2021-2022学年江苏省无锡市市北高一下学期第一次月考数学试题一、单选题 1．2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−iD【分析】根据复数除法法则进行计算. 【详解】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++- 故选：D本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，a =1b =，则c等于（ ）A．2 B C D A【分析】由余弦定理求解【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即220c c --=，解得2c = 故选：A3．正三棱锥底面边长为a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234aB ．232aC 2D 2A【分析】根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.【详解】，23⨯=，且棱锥，22632632a a a ，斜高2221222aa a ，所以侧面积为21133224S a a a .选A. 本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题. 4．已知i 是虚数单位，20172i i 2iz -=-+，且z 的共轭复数为z ，则z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A【详解】()2223939255555i i z i i i z i i --=-=-=-⇒=++故z 在复平面内对应的点在第一象限5．已知向量,a b 的夹角为60°，且2,227a a b =-=，则向量b 在a 方向上的投影等于（ ） A ．32B ．32C ．12D ．1B【分析】由模与数量积的关系求出向量的数量积a b ⋅，再根据投影的定义求解．【详解】由题意22222(2)4428a b a b a a b b -=-=-⋅+=，即214424282b b -⨯⨯⨯+=，解得3b =，向量b 在a 方向上的投影为13cos60322b ︒=⨯=．故选：B.本题考查向量的投影，考查向量的模与数量积之间的关系，掌握数量积的性质是解题关键．6．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)πD ．(16312)πB【分析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积. 【详解】根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，3OC =4AB AC BC ===，ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为22234163S rl πππ==⨯=. 故选:B本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.7．在ABC 中，向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且22BA BC BA BC ⋅=，则ABC 为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形B【分析】根据已知条件可知角A 的角平分线与BC 垂直，可得AB AC =，再由向量夹角公式得2cos B π4B =，求出,A C 即可得ABC 的形状.【详解】AB AB，AC AC分别为向量AB 与AC 的单位向量，因为0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，所以角A 的角平分线与BC 垂直， 所以ABC 是等腰三角形，且AB AC =， 由2cos 2BA BC B BA BC =⋅=，0πB <<，所以π4B =， 所以π4C B ==，可得π2A =， 所以ABC 是等腰直角三角形. 故选：B8．点P 是正三角形ABC 外接圆圆O 上的动点，正三角形的边长为6，则2OP OB OP OC ⋅+⋅的取值范围是（ ）A ．[43,43]-B ．[3,3]-C ．[123,123]-D ．[3,3]-C【分析】将2OP OB OP OC ⋅+⋅变形为()2OP OB OC ⋅+，然后根据,2OP OB OC +同向和反向时求解出()2OP OB OC ⋅+的最值，由此确定出2OP OB OP OC ⋅+⋅的取值范围. 【详解】因为()22cos ,22OP OB OP OC OP OB OC OP OB OC OP OB OC ⋅+⋅⋅+⋅++==⋅<>，又因为正三角形的边长为6，所以3=23cos30OC OB OP ===︒所以222244481242323cos120=36OB OC OB OC OB OC +=++⋅=++⨯︒， 所以26OB OC +=，当,2OP OB OC +同向时，此时2OP OB OP OC ⋅+⋅取最大值为236cos 0123⨯= 当,2OP OB OC +反向时，此时2OP OB OP OC ⋅+⋅取最小值为236cos180123⨯︒=- 综上可知，2OP OB OP OC ⋅+⋅的取值范围是123,123⎡⎤-⎣⎦，故选：C.结论点睛：已知两个非零向量,a b 的模为,a b ，求a b ⋅的最值时： 当,a b 同向时，此时a b ⋅有最大值； 当,a b 反向时，此时a b ⋅有最小值. 二、多选题9．在复数范围内，有下列命题，则其中真命题的有（ ） A ．若1z ，2z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 B ．“1z =”是“1z R z+∈”的充分不必要条件C ．方程20(0)x t t +=>的根是D ．