2015届高三数学一轮复习教案：3数列的概念与简单的表示法 必修五

《数列的概念与简单表示法》教案（1）
教学目标
1．理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
2．通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.
3．通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学重点难点
1．重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用;
2．难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
教法与学法
1．教法选择：“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；
2．学法指导：类比、联想、猜想、求证.
教学过程
一、设置情境，激发学生探索的兴趣
三、思维拓展，课堂交流
四、归纳小结，课堂延展
1．教材地位分析
根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.
作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端.教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题).
2．学生现实状况分析
学生目前已经学习了函数的知识，本课时的内容是数列的定义，通项公式及运用；
本课是在学习映射、函数知识基础上研究数列.。

数列的概念与简单表示法【教学目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式法)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 【重点难点】1.教学重点：了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式法)．；2.教学难点：学会对知识进行整理到达系统化，提高分析问题和解决问题的能力； 【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法 【教学过程】 教学流程 教师活动 学生活动设计意图考纲 :1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式法)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 真题再现;1.〔2014·辽宁高考文科〕设等差数列的公差为d ,假设数列{}12na a 为递减数列,则11()0()0()0()0A dB dC a dD a d ><><【解题提示】 依照递减数列的定义，得11122nn a a a a -<，再由指数函数性质得111n na a a a ->结合等差数列的定义即可解决问题．【解析】选D.由于数列{}12na a 为递减数列，得11122nn a a a a -<，再由指数函数性质得111n na a a a ->，由等差数列的公差为d 知，1n n a a d--=，所以1111111110()00.n n n n n n a a a a a a a a a a a a d --->⇒-<⇒-<⇒<2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T16)数列学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

通过对考纲的解读和分析。

让学生明确考试要求，做到有的放矢{a n}满足a n+1=11na-,a8=2,则a1= .【解题提示】利用递推关系式逐步推导,可直接求得a1.【解析】由a n+1=11na-,可得a n=1-11na+,又a8=2,故a7=12,……依次下去得a1=12.答案:12知识梳理：知识点1 数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}，其中数列的第1项a1也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项．知识点2 数列的分类类型满足条件有穷数列项数有限无穷数列项数无限递增数列a n＋1>a n其递减数列a n＋1<a n常数项a n＋1＝a n摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项项周期数列∀n∈N*，存在正整数k，a n＋知识点3 数列的表示方法列表格表示n与a n的对应关系把点(n，a n)画在平面直角坐标系中把数列的通项使用公式表示的方法使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等表知识点4 数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．知识点5 a n 与S n 的关系假设数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.名师点睛：1．必会结论 在数列{a n } 中，假设a n最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.假设a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.2．必知联系；数列中的数与集合中的元素的区别与联系：(1)假设组成两个数列的数相同而排列次序不同，则它们是不同的数列．这区别于集合中元素的无序性． (2)数列中的数可以重复出现而集合中的元素不能重复出现． 考点分项突破考点一：由数列的前几项归纳数列的通项公式 1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－(n －1)B ．a n ＝n 2－1C ．a n ＝n n ＋12D ．a n ＝n n －12【解析】 观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.∴a n ＝n n ＋12.【答案】 C2．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.【解析】 数列可以看作32，55，710，917，…，分母可以看作12＋1,22＋1,32＋1,42＋1，第n 项分母为n 2＋1，分子可以看作2×1＋1,2×2＋1,2×3＋1,2×4＋1，第n 项分子为2n ＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1. 【答案】2n ＋1n 2＋1归纳： 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．2．具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．考点二: 由a n 与S n 的关系求通项(1)假设数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b .【解析】 (1)由S n ＝23a n ＋13得，当n ≥2时，S n －1＝23a n－1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1. 【答案】 (－2)n －1(2)①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n－1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝{3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.跟踪训练：1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64【解析】 a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 【答案】 A2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1【解析】 由a n ＋1＝S n ＋1－S n ，得12S n ＝S n ＋1－S n ，即S n ＋1＝32S n (n ≥1)，又S 1＝a 1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公比为32的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B.【答案】 B归纳：已知S n 求a n 的三个步骤1．当n ＝1时，a 1＝S 1. 2．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.3．对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则a n 应写成分段函数的形式，即a n＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.考点三: 由数列的递推公式求通项公式 1.根据以下条件，确定数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.【解】 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝ln nn －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln nn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)． 又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n n －12.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n n －12.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.跟踪训练：1.根据以下条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2适合上式，∴a n ＝32n 2＋n 2.(2)∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n (n ≥2)， ∴a n＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12·1＝1n， 当n ＝1时适合上式，故a n ＝1n.(3)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n－1.归纳：典型的递推数列及处理方法 递推式方法 例如a n ＋1＝ a n ＋f (n ) 叠加法a 1＝1，a n ＋1a n＝f (n ) 叠乘法 a 1＝1，＋1＝pa n ＋q ≠0,1，q ≠0) 化为等 比数列 a 1＝1，a 1＝pa n ＋q ·≠0,1，q ≠0)化为等 差数列a 1＝1，a n ＋其中(1)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是设a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，即a n ＋1＝pa n ＋pλ－λ，与a n ＋1。

