x+4＞0得解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（2，6） B．（﹣∞，2）∪（6，+∞）C．（﹣∞，2]∪（6，+∞） D．[2，6）2．不等式对任意实数x都成立，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．C．D．3．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≤﹣1或a≥0} B．{a|a＜﹣1或a＞0} C．{a|﹣1≤a≤0} D．{a|﹣1＜a＜0}4．关于x的不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A．{a|4＜a＜5} B．{a|4＜a＜5或﹣3＜a＜﹣2}C．{a|4＜a≤5} D．{a|4＜a≤5或﹣3≤a＜﹣2}5．不等式x2﹣3|x|＜0的解集为（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}6．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]∪[3，4）B．[﹣2，﹣1]∪[3，4]C．[﹣2，﹣1）∪（3，4] D．（﹣2，﹣1）∪（3，4）7．已知关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b，下列结论正确的是（）A．当a＜b＜1，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为∅B．当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式C．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝D．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b﹣a＝48．若a、b、c均大于0，且，则a（a+b+c）+bc的最大值为（）A．B．C．D．2二多项选择题9．已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f（x）＞0，则实数m的值可能是（） A．x0﹣2 B．x+C．x+D．x+210．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，则（）A．a＞0 B．不等式ax+c＞0的解集为{x|x＜6}C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为11．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4 B．a2+≥4C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4三填空题12．研究问题：“已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx 2﹣bx+a ＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x 的不等式的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），则关于x 的不等式的解集 ．13．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x+2）＝2f （x ），当x ∈[0，2]时，，若x ∈[4，6]时，f （x ）≥t 2﹣2t ﹣4恒成立，则实数t 的取值范围是 ．14．已知函数f （x ）＝﹣x 2+ax+b 的最大值为0，若关于x 的不等式f （x ）＞c ﹣1的解集为{x|m ﹣4＜x ＜m}，则实数c 的值为 ． 15．已知y 1＝x+m ，，若对∀x 1∈[0，1]，总∃x 2∈[1，2]，使得y 1（x 1）＞y 2（x 2），则实数m 的取值范围是 ．注：y 1（x 1）表示的是函数y 1＝x+m 中x 1对应的函数值，y 2（x 2）表示的是中x 2对应的函数值． 四 解答题16．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax+2a 2+2．（1）关于x 的方程f （x ）＝2a 2有解，求实数a 的取值范围；（2）求函数f （x ）在区间的最小值．17．已知函数f （x ）＝x 2+bx+c （b ，c ∈R ）．（1）当c ＝b 时，解关于x 的不等式f （x ）＞1；（2）若f （x ）的值域为[1，+∞），关于x 的不等式f （x ）＜a 的解集为（m ，m+4），求实数a 的值；（3）设g （x ）＝，函数f （g （x ））的最大值为1，且当时，恒成立，求b 2+c 2的取值范围．18．知函数f （x ）＝log 2x+1，g （x ）＝f （x 2）+[f （x ）]2．（1）求方程g （x ）＝2的解集；（2）若f （x ）的定义域是[1，16]，求函数g （x ）的最值；（3）若不等式[f （x ）]2+log 2x+4＞m •f （x ）对于∀x ∈[1，16]恒成立，求m 的取值范围． 19．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax （a ＞0）．（1）当a ＝2时，解关于x 的不等式﹣3＜f （x ）＜5； （2）对于给定的正数a ，有一个最大的正数M （a ），使得在整个区间[0，M （a ）]上，不等式|f （x ）|≤5恒成立．求出M （a ）的解析式；（3）函数y ＝f （x ）在[t ，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a 和t 的值．20．已知f （x ）＝﹣3x 2+a （6﹣a ）x+12．（1）若不等式f （x ）＞b 的解集为（0，3），求实数a 、b 的值；（2）若a ＝3时，对于任意的实数x ∈[﹣1，1]，都有f （x ）≥﹣3x 2+（m+9）x+10，求m 的取值范围．21．已知集合A ＝{x|﹣1≤x ≤2}，B ＝{x|x 2﹣2mx+m 2﹣1≤0}．（1）命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若∀x ∈A ，都有x 2+m ≥4+3x ，求实数m 的取值范围．22．已知定义在R 上的函数f （x ）＝x 2﹣x+k ，其中k 为常数．（1）求解关于x 的不等式f （x ）＜kx 的解集；（2）若f （2）是f （a ）与f （b ）的等差中项，求a+b 的取值范围．人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:对m讨论，分m＝2，m＞2，结合二次函数的图象和判别式的符号，可得所求范围．解：①当m＝2时，4＞0，解集为R，②当m＞2且△＝4（m﹣2）2﹣16（m﹣2）＜0，即2＜m＜6时，不等式解集为R，综上可得，m的取值范围是[2，6）．故选D．2.分析:题意转化为（3﹣m）x2+（2﹣m）x+2﹣m≥0对任意实数x恒成立，分二次项系数是否为0，即m＝3和m≠3两种情况分类讨论可得结果．解：∵恒成立，不等式等价于3x2+2x+2≥m（x2+x+1），即（3﹣m）x2+（2﹣m）x+2﹣m≥0对任意实数x恒成立，①当3﹣m＝0，即m＝3时，不等式为﹣x﹣1≥0，对任意实数x不恒成立，不满足题意；②当3﹣m≠0，即m≠3时，则，解得m≤2，综上可得，实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故选A．3.分析:根据函数的定义域为R，转化为﹣1≥0恒成立，结合指数函数的性质以及一元二次不等式的解法进行转化求解即可．解：∵f（x）的定义域为R，∴﹣1≥0，得≥1恒成立，得x2+2ax﹣a≥0恒成立，即判别式△＝4a2+4a≤0，得a（a+1）≤0，得﹣1≤a≤0，故选C．4.分析:对a讨论，写出解集，再根据题目要求求出对应的a的范围．解：①当a＞1时，解得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，②当a＜1时，解得a＜x＜1，此时解集中的整数为0，﹣1，﹣2，则﹣3≤a＜﹣2．故a∈{a|﹣3≤a＜﹣2或4＜a ≤5}，故选D．5.分析:根据x2﹣3|x|＜0去绝对值可得或，然后解不等式组即可．解：∵x2﹣3|x|＜0，∴或，∴0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴不等式的解集为{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}．故选B．6.分析:不等式化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，只需讨论a＞1，a＜1时，求出解不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出a的取值范围．解：关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时，解不等式得1＜x＜a；当a＜1时，解不等式得a＜x＜1；由不等式的解集中恰有两个整数，则3＜a≤4或﹣2≤a＜﹣1，所以a的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（3，4]．故选C．7.分析:A：由x2﹣3x+4≤b，利用判别式即可判断；B：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2﹣3x+4＝（x﹣2）2+1的图象以及y＝a和y＝b，利用图象可判断；C：根据不等式的解集求出b 的值，再判断a是否小于1；D：利用不等式求出a的值，即可得到结论．解：对于A：由x2﹣3x+4≤b，可得3x2﹣12x+16﹣4b≤0，又b＜1，所以△＝48（b﹣1）＜0，从而不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为∅，故A正确；对于B：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝x2﹣3x+4＝（x﹣2）2+1的图象以及y＝a和y＝b，如图所示，由图可知，当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为{x|xA ≤x≤xC}∪{x|xB≤x≤xD}的形式，故B错误；由不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，可知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b，由当x＝b时，函数值是b，可得b2﹣3b+4＝b，解得b＝或b＝4，由a2﹣3a+4＝b＝，解得a ＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故C错误；当b＝4时，由a2﹣3a+4＝b＝4，解得a＝0或a＝4，a＝0满足a≤1，此时b﹣a＝4﹣0＝4，故D正确．故选AD．8.分析:根据题意，分析可得a（a+b+c）+bc＝a2+ab+ac+bc＝（a+b）（a+c），结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，a，b，c都是正数，且，则a（a+b+c）+bc＝a2+ab+ac+bc＝（a+b）（a+c）≤[]2＝＝；当且仅当a+b＝b+c时等号成立，故a2+ab+ac+bc的最大值为，故选C．9.分析:根据题意，分析可得a＜0，c＞0，由根与系数的关系可得m＞0，由二次函数的性质分析零点﹣1到对称轴的距离，进而可得m﹣（﹣1）的取值范围，又由x0∈（﹣1，m），变形可得m与x的关系，据此分析选项可答案．解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，则有f（﹣1）＝a+b+c ＝0，又由a＜b＜c，则a＜0，c＞0，方程ax2﹣bx+c＝0的两个根为﹣1和m，则有（﹣1）×m＝﹣m＝＜0，必有m＞0，由a＜b，a＜0，得＜1①，由0＝a+b+c＞a+b+b＝a+2b，得﹣＜，即＞﹣②，由①②得：﹣＜＜1．函数f（x）＝ax2﹣bx+c的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x＝，则﹣＜＜，∴零点﹣1到对称轴的距离d∈（，），另一零点为m＞0，则有m﹣（﹣1）＝m+1＝2d∈（，3），因为f（x0）＞0，所以x∈（﹣1，m），故0＜m﹣x＜（2d）min ，∴x＜m≤+x，综合四个选项，实数m的值可能是x+或+x，故选BC．10.分析:由已知可得﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，则由韦达定理可得：，且a＜0，解得c＝﹣6a，b＝﹣a，然后对应各个选项逐个判断即可．解：由已知可得﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，则由韦达定理可得：，且a＜0，解得c＝﹣6a，b＝﹣a，所以A错误，选项B：ax+c＞0化简为x﹣6＜0，解得x＜6，B正确，选项C：a+b+c＝a﹣a﹣6a＝﹣6a＞0，C正确，选项D：cx2﹣bx+a＜0化简为：6x2﹣x﹣1＜0，解得﹣，D正确，故选BCD．11.分析:由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a，b的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D．解：根据题意，函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，必有a2﹣4b＝0，即a2＝4b，（b＞0），依次分析选项：对于A，a2﹣b2﹣4＝4b﹣b2﹣4＝﹣（b2﹣4b+4）＝﹣（b﹣2）2≤0，b＝2时，等号成立，即有a2﹣b2≤4，故A正确；对于B，a2+＝4b+≥2＝4，当且仅当b＝时，取得等号，故B正确；对于C，由x1，x2为方程x2+ax﹣b＝0的两根，可得x1x2＝﹣b＜0，故C错误；对于D，由x1，x2为方程x2+ax+b﹣c＝0的两根，可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c，则|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4（b﹣c）＝a2﹣4b+4c＝4c＝16，解得c＝4，故D正确．故选ABD．12.分析:先明白题目所给解答的方法：ax2﹣bx+c＞0化为，类推为cx2﹣bx+a＞0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．解：关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），用替换x，不等式可以化为：可得,可得,故答案为：．13.分析:先确定当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为﹣，利用函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），可得x∈[4，6]时，f（x）的最小值为﹣1，从而可得﹣1≥t2﹣2t﹣4，即可得出结论．解：当x∈[0，1）时，f（x）＝x2﹣x∈[﹣，0],当x∈[1，2]时，f（x）＝（x﹣2）x∈[﹣，0],∴当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为﹣，又∵函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），当x∈[2，4]时，f（x）的最小值为﹣，当x∈[4，6]时，f（x）的最小值为﹣1，∵x∈[4，6]时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，∴﹣1≥t2﹣2t﹣4,∴（t+1）（t﹣3）≤0，解得：﹣1≤t≤3，故答案为：﹣1≤t≤3．14.分析:根据题意，由二次函数的性质可得△＝0，即a2+4b＝0，由不等式的解集可得方程f（x）＝c﹣1即﹣x2+ax﹣﹣c+1＝0的两根分别为：m﹣4，m，利用根与系数的关系分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝﹣x2+ax+b的最大值为0，则二次函数f（x）与x轴只有一个交点，所以△＝0，即a2+4b＝0，变形可得b＝﹣,关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为{x|m﹣4＜x ＜m}，所以方程f（x）＝c﹣1即﹣x2+ax﹣﹣c+1＝0的两根分别为：m﹣4，m，则有（m﹣4）+m ＝﹣a，m（m﹣4）＝+c﹣1，则有[m﹣（m﹣4）]2＝[m+（m﹣4）]2﹣4m（m﹣4）＝a2﹣4（+c ﹣1）＝4﹣4c＝16，解可得：c＝﹣3；故答案为：﹣3．15.分析:将∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[1，2]，使得y1（x1）＞y2（x2），转化为y1（x）min＞y2（x）min，借助一次函数，二次函数的性质求解最大，最小值，再得到m的取出范围．解：对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[1，2]，使得y1（x1）＞y2（x2），等价于y1（x）min＞y2（x）min，由于y＝x+m在x∈[0，1]单调递增，因此y1（x）min＝y1（0）＝m；而+2m﹣3，对称轴为x＝，（1）若＜1，即m＜2，，即，得﹣2＜m＜2，（2）若，即2≤m≤4，，即m＞，得﹣6＜m＜2，而2≤m≤4，即m无解，（3）若＞2，即m＞4，，∴m＞，得m无解．综上，m的取出范围为（﹣2，2）．16.分析:（1）关于x的方程f（x）＝2a2有解，则Δ≥0，从而解不等式即可得出实数a的取值范围；（2）函数f（x）的对称轴为x＝a，开口向上，按照a≤﹣，﹣＜a＜和a≥分类，分别根据函数的单调性，进而得出最小值．