22z z =ABC【分析】根据复数的运算以及和复数有关的定义分别判断即可． 【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+， 则1212z z z z +(i)(i)(i)(i)a b c d a b c d =+-+-+(i i )(i i )ac ad bc bd ac ad bc bd =-++++-+22ac bd R =+∈，故A 正确；设i z a b =+(a ，)b R ∈，当0b =时，由||1z =则1z =±，所以1z R z+∈，若11z a R z a +=+∈得不到||1z =，当0b ≠时，若||1z ==，则222222222211i 1i i i=i a b a a b az a b a b a b a R z a b a b a b a b a b ⎛⎫-+-+=++=++=+++∈ ⎪+++++⎝⎭， ∴ “||1z =”是“1z R z+∈”的充分不必要条件，故B 正确；方程20(0)x t t +=>的根是，故C 正确；z 是复数，2z 可能是复数，但2||z 是复数的模，一定是实数，如1i z =+，则()221i 2i z =+=，但是22z =，故D 错误；故选：ABC ．10．在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ）A ．a ＝50，b ＝30，A ＝60°B ．a ＝30，b ＝65，A ＝30°C ．a ＝30，b ＝50，A ＝30°D ．a ＝30，b ＝60，A ＝30°AD由已知结合正弦定理求解sin B ，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案．【详解】对于A ，由a ＝50，b ＝30，A ＝60°， 利用正弦定理可得：503060sin sinB=︒则sin B =， ∵a ＞b ，且A 为锐角，∴B 有一解，故三角形只有一解； 对于B ，由a ＝30，b ＝65，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306530sin sinB=︒ 则sin B 13112=>，此三角形无解； 对于C ，由a ＝30，b ＝50，A ＝30°， 利用正弦定理可得：305030sin sinB=︒ 则sin B 56=， ∵b ＞a ，且A 为锐角，则角B 有两解，故三角形有两解； 对于D ，由a ＝30，b ＝60，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306030sin sinB=︒， 则sin B ＝1，B ＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解． 故选：AD本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．11．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ ABC根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a bA B=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.12．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器烦斜，随着倾斜度的不同（ ）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．当容器倾斜如图（2）所示时，AE DH +为定值D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值 ACD【分析】根据棱柱的定义判断A ，由EFGH S EF FG =⋅即可判断B ，根据棱柱的体积公式判断C 、D ；【详解】解：对于A ，由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有//////AB EF HG DC ，且平面11//A D HE 平面11B C GF ，故没有水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且EF 为棱柱的一条侧棱，故A 正确；对于B ，因为水面EFGH 为矩形，所以EFGH S EF FG =⋅，其中EF AB =，FG 随着倾斜角的变化而变化，故水面EFGH 的面积是变化的，故B 错误；对于C ，当容器倾斜如图（2）所示时，四棱柱ADHE BCGF -的体积不变，又ADHE BCGF ADHE V S AB -=⋅，其中()2ADHE AE DH ADS +⋅=，又AB 是定值，AD 是定值，所以AE DH +为定值，故C 正确；对于D ，当容器倾斜如图（3）所示时，三棱柱BFG AEH -的体积不变，BFG AEH AEHV S AB -=⋅其中12AEHS AE AH =⋅，因为高AB 是定值，则底面积AEHS 为定值，即12AEHSAE AH =⋅为定值，则AE AH ⋅为定值，故D 正确． 故选：ACD ． 三、填空题13．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______．【分析】由条件求解底面半径和圆锥的高，即可求得圆锥的体积. 【详解】设底面半径为r ，由题意可知22r ππ=⨯，解得：1r =，圆锥的高h ，所以圆锥的体积213V r h π==14．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.【分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -.【详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-()22()()82a c b d ac bd =-+-=-+8423=+=.