2．1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与简单表示法【知识梳理】1．数列的概念及一般形式2．3.如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的表示法数列的表示法有三种，分别是列表法、图象法、解析法． 【例题导读】P 29例1.由本例学会由数列若干项归纳出该数列的通项公式． 试一试：P 31练习T 4你会吗？P 30例2.通过本例学习，理解数列是一种特殊的函数． 试一试：P 33A 组T 5你会吗？1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，…是无穷数列．( )(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( )解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误，虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确，某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．答案：(1)√ (2)× (3)√2．下列四个数中，哪个是数列{n (n ＋1)}中的一项( ) A ．380 B ．392 C ．321 D ．232解析：选A.因为19×20＝380， 所以380是数列{n (n ＋1)}中的第19项．3．数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式是a n ＝( )A.19(10n －1)B.13⎝⎛⎭⎫1－110n C.29(10n －1) D.310(10n －1) 解析：选B.1－1101＝0.9，1－1102＝0.99，…，故原数列的通项公式为a n ＝13⎝⎛⎭⎫1－110n . 4．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项． 解析：令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3.答案：31．对数列概念的两点认识(1)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项数是指这个数在这个数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .(2)次序对一个数列来说相当重要，几个不同的数由于它们的次序不相同，可构成不同的数列．显然，数列与数集有本质的区别．2．数列的项的三个性质(1)确定性：一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与这些数的排列顺序有关． 3．解读数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1，2，3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． (3)有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．数列的概念[学生用书P 16](1)下列说法正确的是( )A ．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是同一数列C ．数列－1，3，6，－5的第三项为6D ．数列可以看成是一个定义域为正整数集N *的函数 (2)已知下列数列：①2 010，2 012，2 014，2 016，2 018；②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤1，0，－1，…，sinn π2，…； ⑥9，9，9，9，9，9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)[解析] (1)由数列定义知A ，B 不正确；D 不正确的原因是数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．故选C.(2)①是有穷递增数列；②是无穷递增数列(因为n －1n ＝1－1n )；③是无穷递减数列；④是摆动数列，也是无穷数列； ⑤是摆动数列，是无穷数列；⑥是常数列，是有穷数列．[答案] (1)C(2)①⑥ ②③④⑤ ①② ③ ⑥ ④⑤ [方法归纳](1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有穷的或是无穷的． (2)判断数列单调性的方法：①若数列{a n }满足a n <a n ＋1，则是递增数列． ②若数列{a n }满足a n >a n ＋1，则是递减数列． ③若数列{a n }满足a n ＝a n ＋1，则是常数列．1．(1)下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，18，127，164，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：选C.对于A ，a n ＝1n3，n ∈N *，它是无穷递减数列；对于B ，a n ＝－n ，n ∈N *，它也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，a n ＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，它是无穷递增数列．(2)分别写出下列数列：①不大于10的自然数按从小到大的顺序组成的数列________． ②－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂…构成的数列________．解析：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；②－2，22，－23，24，….答案：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 ②－2，22，－23，24，… (3)给出以下数列：①1，－1，1，－1，…； ②2，4，6，8，…，1 000； ③8，8，8，8，…；④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④ ①③ ② ④ ① ③由数列的前几项写出数列的通项公式[学生用书P 16]写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)－1，12，－13，14；(2)112，245，3910，41617；(3)12，34，78，1516. (链接教材P 29例1)[解] (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：a n ＝(－1)n ·1n .(2)112＝1＋112＋1，245＝2＋2222＋1， 3910＝3＋3232＋1， 41617＝4＋4242＋1， ……，故a n ＝n ＋n 2n 2＋1(n ∈N *)．(3)12＝21－121＝1－121， 34＝22－122＝1－122， 78＝23－123＝1－123， 1516＝24－124＝1－124， ……，故a n ＝2n －12n ＝1－12n (n ∈N *)．[方法归纳]给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若n 和n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －1来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式．(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．2．(1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．解析：数列可写为：35，48，511，614，…，分子满足：3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…， 故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.答案：a n ＝n ＋23n ＋2(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3，7，－15，31，…； ③2，6，2，6，….解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，∴a n ＝1（n ＋1）（n ＋3）.②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴a n ＝(－1)n (2n ＋1－1)．③这样的摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （n 是奇数），6 （n 是偶数）.通项公式的简单应用[学生用书P 17]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项．[解] (1)a 4a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，均不合题意，所以68不是该数列的项．若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？解：(1)因为a n ＝3n 2－28n ， 所以a 3＝3×32－28×3＝－57， a 8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n 2－28n ＝20，解得n ＝10或n ＝－23(舍去)，所以20是该数列的第10项． [名师点评]已知数列{a n }的通项公式，判断某一个数是否是数列{a n }的项，即令通项公式等于该数，解关于n 的方程 ，若解得n 为正整数k ，则该数为数列{a n }的第k 项，若关于n 的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{a n }中的项．3．(1)600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项． 解析：a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，所以n ＝24. 答案：24(2)数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋n ＋30. ①问－60是否是{a n }中的一项？②当n 分别取何值时，a n ＝0，a n >0，a n <0?解：①假设－60是{a n }中的一项，则－n 2＋n ＋30＝－60.解得n ＝10或n ＝－9(舍去)．所以－60是{a n }的第10项．②令－n 2＋n ＋30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，所以n ＝6时，a n ＝0；0<n <6且n ∈N *时，a n >0；n >6(n ∈N *)时，a <0.易错警示设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－1 （x <2）.a n ＝f (n )，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C.⎝⎛⎭⎫－∞，74 D.⎣⎡⎭⎫138，2[解析] 由题意，知f (x )＝(a －2)x 在[2，＋∞)上是减函数，且a 1>a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，f （1）>f （2），即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝⎛⎭⎫121－1>2（a －2）.解得a <74，故选C.[答案] C[错因与防范] (1)本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝⎛⎭⎫122－1≥2（a －2），即a ≤138，错选B.(2)因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．4．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，3) C ．(－∞，2) D ．(－∞，3] 解析：选B.a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可．1．下列说法正确的是( )A ．数列1，3，5，7，…，2n －1可以表示为1，3，5，7，…B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n }解析：选C.A 错，数列1，3，5，7，…2n －1为有穷数列，而数列1，3，5，7，…为无穷数列；B 错，数的顺序不同就是两个不同的数列；C 正确，a k ＝1＋k k ＝1＋1k ；D 错，a n＝2n －2.2．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14解析：选C.观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13. 3．数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________． 解析：∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4 a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13， ∴a n ＝3n －2，∴a 26＝3×26－2＝76＝219.答案：2194．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项．解析：令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项．答案：4,[学生用书单独成册])A 层 基础达标1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f (n )}就是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列解析：选B.A ，D 显然正确；对于B ，因为数列{f (n )}是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数a n ＝f (n )，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，所以B 项不正确；对于C ，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．32解析：选B.因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3.3．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C.由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.4．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2n B ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2 解析：选C.已知数列化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1.5．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项． 解析：∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11， ∴a n ＝3n －1.由3n －1＝25⇒3n －1＝20⇒n ＝7，∴25是该数列的第7项． 答案：76．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为__________．解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：97．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，13，…； (2)53，( )，1715，2624，3735，…； (3)2，1，( )，12，…；(4)32，94，( )，6516，…. 解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 912 812 712 ( ) 512 412于是括号内填612，而分子恰为10减序号，故括号内填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故括号内填108，通项公式为a n ＝（n ＋1）2＋1（n ＋1）2－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n.(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以括号内应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .B 层 能力提升 1．数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析：选B.a n ＝3n 2－28n ＝3(n －143)2－1963，当n ＝143时，a n 最小，又n ∈N *，故n ＝5时，a n ＝3n 2－28n 最小．2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6 D.log 23＋log 31325解析：选 B.a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5. 3．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________．解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…， 所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .答案：n 4．已知数列{a n }的前4项为11，102，1 003，10 004，…，则它的一个通项公式为________． 解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n ＋n . 答案：a n ＝10n ＋n5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n.(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？解：(1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8.又n ∈N *，故n ＝－8舍去，所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92. 又n ∈N *，所以1627不是数列{a n }的项． 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n ＋q (p ，q ∈R )，且a 1＝－12，a 2＝－34. (1)求{a n }的通项公式；(2)－255256是{a n }中的第几项？ (3)该数列是递增数列还是递减数列？解：(1)∵a n ＝p n ＋q ，又a 1＝－12，a 2＝－34， ∴⎩⎨⎧p ＋q ＝－12p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1， 因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)令a n ＝－255256，即⎝⎛⎭⎫12n －1＝－255256， 所以⎝⎛⎭⎫12n ＝1256，解得n ＝8. 故－255256是{a n }中的第8项． (3)由于a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，且⎝⎛⎭⎫12n 随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．C 层 拓展升华1．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为( )A ．3n －1B ．3nC ．3n ＋1D ．3(n ＋1) 解析：选C.通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根)．2．根据下图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．解析：观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点．答案：n 2－n ＋13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．解：(1)设a n ＝f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ＝N *，∴0<1－33n ＋1<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0，1)内．(4)令13<a n ＝3n －23n ＋1<23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧n >76，n <83. ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

必修Ⅴ—0３数列的概念与简单的表示法１、几个重要的概念：（１）数列:____________________________________________________________（２）通项公式:________________________________________________________（３）数列的前n项和:__________________________________________________２、数列的表示法:（１）列举法_________________________________________________________（２）图示法_________________________________________________________（３）通项公式法______________________________________________________（４）递推公式法______________________________________________________（５）前n项和法______________________________________________________３、数列的分类:（１）按项数分______________________________________________________（２）按项的绝对值分________________________________________________（３）按单调性分____________________________________________________４、数列的通项与前n项和的关系：（１）S n=________________________________（２）11*________,()___________________,(,)n n N n ⎧=⎪⎨⎪∈>⎩n a =2222例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：2-13-14-15-1(1) ， ， ， ，23451234(2) 1 ，2 ，3 ，4 ，2345(3) 1 ， 0 ， 1 ， 0，n 117n n n 例2 在数列{a }中，a =2，a =66，通项公式a 是项数n 的一次函数。