解：（1）由关于x 的方程f （x ）＝2a 2有解，等价于x 2﹣2ax+2＝0有解，∴Δ＝（﹣2a ）2﹣4×2≥0，解得a ≤﹣或a ≥，故实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）； （2）根据题意，f （x ）＝x 2﹣2ax+2a 2+2，x ∈[﹣，]，对称轴为x ＝a ，开口向上，当a ≤﹣时，函数在[﹣，]上单调递增，此时f （x ）min ＝f （﹣）＝2a 2+3a+；当﹣＜a ＜时，函数在[﹣，a]上单调递减，在[a ，]上单调递增，此时f （x ）min ＝f （a ）＝a 2+2；当a ≥时，函数在[﹣，]上单调递减，此时f （x ）min ＝f （）＝2a 2﹣3a+，综上，函数在区间[﹣，]的最小值为f （x ）min ＝．17.分析:（1）首先将所给的不等式写成两根式的形式，然后分类讨论确定不等式的解集即可，（2）由三个二次的关系得到方程的两个根之差为4，据此可得实数a 的值，（3）由题意将c 表示为含有b 的等式，然后求得实数b 的取值范围，最后结合二次函数的性质可得求b 2+c 2的取值范围． 解：（1）当c ＝b 时，由f （x ）＞1得x 2+bx+b ﹣1＞0，即（x+b ﹣1）（x+1）＞0，当1﹣b ＞﹣1，即b ＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1﹣b ，+∞），当b ＝2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），当b ＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣b ）∪（﹣1，+∞）．（2）由f （x ）的值域为[1，+∞），得，因为关于x 的不等式f （x ）＜a 的解集为（m ，m+4），所以m ，m+4是方程f （x ）＝a 的两个实根，即x 2+bx+c ﹣a ＝0的两根之差为4，所以，则，得a ＝5．（3），则，,则x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，又，因为f （g （x ））的最大值为1，所以f （x ）在xe[﹣3，﹣2）上的最大值为1，由f （x ）图象开口向上，得，即，则c ＝3b ﹣8，且b ≤5，此时由x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，得x 2+bx+3b ﹣8≥0恒成立，且f （﹣2）≥0，得b ≥4，要满足x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，则Δ≤0，b 2﹣4（3b ﹣8）≤0，解得4≤b ≤8，综上，4≤b ≤5，此时b 2+c 2＝b 2+（3b ﹣8）2＝10b 2﹣48b+64∈[32，74]．18.分析:（1）依题意，g （x ）＝2可化简为+4log 2x ＝0，解之即可得到方程g （x ）＝2的解集；（2）依题意得1≤x 2≤16⇒1≤x ≤4⇒0≤log 2x ≤2，换元，令t ＝f （x ）＝log 2x+1，则t ∈[1，3]，于是可得h （t ）＝（t+1）2﹣2，利用二次函数的单调性即可求得函数g （x ）的最值；（3）令t ＝f （x ）＝log 2x+1，则t ∈[1，5]，则不等式[f （x ）]2+log 2x+4＞m •f （x ）对于∀x ∈[1，16]恒成立⇔t 2+t+3＞mt 对于∀t ∈[1，5]恒成立⇔m ＜t++1（1≤t ≤5）恒成立，利用基本不等式即可求得m 的取值范围． 解：（1）∵f （x ）＝log 2x+1，∴g （x ）＝f （x 2）+[f （x ）]2＝2log 2x+1++2log 2x+1＝+4log 2x+2，由g （x ）＝2得：+4log 2x ＝0，解得：log 2x ＝0或log 2x ＝﹣4，∴x ＝1或x ＝，∴方程g （x ）＝2的解集为{，1}；（2）∵f （x ）的定义域是[1，16]，∴1≤x 2≤16，∴1≤x ≤4，∴0≤log 2x ≤2，∴f （x ）＝log 2x+1∈[1，3]，令t＝f（x）＝log2x+1，则t∈[1，3]，则h（t）＝g（x）＝+4log2x+2＝（t﹣1）2+4（t﹣1）+2＝（t+1）2﹣2，t∈[1，3]．∵h（t）＝（t+1）2﹣2的对称轴方程为t＝﹣1，∴y＝（t+1）2﹣2在区间[1，3]上单调递增，∴h（t）min ＝h（1）＝2，h（t）max＝h（3）＝14．即g（x）min＝2，g（x）max＝14．（3）若不等式[f（x）]2+log2x+4＞m•f（x）对于∀x∈[1，16]恒成立，令t＝f（x）＝log2x+1（1≤x≤16），则t∈[1，5]，则上式等价于t2+t+3＞mt对于∀t∈[1，5]恒成立⇔m＜t++1（1≤t≤5）恒成立，∵t++1≥2+1，当且仅当t＝，即t＝时取“＝”，∴m＜2+1．19.分析:（1）a＝2时，把不等式﹣3＜f（x）＜5化为不等式组﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，M（a）最大，此时对应的方程f（x）＝±5根的情况，从而求出M（a）的解析式；（3）f（x）＝（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）＝f（2a）＝0，分类讨论，利用y＝f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝x2﹣4x，∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化为﹣3＜x2﹣4x＜5，解得，∴不等式的解集为（﹣1，1）∪（3，5）；（2）∵a＞0时，f（x）＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，∴当﹣a2＜﹣5，即a＞时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax＝﹣5的较小的根，即M（a）＝a﹣；当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax＝5的较大的根，即M（a）＝a+；综上，M（a）＝．（3）f（x）＝（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）＝f（2a）＝0．①若t＝0，则a≥t+1，且f（x）min ＝f（a）＝﹣4，或f（x）min＝f（2）＝﹣4，当f（a）＝﹣a2＝﹣4时，a＝±2，a＝﹣2不合题意，舍去.当f（2）＝4﹣4a＝﹣4时，a＝2，②若t+2＝2a，则a≤t+1，且f（x）min＝f（a）＝﹣4，或f（x）min＝f（2a﹣2）＝﹣4，当f（a）＝﹣a2＝﹣4时，a＝±2，若a＝2，t＝2，符合题意；若a＝﹣2，则与题设矛盾，不合题意，舍去.当f（2a﹣2）＝﹣4时，a＝2，t＝2.综上所述，a＝2，t＝0和a＝2，t＝2符合题意．20.分析:（1）根据不等式f（x）＞b的解集知对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b 的值；（2）a＝3时问题转化为mx≤2对于任意的实数x∈[﹣1，1]都成立，讨论m的取值情况，从而求出m的取值范围．解：（1）因为f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12，不等式f（x）＞b的解集为（0，3），所以0和3是一元二次方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣12+b＝0的两实数根，所以，解得a＝3，b＝12；（2）当a＝3时，f（x）＝﹣3x2+9x+12，不等式f（x）≥﹣3x2+（m+9）x+10可化为﹣3x2+9x+12≥﹣3x2+（m+9）x+10，即mx≤2对于任意的实数x∈[﹣1，1]都成立；m＝0时，mx＝0≤2显然成立；m＞0时，mx≤2化为x≤，即≥1，解得m≤2，即0＜m≤2；m＜0时，mx≤2化为x≥，即≤﹣1，解得m≥﹣2，即﹣2≤m＜0；综上知，m的取值范围是[﹣2，2]．21.分析:（1）求出集合B的取值范围，根据p是q的必要非充分条件，即可求得m的取值范围（2）由若∀x∈A，得不等式的定义域，解关于m的不等式，即可求得m的取值范围．解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．22.分析:（1）对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法可得结论；（2）由等差中项的性质可得关于a，b的等式，再利用基本不等式即可得结论解：（1）由f（x）＜kx，可得x2﹣x+k＜kx，即（x﹣k）（x﹣1）＜0，当k＝1时，不等式的解集为∅；当k＜1时，不等式的解集为（k，1）；当k＞1时，不等式的解集为（1，k）．（2）若f（2）是f（a）与f（b）的等差中项，则2（2+k）＝（a2﹣a+k）+（b2﹣b+k），整理得a2+b2﹣（a+b）＝4，∴4＝a2+b2﹣（a+b）＝（a+b）2﹣（a+b）﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）﹣2（）2，解得﹣2≤a+b≤4，所以a+b的取值范围为[﹣2，4]．。

二次函数与一元二次方程、不等式练习题1．如图，直线y 1＝kx +n （k ≠0）与抛物线y 2＝ax 2+bx +c （a ≠0）分别交于A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．x ≤﹣12．抛物线y 1＝﹣x 2+4x 和直线y 2＝2x 的图象如图所示，那么不等式y 1＞y 2的解集是（ ）第2题 第1题 第3题A ．x ＜0B ．0＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．2＜x ＜43．已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的实数根D ．没有实根 4．抛物线2321y x x =-+-与y 轴的交点坐标为（ ）A ．()0,1 B ．()0,1- C ．()1,0- D ．()1,0第9题图5．已知二次函数y=（k ﹣2）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥3 B ．k ＜3 C ．k≤3且k≠2 D ．k ＜2 6．若二次函数y=x 2﹣2x+c 的图象与x 轴没有交点，则c 的值可能是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．0 D ．27．二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（）A．（1，0）B．（2，0）C．（﹣1，0）或（﹣2，0）D．（﹣1，0）或（1，0）8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是A．有两个不相等的根B．有两个同号的实数根C．有两个相等实数根D．无实数根11．抛物线y＝－2x2－x＋2与坐标轴的交点个数是()A．3 B．2 C．1 D．012．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．201613．抛物线y=ax2−4x+c经过A(−1,−1)和B(3,−9).（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出当y>0时，x的取值范围；（3）若点P(m,m)在该函数图像上，求点P的坐标.。

二次函数与一元二次方程及不等式综合专题训练1、（1）抛物线2x x 2y －－=与x 轴有 个交点； （2）抛物线2x 41x 1y －－=与x 轴有 个交点； （3）抛物线222+-=x x y 与x 轴有 个交点。

2、下列函数图象与x 轴有两个交点的是（ ）A ．y =7(x +8)2+2 B ．y =7(x -8)2+2 C ．y = -7(x -8)2-2 D ．y = -7(x +8)2+2 3、（1）抛物线532+-=x x y －与直线2y =有 个交点； （2）抛物线642+-=x x y 与直线2y =有 个交点； （3）抛物线232+-=x x y －与直线2y =有 个交点； （4）抛物线243y x x =++与直线x=-9有 个交点； 4、抛物线231y x x =-+与直线y k =有1个交点，则_____k =. 5、已知二次函数y =－12 x 2 － x + 32。

在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图 象直接作答： （1）方程 - 12 x 2 - x + 32 =0的解为x= ；（2）当y ＜ 0时，x 的取值范围是 ； （3）当x 满足条件： 时，y 随x 的增大而减小； （4）当x= 时，y 的最小值为 ； （5）以图象与坐标轴交点为顶点的三角形面积是 ；（6）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位所对应的函数关系式是 ． (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0； (8)当y 取何值时，－4＜x ＜0；6、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点. （1）求出二次函数的解析式； （2）根据图象回答下列问题：①当x 取何值时，两函数的函数值都随x 增大而增大； ②当x 取何值时，一次函数值等于二次函数值； ③当x 取何值时，一次函数值大于二次函数值； ④当x 取何值时，两函数的函数值的积小于0．1－1 －3 3xyO A BCxyO7、已知抛物线y=x 2-8x+c,(1)、若抛物线的顶点在x 轴上,则c= ；(2)、若抛物线与x 轴有两个交点,则c 的范围是 ； (3)、若抛物线与坐标轴有两个公共点,则c 的范围是 。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确.令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()(24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件.故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得((02b f f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02b f >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以((02bf f >，所以必要性成立；反之，设(02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1<a ≤2.【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果.【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21a a >⎧⎨⎩…，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞-【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R恒成立，∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴20440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可.【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+.故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值.【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134.10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k=，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0ff x …恒成立，则实数m 的范围是（ ）A．3,3⎡--+⎣B．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1-D．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--.综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取练提升()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =-- ，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解,取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4.故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________.【答案】2a <或3a >.【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->V 且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a <【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <.故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________.