故答案为.23方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知12312OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒， 222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z 23z Z Z -==.方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解15．已知向量()2,6a =，()1,b λ=-，若向量a 与向量b 的夹角为钝角，则λ的范围是___________；()1,33,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ 【分析】由题意可得0a b ⋅<，且a 与b 不共线，由此求得λ的取值集合． 【详解】解：向量()2,6a =，()1,b λ=-，若向量a 与向量b 夹角为钝角，∴1260a b λ⋅=-⨯+<，且a 与b 不共线，即13λ< 且216λ≠-⨯，即13λ<且3λ≠-，故()1,33,3λ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭，故()1,33,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．16．三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知222sin cos cos 3sin sin B A C B C +-=，且三角形ABC 外接圆面积为4π，则=a ___________.2【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简可得222b c a +-=，利用余弦定理可求cos A ，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，设外接圆半径为R ，由圆的面积公式可求R ，根据正弦定理即可求得a 的值．【详解】解：222sin cos cos sin B A C B C +-，可得：222sin 1sin 1sin sin B A C B C +--+，可得：222sin sin sin sin B A C B C -+=，∴由正弦定理可得：222b c a +-=，222cos 2b c a A bc +-∴=， ∴由A为三角形内角，可得sin 12A ==， 三角形ABC 外接圆面积为4π，设外接圆半径为R ，则24R ππ=，可得2R =，∴由正弦定理：2sin a R A =，可得：412a=，解得2a =．故2． 四、解答题17．已知向量()()1,,,4a k b k ==. （1）若//a b ，求k 的值；（2）若()()4a b a b +⊥+，求k 的值. （1）2k =或2k =-；（2）1k =-或4k =-.【分析】(1)已知向量a 、b 的坐标，根据向量平行(共线)，利用其坐标表示有240k -=，即可求k 的值；(2)首先用坐标表示向量a b +、4a b +，再根据垂直关系结合数量积的坐标公式有()()()()144440k k k k +++++=，即可求k 的值 【详解】（1）由//a b ，知：240k -=，解得2k =或2k =- （2）由题意知：()()1,4,44,44a b k k a b k k +=+++=++ 又∵()()4a b a b +⊥+∴()()()()144440k k k k +++++= 解得1k =-或4k =-本题考查了利用向量共线、垂直的坐标表示求参数值，属于基础题18．已知复数()()()2262i z m m m m m R =+-++-∈在复平面内所对应的点为A(1)若复数4z m +为纯虚数，求实数m 的值；(2)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围(1)-6(2)(3,2)(1,2)--⋃【分析】（1）先求得4z m +，根据其为纯虚数，可得2256020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩，即可求得m 值. （2）先求得点A 在复平面内坐标，根据其在第二象限，可得226020m m m m ⎧+-<⎨+->⎩，即可求得m 的范围.【详解】(1)由题意得()()22562i 4m m m z m m +-++-+=，因为4z m +为纯虚数，所以2256020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩，解得6m =-. (2)复数z 在平面内所对应的点为()226,2m m A m m +-+-，因为点A 在第二象限，所以226020m m m m ⎧+-<⎨+->⎩，解得32m -<<-或12m <<， 所以实数m 的取值范围为(3,2)(1,2)--⋃19．如图，在菱形ABCD 中，12BE BC =，2CF FD =.（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值；（2）若6AB =，60BAD ∠=︒，求AC EF ⋅.（1）1-；（2）9-.【分析】（1）结合平面图形以及平面向量的线性运算即可求出x ，y 的值，进而求出结果；（2）根据平面向量的加法运算得到AC AB AD =+，在结合（1）中1223EF AD AB =-，利用平面向量数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】（1）因为12BE BC =，2CF FD =， 所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=-， 所以23x =-，12y =，故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. （2）∵AC AB AD =+，∴2212121()23236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪⎝⎭， ∵ABCD 为菱形，∴6AD AB ==，∴2211cos 66AC EF AB AB BAD ⋅=--∠11136369662=-⨯-⨯⨯=-，即9AC EF ⋅=-. 