2015年自主招生数学试卷
一、选择题：（每小题6分，共30分）
1. 计算=⨯+⨯--2
2011201320112012201120122
2
2（ ） A . 1 B . -1 C. -2012 D.2012
2. 已知：13
=-x
x ，则94242+-x x x 的值是（ ）
A . 1
B .
21 C. 31 D. 4
1 3. 已知：)62(21---x x ＞0，则满足条件的自然数x 的个数是（ ） A . 1 B .
2 C.
3 D. 4
4. 如图是正方体的平面展开图，则d 所对的面是（ ）
A . a
B . b C. c D. f
5. 如图1，在直角梯形ABCD 中，
90=∠B ,点P 从点B 出发，沿A D C B →→→运动，记∆ABP 面积为y ，点P 运动的路程为x ，右图2是y 关于x 的
函数图象，则直角梯形ABCD 的面积是 （ ） A . 28.5 B . 26.5 C. 26 D. 52 二、填空题：（每小题6分，共30分）
6. 已知b a ,为不等于0的实数，则b
b
a a +的最小值是 . 7. 如图在⊙O 中，圆内接等腰ABC ∆，AC AB =，AE 是直径，
BC 交AE 于D 点，F 是OD 的中点，若FC 平行BE ，
52=BC ，则AB= .
8. 若方程02
=++c bx ax 的两根为2,121==x x ，则方程
02=+-a bx cx 的根是 .
9. 如图在矩形ABCD 中，点E
将BCE ∆翻折，使C 点落在AD 10. 已知：六边形OABCDE 中，D （12,8），E(12，0),M （4,6）直线 f e
d
c b
a
图1
E
A
E
C
三、解答题：（第11题8分，第12题10分，第13题12分，共30分） 11. 已知：.12
1,11,11,1133333=+++=+=+-=+yz xz xy xyz b a x z a z y b a y x 求a 的值.
12. 如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 、F 分别在AB 、AD 边上，AEF ∆的周长为2，求ECF ∠的度数.
13.如图，已知抛物线bx ax y +=2
与双曲线x
k
y =都经过点A （1,4），∆AOB 的面积是3. （1）求k b a ,,的值；
（2
使∆
E
C B
21012年义乌中学自主招生数学答案
一、选择题： 1. A 2. C 3. C 4. A 5. C
二、填空题： 6. -2 7.
30
8. 2
1,121-=-=x x 9. 20 10. 3
22
31+
-
=x y 三、解答题：
11. 2=a 12. 0
45=∠ECF
13. （1）4,3,1===k b a
（2）)8,2(),2,8(21--E E
解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k
y x =
上，
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为x
y 4=
.
设点B （t ，4t
），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有
44
m n mt n t =+⎧⎪
⎨=+⎪⎩，
， 解得4m t =-，4(1)t n t +=.
于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,
t t +⎛
⎫
⎪⎝⎭
，故 ()141132AOB t S t t
∆+=⨯-=（）
，整理得22320t t +-=，
解得2t =-，或t ＝
2
1
（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． 因为点A ，B 都在抛物线2
y ax bx =+（a >0）上，所以
4422a b a b +=⎧⎨
-=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=⎩
，
（2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO =22，所以
2=BO
CO
.
设抛物线2
y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ， 则点D 的坐标为（3-，0）.
因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.
（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-，2)是CO 的中点，点1A 的坐标为（4，1-）.
延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.
（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点
2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．
所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）.