【答案】12-【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为()1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值.【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin 4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭，∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增；11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1.故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()minM h x h x - (2)(),2xh x x R x =∈+当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()x g x >…，当x =取等号，当0,()x g x <≤-当x =取等号，()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞()(0)h x x ⎡⎫⎛∈⋃≠⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝综上，()h x ⎡∈⎢⎣M ⎛∴= ⎝…min M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45.【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+--⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求.【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =.①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+；②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()0f b = ，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b +=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =.所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45.9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52．10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可.【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==，∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈，∴222221814(44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值练真题（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=x ―4,x ≥λx 2―4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得x ≥2x ―4<0 或x <2x 2―4x +3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f (x )=x ―4>0，此时f (x )=x 2―4x +3=0,x =1,3，即在(―∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )=x ―4=0,x =4，由f (x )=x 2―4x +3在(―∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++.当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-.当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202tt--≤<+和2302t tt--≤<+，所以30b-≤<.综上可知，b的取值范围是[3,9--.。

二次函数与二元一次方程组、不等式专项练习60题（有答案）1 .已知二次函数y=a《+bx+c （a工）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c> 0; （2）方程ax2+bx+c=0两根之和小于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y=x+bc的图象一定不过第二象限，其中错误的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2 .如图是二次函数y=a/+bx+c的图象，图象上有两点分别为3 .方程X2+3X-仁0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数x3-x-仁0的实数根x0所在的范围是（）A. - 1< X0V0B. 0v X0V 1C. 1< x0V 24 .根据二次函数yna^+bx+c （a工0 a、b、c为常数）得到一些对应值，列表如下: 判断一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解X1的范围是（）xy - -A. < X1<B. < x1<C. < x1<D. <x1<6.二次函数y=ax2+bx+c （a工0中，自变量x与函数y的对应值如下表:x …-2 - 1 0 1 2 3 4C.—D.A (,-)、B (,),则方程ax2+bx+c=0y—的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程D. 2 < X0< 3-1012■■VIy…-51 3 1卄0C. 当x=3 时，y< 0B. 抛物线与y轴交于负半轴D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根5 .已知二次函数y=a/+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（A. 抛物线开口向上.，-m - 2 2丄，则一兀二次方程 2ax 2+bx+c=0 的两个根 x 1，右x 2的取值范围是（)A .- 1 v x1 v 0，2v x2v 3B .- 2v x1 v- 1， 1 v x2v 2C. 0v x1 v 1， 1 v x2v 2 D .- 2v x1 v- 1， 3 v x2v 47 .根据抛物线y=x 2+3x - 1与x 轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ A .x 2-仁-3xB . x 2+3x+ 仁0C. 3x 2+x -仁0D.x 2- 3x+ 仁08•已知二次函数y=x 2+2x - 10,小明利用计算器列出了下表： 那么方程x 2+2x - 10=0的一个近似根是（ ）x -- - -x 2+2x - 10 -- -A . -B . -C. -D.-9 •根据关于x 的一元二次方程 x 2+px+q=0,可列表如下：则方程x 2+px+q=0的正数解满足（）x0 2x +px+q - 15 -A . 解的整数部分是 1-2 - 0，十分位是5B .C.解的整数部分是1，十分位是1 D .10 .根据下列表格中的二次函数2y=ax +bx+c (a MQa 、b 、的一个解x 的取值范围为（)xy=ax 2+bx+c- -A .v x vB . v x vC. v x v解的整数部分是0,十分位是8解的整数部分是1,十分位是2 c 为常数）的自变量x 与函数y 的对应值，判断ax 2+bx+c=0 D. v x v 11.已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0的顶点坐标（-1, 元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=和x 2=（-）及部分图象（如图） ），由图象可知关于 x 的一c.-D.-y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别B . C.D.以上都不对m - 212 .如图，已知二次函数A .15 .抛物线 曲-4x+m 与x 轴的一个交点的坐标为（1,0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 __________________ 16 .已知二次函数y=- x 2+2x+m 的部分图象如图所示， 则关于x 的一元二次方程-x 2+2x+m=0的解为 _________________17 .抛物线ynx 2 - 4x+丄与x 轴的一个交点的坐标为（1,0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 _______________218 .开口向下的抛物线 y= （m 2- 2） x 2+2mx+1的对称轴经过点（-1, 3）,则m= _______________ .19.已知二次函数y=a/+bx+c （a 工0的顶点坐标（-1,-）及部分图象（如图），由图象可知关于 x 的方程 ax 2+bx+c=0的两个根分别是 x 1=和x 2= ________________________ .20 .如图，已知二次函数 ynax^bx+c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根分别是13 .二次函数y=x 2 - 6x+n 的部分图象如图所示，若关于解 X 2= _________ .x 的一元二次方程 x 2 - 6x+n=0的一个解为 x i =i ，则另一个14 .如图，已知抛物线 y=x 2+bx+c 经过点（0,- 3）,请你确定一个b 的值，使该抛物线与 x 轴的一个交点在b 的值是21 .对于二次函数 y=/+2x -5,当x=时，y=-v 0,当x=时，y=>0;所以方程x 2+2x - 5=0的一个正根的近似值是 .(精确到).22 .根据下列表格中y=a/+bx+c 的自变量 x 与函数值y 的对应值，判断方程 ax 2+bx+c=0 (a ^Q a , b , c 为常数)的 一个解x 的范围是 ______________________ . x 2 y=ax +bx+c - - 23 .抛物线y=2x 2-4x+m 的图象的部分如图所示，则关于 x 的一元二次方程 2x 2- 4x+m=0的解是224 .二次函数y=ax +bx+c 的部分对应值如下表： x … -3 - 2 0 1 3 5 …y … 7 0 - 8 - 9 - 5 7 … ① 抛物线的顶点坐标为(1 , - 9); ② 与y 轴的交点坐标为(0，- 8); ③ 与x 轴的交点坐标为(-2, 0 )和(2, 0); ④ 当x=- 1时，对应的函数值 y 为-5.以上结论正确的是 _________________ 25 .二次函数 y=ax 2+bx+c 的自变量 x … -1 -1x 与函数值 0 -74y 的部分对应值如下表: 1 -2根据表格中的信息，完成下列各题(1) 当 x=3 时，y= _________ (2) 当x= _________ 时，y 有最(3) 若点A (X 1, y"、B (x 2, y 2)是该二次函数图象上的两点，且- 小: y 1 __________ y 2 (4) 若自变量x 的取值范围是0W x w,5则函数值y 的取值范围是 值为 1< X 1V 0 , 1 V x 2< 2，试比较两函数值的大26 .阅读材料，解答问题. 例 用图象法解一元二次不等式：.x 2 - 2x - 3 > 0 解：设y=x 2- 2x - 3,则y 是x 的二次函数.■/ a=1> 0, 抛物线开口向上. 又•••当 y=0 时，x 2- 2x - 3=0,解得 X 1 = - 1, x 2=3. •由此得抛物线y=x 2 - 2x - 3的大致图象如图所示. 观察函数图象可知：当 x <- 1或x >3时，y >0. x 2- 2x - 3> 0 的解集是：x <- 1 或 x > 3. (1) 观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2- 2x - 3> 0的解集是 _____________ (2) 仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2- 1 > 0.27. 一元二次方程 X 2+7X +9=1的根与二次函数 y=x 2+7x+9的图象有什么关系试把方程的根在图象上表示出来. 28 .画出函数y=- 2X 2+8X - 6的图象，根据图象回答： (1) 方程-2X 2+8X - 6=0的解是什么； (2) 当X 取何值时，y >0; (3) 当X 取何值时，y v 0.29 .已知二次函数 y=- x 2+2x+m 的部分图象如图所示，你能确定关于X 的一元二次方程-x2+2x+m=0的解o\ 1:?~*30 .小明在复习数学知识时，针对求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程 X 2- X -仁0的两个解.(1) 解法一：选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法) (2) 解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解.如图，把方程X 2- X - 1=0的解看成是二次函数 y= _____________ 的图象与X 轴交点的横坐标即XI ,X 2就是方程的解. (3)解法三：利用两个函数图象的交点求解 _____________________ ① 把方程X 2- X - 1=0的解看成是二次函数 y=的图象与一个一次函数y= __________ 的图象交点的横坐标 ②画出这两个函数的图象，用X 1, X 2在x 轴上标出方程的解.31 .如图是二次函数 y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax 2+bx+c v 0的解集是L-22A . - 1 v x v 5B . X >5C. x v - 1 且 X > 5D. x v - 1 或 X > 5-4 -S3x+a 2 - 1的图象，那么下列结论错误的是（ 当 y v 0 时，x > 0 当-3 v x v 0 时，y >0 当x v 时，y 随x 的增大而增大2上述抛物线可由抛物线 y= - x 2平移得到36 .已知：二次函数 y=x 2 - 4x - a ,下列说法中错误的个数是（ ）① 若图象与x 轴有交点，贝U a <；②若该抛物线的顶点在直线 y=2x 上，则a 的值为-8;③ 当a=3时，不等式x 2- 4x+a >0的解集是（3, 0）;④ 若将图象向上平移1个单位，再向左平移 3个单位后过点x ,则a=- 1; ⑤ 若抛物线与x 轴有两个交点，横坐标分别为 X 1、x 2,则当x 取x 1+x 2时的函数值与x 取0时的函数值相等.A. 1B . 2 C. 3D. 438 .如图，函数y=x 2 - 2x+m （ m 为常数）的图象如图，如果x=a 时，y v 0;那么x=a - 2时，函数值（33 .现定义某种运算 A . - 1v x v 2a ® b=a ( a >b )，若(x+2) ® x 2=x+2，那么x 的取值范围是(B . x >2 或 x v - 1 C. x >2 D. x v - 1 y i =kx+n （k 工0与二次函数 y 2=a/+bx+c （ a 旳）的图象相交于 A (- 1, 5 )、B ( 9, 2)两点,B . - 1<x 9 C. - 1 v x W9 D. x <- 1 或 x >9D. x v - 132 .二次函数y=a/+bx+c （a ^0的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（34 .如图，一次函数kx+n > a+bx+c 的解集为（ ）x >- 1ax > a 的解集是41 .二次函数y=x 2 - 2x - 3的图象如图所示•当 y v 0时，自变量x 的取值范围是 _________________42.如图是抛物线y=ax 2+bx+c 的一部分，其对称轴为直线 x=1，若其与x 轴一交点为B (3, 0),则由图象可知，不等式ax 2+bx+c > 0的解集是 _____________ .1L4L/43 .已知二次函数 y=x 2 - 6x+5.(1) 请写出该函数的对称轴，顶点坐标；(2) 函数图象与 x 轴交点坐标为 _____________ ，与y 轴的交点坐标为 _______________ (3) _____________ 当时y > 0, _ 时y 随x 的增大而增大；(4) 写出不等式 x 2- 6x+5 v 0的解集. _____________0 v y v mC. y=mD. y > m39 .已知：二次函数① 当X V 1时，y 随x 的增大而减小② 若图象与x 轴有交点，贝U a <4③ 当a=3时，不等式 ④ 若将图象向上平移 A . 1y=x 2- 4x+a ,下列说法中错误的个数是x 2 - 4x+a > 0的解集是 1个单位，再向左平移 B . 2 C. 1 v x v 33个单位后过点 3 (1,- 2),则 a=- 3.D. 4 二次函数 y 1 > y2的解集疋y 1 v y 2的解集是 2 ■--40 .