20．已知圆柱1OO 的底面半径为2，高为4．（1）求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；（2）若平行于轴1OO 的截面ABCD 将底面圆周截去四分之一，求截面面积；（3）在（2）的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求体积之比:I II V V ．(1) 241π+(2)82(3)232ππ-+ 【分析】(1)将侧面沿母线展开得到矩形,再求矩形对角线即可.(2)易得截面为矩形,求得长与宽再求面积即可.(3)求出三棱柱1AOB DO C -的体积,再计算四分之一个圆柱即可.【详解】(1) 将侧面沿母线展开得到矩形,临边分别为为224ππ⨯=和4,故最短路径为此矩形的对角线长241π+(2)因为截面ABCD 是矩形,且4=AD ,且2222AB OA OB +=故截面面积42282S =⨯=.(3)由题易得圆柱体积22416V ππ=⨯⨯=,又三棱柱1AOB DO C -的体积2012482V =⨯⨯=.故01484I V V V π=-=-.()1648128II I V V V πππ=-=--=+. 故482:12832I II V V ππππ--==++. 本题主要考查了圆柱的性质与面积体积的计算等,属于基础题型.21．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为两边夹角为120︒的公路(长度均超过3千米)，在两条公路AB ，AC 上分别设立游客上下点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得3AM =千米，3AN =千米.（1）求线段MN 的长度；（2）若60MPN ∠=︒，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值.（1）3千米；（2）最大值为6千米．【分析】（1）3AM =3AN 0120MAN ∠=用余弦定理，即可求出MN ； （2）设PMN α∠=，120PNM α∠=︒-，用正弦定理求出()23sin 120PM α=︒-，23PN α=，()23sin 12023sin PM PN αα+=︒-+展开，结合辅助角公式可化为()6sin 30α+︒，由α的取值范围，即可求解．【详解】解：（1）在AMN ∆中，由余弦定理得，22212cos1203323392MN AM AN AM AN ⎛⎫=+-⋅︒=+--= ⎪⎝⎭，3MN =， 所以线段MN 的长度为3千米；（2）设PMN α∠=，因为60MPN ∠=︒，所以120PNM α∠=︒-，在PMN ∆中，由正弦定理得，()323sin sin 120sin sin 60MN PM PN MPN αα====∠︒-︒所以()23sin 120PM α=︒-，3PN α=，因此()23sin 12023sin PM PN αα+=︒-+1sin 2ααα⎫=++⎪⎪⎭ ()3cos 6sin 30ααα=+=+︒，因为0120α︒<<︒，所以3030150α︒<+︒<︒.所以当3090α+︒=︒，即60α=︒时，PM PN +取到最大值6.所以两条观光线路PM 与PN 之和的最大值为6千米．解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．22．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a C C b c +=+.(1)求A 的值；(2)若1a c +=，2b >，当ABC 的周长最小时，求b 的值；(3)若3BD DA =，11cos 14B =，且ABC 的面积为CD 的长度. (1)π3A =(2)2b =【分析】（1）cos 1A A =+，利用辅助角公式得到π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角A 的范围，求出A ；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周长最小值及此时b 的值；（3）由面积公式得到80bc =，结合正弦定理得到a b c ===4c AD ==.【详解】(1)由cos sin a C C b c =+及正弦定理，得sin cos sin sin sin A C A C B C =+，因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，cos 1A A =+，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0πA <<，所以π3A =；(2)由余弦定理，得222a b c bc =+-，将1c a =+代入，整理，得212b b a b -+=-， 因为2b >，所以ABC 的周长为()222261329922b b l a bc b b b b -+=++=++=-++≥--，当且仅当()6322b b -=-，即2b =所以当ABC 的周长最小时，2b =(3)由ABC 的面积为1sin 2bc A = 所以80bc =①，又11cos 14B =，所以sin B =()sin sin C A B =+= 由正弦定理，得::sin :sin :sin 7:5:8a b c A B C ==，②由①②可得a b c ===因为3BD DA =，所以4c AD ==在ACD △中，由余弦定理，得((222238π3CD =+-⨯=，所以CD =。
