b
x -<即时，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧)2(a
b x ->即时，y 随着x 的增大而减小；当,
2时a b
x -=函数有 。
3．二次函数的图像平移：
（1）二次函数k h x a y h x a y ax y +-=-==2
22)(,)(,的图像都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同（a 的取值决定抛物线的形状）.将2
ax y =的图像向右（h>0）、向左（h<0）平移h 个单位，就得到函数2
)(h x a y -=的图像；再将此抛物线向上(k>0)、向下(k<0)平移k 个单位得到函数k h x a y +-=2
)(的图像.上述平移的规律是：“h 值正、负、右、左移；k 值正、负、上、下移.” 4.抛物线与坐标轴的交点：
（1）抛物线).,0(2
c y c bx ax y 轴交于点与++=
（2）若方)0,)(0,(,,0212
212x x x c bx ax y x x c bx ax 轴点交则抛物线有两根++==++ 考点㈠二次函数的图像性质
例1定义[,,a b c ]为函数2
y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ]
的函数的一些结论：
① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(
31，3
8
)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于2
3
； ③ 当m < 0时，函数在x >
4
1
时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 变式训练1.已知二次函数2
y ax bx c =++的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.0a >
B. 0c <
C.240b ac -<
D.0a b c ++>
第（1）题 第（3）题 2．已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ ）
①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．
3. 已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：
① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
考点㈡二次函数图像平移
例2. 抛物线c bx x y ++=2
图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析
式为322
--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 变式训练
1．把抛物线2
y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式 （ ）
2.若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则 E （x ，122+-x x ）可以由E （x ，2x ）怎样平移得到？
3．如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2
)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( )
A ．－3
B ．1
C ．5
D ．8
第（2）题 y
x
O y
B A
1
· O y x 1
考点㈢确定二次函数解析式
例3如图，在平面直角坐标系中，OB OA ⊥，且2OB OA =，点A 的坐标是(12)-，． （1）求点B 的坐标；
（2）求过点A O B 、、的抛物线的表达式；
（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得ABP ABO S S =△△． 变式训练
1．二次函数2
3y x mx =-+的图象与x 轴的交点如图所示，根据图息可得到m 的值是 ．
第2题图
2．已知二次函数()()2
21y x a a =-+-（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一
个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = . 3.如图，已知二次函数c bx x y ++-
=2
2
1的图象经过A （2，0）
、B （0，－6）两点。 （1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC 的面积。
第1题图 y
x
C
A
O B
第3题
A B C
D
y
P
x
O
(第4题图)
4．如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对
角线BD 与抛物线交于点P ，点A 的坐标为(0，2)，AB ＝4． (1)求抛物线的解析式；
(2)若S △APO ＝
2
3
，求矩形ABCD 的面积． 5.将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)． (1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；
(3)在第一象限的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点⑷确定二次函数与方程、不等式、一次函数、反比例函数
例1. 抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示，则一次函数2
4b ac bx y +--=与反比例函数
a b c y x ++=
在同一坐标系的图像大致为（ ）
第15题图
变式训练
1.若正比例函数2y kx =与反比例函数()0k
y k x
=≠的图象交于点()1A m ，，则k 的值是（ ）.
y
x
C
B
O A 第5题x
x
x
x
x
A B
x
O
y
考点5二次函数与几何的综合题
例5．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A （4，0）、B （2，2），连结OB 、AB ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB 是等腰直角三角形； （3）将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转135° 得到△OA ′B ′，写出A ′B ′的中点P 的坐标， 试判断点P 是否在此抛物线上，并说明理由．
变式训练
1．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点．
（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
M
C B
A O
x
y
第1题
第2题 2.在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （－2，0），B （6，0），C （0，
3）.
(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
(2)过Ｃ点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ，写出D 点的坐标，并求AD 、BC 的交点E 的坐标；
(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC 、ＰD ，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由.
P
A
C
D
E
B
o
y
1
-1
1
第3题
【思维能力提升训练】
1．方程x 2+2x －1=0的根可看成函数y =x +2与函数的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x 3+x －1=0的实根x 所在围为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知实数的最大值为
3．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B
（0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，
并求出此时点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．
4．已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l
的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值. 5．如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．
家庭作业
1. 若二次函数5
2+
+
=bx
x
y配方后为k
x
y+
-
=2)2
(则b、k的值分别为（）
2.在直角坐标系中，若解析式为5
4
22+
-
=x
x
y的图像沿着x轴向左平移两个单位，再沿着y轴向下平移一个单位，此时图像的解析式为（）
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝
a
x与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．
4．如图，两条抛物线1
2
1
2
1
+
-
=x
y、1
2
1
2
2
-
-
=x
y与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）Ａ．8Ｂ．6 Ｃ．10Ｄ．4
5. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.
拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为
米.
第7题
6．图为二次函数的图象，给出下列说法：
①；②方程的根为；③；④当时，y随x值的增大而增大；⑤当时，．
其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）
7．已知点A（1，1）在二次函数图像上。
（1）用含的代数式表示；
（2）如果该二次函数的图像与轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。
(4题图)
8．一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
(1)若m为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
第8题图