如图，① 不等式 ② 不等式 ③ 方程 ax 2+bx+c=kx+n 的解是 X 1=0, X 2=4 其中正确的个数是(y 1=ax 2+bx+c 与一次函数 旦 O v x v 4 x v 0 或 x > 4y 2=kx+n 的图象相交于 A (0, 4), B (4, 1)两点，下列三个结论: B . 1个C.D. 3个时，ax 2+bx+c > 0；时，ax 2+bx+c 的值随x 增大而减小.45.二次函数y=ax 2+bx+c (a ^0的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1) __________________________________________ 写出方程 ax 2+bx+c=0的两个根.x i = , x 2= ;(2) ________________________________________ 写出不等式ax 2+bx+c > 0的解集. ;(3) _______________________________________________________ 写出y 随x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围. ______________________________________________________________ ; (4)若方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围.岭54 -2- 1的图象，根据图象提供的信息，确定使- K y 嘲自变量x 的取值范围是 _____________________\V ■■■/ ,A48 .已知抛物线y=x 2 - x - 6,则不等式x 2- x - 6v 0的解集为 ________________ . 49 .已知二次函数y=x 2 - 2x - 3的函数值y v 0,则x 的取值范围为 ________________ 50. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ^0的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1) ____________________________________ 不等式ax 2+bx+c > 0的解集为 . (2) 若y 随x 的增大而减小，则自变量 x 的取值范围是 .(3) 若方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围是44 .如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于两个点， 根据图象回答:(1) b0 (填 >”、N”、a=)(2)当x 满足 ____________ 46 .二次函数y=a/+bx+c 的图象如图所示，给出下列说法： ①ac >0;②2a+b=0 ;③a+b+c=0 ;④ 当x > 1时，函数y 随x 的增大而增大;x v 3 .其中，正确的说法有 ______________ .(请写出所有正确说法的序号)⑤当y > 0时，—1v3\211 --1 0/ 2 !1-2-51. ______________________________________________________________________________________________ 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点(1 ,0)和B( 3,2)，不等式x2+bx+c>x+m的解集为 _____________________i\53 .已知函数y i =x2与y2=--；x+3的图象大致如图，若y i<2，则自变量x的取值范围是55 .函数y=x2- 2x- 2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y》l成立的x的取值范围是y》成立的x的取值范围是，则函数值y56 .已知抛物线y= - —x 2 - 3x _—3 2|(1) 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2) 求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标； (3) 画出草图；(4) 观察草图，指出 x 为何值时，y > 0, y=0, y v 0. 57 .如图是二次函数 y=x 2 -2x - 3的图象. (1)求该抛物线的顶点坐标、与 x 轴的交点坐标(2) 观察图象直接指出 x 在什么范围内时，y > 058 .如图，直线 y=x+m 和抛物线y=x 2+bx+c 都经过点 A (1, 0), B ( 3, 2). (1) 求m 的值和抛物线的解析式； (2) 求抛物线的对称轴和顶点坐标；(3) 求不等式x 2+bx+c > x+m 的解集.(直接写出答案)59 .如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C,且点B 的坐标为( 的坐标为(0，- 3), 一次函数y 2=mx+n 的图象过点A 、C. (1) 求二次函数的解析式；(2) 求二次函数的图象与 x 轴的另一个交点 A 的坐标； (3) 根据图象写出y 2v y 1时，x 的取值范围.1, 0),点 C60 .已知抛物线y i=/+ (m+1) x+m - 4与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，且对称轴为x=- 1 .(1)求m的值；(2)画出这条抛物线；(2)若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P (- 2m, - 3m),根据图象回答：当x取什么值时，y i》2・9> r i « I 4»—□--------- _ u _ _二次函数与二元一次方程组、不等式 60题参考答案:1.解：•••当x=2时，y=4a+2b+c ,对应的y 值即纵坐标为正，即 4a+2b+c >0;故（1）正确；•••由二次函数ynax^bx+c （a 工0的图象可知：函数图象与 x 轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数 根；并且正根的绝对值较大，•方程ax 2+bx+c=0两根之和大于零；故（2）错误；•••函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；不能在整个自变量取值范围内说 y 随x 的增大而增大；故（3）错误；•••由图象可知：c v 0, b v 0, • bc >0,• 一次函数y=x+bc 的图象一定经过第二象限，故（4）错误；•错误的个数为3个，故选B . 2.解：•••图象上有两点分别为 A （,-）、B （,）, •••当 x=时，y=-; x=时，y=, •••当 y=0 时，v x v, 只有选项D 符合，故选D . 3.解：方程x 3- x -仁0,二x 2-仁丄，•它的根可视为y=x 2 - 1和y=的交点的横坐标,罠4. :根据表格可知，5.解：•••由图表可以得出当 x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1, 3）,•二次函数解析式为：y=a （x - 1） 2+3，再将（0, 1）点代入得： 仁a （- 1） 2+3,解得：a=- 2,• y=- 2 （ x - 1） 2+3, •/ a v 0 • A ,抛物线开口向上错误，故： A 错误；T y=- 2 （ x - 1） 2+3= - 2X 2+4X +1，与y 轴交点坐标为（0, 1）,故与y 轴交于正半轴，故：B 错误；■/ x=3 时，y=- 5 v 0,故：C 正确；•••方程a/+bx+c=0, △ =16+4 X 2X 1=22），此方程有两个不相等的实数根，故： D.方程有两个相等实数根错误；故 选：C6. 解：T', •的值在-1与0之间，即-1 v X 1v 0, y=0在y=m - 2与y=m -■之间，故对应的x 的值在2与3之间，即 7 .解：•••抛物线y=x 2+3x - 1与x 轴的交点的横坐标就是方程x 2+3x -仁0的根，•可以求出方程x 2+3x -仁0的根,方程x 2 -仁-3x 与方程x 2+3x -仁0等价，•可以求出方程x 2 -仁-3x 的根•故选 A .8.解：根据表格得，当-v X V-时，-v y v,即-v x 2+2x - 10v, •/ 0距-近一些，•方程x 2+2x- 10=0的一个近似根是-，故选 C .当x=1时，x 2-仁0,又•••交点在第一象限. -=1，交点在x=1的右边，当x=2时，X 2-仁3,X•••1 v xo V 2,故选 C.匸，交点在x =2的左边,-L 卓 \ 11-：■ -4 -3 j 人2 3! 4■A:ax 2+bx+c=0时，对应的x 的值在〜之间.故选• — 1 v m - 2v ——, —v m -—八"T•函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程 ax 2+bx+c=0 的根，函数y=a/+bx+c 的图象与x 轴的交点的 纵坐标为 0 .由表中数据可知: y=0 在 y=m - 2 与 y=m -一之间,C .故对应的2 v X 2V3 .故选：A .9•解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于而小于.所以解的整数部分是1，十分位是1 .故选C.10 .解：由表可以看出，当x取与之间的某个数时，y=0,即这个数是ax2+bx+c=0的一个根.ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为v x v.故选C11 .解：方法一：■/ 二次函数ynax^bx+c 的顶点坐标（-1，-）上=-1则-上=-22a a■/ x1x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根 .x1+x2=- —|日又•/ x1 = . x1+x2=+x2= - 2 解得x2=-.方法二：根据对称轴为；x=- 1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=,Xi 3*孟空则一: --- =-1，即 _ = - 1，解得：x2=-,故选D12 .解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，•••抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1, x2,那么两根满足2x 3=1+x2，而X1 = , • X2=.故选C.卜_ & 1+七13 .解：由图可知，对称轴为x=- . =-一「=3，根据二次函数的图象的对称性，----------- =3,2a / 2解得x2=5 .故答案为：514.解：把（0,- 3）代入抛物线的解析式得：c=-3, • y=x2+bx- 3,•••使该抛物线与x轴的一个交点在（1, 0）和（3, 0）之间，•••把x=1 代入y=x+bx- 3 得：y=1+b-3v 0把x=3 代入y=x2+bx-3 得：y=9+3b - 3>0, • - 2v b v2 ,即在-2v b v 2范围内的任何一个数都符合，故答案为：在-2v b v 2范围内的任何一个数.15.解：把点（1, 0）代入抛物线y=x2- 4x+m中，得m=3，所以，原方程为y=x2- 4x+3, 令y=0,解方程x2- 4x+3=0,得X1=1, X2=3，•抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3, 0）. 故答案为：（3, 0）.16.解：依题意得二次函数y=-x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3, 0）,•••抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1 -（3- 1）=- 1，•交点坐标为（-1, 0）•••当x=- 1或x=3时，函数值y=0, 即-x2+2x+m=0, •关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为X1=- 1或X2=3.故填空答案：X1= - 1或X2=3 .17. 解：把点（1 , 0）代入抛物线y=x2- 4x—；中，得m=6，所以，原方程为y=x2- 4x+3,令y=0,解方程x2- 4x+3=0,得X1=1, x2=3 •••抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3, 0）18.解：由于抛物线y= （m2- 2）x2+2mx+1的对称轴经过点（-1, 3）,•对称轴为直线x= - 1, x= i = - 1,解得m1 = - 1, m2=2.2 （ID2-2）由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m2- 2=2> 0,不合题意，应舍去，• m= - 1.19 .解：二次函数y=ax2+bx+c （a工0的顶点坐标是（-1,-）,则对称轴为x= - 1;所以「 j = — 1，又因为 X 1=,所以 X 2=- 2 - X 1=- 2 -=-.|2\20. 解：依题意得二次函数 y=ax 2+bx+c 的部分图象的对称轴为 x=3,而对称轴左侧图象与 x 轴交点与原点的距离，约为，••• X1=；X 1 +虽 ri又•••对称轴为x=3,则 ——=3, • X 2=2X3 =. 221.解：•••二次函数y=x 2+2x - 5中a=1>0, •••抛物线开口方向向上， •••对称轴x=-— =- 1, • x >- 1时y 随x 的增大而增大，2a•••当 x=时，y=-v 0，当 x=时，y=> 0, •方程x 2+2x - 5=0的一个正根：v x v, •近似值是.答案. 22 .解：由表格中的数据看出-和更接近于 0，故x 应取对应的范围.故答案为：v x v.23.解：观察图象可知，抛物线y=2x 2- 4x+m 与x 轴的一个交点为（-1, 0）,对称轴为x=1,•••抛物线与x 轴的另一交点坐标为（3, 0）, •一元二次方程2x 2- 4x+m=0的解为X 1=- 1, x 2=3. 故本题答案为：X 1=- 1, x 2=3. 24.解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，① 抛物线的顶点坐标为（1，- 9）;② 与y 轴的交点坐标为（0，- 8）;③与x 轴的交点坐标为（-2, 0）和（4, 0）;④当x=- 1时，对应的函数值 y 为-5. 故答案为：①②④.25.当 x =3 时，y —]=- 1；（2） 将y=：x 2- x -—配方得，y 二（x - 1） 2 - 2, •/ a 二> 0, •函数有最小值，当 x=1时，最小值为-2;4 2 4 4 4（3） 令y=0,则x=±2 >1,抛物线与x 轴的两个交点坐标为（2 ：-：+1, 0） （- 2："+1 , 0） ■/ - 1 v X 1V 0, 1 v X 2V 2, • x 1 到 1 的距离大于 x 2 到 1 的距离，• y 1 >y 2（4） •••抛物线的顶点为（1，- 2） , •当x=5时，y 最大，即y=2;当x=1时，y 最小，即y= - 2, •函数值y 的取值范围是-2 < y 秀2故答案为-1 ; 1、小、-2; >;- 2< y W2 26. 解：（1） x v - 1 或 x >3;（2）设y=x 2 - 1,贝U y 是x 的二次函数，•/ a=1 > 0, •抛物线开口向上.又•••当y=0时，x 2- 1=0，解得x 仁-1, X 2=1 . •由此得抛物线y=x 2- 1的大致图象如图所示. 观察函数图象可知：当 x v - 1或x > 1时，y >0. • x 2 - 1>0的解集是：x v - 1或x > 1.解：（1）由表得，解得 11-, •二次函数的解析式为讨—x -「二 X 1X 2=i= - 1 , 3由①②③，得:3=1- 1 ； .•.二次函数方程为y=x 2 - x - 1 . 尸一1解：一兀二次方程 x 2+7x+9=1的根是二次函数 y=x 2+7x+9图象中y=1时，所对应的x 的值; 当 y=1 时，x 2+7x+9=1,•••作出二次函数y=x 2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当 y=1时，x 或-， •••一元二次方程 x 2+7x+9=1的根为x i^, x 2〜-.28.解：函数y=-2x 2+8x - 6的图象如图.由图象可知：(1) 方程-2x 2+8x - 6=0 的解 x i =1, x 2=3. (2)当 1v x v 3 时，y > 0. (3) 当 x v 1 或 x > 3 时，y v 0.29 .解：根据图象可知，二次函数 入，得-32+2 x 3+m=（解得, 解②，得 x i =3, x 2=- 1 30.解：（1 ）由原方程，得：y=- x 2+2x+m 的部分图象经过点（3, 0）,所以该点适合方程 m=3y= - x 2+2x+m , 代① 把① 代入一兀二次方程-x 2+2x+m=0，得-x 2+2x+3=0,②-Vs+i2 2 --7=0,即（玄2 4 2（2）设二次函数方程为 y=aY+bx+c （a , b , c 均为实数，且 a 工0. 由图象得知，该函数过点（ •把（0,- 1） 二次函数方程为：丄；解得 X1 -- - ---- , X2二0, - 1）,所以该点满足方程 代入方程y=ax 2+bx+c ,得c=- 1,① y=aY+bx+c 与x 轴交点的横坐标就是方妬41~2 y=ax 2+bx+c ,x 2- x -仁0的解;即 c=- a ;②x 1+x 2= ——=1 ；③a(3)31.解：由图象得：对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5, 0),•••图象与x轴的另一个交点坐标为(- 1, 0).