数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。

举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。

1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。

强调数列项的顺序和重复性质。

1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。

举例讲解如何写出简单数列的通项公式。

第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。

练习写出几个给定数列的列举表示。

2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。

举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。

2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。

引导学生通过观察图形来理解数列的特点。

第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。

举例说明如何确定一个数列的项数。

3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。

举例说明如何判断一个数列的单调性。

3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。

举例说明如何判断一个数列的周期性。

第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。

推导等差数列的通项公式。

4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。

推导等比数列的通项公式。

4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。

举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。

第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。

推导等差数列的前n项和的公式。

5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。

推导等比数列的前n项和的公式。

5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。

举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。

第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。

高中数学必修五《数列的概念与简单表示法》优秀教学设计数列的概念与简单表示法一、教学目标：通过日常生活中、数学史中实例的观察、分析和讨论，了解数列的概念，通过小组合作讨论，确定数列研究的内容和方向，了解数列概念的内涵和外延及几种简单的表示方法，体会数列是一种特殊的函数.在对数列抽象、观察的过程中，锻炼学生分析、探索、转化、归纳等能力，经历从特殊到一般，一般到特殊的重要数学思想方法.通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数列的本质.二、学情分析：学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.三、重点难点：“数列的概念与简单表示法”是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第2章第1课时的内容，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等.数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置.数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点.学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.四、教学方法：运用“问题驱动”、小组合作的教学方法，创设有效问题情境，引导学生进行探究，借助多媒体课件等工具让学生“问题”的引领下，学会思考、大胆探索、建构知识和体会思想.五、教学过程：1.创设情境，激发探究兴趣思考：某位学生先后有四次考试成绩，每次对应的成绩忘了，但记得有66,86,76,96四个数字，该学生的学习成绩是进步还是退步？设计意图：通过学生熟悉的问题实例的思考，吸引学生的注意力，激发学习的兴趣，让学生充分感受到四个数字顺序的不同，该学生学习状态的巨大差异，从而明确学习“数列”的必要性，也为后续具体实例的给出做好铺垫.情境1：研究树枝的生长规律：树苗在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝.每一条树枝都按照这个规律成长，则每年的分枝数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......情境2：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究的三角形数依次为：1，4，9，16，25，.......情境3：从1984年到2016年我国共参加了9次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：15，5，16，16，28，32，51，38，26 ；情境4：2015年黄岩区1—12月份的最低气温依次为：-3，-3，3，6，13，16，19，21，18，12，1，-1；预设：追问1：①情境3中的第7次奥运会金牌总数为多少？②情境4中最低温度比较低的月份有哪些？夏季那几个月的最低温度是多少？设计意图：结合自然界、数学史和生活中的例子，进一步让学生感受数列无处不在.初步认识到可以用数字描述、刻画客观存在的自然现象和规律.让学生从中体会到为了更好地了解大自然，发现并利用大自然和生活中的规律，我们就必须去解读这些数据，并对其进行研究.同时，这几个实例又代表了数列的不同类型，为后面讲解数列的分类、通项公式等埋下伏笔.2.总结归纳，给出数列概念数列概念：①按照一定顺序排列的一列数称为数列（sequence of number ）；②数列的一般形式：123,,,,n a a a a ，简记{}n a ；③数列中的每一个数叫做这个数列的项，1a 称为该数列的第1项（通常也叫做首项），2a 称为该数列的第2项，n a 称为该数列的第n 项.问题1：请你根据数列的定义，能否举出数列的例子？预设：①1，4，9，16和1，9，4，16是不是同一数列；②1,1,1,1,1,1是不是数列？第3项和第4项分别是什么？③小牛，小马，小强，是不是数列；设计意图：通过学生举例分析，进一步检验学生对于数列概念的理解，结合教师例子的分析，明确数列讲究的一列数的顺序.3.抽象分析，开展探究活动把上述实例的背景去掉进行抽象可得：① 96,86,76,6；② 1,4,9,16,25；③ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,5 ④ 15,5,16,16,28,32,51 ⑤ 3,3,3,6,13,16,19,21,18--- 问题2：结合上述5个数列，哪些角度可以研究数列，并形成相应结论（小组讨论）预设：让各组形成自己的结论进行展示，教师巡查进行分组指导（1）分类：①按项数：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列；②项的大小：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列；（2）表示法：在数列②中，得到2n a n =,可以求出任意项的值——通项公式，例如数列③的通项公式为()10610,14,n a n n n N *=-≤≤∈（通项公式：用一个式子来表示数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系）追问2：通项公式相当于函数的解析式，数列③④⑤如何表示？追问3：数列是不是函数，定义域是什么？能总体说说数列与函数的区别和联系吗？追问4：数列的图像为什么是离散的点？追问5：递推公式能确定数列的每一项吗？设计意图：通过追问，明确数列与函数的关系，理解数列是定义在正整数集或其有限子集{ }()n ,321 ，，，的函数，是刻画离散的一种特殊函数.辨别每一种表示的优劣，明确不是每一个数列都是有通项公式的，图像表示数列直观，但是离散的点组成，介绍数列的另一种表示方法——递推公式.（3）数列的性质：追问6：数列是否也具有单调性、奇偶性和有界性？预设：不具有奇偶性，定义域不关于原点对称.情境3有最小值，情境4、5有最小值和最大值.设计意图：让学生经历观察、分析、探索、转化、归纳，体会特殊到一般，一般到特殊的重要数学思想方法.通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数列的本质做好铺垫.（4）总结归纳：1.从项的角度分析：①项与项的大小，可以分成递增数列、递减数列、摆动数列和常数列；②从每一项与序号的关系：通项公式；③从前后几项之间的关系：递推公式；2.从概念的内涵和外延角度分析：①数列与函数、数列与数集的区别和联系；②类比函数的表示法和性质，完善数列的表示法和类似性质；类比函数的学习经历，形成思维导图：4.例题解析，深化概念理解例1：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）4131211--，，， (2) 2，0，2，0 预设：（1）()n a n n 11+-=或()n n a n π1cos -= (3)()111+-=+n n a 或=为偶数，为奇数，n n a n 02或()π1cos 2-=n a n问题3：上述数列的通项公式为什么可以写出多个？例2：图中的三角形图案称为谢宾斯基（sierpinski ）三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式和递推公式设计意图：让学生体会写数列的通项公式，主要是寻找与对应关系，具体方法为：（1）整体把握，局部考虑；（2）合理变形，探求规律.如果只知道一个数列的前几项，这个数列的通项公式可能不唯一，进一步理解数列是一种特殊的函数.课堂练习：1.根据数列的通项公式填表2.若数列{}n a 的通项公式为152-+-=n n a n ,*∈N n ,求数列{}na 的最大项.5.课堂小结，形成知识体系1、对于一个新概念你会研究哪些方面，基本思路是什么？2、对于数列，你有什么样的认识？3、下节课我们将研究一些特殊数列,例如等差数列，等比数列等.。