利用图象可知：a^+bx+c v 0的解集即是y v 0的解集，x v- 1 或x>5 .故选：D.32.解：A、T图象开口向下，• a v 0, •••与y轴交于正半轴，• c>0, ：•对称轴在y轴左侧，-上v 0, • b v 0,2a• abc> 0，故本选项错误；B、•••当x= - 1时，对应的函数值y> 0，即a - b+c> 0, • a+c>b，故本选项错误；C、•••抛物线的对称轴为直线x=-上〉-1，又a v 0, ••• b > 2a，故本选项正确；2aD、•••当x=- 2时，对应的函数值y v 0，即4a- 2b+c v 0, • 4a v 2b- c,故本选项错误.故选C.33. 解：由定义运算得：x+2>x2,即解不等式x2- x- 2v 0,设y=x2- x-2，函数图象开口向上，图象与x轴交点是(-1 , 0), (2, 0),由图象可知，当-1 v x v 2时，y v 0, 即卩x的取值范围-1 v x v2.故选A.34 .解：由图形可以看出：抛物线y2=ax2+bx+c (a工0和一次函数y1=kx+ n ( k工0的交点的横坐标分别为- 1, 9,当y1》2时，x的取值范围正好在两交点之内，即- K x W9故选A.35.解：由图象可知，抛物线经过原点(0, 0),所以a2-仁0,解得a=±l,•••图象开口向下，a v 0, • a=- 1. • y=- x2- 3x, •二次函数与图象的交点为：(-3, 0), (0, 0),•••当y v 0时，x v - 3或x> 0,故A选项错误；当-3v x v 0时，y> 0 ,故B选项正确；当x v -育时,y随x的增大而增大故C选项正确；上述抛物线可由抛物线y=-x2平移得到，故D选项正确；故选：A.36 .解：①•••图象与x轴有交点，贝U △ =16 - 4 X 1^- a)解得a A 4;故本选项错误；②•••二次函数y=x2- 4x- a的顶点坐标为(2, - a - 4),代入y=2x得，-a- 4=2X2, a= - 8,故本选项正确；③表达错误，解集不能表示为(3, 0),故本选项错误；④ 表达错误，点不能用x表示，故本选项错误；⑤ 由根与系数的关系，x1+x2=4,当x=4时，y=16 - 16 - a= - a,当x=0时，y=- a,故本选项正确.故选C.37. 解：由图象可知a v0, •不等式ax>a的解集为x v 1 .故选B.38.解：x=a 代入函数y=x2- 2x+m 中得：y=a2- 2a+m=a (a - 2) +m ,■/ x=a 时，y v 0, • a (a- 2) +m v 0,由图象可知：m > 0, • a (a - 2) v 0,又T x=a 时，y v 0, • a >0 则 a - 2 v 0,由图象可知：x=0 时，y=m,又T x v 1时y随x的增大而减小，• x=a - 2时，y>m.故选：D.39.45.解：二次函数为 y=x 2 - 4x+a ，对称轴为x=2,图象开口向上.则： A 、 当x v 1时，y 随x 的增大而减小，故说法正确；B 、 若图象与x 轴有交点，即△ =16 - 4a >0贝U a <4故说法正确；C 、 当a=3时，不等式 £ - 4x+3v 0的解集是x v 0或x > 3，故说法错误；D 、 原式可化为y= (x - 2) 2- 4+a ,将图象向上平移1个单位，再向左平移 3个单位后所得函数解析 式是y= (x+1) 2- 3+a ,函数过点(1, - 2),代入解析式得到：a= - 3.故说法正确.故选 A .40 .① 通过图象可知，在点 A 和B 之间y 1的图象在y 2的上面，也就是 y 1>y 2,且解集是0 v x v 4,此选项正确； ② 通过图象可知，在点 A 的左边和在B 的右边，y 1的图象在y 2的下面，也就是y 1 v y 2,且解集是x v 0或x >4, 此选项正确；③ 两函数图象的交点就是 y 仁y 2的解，且解是x 仁0, x 2=4,此选项正确. 故选D . 41 .解：•••二次函数y=x 2 - 2x - 3的图象如图所示.•••图象与x 轴交在(-1, 0), (3, 0), •••当y v 0时，即图象在x 轴下方的部分，此时 x 的取值范围是：-1 v x v 3，故答案为：-1 v x v 3.42.解：•••抛物线与x 轴的一个交点(3, 0)而对称轴x=1 •抛物线与x 轴的另一交点(-1, 0) 当y=ax 2+bx+c >0时，图象在 x 轴上方此时x v - 1或x > 3 故填空答案：x v - 1或x >3. 43.故对称轴为x=3,顶点坐标为(3, - 4)；(2) 令y=0,即x 2- 6x+5=0解得x 仁1, x 2=5故函数图象与x 轴交点为(1, 0) , (5, 0) • c=0,故图象与y 轴交点为(0, 5)；(3) 由图象可知当x v 1或x >5时，y >0当x >3时，y 随x 的增大而增大 (4) 由图象可知，x 2- 6x+5v 0的解集为1 v x v 5. 44.解：(1)根据图象得二次函数 y=ax 2+bx+c (a 工0的图象，a > 0,•••对称轴经过x 轴的负半轴，即可得出 a , b 同号，• b >0,故答案为：b >0； (2)根据图象得二次函数 y=ax 2+bx+c (a 工0的图象与x 轴交点坐标为(2, 0)、(- 4, 0), 而 ax 2+bx+c > 0，即 y >0, • x v - 4 或 x > 2;故答案为：x v - 4 或 x > 2； (3)根据图象得二次函数 y=aY+bx+c (a 工0的图象与x 轴交点坐标为(2, 0)、(- 4, 0),•抛物线的对称轴为 x=- 1, •当x v - 1时，y 随x 的增大而减小.故答案为： x v - 1.-4,解：(1) •••二次函数y=aY+bx+c的图象与x轴的交点为(1, 0), (3, 0)•••方程ax2+bx+c=0 的两个根x i=1, X2=3;(2)由二次函数y=aY+bx+c的图象可知：1 < x v 3时，二次函数y=ax2+bx+c的值大于0•不等式ax2+bx+c>0的解集为1< x< 3;(3)由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2「. y随x的增大而减小的自变量x 的取值范围为x>2;(4)由图象可知：二次函数y=aY+bx+c的顶点坐标为(2, 2),当直线y=k，在(0, 2)的下边时，一定与抛物线有两个不同的交点，因而当k< 2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根.46.解：•••抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，• a< 0, c> 0, • ac v 0, •① 错误；由图象可知：- 丄=1, • 2a+b=0, •••② 正确；当x=1时，y=a+b+c> 0, •③ 错误；2a由图象可知：当x> 1时，函数y随x的增大而减小，•••④ 错误；根据图象，当-1 < x< 3时，y>0, •⑤正确；正确的说法有②⑤.47. 解：•/y=x2+bx- 1 经过(3, 2)点，• b=- 2, •/ - 1 < y手2二—1 <2-2x- K2,解得2< x<或- 1 < x W048. 解：•/ x2- x- 6=0 • X1 = - 2, X2=3「.抛物线y=x2- x- 6 与x 轴的交点坐标为(-2, 0), (3, 0) 而抛物线y=x2- x-6开口向上当y< 0时，图象在x轴的下方，此时-2< x< 3故填空答案：-2< x< 3.49. 解：当y=0 时，即x2- 2x- 3=0, • X1 = - 1 , x2=3, •图象与x 轴的交点是(-1, 0), (3, 0), 当y< 0时，图象在x轴的下方，此时-1< x< 3.故填空答案：-1< x<3.50.解：(1)依题意因为ax2+bx+c> 0，得出x的取值范围为：1< x< 3；(2)如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为：x>2；(3)由顶点(2, 2)设方程为a (x- 2) 2+2=0, ：•二次函数与x轴的2个交点为(1 , 0), (3 , 0),• a=- 2, •抛物线方程为y=-2 (x- 2) 2+2, y=- 2 (x-2) 2+2- k实际上是原曲线下移k个单位，由图形知，当k<2时，曲线与x轴有两个交点.故k< 2.故答案为：(1) 1< x< 3； (2) x>2； (3) k< 2.50. 解：•••直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A (1, 0)和B (3, 2),•根据图象可知，不等式x2+bx+c>x+m的解集为x< 1或x>3;故答案为：x< 1或x>3.52 .解：直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值为x<- 1或x >3故答案为x w 1或x >353. 解：根据图象知，当y1<2时，自变量x的取值范围是-2<总故答案为-2<余.L_a54.解：由图可知，-三< x< -时，函数图象在x轴的下方，所以y< 0 .故答案为：<.55 .解：当y=1 时，x2- 2x- 2=1，解得(x+1) (x- 3) =0, X1= - 1, x2=3.由图可知，x务1或x>3寸y >1故答案为xw 1或x>356.解：(1) T y=-=x2-3x-育=-£ (x2+6x+5)=-纟(x2+6x+9- 4) =-£(x+3) 2+2,•••开口向下，对称轴为x=- 3，顶点坐标为(-3, 2)；(2)•••令x=0,得：y=-=,.・.抛物线与y轴的交点坐标为：(0,-—)；令y=0,得到-丄x2- 3x-—=0,解得：x= - 1 或x= - 5,故抛物线与x轴的交点坐标为：(-1, 0)和(-5, 0)；(3)草图为：(4) 根据草图知：当 x= - 1或x=- 5时，y=0,当—5v x v — 1 时 y > 0,当 x v — 5 或 x >— 1 时 y v 0. 57. 解：(1) ■/y=x 2 —2x — 3=(x —1) 2 — 4= (x+1) (x — 3),二抛物线的顶点坐标为(1 , — 4),对称轴为直线x=1，与x 轴交点为(-1, 0),( 3, 0); (2)由图象可知，当 x >3或x v — 1时，y >0 .58.解：(1)把点A (1, 0), B (3, 2)分别代入直线 y=x+m 和抛物线y=x 2+bx+c 得:l+b+c=Qc — —3*(2) 令 y 1=0,得 x 2+2x — 3=0,解这个方程，得 x 1= — 3, x 2=1, •此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点 A 的坐标为(-3, 0); (3) 当 x v — 3 或 x >0, y 2v y 1.0=1+m ,0=14Uc2=9+3b+c，• m= — 1, b= — 3, c=2,所以 y=x — 1, y=x 2 — 3x+2;(2)由(1 )知，该抛物线的解析式为:y=x 2 — 3x+2, • y= (x-卫)2 —2x=— 2 ;顶点坐标是(—, x v 1 或 x > 3.%二工丄的图象经过B (1, 0)、C3)两点,，解这个方程组，得•抛物线的解析式为•••抛物线的对称轴是:解：(1)由二次函数60 .解：(1)由题意，有一竺二一 1,解得m=1 .(2) •/ m=1, ••• y i =x 2+2x — 3, /• y i = (x+1) 2 - 4, 列表为：x … —3— 2 — 1 0 y=x 2+2x — 3 0— 3 — 4 — 3 描点并连线为：； *■ 二£■ • a * ■ ■(3) •/ m=1 • P (— 2,— 3), •••可以画出直线的图象.•••由图象得x w 2或x》时，y1>2.。

专项练习二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合练习1．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图3－ZT －1所示，那么关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝m 有实数根的条件是( ) 图3－ZT －1A 、m ≥－2B 、m ≥5C 、m ≥0D 、m ＞42．如图3－ZT －2是二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝( )图3－ZT －2A 、－1.6B 、3.2C 、4.4D 、以上都不对3．2019·杭州四名同学在研究函数y ＝x2＋bx ＋c(b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，这四名同学中只有一名同学发现的结论是错误的，那么该同学是( )A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁4．直线y ＝3x －3与抛物线y ＝x2－x ＋1的交点的个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、不能确定5．抛物线y1＝ax2＋bx ＋c 与直线y2＝mx ＋n 如图3－ZT －3所示，以下判断：①abc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③5a －c ＝0；④当x ＜12或x ＞6时，y1＞y2.其中正确的个数是( )图3－ZT －3A 、1B 、2C 、3D 、46．2019·绵阳将二次函数y ＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，那么实数b 的取值范围是( )A 、b ＞8B 、b ＞－8C 、b ≥8D 、b ≥－87．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 和正比例函数y ＝23x 的图象如图3－ZT －4所示，那么方程ax2＋(b －23)x ＋c ＝0的两根之和( )图3－ZT －4A 、大于0B 、等于0C 、小于0D 、不能确定8．如图3－ZT －5是抛物线y1＝ax2＋bx ＋c 的一部分，抛物线的顶点是A(1，3)，与x 轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝mx ＋n(m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，以下结论：①2a ＋b ＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1.其中正确的选项是( )图3－ZT －5A 、①②③B 、①③④C 、①③⑤D 、②④⑤9．二次函数y ＝(x －h)2＋1(h 为常数), 在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，那么h 的值为( )A 、1或－5B 、－1或5C 、1或－3D 、1或310．2019·孝感如图3－ZT －6，抛物线y ＝ax2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，那么方程ax2＝bx ＋c 的解是________．图3－ZT －611．二次函数y ＝kx2＋(2k －1)x －1的图象与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)，那么对于以下结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②方程kx2＋(2k －1)x －1＝0有两个不相等的实数根x1，x2；③x2－x1＝1＋4k2k.其中正确的选项是__________(只填序号)．12．如图3－ZT－7，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象分别与x轴、y轴相交于点A(－3，0)，B(0，－3)，二次函数y＝x2＋mx ＋n的图象经过点A.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)假设二次函数y＝x2＋mx＋n的图象的顶点在直线AB上，求m，n 的值；(3)当－3≤x≤0时，二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值为－4，求m，n 的值．图3－ZT－713．请阅读以下解题过程，并回答以下问题．解一元二次不等式：x2－5x＞0.解：设x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，那么抛物线y＝x2－5x与x轴的交点坐标为(0，0)和(5，0)．画出二次函数y＝x2－5x的大致图象(如图3－ZT－8所示)，由图象可知：当x＜0或x＞5时，函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－5x＞0，所以一元二次不等式x2－5x＞0的解集为x＜0或x＞5.通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答以下问题：(1)上述解题过程中，渗透了以下数学思想中的________和_______ _．(只填序号)①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．(2)一元二次不等式x2－5x＜0的解集为____________．(3)用类似的方法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0.图3－ZT－814．小明在复习数学知识时，针对〝求一元二次方程的解〞整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的解．(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)．(2)解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图3－ZT －9(a)，把方程x2－x －1＝0的解看成是二次函数y ＝________的图象与x 轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．①把方程x2－x －1＝0的解看成是二次函数y ＝________的图象与一次函数y ＝________的图象交点的横坐标；②在图(b)中，画出这两个函数的图象，用x1，x2在x 轴上标出方程的解．图3－ZT －9教师详解详析1．[解析] A 求方程ax2＋bx ＋c ＝m 有实数根的条件就是求二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与常数函数y ＝m 的图象什么时候有交点，由二次函数的图象可知，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 有最小值－2，因此，当m ≥－2时，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与常数函数y ＝m 的图象有交点．2．[解析] C 由图可知，抛物线的对称轴为直线x ＝3，∴抛物线与x 轴的两个交点关于直线x ＝3对称．而关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x1，x2， ∴两根满足x1＋x2＝2×3.∵x1＝1.6，∴x2＝4.4. 3．[解析] B 假设甲和丙的结论正确，那么⎩⎨⎧－b 2＝1，4c －b24＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝4， ∴函数的表达式为y ＝x2－2x ＋4.当x ＝－1时，y ＝x2－2x ＋4＝7，∴乙的结论不正确；当x ＝2时，y ＝x2－2x ＋4＝4，∴丁的结论正确．∵四名同学中只有一名同学发现的结论是错误的，∴假设成立．应选B.4．[解析] B 由3x －3＝x2－x ＋1，得x2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，x1＝x2＝2.故直线y ＝3x －3与抛物线y ＝x2－x ＋1的交点只有一个．5．[解析] C 由图知抛物线开口向上，∴a ＞0.对称轴为直线x ＝－b 2a ＝3，∴b ＜0.∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＜0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝3，且与x 轴交于点(5，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)，∴当x ＝1时，y1＝a ＋b ＋c ＝0，∴②错误；由①知－b 2a ＝3，∴b ＝－6a ，由②知当x ＝1时，y1＝a ＋b ＋c ＝0，∴a －6a ＋c ＝0，即－5a ＋c ＝0，5a －c ＝0，∴③正确；观察图象可知抛物线与直线交点的横坐标分别是12与6，∴当x<12或x>6时，y1>y2，∴④正确．应选C.6．[解析] D 二次函数y ＝x2的图象向下平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到y ＝(x －3)2－1的图象，再结合与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，建立关于x 的一元二次方程，利用一元二次方程有解的条件Δ≥0，可求出b 的取值范围．7．[解析] A 设ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x1，x2.∵由二次函数的图象可知x1＋x2＞0，a ＞0，∴－b a ＞0. 设方程ax2＋(b －23)x ＋c ＝0(a ≠0)的两根为m ，n ，那么m ＋n ＝－b －23a ＝－b a ＋23a .∵a ＞0，∴23a ＞0，∴m ＋n ＞0.应选A.8．[答案] C9．[解析] B 根据题意知，最小值肯定不是x ＝h 时y 的值，∴对称轴x ＝h 中的h 不在1≤x ≤3的范围内．∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，∴①假设h ＜1，那么当x ＝1时，y 取得最小值5，可得(1－h)2＋1＝5，解得h ＝－1或h ＝3(舍去)；②假设h>3，那么当x ＝3时，y 取得最小值5，可得(3－h)2＋1＝5，解得h ＝5或h ＝1(舍去)．综上所述，h 的值为－1或5.应选B.10．[答案] x1＝－2，x2＝1[解析] ∵抛物线y ＝ax2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2，y1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝1，y2＝1， 即方程ax2＝bx ＋c 的解是x1＝－2，x2＝1.11．[答案] ①②[解析] ①当x ＝－2时，y ＝4k －2×(2k －1)－1＝4k －4k ＋2－1＝1，故本结论正确；②∵抛物线与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)，∴方程kx2＋(2k －1)x －1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，故本结论正确；③∵二次函数y ＝kx2＋(2k －1)x －1的图象与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)， ∴x1＋x2＝1－2k k ，x1·x2＝－1k ， ∴x2－x1＝()x1＋x22－4x1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2＋4×1k ＝1＋4k2k2＝1＋4k2||k ， 故本结论错误．故答案为①②. 12．解：(1)由题意可得y ＝kx －3，把点A 的坐标代入y ＝kx －3，得－3k －3＝0，解得k ＝－1.∴一次函数的表达式为y ＝－x －3.(2)∵y ＝x2＋mx ＋n 的图象经过点A(－3，0)， ∴9－3m ＋n ＝0，n ＝3m －9，∴y ＝x2＋mx ＋3m －9，其顶点坐标为(－m 2，－m2＋12m －364)． ∵该抛物线的顶点在直线AB 上，∴－(－m 2)－3＝－m2＋12m －364， 化简，得m2－10m ＋24＝0，解得m1＝4，m2＝6.当m ＝4时，n ＝3m －9＝3；当m ＝6时，n ＝3m －9＝9. 综上可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝9. (3)抛物线y ＝x2＋mx ＋3m －9的对称轴是直线x ＝－m 2.①假设－m 2<－3，即m>6，那么当x ＝－3时，y 最小值＝9－3m ＋3m－9＝0≠－4(不符合题意，舍去)．②假设－3≤－m 2≤0，即0≤m ≤6，那么当x ＝－m 2时，y 最小值＝－m2＋12m －364＝－4，得m2－12m ＋20＝0，解得m1＝2，m2＝10(不符合题意，舍去)．③假设－m 2>0，即m<0，那么当x ＝0时，y 最小值＝3m －9＝－4，∴m ＝53>0(不符合题意，舍去)．综上所述，m ＝2符合题意，此时n ＝－3.13．[解析] (1)根据题意容易得出结论．(2)由图象可知：当0＜x ＜5时函数图象位于x 轴下方，此时y ＜0，即x2－5x ＜0，即可得出结果．(3)设x2－2x －3＝0，解方程得出抛物线y ＝x2－2x －3与x 轴的交点坐标，画出二次函数y ＝x2－2x －3的大致图象，由图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x2－2x －3＞0.解：(1)① ③(2)由图象可知：当0＜x ＜5时，函数图象位于x 轴下方，此时y ＜0，即x2－5x ＜0，∴一元二次不等式x2－5x ＜0的解集为0＜x ＜5.故答案为0＜x ＜5.(3)设x2－2x －3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴抛物线y ＝x2－2x －3与x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)． 画出二次函数y ＝x2－2x －3的大致图象(如下图)，由图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x2－2x －3＞0，∴一元二次不等式x2－2x －3＞0的解集为x ＜－1或x ＞3.14．解：(1)由原方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＝54， 解得x1＝－5＋12，x2＝5＋12. (2)x2－x －1(3)(答案不唯一)①x2 x ＋1 ②如图．。

周测4 二次函数与一元二次方程、不等式(时间：60分钟 满分：100分)一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．设集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}答案 D解析 由题意得B ＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{1，2}．2．不等式5－xx ＋4≥1的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x ≤12B ．{x |－4<x ≤5}C ．{x |x ≤－4或x >5}D ．{x |x <－4或x ≥5}答案 A解析 因为5－xx ＋4≥1等价于1－2xx ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.3．已知a >2，关于x 的不等式ax 2－(2＋a )x ＋2>0的解集为() A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <2a 或x >1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2a <x <1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1或x >2a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1<x <2a答案 A解析 不等式ax 2－(2＋a )x ＋2>0化为(ax －2)(x －1)>0，∵a >2，∴2a <1，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <2a 或x >1. 4．不等式ax 2－bx ＋c <0的解集为{x |x >1或x <－2}，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致为( )答案 C解析 ∵不等式ax 2－bx ＋c <0的解集为{x |x >1或x <－2}，∴a <0，∴⎩⎨⎧ c a ＝－2，b a ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2a ，b ＝－a ， ∴y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－ax －2a ＝a (x 2－x －2)，∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，两个零点分别为x 1＝2，x 2＝－1.结合图象知C 选项正确．5．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈{x |0≤x ≤3}恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m ≥－3}B ．{m |－3≤m ≤0}C ．{m |m ≤－4}D ．{m |m ≤－3或m ≥0}答案 C解析 因为不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈{x |0≤x ≤3}恒成立，令y ＝x 2－4x ，0≤x ≤3，则m ≤y min ，因为y ＝x 2－4x 在x ∈{x |0≤x ≤3}上的最小值为－4，故m ≤－4.6．若关于x 的不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为( )A ．6<m ≤7B ．－1≤m <0C ．－1≤m <0或6<m ≤7D ．－1≤m ≤7答案 C解析 不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0，即(x －3)(x －m )<0，当m >3时，不等式的解集为{x |3<x <m }，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故6<m ≤7；当m ＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m <3时，不等式的解集为{x |m <x <3}，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故－1≤m <0，故实数m 的取值范围为－1≤m <0或6<m ≤7.二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)7．下列不等式中，解集不是∅的是( )A ．x 2－3x ＋5>0B ．x 2＋4x ＋4>0C ．x 2＋4x －4<0D ．－2＋3x －2x 2>0答案 ABC解析 对于A ，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －322>－114，这个不等式恒成立，故原不等式的解集为R ； 对于B ，原不等式可化为(x ＋2)2>0，解得x >－2或x <－2，故原不等式的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)；对于C ，原不等式可化为(x ＋2)2<8，解得－22－2<x <22－2，故原不等式的解集为(－22－2，22－2)；对于D ，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －342<－716，无解，故原不等式的解集为空集． 8．(2022·芜湖模拟)已知关于x 的不等式a (x －1)(x ＋3)＋2>0的解集是{x |x 1<x <x 2}，其中x 1<x 2，则下列结论中正确的是( )A ．x 1＋x 2＋2＝0B ．－3<x 1<x 2<1C ．|x 1－x 2|>4D ．x 1x 2＋3<0 答案 ACD解析 原不等式可化为ax 2＋2ax －3a ＋2>0，∵不等式的解为x 1<x <x 2，∴a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝2a －3<0，∴x 1＋x 2＋2＝0，x 1x 2＋3＝2a<0，则A ，D 正确； 原不等式可化为a (x －1)(x ＋3)>－2，令y ＝a (x －1)(x ＋3)，则函数图象开口向下，且与x 轴交点的横坐标为－3和1，又x 1<x 2，作出大致图象如图所示，∴由图知x 1<－3<1<x 2，|x 1－x 2|>4，故B 错误，C 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．不等式－x 2＋5x >6的解集是________．答案 {x |2<x <3}解析 不等式－x 2＋5x >6变形为x 2－5x ＋6<0，因式分解为(x －2)(x －3)<0，解得2<x <3.所以不等式－x 2＋5x >6的解集为{x |2<x <3}．10．关于实数x 的不等式－x 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－3或x >4}，则关于x 的不等式cx 2－bx －1>0的解集是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13 解析 因为关于实数x 的不等式－x 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－3或x >4}，所以－3，4是方程－x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －9－3b ＋c ＝0，－16＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝12，所以不等式cx 2－bx －1>0即为12x 2－x －1>0，即(3x －1)(4x ＋1)>0，解得x <－14或x >13. 11．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案 {k |－1<k ≤0}解析 当k ＝0时，原不等式等价于－2<0，显然恒成立，所以k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，(2k )2－4k ·[－(k ＋2)]<0， 解得－1<k <0，综上，实数k 的取值范围是{k |－1<k ≤0}．12．若不等式x 2＋ax －2>0在{x |1≤x ≤5}上有解，则a 的取值范围是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a >－235 解析 关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在{x |1≤x ≤5}上有解，∴ax >2－x 2在{x |1≤x ≤5}上有解，即a >2x－x 在{x |1≤x ≤5}上有解． 当x ＝5时，2x －x 有最小值－235， ∴要使a >2x－x 在{x |1≤x ≤5}上有解， 则a >－235， 即a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a >－235. 