2.1数列的概念与简单表示法(第一课时)一、教学目标1．理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2．理解数列的通项公式，会根据其前几项写出它的通项公式；3．采用探究法进行启发式教学，突出学生的主体地位；4．通过日常生活中的实例，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣．二、教学重难点重点： 数列的概念，通项公式及其应用.难点：抽象、归纳数列的通项公式.三、教学方法探究式教学法四、教学过程（一）概念教学1．概念的引入．数列是什么？为什么要学习数列？（1）概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.（2）生活中经常要对一列数进行研究．1）大自然懂数学．树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列……都与这一列数相关：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…（斐波那契数列）2）购房、购车贷款，常见有（1）等额本息还款（2）等额本金还款．每个月还款数可以排成一列数．3）毕达哥拉斯学派研究的三角形数、正方形数．2．n a 是数列的第n 项．如1a 表示第一项（首项），2a 表示第二项等． 数列可表示： 123,,,,,n a a a a L L ，或简记为{}n a ．3．数列的分类：1）按项数分：有穷数列、无穷数列2）按单调性分：递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列．观察：课本P 28的六组数列，并作出判断．（二）数列的函数特性观察数列2，4，8，16，…，256，…中项与序号之间的对应关系，（自变量）序号n 1 2 3 4 5 …↓ ↓ ↓ ↓ ↓（函数值）项 n a 2 4 8 16 32 …你能从中得到什么启示？（1）每一个n 都有唯一的一个n a 相对应，（2）n 为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })（3）数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n = f (n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.（4）可从函数的角度来研究数列．（5）数列的表示法有：列举、列表、图象（一系列孤立的点）．（三）通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.试写出课本P 28的六组数列的通项公式．（1）a n =n -1； （2）没有通项公式； （3）a n =3；（4）没有通项公式；（5）a n =(-1)n 或a n =1sin()2n ππ+；（6）没有通项公式 注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）若存在通项公式时，通项公式不一定唯一的.（四）典例解析例1 已知数列{}n a 的通项公式为1n n a n =+，写出前5项．例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）167854321，，， （2）541431321211⨯⨯-⨯⨯-，，， （3）0.1，0.01，0.001，0.0001 （4）0，1， 0，1例3 设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的（ ）A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项例4用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，第n 个图形则所用火柴棒数a n 之间的关系式可以是____________．（五）当堂练习1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）0.9，0.99，0.999，0.9999 （2）2，22，222，22222.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．3.数列{}n a 中，452+-=n n a n ．（1）18是数列中的第几项？（2）n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值．（六）课堂小结：1．数列及有关定义．2．数列的函数特性．3．通项公式的推导及应用．（七）课后作业P 33 5 P 67 2(3)(4) 3(1)(2)五、设计思想首先通过教材章首的导入，突出数学源于生活，提出研究数列的必要性．注重概念教学的严谨性，在与学生合作探究的过程中，挖掘概念的内涵及外延．在例题的选取与设计上，根据本班的学情，作了适当的取舍，也注意到了层次的递进，努力将有效课堂向高效课堂转变．六、板书设计。

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法（第一课时）(帅亚军)一、教学目标1．核心素养通过学习数列的含义和表示,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标（1）通过实例,了解数列的概念.（2）理解数列的通项公式,会用通项公式写出数列的任意一项．（3）通过观察简单数列,会根据前几项写出它的通项公式．3．学习重点理解数列有关概念．4．学习难点理解数列的通项公式,根据前几项写出它的通项公式．二、教学设计（一）课前设计1.课前预习任务:预习教材P29—P30.思考:数列的概念是什么?通项公式是什么?如何根据前几项写出它的通项公式?（二）课堂设计1．问题探究问题探究一、数列的含义.●观察与思考:毕达哥拉斯学派数字神秘主义的外壳里包含了理性的内核,其关于“形数”的研究,强烈地反映了他们将数化作为几何思维元素的精神.图（1）—（4）中的点分别围成了边长为4的“正三角形”、“正方形”、“正五边形”和“正六边形”,按照这种方式给出的点的个数称为边长为的正边形数,那么边长为8的正10边形数为__________.想一想:在以前的数学学习中,我们接触了哪些具体的数列?阅读与举例:请大家阅读教材中所列举的数列例子,并试着列举生活与学习中的数列例子．（鞋子尺码的转化,棋盘中数学）问一问:（1）2,4,6,8与8,6,4,2是同一个数列吗?（2）-1,1,-1,1…是一个数列吗?想一想:请大家根据以上结论,思考什么叫做数列?一般地,按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项．●数列与集合的区别与联系:（1）作为一个集合的元素,必须是_________的,同样,作为一个数列的项,同样是明确的．（2）对于给定的集合,其中的元素一定是_________的．集合中的任意两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．而数列中的项可以相同,甚至所有的项都可以是同一个数（即常数列）．（3）对于给定的集合,其中的元素是不考虑__________的,而数列中的每一项都有固定的顺序,如果两个数列的项一样但项的顺序不同,那么这两个数列就不是同一个数列．●数列的分类:1．根据数列的项数的多少分类有穷数列:项数有限的数列.(如1,3,5,7是有穷数列)无穷数列:项数无限的数列.（如-1,1,-1,1…是无穷数列）2.根据项的大小变化分类递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列.递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列.常数数列:各项都相等.摆动数列:从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项.问题探究二、数列的通项公式●数列的通项公式结合上面的知识点以及数列与集合之间的联系与区别,能有如下的规律如果数列{}n a 的第_________项与________之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫作这个数列{}n a 的_________. ● 数列通项公式与函数的关系对于数列{}n a 每一项的_________与这一项的对应关系可以看做序号集合到另一个数集的_________.由此可见,数列可以看成特殊的函数.数列通项公式的作用:①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. ●对数列的通项公式的认识:（1）表达式n a 的两层含义①_________,②_________.（2）与所有函数关系不一定有解析式一样,并不是所有数列都有通项公式.（3）数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如数列0,1,0,1,0,1……,你能给出多少种不同通项公式呢?问题探究三 数列的项数、项、通项公式之间有何联系?例1、写成下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.()(1);(2)11nn n n a a n n ==-⋅+ 【知识点:数列的通项公式；数学思想:特殊到一般】()()()()()()()12111; 22cos211321; 41n nn n n n a a nn a n a n π+-+==+-=-=+详解：点拨:在求解数列的通项公式时,需从已知条件中分析项与项之间的联系以及项与项数之间的联系,寻求合理的表达式（表达式不唯一）. 例2根据下面数列{}n a 的通项公式,写出前5项:(1)n a n na n n n ⋅-=+=)1()2(;1【知识点:数列的项与通项公式】分析:由通项公式定义可知,只要将通项公式中n 依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项解:（1） (2) ;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n ;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n点拨:根据通项公式求项时,需注意项数与项的对应,同时注意计算（符号） 例3数列{}n a 中,452+-=n n a n ． ⑴18是数列中的第几项?⑵n 为何值时,n a 有最小值?并求最小值． 【知识点:数列的通项公式】详解:⑴由0145184522=--⇒=+-n n n n ,解得7=n ,∴18是数列中的第7项．⑵49)25(4522--=+-=n n n a n ,+∈N n∴2=n 或3=n 时,25242)(2min -=+⨯-=n a ．点拨:在求解项中最值时,需利用函数的性质,然需注意项数是正整数.在取最值时要留心. 2．课堂总结 【知识梳理】（1） 数列的概念:一般地,按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.（2） 数列的分类:按照项数的多少与项之间的变化这两种方式分类. （3）数列的通项公式:项数与项之间的关系. 【重难点突破】（1）数列中的数是按一定次序排列的,因此如果两个数列中的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同数列.同时应注意,在数列定义中,并没有规定数列中的数必须不同.（2）数列可以看作是定义域为*N （或它的有限子集{}n ,,2,1⋯）的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列,如果这个对应关系能用一个表达式表示,则这个表达式即这个数列的通项公式. 3．随堂检测1.数列1,0,1,0,1,……的一个通项公式是（ ）A.a n =2)1(11+--nB.a n =2)1(11+-+nC.a n =21)1(--nD.a n =2)1(1n---【知识点:数列的通项公式；数学思想:归纳总结】解:B 将数列{21}与{2)1(1+-n }对应项相加得到的数列即是.故选B.2.设数列11,22,5,2,……则25是这个数列的（ ）A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项【知识点:数列的项】解:B 可观察所给数列的通项公式是a n =13-n ,由5213=-n 得n =7 故选B. 3.已知a n =n 2+n ,那么（ ）A.0是数列中的一项B.21是数列中的一项C.702是数列中的一项D.30不是数列中的一项【知识点:数列的通项公式；数学思想:一般到特殊】解:C 由n 2+n =702即n 2+n －702=0得:n =26或n =－27(舍去)故选C 4.函数f (n )=2)1()1(+-n n 当自变量依次取正整数1,2,3,…,n ,…时对应的函数值,以数列形式表示为（ ） A.－1,1,－1,1B.－1,－1,1,1,－1,－1C.－1,－1,1,1,－1,－1,…,2)1()1(+-n n D.－1,－1,1,1,－1,－1,…,2)1()1(+-n n ,…【知识点:数列的项,通项公式】 解:D 显然数列{f (n )}为无穷数列5.已知数列{a n }的通项公式为a n =9n (32)n ,则此数列的前4项分别为______.【知识点:数列的通项公式】 解:6,8,8,964 a 1=6,a 2=8,a 3=8,a 4=964 （三）课后作业 基础型 自主突破1.根据下面数列的通项公式,写出前5项: （1）n a n na n n n ⋅-=+=)1()2(;1【知识点:数列的通项公式】解:（1）;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n（2）;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n2.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:（1）1,3,5,7； （2）515;414,313;2122222---- ；（3）-211⨯,321⨯,-431⨯,541⨯. 【知识点:数列的项与通项公式】解:（1）12-=n a n （2）1)1(2+-=n n n a n （3）)1(1)1(+-=n n a n n3.已知数列的第1项是1,以后的各项由公式111-+=n n a a 给出,写出这个数列的前5项.【知识点:数列的通项公式】 解:3211,211,123121=+==+==a a a a a ,58,3511534==+=a a a 4.已知数列{}n a 中,n a a a a a n n n (3,2,12121--+===≥3）,试写出数列的前4项.【知识点:数列的通项公式】解:233,73,2,123412321=+==+===a a a a a a a a 能力型 师生共研 5.在数列{a n }中,,,,,c b a cbn ana n 其中+=均为正实数,则n a 与1+n a 的大小关系是（ ） A ．1+<n n a aB ．1+>n n a aC ．1+=n n a aD ．不能确定【知识点:数列的通项公式,大小比较】 解:答案A6.k 为正偶数,)(k p 表示等式)214121(21114131211kk k k k +++++=--++-+-则)2(p 表示等式 ,)4(p 表示等式 .【知识点:数列的通项公式】 解:)441241(24131211;2212211+++=-+-+⨯=-7.已知数列{}n a 中,11=a ,1211+=--n n n S S S ,求{}n a 的通项公式．【知识点:数列的通项公式与前n 项和】 解:21121111+=+=---n n n n S S S S ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1)32)(12(2---n n ∴⎪⎩⎪⎨⎧---=3211211n n a n )2()1(≥=n n8.已知数列{}a n :…，…，…，，，1001001002100133323122211++++++ ①求证:()12121221≥=+-+=-+n n n a a n n ． ②设()N n a a b n n n ∈=+11,求n b b b +++…21 【知识点:数列的通项公式】解:①由条件,()212122121+=+=+++=+++=n n n n n n n n n a n …… ∴221+=+n a n ；∴()12121221≥=+-+=-+n n n a a n n②()()()(),214421122211++=++=++=n n n n n n b n ·∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=21114n n b n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++2121421114413143121421n n n b b b n ………。

第五章 数列第1课时 数列的概念及其简单表示法(对应学生用书(文)、(理)70～71页)考情分析考点新知理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式)；了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式．① 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).② 了解数列是自变量为正整数的一类函数.1. (必修5P 32习题1改编)一个数列的前四项为－1，12，－13，14，则它的一个通项公式是________．答案：a n ＝(－1)n 1n2. (必修5P 31练习2改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋12n ＋3，则这个数列的第5项是________． 答案：a 5＝6133. (必修5P 44习题8改编)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ，则a 6＋a 7＋a 8＝________． 答案：48解析：a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 5＝88－40＝48.4. (必修5P 32习题6改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋5，这个数列的最小项是________． 答案：－11解析：由a n ＝(n －4)2－11，知n ＝4时，a n 取最小值为－11.1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数． 2. 数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列． 项数无限的数列叫做无穷数列． 3. 数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成是以正整数为定义域的函数a n ＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f(x)，如果f(i)(i ＝1，2，3，…)有意义，那么可以得到一个数列{f(n)}．4. 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式a n ＝f(n)(n ＝1，2，3，…)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．5. 数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[备课札记]题型1 由数列的前几项写通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式： (1) 1，－3，5，－7，9，… (2) 1，0，13，0，15，0，17，…(3) a ，b ，a ，b ，a ，b ，… (4) 0.9，0.99，0.999，0.9999，… (5) 1，22，12，24，14，… 解：(1) a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)． (2) a n ＝1－（－1）n2n.(3) a n ＝（－1）n ＋1（a －b ）＋a ＋b2.(4) a n ＝1－110n .(5) a n ＝(2)1－n . 变式训练写出下列数列的一个通项公式： (1) －12，2，－92，8，－252，…(2) 5，55，555，5555，… (3) 1，3，6，10，15，… 解：(1) a n ＝(－1)nn 22. (2) a n ＝59(10n －1)．(3) a n ＝n （n ＋1）2.题型2 由a n 与S n 关系求a n例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n . (1) S n ＝3n －1； (2) S n ＝n 2＋3n ＋1.解：(1) n ＝1时，a 1＝S 1＝2. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1. 当n ＝1时，a n ＝1符合上式． ∴ a n ＝2·3n －1. (2) n ＝1时，a 1＝S 1＝5. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2. 当n ＝1时a 1＝5不符合上式．∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n ＋2，n ≥2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)的导函数f′(x)＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值．解：由题意可知：∵ f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)，∴ f ′(x)＝2ax ＋b ，由f′(x)＝－2x ＋7对应相等可得a ＝－1，b ＝7，∴ 可得f(x)＝－x 2＋7x.因为点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，所以有S n ＝－n 2＋7n. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，a 1＝6适合上式， ∴ a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0得n ≤4，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. 综上，a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. 题型3 数列的性质 例3 如下表定义函数f(x)：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f(a n －1)，n ＝2，3，4，…，求a 2 008.解：a 1＝4，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，…，可得a n ＋4＝a n .所以a 2008＝a 4＝2.备选变式（教师专享）已知数列{}a n 的通项公式a n ＝n－98n －99(n ∈N *)，求数列前30项中的最大项和最小项．解：∵a n ＝1＋99－98n －99，∴当n ≤9时，a n 随着n 的增大越来越小且小于1，当10≤n ≤30时，a n 随着n 的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a 10，最小项为a 9.1. 已知a 1＝1，a n ＝n(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是________． 答案：a n ＝n解析：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n .∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列，且a n n ＝a 11＝1.∴ a n ＝n.2. 设a ＞0，若a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）n －3，n ≤7，a n －6，n ＞7，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．答案：2＜a ＜3解析：由{a n}是递增数列，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，a 8＞a 7，解得⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ＜－9或a ＞2，∴ 2＜a ＜3.3. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则{a n }的通项公式为__________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2解析：由log 2(1＋S n )＝n ＋1，得S n ＝2n ＋1－1. n ＝1时，a 1＝S 1＝3. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .当n ＝1时a 1＝3不符合上式，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.4. (2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N ，则a 3＝________．答案：－116解析：当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18，则a 1＋a 2＋2a 3＝－18，当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，两式相减得a 3＝－116.5. 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n （n ＋4）⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________．答案：4解析：设最大项为第k 项，则有⎩⎪⎨⎪⎧k （k ＋4）⎝⎛⎭⎫23k ≥（k ＋1）（k ＋5）⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k （k ＋4）⎝⎛⎭⎫23k ≥（k －1）（k ＋3）⎝⎛⎭⎫23k －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ≥10或k ≤－10，1－10≤k ≤1＋10，∴ k ＝4.1. 若a n ＝n 2＋λn ＋3(其中λ为实常数)，n ∈N *，且数列{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．答案：(－3，＋∞)解析：解法1：(函数观点)因为{a n }为单调递增数列，所以a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＋3＞n 2＋λn ＋3，化简为λ＞－2n －1对一切n ∈N *都成立，所以λ＞－3.故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．解法2：(数形结合法)因为{a n }为单调递增数列，所以a 1＜a 2，要保证a 1＜a 2成立，二次函数f(x)＝x 2＋λx ＋3的对称轴x ＝－λ2应位于1和2中点的左侧，即－λ2＜32，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．2. 已知a n ＝n ×0.8n (n ∈N *)． (1) 判断数列{a n }的单调性；(2) 是否存在最小正整数k ，使得数列{a n }中的任意一项均小于k ？请说明理由．解：(1) ∵a n ＋1－a n ＝4－n5×0.8n (n ∈N *)，∴n ＜4时，a n ＜a n ＋1；n ＝4时，a 4＝a 5；n ＞4时，a n ＞a n ＋1.即a 1，a 2，a 3，a 4单调递增，a 4＝a 5，而a 5，a 6，…单调递减．(2) 由(1) 知，数列{a n }的第4项与第5项相等且最大，最大项是4554＝1024625＝1399625.故存在最小的正整数k ＝2，使得数列{a n }中的任意一项均小于k. 3. 若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．(1) 设数列{a n }为“凸数列”，若a 1＝1，a 2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和； (2) 在“凸数列”{a n }中，求证：a n ＋3＝－a n ，n ∈N *；(3) 设a 1＝a ，a 2＝b ，若数列{a n }为“凸数列”，求数列前2011项和S 2 011. (1) 解：a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－3，a 4＝－1，a 5＝2，a 6＝3，故S 6＝0.(2) 证明：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋3，所以a n ＋3＝－a n .(3) 解：由(2) 的结论得a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，即a n ＋6＝a n . a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b ， ∴S 6＝0.由(2)得S 6n ＋k ＝S k ，n ∈N *，k ＝1，…，6， 故S 2 011＝S 335×6＋1＝a 1＝a.4. 已知数列的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)． (1) 求{a n }的通项公式；(2) 令T n ＝⎝⎛⎭⎫45nS n ，是否存在正整数m ，对一切正整数n ，总有T n ≤T m ？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．解：(1) 令n ＝1，由a 1＝2及na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)，① 得a 2＝4，故a 2－a 1＝2，当n ≥2时，有(n －1)a n ＝S n －1＋n(n －1)，② ①－②，得na n ＋1－(n －1)a n ＝a n ＋2n. 整理得a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)．当n ＝1时，a 2－a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列， 故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.(2) 由(1)得S n ＝n(n ＋1)，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫45n(n 2＋n)． 故T n ＋1＝⎝⎛⎭⎫45n ＋1[(n ＋1)2＋(n ＋1)]，令⎩⎪⎨⎪⎧T n ≥T n ＋1，T n ≥T n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫45n （n 2＋n ）≥⎝⎛⎭⎫45n ＋1[（n ＋1）2＋（n ＋1）]，⎝⎛⎭⎫45n （n 2＋n ）≥⎝⎛⎭⎫45n －1[（n －1）2＋（n －1）]，即⎩⎨⎧n ≥45（n ＋2），45（n ＋1）≥n －1，解得8≤n ≤9.故T 1<T 2<…<T 8＝T 9>T 10>T 11>…故存在正整数m 对一切正整数n ，总有T n ≤T m ， 此时m ＝8或m ＝9.1. 数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，数列可以看作是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．2. 根据所给数列的前几项求其通项，需要仔细观察分析，抓住特征：分式中分子、分母的独立特征，相邻项变化的特征，拆项后的特征，各项的符号特征和绝对值特征，并由此进行化归、归纳、联想．3. 通项a n 与前n 项和S n 的关系是一个十分重要的考点．运用时不要忘记讨论a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