四、解答题(本大题共3小题，共40分)13．(12分)解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根分别为x 1＝2a，x 2＝2. ①当0<a <1时，2a>2， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a＝2， 所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a<2， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根分别为x 1＝2a，x 2＝2， 则2a<2， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2a <x <2. 综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x <2a . 14．(13分)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }(b >1)．(1)(6分)求a ，b 的值；(2)(7分)当x >0，y >0，且满足a x ＋b y＝1时，有2x ＋y ≥k 2＋k ＋2恒成立，求k 的取值范围． 解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }(b >1)，所以1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且a >0，所以⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1·b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2. (2)由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 于是有1x ＋2y ＝1， 故2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥8， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4时，等号成立， 依题意有(2x ＋y )min ≥k 2＋k ＋2，即8≥k 2＋k ＋2，得k 2＋k －6≤0，即－3≤k ≤2，所以k 的取值范围为[－3，2]．15．(15分)某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)(5分)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的取值范围；(2)(5分)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)(5分)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．解 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即销售额为y 1＝80(80－10P )，税金为y 2＝80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.故P的取值范围为{P|2≤P≤6}．(2)∵y1＝80(80－10P)(2≤P≤6)，∴当P＝2时，y1取最大值，为4 800万元．(3)∵0<P<8，y2＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，∴当P＝4时，每年税收金额最高，为128万元．。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误；C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9， 当且仅当3x −5=2时，等号成立， 故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ） A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8) 答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8 故选：B5、已知a,b >0，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（ ） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0， 解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12， 当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题． 答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值． 解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立 只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4． 解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值． 答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可， （2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9， 当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。

二次函数基础练习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t写出用t 表示s 的函数关系式：2、 下列函数：① y =② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c =3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m =时，函数()2221m m y m m x --=+是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图像与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；（2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图像关于y 轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D 5、函数2ax y =与b ax y +-=的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、已知函数24m m y mx--=的图像是开口向下的抛物线，求m 的值. 7、二次函数12-=mmx y 在其图像对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值. 8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系. 9、已知函数()422-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？10、如果抛物线2y ax =与直线1y x =-交于点(),2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式. tt tt练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 . 3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质 1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 . 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y . （1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x= 时，抛物线有最 值，是 . （3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数()412-+=x y . （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3）指出该函数的最值和增减性； （4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点. （6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________；7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ）A 、22B 、23C 、32D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点1） 求一次函数的关系式；2） 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为2、二次函数2224y mx x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么ac b = 4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x =和3x =时，函数值相同；3）40a b +=；4）当2y =-时，x 的值只能为0；其中正确的是（第5题） （第6题） （第7题） （第10题）8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=9、二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ） A ()1,1-- B ()1,1- C ()1,1 D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c =++的最大值是3a -，且它的图象经过()1,2--，()1,6两点， 求a 、b 、c 的值。

2.3 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法；2. “三个二次”关系的应用；3. 含参数的一元二次不等式的解法；4. 一元二次不等式恒成立问题；5. 含参数的一元二次不等式恒成立；6. 一元二次不等式的实际应用一、单选题1．（2021·湖南怀化·高二期末）设集合{}2|340A x Z x x =Î--£，{}|21B x x =-<，则A B =I （ ）A ．{1,0,1,2}-B ．[1,2)-C ．{1,0,1}-D ．[1,2]-【答案】A 【解析】由题意得，{}{}{}2|340|141,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x =Î--£=Î-££=-，{}{}|21|3B x x x x =-<=<，则{}{}{}1,0,1,2,3,4|31,0,1,2A B x x =-<=-I I ，故选：A ．2．（2021·陕西西安·高三三模（文））已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B I 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B Ç=-，其子集个数为224=.故选B.3．（2021·山东济宁·高一月考）已知0a <，关于x 的一元二次不等式()2220ax a x -++>的解集为（ ）A ．{2|x x a<，或}1x >B ．2|1x x a ìü<<íýîþC ．{|1x x <，或2x a ü>ýþD ．2|1x x a ìü<<íýîþ【答案】B 【解析】依题意()2220ax a x -++>可化为()()210ax x -->，由于0a <，故不等式的解集为2|1x x a ìü<<íýîþ.故选B.4．（2021·唐山市第十二高级中学高一期末）不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不为空集，则a 的取值范围是（ ）A ．［－4，4］B ．（－4，4）C ．（－∞，－4］∪［4，＋∞）D ．（－∞，－4）∪（4，＋∞）【答案】D 【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4，故选D.5．（2021·浙江高一课时练习）“不等式x 2―x +m >0在R 上恒成立”的充要条件是（ ）A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >1【答案】A 【解析】∵“不等式x 2﹣x+m＞0在R 上恒成立”，∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m ＞14，又∵m ＞14⇒△＝1﹣4m＜0，所以m ＞14是“不等式x 2﹣x+m＞0在R 上恒成立”的充要条件， 故选：A ．6．（2021·全国高三课时练习（理））关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a=（ ）A ．52B ．72C ．154D ．152【答案】A 【解析】因为关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，所以212122,8x x a x x a +==-，又2115x x -=，所以2222212121()()43615x x x x x x a -=+-==，解得52a =±，因为0a >，所以52a =.故选：A.7．（2021·浙江高三专题练习）若不等式210x ax ++³对于一切10,2x æùÎçúèû恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-【答案】C 【解析】不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0，12]成立，等价于a≥-x-1x 对于一切10,2x æùÎçúèû成立，∵y=-x-1x 在区间10,2æùçúèû上是增函数∴115222x x --£--=-∴a≥-52∴a 的最小值为-52故答案为C ．8．（2021·安徽金安·六安一中高一期末（文））若不等式组2142x a x aì->í-<î的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．13a -<<B ．1a <-或3a >C ．31a -<<D ．3a <-或1a >【答案】A【解析】原不等式组等价于2124x a x a ì>+í<+î,由题意不等式组解集非空可得22124230a a a a +<+Þ--<13a Þ-<<，故选：A ．9．（2021·浙江高一单元测试）对任意实数x ，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ）．A ．22a -<£B ．22a -££C ．2a <-或2a ³D ．2a £-或2a ³【答案】A 【解析】由已知得220,[2(2)]4(2)(4)0,a a a -<ìíD =---´-<î即2,22,a a <ìí-<<î解得22a -<<．又当2a =时，原不等式可化为40-<，显然恒成立．故a 的取值范围是22a -<…．故选：A ．10．（2021·浙江高一课时练习）定义在R 上的运算：()1x y x y *=-.若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则（ ）A ．3122a -<<B ．1322a -<<C ．11a -<<D ．02a <<【答案】B 【解析】不等式()()1x a x a -*+<可化为()()11x a x a -×--<，即2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，\()21410a a D =-´-+<，解得1322a -<<.故选B.二、多选题11．（2021·山东济宁·高一月考）已知集合{}()(){}2,1,0,1,|120A B x x x =--=-+£，则 ( )A ．{}2,1,0,1A B Ç=--B ．{}2,1,0,1A B È=--C ．{}1,0,1A B =-ID ．{}|21A B x x È=-££【答案】AD 【解析】由()()120x x -+£解得21x -££，故{}2,1,0,1A B Ç=--,{}|21A B x x È=-££.故选AD.12．（2021·山东滕州市第一中学新校高二月考）下列四个不等式中，解集为Æ的是（ ）A ．210x x -++£B ．22340x x -+<C ．23100x x ++£D ．2440(0)x x a a a æö-+-+>>ç÷èø【答案】BCD 【解析】对于A ，210x x -++£对应函数21y x x =-++开口向下，显然解集不为Æ；对于B ，22340x x -+<，对应的函数开口向上，9320=-<V ，其解集为Æ；对于C ，23100x x ++£，对应的函数开口向上9400=-<V ，其解集为Æ；对于D ，2440(0)x x a a a æö-+-+>>ç÷èø对应的函数开口向下41641640a a æö=-+£-´=ç÷èøV ，其解集为Æ；故选：BCD.13．（2021·山东文登·高一期末）已知函数2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点，则( )A ．224a b -£B ．