2015届高考一轮复习数列（一）数列的概念与简单的表示教案理知识梳理：（阅读教材必修5第28页—31页）1、数列的定义: 按照一定的顺序排列的一列数称为数列。

注意：（1）数列的数是按一定顺序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列。

（2）、定义中并没有规定数列中的数不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。

2、数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，如三角形数（见教材28页），“1”是这个数列的第一项，“10”是这个数列中的第4项。

3、数列的一般形式：a1,a2,a3,…，a n,…，；4、数列的表示法：（1）、解析法：分为通项公式与递推公式两种①、数列的通项公式：注意：并不是所有的数列都能写出通项公式；一个数列的通项公式有时不是唯一的；如数列：1，0，1，0，1，0…，它的通项公式可以写成也可以写成|cos|数列通项公式的作用：求数列中的任一项，检验某数是否是该数列中的项，数列的通项公式有双重性，它表示了数列的第n项，又是这个数列中所有项的一般表示，通项公式反映了一个数列项与项数函数关系，给了数列的通项公式，这个数列就确定了，②、数列的递推公式：定义：如：斐波那契列：递推公式：说明：递推公式利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律：有些数列，虽然给出是的递推公式，但可以根据递推公式，求出它的前几项，进而归纳出它的通项公式（为了保证它的正确，可以用数学归纳法加以证明。

）（2）、列举法：数列可以看成是定义在自然数集或它的子集上的函数，当自变量从1开始依次取自然数时，相对应的一列函数值，把这些函数值按它们的序号排列出来。

（3）、图象法：在直角坐标系中，以n和f（n）为点的坐标，即（n，f（n））描点后得到的图象是一些孤立点。

（4）、符号法：{a n}5、数列与函数的关系数列可以看成以 下整数集(或它的有限子集{1，2，3，n})为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，，，…，，…，因此要善于用函数的观点认识与研究数列：常用=f(n). 6、数列的分类（1）、按数列的项数多少可分为： ； （2）、根据数列前后项的大小关系来分：增数列： 减数列： 摆动数列： 常数数列： 7、求通项公式的方法： （1）、观察法； （2）、利用与的关系；（3）、公式法： 构造新等差数列、等比数列； （4）、其它方法：迭加法，迭乘法，迭代法； 二、题型探究探究一：已知数列的前n 项，求通项公式 （1）.-1，7,-13,19,…（2）.7，77，777，7777，… （3）.0，1，0，1，…（4）.1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，… （5）.1，3，7，15，… （6）.23，1，107，179，… （7）.1，21，73，52，135，… （8）.－2，45，－910，1617，…探究二：由n S 与n a 的关系求通项 n a ＝⎩⎨⎧≥-=-)2(,)1(,11n S S n S n n1、已知12+=n n a S ，求n a 。

知识点考纲下载数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.了解数列是自变量为正整数的一类函数.等差数列理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系.等比数列理解等比数列的概念.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.了解等比数列与指数函数的关系.１．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{a n}中，S n＝a１＋a２＋…＋a n列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点（n，a n）画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a１和a n与a n＋１的关系式或a１，a２和a n—１，a n，a n＋１的关系式等表示数列的方法３．n n若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝错误!４．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋１>a n其中n∈N*递减数列a n＋１<a n常数列a n＋１＝a n按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．（）（２）所有数列的第n项都能使用通项公式表示．（）（３）数列{a n}和集合{a１，a２，a３，…，a n}是一回事．（）（４）若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．（）（５）一个确定的数列，它的通项公式只有一个．（）（6）若数列{a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＝S n—S n—１.（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）√（５）×（6）×在数列{a n}中，a１＝１，a n＝１＋错误!（n≥２），则a４＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由题意知，a１＝１，a２＝１＋错误!＝２，a３＝１＋错误!＝错误!，a４＝１＋错误!＝错误!.已知数列{a n}的通项公式为a n＝n２—8n＋１５，则３（）A．不是数列{a n}中的项Ｂ．只是数列{a n}中的第２项Ｃ．只是数列{a n}中的第6项Ｄ．是数列{a n}中的第２项或第6项解析：选Ｄ．令a n＝３，即n２—8n＋１５＝３，解得n＝２或n＝6，故３是数列{a n}中的第２项或第6项．若数列{a n}的通项公式为a n＝错误!，那么这个数列是__________数列．（填“递增”或“递减”或“摆动”）解析：法一：令f（x）＝错误!，则f（x）＝１—错误!在（0，＋∞）上是增函数，则数列{a n}是递增数列．法二：因为a n＋１—a n＝错误!—错误!＝错误!＞0，所以a n＋１＞a n，所以数列{a n}是递增数列．答案：递增数列１，错误!，错误!，错误!，错误!，…的一个通项公式a n＝________．解析：由已知得，数列可写成错误!，错误!，错误!，…，故通项公式可以为错误!.答案：错误!由a n与S n的关系求通项公式a n（高频考点）a n与S n关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．高考对a n与S n关系的考查主要有以下两个命题角度：（１）利用a n与S n的关系求通项公式a n；（２）利用a n与S n的关系求S n.角度一利用a n与S n的关系求通项公式a n已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，且对任意n∈N*，均有a n，S n，a错误!成等差数列，则a n＝________．【解析】因为a n，S n，a错误!成等差数列，所以２S n＝a n＋a错误!，当n＝１时，２S１＝２a１＝a１＋a错误!，又a１>0，所以a１＝１，当n≥２时，２a n＝２（S n—S n—１）＝a n＋a错误!—a n—１—a错误!，所以（a错误!—a错误!）—（a n＋a n—１）＝0，所以（a n＋a n—１）（a n—a n—１—１）＝0，又a n＋a n—１>0，n≥２，所以a n—a n—１＝１，n≥２，所以{a n}是等差数列，其公差为１，因为a１＝１，所以a n＝n（n∈N*）．【答案】n角度二利用a n与S n的关系求S n设S n是数列{a n}的前n项和，且a１＝—１，a n＋１＝S n S n＋１，则S n＝________．【解析】由已知得a n＋１＝S n＋１—S n＝S n＋１S n，两边同时除以S n＋１S n，得错误!—错误!＝—１，故数列错误!是以—１为首项，—１为公差的等差数列，则错误!＝—１—（n—１）＝—n，所以S n＝—错误!.【答案】—错误!错误!（１）已知S n求a n的三个步骤１先利用a１＝S１求出a１.２用n—１替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n—S n—１（n≥２）便可求出当n≥２时a n的表达式．３注意检验n＝１时的表达式是否可以与n≥２的表达式合并．（２）S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．１利用a n＝S n—S n—１（n≥２）转化为只含S n，S n—１的关系式，再求解．２利用S n—S n—１＝a n（n≥２）转化为只含a n，a n—１的关系式，再求解．１．已知数列{a n}的前n项和S n＝３n＋１，则a n＝________．解析：当n＝１时，a１＝S１＝３＋１＝４；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋１）—（３n—１＋１）＝２·３n—１.当n＝１时，２×３１—１＝２≠a１，所以a n＝错误!答案：错误!２．已知数列{a n}的前n项和为S n，a１＝１，S n＝２a n＋１，则S n＝________．解析：法一：因为S n＝２a n＋１，所以当n≥２时，S n—１＝２a n，所以a n＝S n—S n—１＝２a n＋１—２a n（n≥２），即错误!＝错误!（n≥２），又a２＝错误!，所以a n＝错误!×错误!错误!（n≥２）．当n＝１时，a１＝１≠错误!×错误!错误!＝错误!，所以a n＝错误!所以S n＝２a n＋１＝２×错误!×错误!错误!＝错误!错误!.法二：因为S１＝a１，a n＋１＝S n＋１—S n，则S n＝２（S n＋１—S n），所以S n＋１＝错误!S n，所以数列{S n}是首项为１，公比为错误!的等比数列，所以S n＝错误!错误!.答案：错误!错误!３．已知数列{a n}满足a１＋２a２＋３a３＋４a４＋…＋na n＝３n２—２n＋１，求a n.解：设a１＋２a２＋３a３＋４a４＋…＋na n＝T n，当n＝１时，a１＝T１＝３×１２—２×１＋１＝２，当n≥２时，na n＝T n—T n—１＝３n２—２n＋１—＝6n—５，因此a n＝错误!，显然当n＝１时，不满足上式．故数列的通项公式为a n＝错误!由递推关系求数列的通项公式分别求出满足下列条件的数列的通项公式．（１）a１＝0，a n＋１＝a n＋（２n—１）（n∈N*）；（２）a１＝１，a n＝错误!a n—１（n≥２，n∈N*）；（３）a１＝１，a n＋１＝３a n＋２（n∈N*）．【解】（１）a n＝a１＋（a２—a１）＋…＋（a n—a n—１）＝0＋１＋３＋…＋（２n—５）＋（２n—３）＝（n—１）２，所以数列的通项公式为a n＝（n—１）２.（２）当n≥２，n∈N*时，a n＝a１×错误!×错误!×…×错误!＝１×错误!×错误!×…×错误!×错误!×错误!＝n，当n＝１时，也符合上式，所以该数列的通项公式为a n＝n.（３）因为a n＋１＝３a n＋２，所以a n＋１＋１＝３（a n＋１），所以错误!＝３，所以数列{a n＋１}为等比数列，公比q＝３，又a１＋１＝２，所以a n＋１＝２·３n—１，所以该数列的通项公式为a n＝２·３n—１—１．若本例（３）条件a n＋１＝３a n＋２变为a n＋１＝３a n＋３n＋１，求a n.解：因为a n＋１＝３a n＋３n＋１，所以错误!＝错误!＋１，所以数列{错误!}是以错误!为首项，１为公差的等差数列．所以错误!＝错误!＋（n—１）＝n—错误!，所以a n＝n·３n—２·３n—１.错误!由数列递推式求通项公式的常用方法１．（２0１8·兰州市诊断考试）已知数列{a n}，{b n}，若b１＝0，a n＝错误!，当n≥２时，有b n＝b n—１＋a n—１，则b２0１7＝________．解析：由b n＝b n—１＋a n—１得b n—b n—１＝a n—１，所以b２—b１＝a１，b３—b２＝a２，…，b n—b n—１＝a n—１，所以b２—b１＋b３—b２＋…＋b n—b n—１＝a１＋a２＋…＋a n—１＝错误!＋错误!＋…＋错误!，即b n—b１＝a１＋a２＋…＋a n—１＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝１—错误!＝错误!，因为b１＝0，所以b n＝错误!，所以b２0１7＝错误!.答案：错误!２．在数列{a n}中，a１＝１，a n＋１＝２n a n，则a n＝________．