214a b+³C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【答案】ABD 【解析】因为2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点，故可得240a b D =-=，即可240a b =>.对A ：224a b -£等价于2440b b -+³，显然()220b -³，故A 正确；对B ：21144a b b b +=+³=，故B 正确；对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，故可得120x x b =-<，故C 错误；对D ：因为不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，4====，故可得4c =，故D 正确.故选：ABD.14．（2021·山东聊城·高二期末）若“2340x x +-<”是“()222330x k x k k -+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ）A ．-8B ．-5C ．1D ．4【答案】ACD 【解析】2340x x +-<，解得41x -<<，()222330x k x k k -+++>即()[(3)]0x k x k --+>，解得x k <或3x k >+，由题意知(4,1)-⫋(,)(3,)k k -¥È++¥，所以1k ³或34k +£-，即(,7][1,)k Î-¥-È+¥.故选：ACD 三、填空题15．（2021·宁夏原州·固原一中高三其他（理））已知命题“x R $Î，210mx x -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是_________.【答案】14m ³【解析】若命题“x R $Î，210mx x -+<”是假命题，则“x R "Î，210mx x -+³”为真命题，则只需满足0140m m >ìíD =-£î，解得14m ³.故答案为：14m ³.16．（2021·黄梅国际育才高级中学高一月考）不等式x 2―kx +1>0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(―2,2)【解析】∵不等式x 2―kx +1>0对任意实数x 都成立，∴△=k 2―4＜0∴―2＜k ＜2故答案为：(―2,2)17．（2021·山东济宁·高一月考）若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集(,)(1,)a -¥+¥U ，则a 的值为______．【答案】-3【解析】显然t<0，且是方程的两根，由韦达定理得，解得．四、双空题18．（2021·上海高一课时练习）若不等式210ax bx ++³的解集为{}51x x -££，则a =________．b =________．【答案】15- 45- 【解析】由题意不等式210ax bx ++³的解集为{}51x x -££，故1，5-是方程210ax bx ++=的两个根1(5)a b \+-=-，1(51)a´-=15a \=-，45b =-故答案为：15-；45-．19．（2021·凤城市第一中学）2[0,3],25,x a x x "γ-+则a 的范围是___;2[0,3],25,x a x x $γ-+则a 的范围是_______【答案】[8,)+¥ [4,)+¥ 【解析】令22()25(1)4f x x x x =-+=-+，对[0,3]x Î，()(3)8max f x f ==，()(1)4min f x f ==，[0,3]x "Î，225a x x ³-+即()8max a f x ³=；[0,3]x $Î，225a x x ³-+即()4min a f x ³=．故答案为：[8,)+¥；[4,)+¥20．（2017·浙江南湖·嘉兴一中高一期中）已知不等式2(1)0x a x a -++<.（1）若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是__________；（2）若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】()1,+¥ [)3,+¥【解析】（1）原不等式变为(1)()0x x a --<当1a =时，解集为Æ当1a >时，解集为(1,)a 当1a <时，解集为(,1)a 若不等式在(1,3)上有解，则1a >（2）若不等式在(1,3)上恒成立，则由(1)可知(1,3)(1,)a Í，所以3a …故答案为：（1）()1,+¥；（2）[)3,+¥21．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知集合{}2280P x x x =-->，{}Q x x a =³，若P Q R =U ，则实数a 的取值范围是______，若P Q Q Ç=，则实数a 的取值范围是______.【答案】(],2-¥- ()4,+¥【解析】{}{}228042P x x x x x x =-->=><-或，{}Q x x a =³，若P Q R =U 则2a £-，若P Q Q Ç=，则P Q Ê,所以4a >.故答案为：(],2-¥-，()4,+¥.五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）解下列不等式：（1）260x x -->；（2）2251010x x -+>；（3）2210x x -++<.【答案】（1）{2x x <-或}3x >；（2）15x x ìü¹íýîþ；（3）12x x ì<-íî或}1x >.【解析】（1）不等式260x x -->即为()()230x x +->，解得2x <-或3x >，因此，不等式260x x -->的解集为{2x x <-或}3x >；（2）不等式2251010x x -+>即为()2510x ->，解得15x ¹，因此，不等式2251010x x -+>的解集为15x x ìü¹íýîþ；（3）不等式2210x x -++<即为2210x x -->，即()()2110x x +->，解得21x <-或1x >.因此，不等式2210x x -++<的解集为12x x ì<-íî或}1x >.23．（2021·全国高一课时练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<，求不等式20cx bx a -+>的解集.【答案】11|23x x ìü-<<-íýîþ.【解析】由题意不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<，则23230b ac a a ì+=-ïïï´=íï<ïïî，解得560b ac a a =-ìï=íï<î，代入不等式20cx bx a -+>，可得2650(0)ax ax a a ++><，即26510x x ++<，解得1123x -<<-，所以所求不等式的解集为11|23x x ìü-<<-íýîþ.24．（2021·黄梅国际育才高级中学高一月考）记不等式3201x x +-³+的解集为A ，关于x 的不等式()()()1201x a a x a ---><的解集为B ．（1）求A ；（2）若B A Í，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()[),11,-¥-+¥U ；（2）2a £-或112a £<【解析】（1）因为3201x x +-³+，所以101x x -³+，所以()()110,1x x x +-³¹-，解得1x ³或1x <-，所以()[),11,A =-¥-+¥U ，（2）因为()()()1201x a a x a ---><，所以()()120x a x a ---<，因为1a <，所以12a a >+，解得21a x a <<+，所以()2,1B a a =+因为B A Í，所以11a £-+或21a ³，解得2a £-或112a £<.25．（2021·荆州市北门中学高一期末）已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<¹（1）若不等式的解集是{}|32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围；（3）若不等式的解集为Æ，求k 的取值范围．【答案】（1）25k =-（2）k <（3）k ³【解析】(1)∵不等式2260,(0)kx x k k -+<¹的解集是{}|32x x x <->-或,∴k 0<且-3和-2是方程2260kx x k -+=的实数根,由根与系数的关系,得2(3)(2)k -+-=,所以25k =-；(2)不等式的解集是R,所以24240,0k k D =-<<,解得k <(3)不等式的解集为Æ,得24240,0k k D =-£>,解得k ³26．（2021·浙江高一课时练习）命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++->（1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R Î上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习一、基础巩固1.(2020-四川省三台中学高一月考)不等式(Λ-3)(X+5)>O的解集是( )A. {Λf∣-5<x<3)∣B. {xlx<—5或兀>3}C. {ΛT∣-3<X<5)∣D. {xlx<—3或x>5}【答案】B【解析】与不等式对应的一元二次函数为：y = (x-3)(x+5),如图函数开口向上，与X轴的交点为：(—5,0), (3,0),可得不等式的解集为：{x∣ XV-5或X >3}.2.(2020-江苏省高一期末)不等式X1 2 >8的解集是()A. (-2√2,2√2)B. (-OO,-2√2)<J(2√2,-+<O)C. (-4√2,4√2)D. (-s,-4>^)u(4√∑,+s)【答案】B【解析】由”〉8得x2-8>0,即(x-2√2)(x + 2√2)>0,解得X< -2√2或％> 2√Σ，所以不等式的解集为(―s,_2血)u(2√∑, +∞)■3.(2020-吉林省实验高一期中)不等式X(4-Λ)<3的解集为()A. {xlXVI或x>3}B. {∙φvθ或x>4}C. {x∣l<x<3}D. {x∣0<x<4}【答案】A【解析】由题：等式X(4-J)<3化简为：X2-4X +3>0, (X-I)(X-3)>0,解得：兀< 1或χ>3.1 31 3 1 3A. {χ∣χv--或x> 二}B. {xlxS--或ΛY二}2 2 2 24.(2020-安徽省怀宁县第二中学高一期中)不等式(x + -)(--x)≥0的解集是()221 3C. {x I —≤ x ≤ —}【答案】C221 3所以不等式的解集为.{xl-≤x≤-}2 25. (2020.浙江省髙一期末)不等式3√÷2x-l<0的解集是(【答案】A【解析】由3√+2x-l≤0> 可得，(x + l)(3x-l)≤0,所以，一15x5*,故选：A6.(2020-盘锦市第二高级中学髙一期末)不等式9-X2< 0的解集为()A. {x∣x>3}B. {xprv-3}C. {x∣-3VXV3}D. {尤卜<一3或/>3}【答案】D【解析】将不等式9-x2<0变形为x2-9>0,解此不等式得Λ<-3或X>3∙因此,不等式9-X2<0的解集为{x∖x<-3或X>3}.7.(2020-浙江省高一期末)不等式X2-3X-∖0< 0的解集是()A. (—2,5)B. (-5,2)C. (YO5)U(2,+°o)D. (Y)2)U(5,+c<>)【答案】A【解析】解：因为F_3X —10V0,所以(x + 2)(x-5)<0,解得-2<x<5,所不等式的解集为{Λ-∣-2<X<5},故选：A8.(2020-邢台市第二中学高一开学考试)已知集合M ={x∣Y<xv2}, N = {x∖x2-x-6 <0},则MCN =A. {X H<XV3}B. {x∖-A<x<-2}C. {x∖-2<x<2}D. {x∣2<x<3}【答案】C【解析】由题意得，M={Λ∣M<X <2},∕√ = {X ∣-2<X <3},则 MCN = {x|—2vxv2}.故选 C.9. （2020-元氏县第四中学髙一月考）一元二次不等式2/+龙一62O 的解集为（）【答案】A【解析】原不等式可化为（2x-3）（x+2）≥0,解得，χ≤-2,或∏∙∣.10. （2020-浙江省诸暨中学髙一期中）关于X 的不等式（Or-I ）（X-I ）<0（Λ>1）的解集为（）A. I h — B ・-G O,— IU （h+cc ） C. I 丄,1 D ・（一8,1）U —.+CCj∖ a ）U 丿 W ）【答案】C【解析】方程（Or-I ）（X-I ）=O 的两根分别为丄,1,又a>∖,所以丄<1,故此不等式的解集为（丄,1 aa ∖ ClH. （2019∙天津市双菱中学高一月考）一元二次不等式ax 2+bx+2> O 的解集是卜∣ΛL 则d+b 的值【解析】X 2—(d + l)x + dv θu>(x-d)(x-l)v θ,因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为 XW(I,d),是（）A. 10【答案】DB. -10C. 14D. -14【解析】解：根据题意，一元二次不等式ax 2+bx+2> O 的解集是-∣Λ则方程心+反+ 2 = 0的两根为冷和扌,则有<1<~2>「刃31 h+ —=——3G,解可得 a = —12 ♦ b = —2、1 2则α+b = -14,故选：D.12. （2020•安徽省六安中学髙一期末（理））关于X 的不等式X 2- 3+l ）x+d <0的解集中恰有两个正整数,则实数"的取值范国是（）A. [2, 4)【答案】CB. [3, 4]C. (3, 4]D. (3, 4)D.两正整数为2/5,故Λ∈(3,4]V2 - 2 r - ?13.(2020-吉林省实验髙一期末)不等式A、」-V 2的解集为()Jr + X +1A. {x∣x≠-2}B. RC. 0D. {xlXV-2或x>2}【答案】A【解析】由≤≡-2<2得：M二2 =TjTVOΛβ +X+1 χ∙+X+l ΛΓ+X + 1∙.∙χ2 +x + l >0恒成立.∖ -X1 -4x-4 VO又-X2-4Λ--4=-(X +2)2.∙.(X +2)2 >0 .∙.x≠-2不等式I7' 一： < 2的解集为{x∖x ≠ -2}14.(2020-宁夏回族自治区银川一中高一期末)不等式X2+(IX+ ↑≥0对于一切x∈[θ,∣J成立，则α的最小值为()A. YB. 一?C. 2D. -22 2【答案】B【解析】记/(x) = F+dX+l,不等式x2+iιx + ↑≥0对于一切"|°，£|成立，则必须有7(0) = l≥0〔1 1 1 1 n，解得α 2_才，a = _才时，f(x) = X2Λ +1 =(牙_；)2 _77，在Iak j∖ - =- + -a + ∖≥0 2 2 2 4 16 k 2」(2 丿4 2上单调递减，∕ωmin=∕d)=o^满足题意，∙∙.α的最小值是一？.2 215.(2020-浙江省髙一期末)不等式A-2-1<0的解集是()A. (T,l)B. (→×>,-l)C. (-oo,l)D. (v,-l)U(l,P)【答案】A【解析】解：因为A -2-I <0,所以(X-I)(Λ÷1)<0,解得-1<A-<1,即X∈(-l,l) 故选：A16. (2020-重庆高一期末)若关于X 的一元二次不等式ax 2+2x + ∖> 0的解集为R ，则实数。

课时作业(十) 二次函数与一元二次方程、不等式[练基础]1．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( )A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m }C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }2．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( )A ．{x |x <5a 或x >－a }B ．{x |x >5a 或x <－a }C ．{x |－a <x <5a }D ．{x |5a <x <－a }3．关于x 的不等式x 2＋ax －3<0，解集为{x |－3<x <1}，则不等式ax 2＋x －3<0的解集为( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |－2<x <2}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <1 4．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________． 5．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．6．求下列不等式的解集．(1)－x 2＋5x －6>0；(2)2x 2－3x ＋1>0；(3)x 2－x ＋1>0.[提能力]7．(多选)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为{x |x 1<x <x 2}，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A ．－52B ．－154C.52D.1528．不等式x 2＋2x <a b ＋16b a对任意a ，b ∈R ＋恒成立，则实数x 的取值范围是________． 9．(1)若关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0(a ∈R )的解集为{x |x <1或x >b }，求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>5－ax (a ∈R )．[战疑难]10．解不等式：(1)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0；(2)x 2＋2x －23＋2x －x 2<x .。