解析：由于错误!＝２n，故错误!＝２１，错误!＝２２，…，错误!＝２n—１，将这n—１个等式叠乘，得错误!＝２１＋２＋…＋（n—１）＝２错误!，故a n＝２错误!.答案：２错误!数列的性质（高频考点）数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考查，多存在一定难度．高考对数列的性质的考查常有以下三个命题角度：（１）数列的单调性；（２）数列的周期性；（３）数列的最值．角度一数列的单调性已知{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N*，a n＝n２＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】{a n}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有a n＋１＞a n，即（n＋１）２＋λ（n＋１）＞n２＋λn，整理，得２n＋１＋λ＞0，即λ＞—（２n＋１）．（*）因为n≥１，所以—（２n＋１）≤—３，要使不等式（*）恒成立，只需λ＞—３．【答案】（—３，＋∞）角度二数列的周期性设数列{a n}满足：a n＋１＝错误!，a２0１8＝３，那么a１＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!【解析】设a１＝x，由a n＋１＝错误!，得a２＝错误!，a３＝错误!＝错误!＝—错误!，a４＝错误!＝错误!＝错误!，a５＝错误!＝错误!＝x＝a１，所以数列{a n}是周期为４的周期数列．所以a２0１8＝a５0４×４＋２＝a２＝错误!＝３．解得x＝错误!.【答案】B角度三数列的最值已知数列{a n}的前n项和S n＝—错误!n２＋kn，k∈N*，且S n的最大值为8．试确定常数k，并求数列{a n}的通项公式．【解】因为S n＝—错误!n２＋kn＝—错误!（n—k）２＋错误!k２，其中k是常数，且k∈N*，所以当n ＝k时，S n取最大值错误!k２，故错误!k２＝8，k２＝１6，因此k＝４，从而S n＝—错误!n２＋４n.当n＝１时，a１＝S１＝—错误!＋４＝错误!；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝错误!—错误!＝错误!—n.当n＝１时，错误!—１＝错误!＝a１，所以a n＝错误!—n.错误!（１）利用递推公式探求数列的周期性的两种思想思想１：根据递推公式，写出数列的前n项直到出现周期情况后，利用a n＋T＝a n写出周期（n＋T）—n ＝T.思想２：利用递推公式“逐级”递推，直到出现a n＋T＝a n，即得周期T＝（n＋T）—n.（２）判断数列的单调性的两种方法１．已知数列{a n}满足a n＋１＝a n＋２n，且a１＝３３，则错误!的最小值为（）Ａ．２１Ｂ．１0Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由已知条件可知，当n≥２时，a n＝a１＋（a２—a１）＋（a３—a２）＋…＋（a n—a n—１）＝３３＋２＋４＋…＋２（n—１）＝n２—n＋３３，又n＝１时，a１＝３３满足此式．所以错误!＝n＋错误!—１．令f（n）＝错误!＝n＋错误!—１，则f（n）在上为减函数，在（２0１7·高考全国卷Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了３8１盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的２倍，则塔的顶层共有灯（）A．１盏Ｂ．３盏C．５盏Ｄ．9盏【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝３8１，公比q＝２，依题意，得错误!＝３8１，解得a１＝３．【答案】B错误!解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，即数列问题，利用数列的通项公式及求和公式求解．１．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分５钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）Ａ．错误!钱Ｂ．错误!钱Ｃ．错误!钱Ｄ．错误!钱解析：选Ｄ．设等差数列{a n}的首项为a１，公差为d，依题意有错误!解得错误!２．（２0１8·新疆第二次适应性检测）《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第２２题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈”（注：从第２天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织５尺布，现一月（按３0天计）共织３90尺布，则第３0天比第一天多织布的尺数是（）Ａ．１9 Ｂ．１8Ｃ．１7 Ｄ．１6解析：选Ｄ．依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{a n}，其中a１＝５，S３0＝错误!＝３90，a１＋a３0＝２6，a３0＝２6—a１＝２１，a３0—a１＝１6．错误!数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．数列的单调性的判断（１）作差比较法．a n＋１—a n>0⇔数列{a n}是递增数列；a n＋１—a n<0⇔数列{a n}是递减数列；a n＋１—a n ＝0⇔数列{a n}是常数列．（２）作商比较法．当a n>0时，则错误!>１⇔数列{a n}是递增数列；错误!<１⇔数列{a n}是递减数列；错误!＝１⇔数列{a n}是常数列．当a n<0时，则错误!>１⇔数列{a n}是递减数列；错误!<１⇔数列{a n}是递增数列；错误!＝１⇔数列{a n}是常数列．易错防范（１）数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．（２）易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．１．已知数列１，２，错误!，错误!，错误!，…，则２错误!在这个数列中的项数是（）Ａ．１6 Ｂ．２４Ｃ．２6 Ｄ．２8解析：选Ｃ．因为a１＝１＝错误!，a２＝２＝错误!，a３＝错误!，a４＝错误!，a５＝错误!，…，所以a n＝错误!.令a n＝错误!＝２错误!＝错误!，解得n＝２6．２．在数列{a n}中，a１＝１，a n a n—１＝a n—１＋（—１）n（n≥２，n∈N*），则错误!的值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由已知得a２＝１＋（—１）２＝２，所以２a３＝２＋（—１）３，a３＝错误!，所以错误!a＝错误!＋（—１）４，a４＝３，所以３a５＝３＋（—１）５，所以a５＝错误!，所以错误!＝错误!×错误!４＝错误!.３．（２0１8·长沙市统一模拟考试）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了２４6个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为３升，下面三节的容积之和为４升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第２节，第３节，第8节竹子的容积之和为（）Ａ．错误!升Ｂ．错误!升Ｃ．错误!升Ｄ．错误!升解析：选Ａ．自上而下依次设各节竹子的容积分别为a１，a２，…，a9，依题意有错误!，因为a２＋a３＝a＋a４，a7＋a9＝２a8，故a２＋a３＋a8＝错误!＋错误!＝错误!.选Ａ．１４．数列{a n}中，如果存在a k，使得a k＞a k—１且a k＞a k＋１成立（其中k≥２，k∈N*），则称a k为数列{a n}的峰值．若a n＝—３n２＋１５n—１8，则{a n}的峰值为（）Ａ．0 Ｂ．４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为a n＝—３错误!错误!＋错误!，且n∈N*，所以当n＝２或n＝３时，a n取最大值，最大值为a２＝a３＝0．故选Ａ．５．（２0１8·广东省五校协作体第一次诊断考试）数列{a n}满足a１＝１，且a n＋１＝a１＋a n＋n（n∈N*），则错误!＋错误!＋…＋错误!等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由a１＝１，a n＋１＝a１＋a n＋n可得a n＋１—a n＝n＋１，利用累加法可得a n—a１＝错误!，所以a n＝错误!，所以错误!＝错误!＝２错误!，故错误!＋错误!＋…＋错误!＝２错误!＝２错误!＝错误!，选Ａ．6．已知数列{a n}为错误!，错误!，—错误!，错误!，—错误!，错误!，…，则数列{a n}的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为２１，２２，２３，２４，…，易看出从第２项起，每一项的分子都比分母少３，且第１项可变为—错误!，故原数列可变为—错误!，错误!，—错误!，错误!，…，故其通项公式可以为a n ＝（—１）n·错误!.答案：a n＝（—１）n·错误!7．若数列{a n}满足a１·a２·a３·…·a n＝n２＋３n＋２，则数列{a n}的通项公式为________．解析：a１·a２·a３·…·a n＝（n＋１）（n＋２），当n＝１时，a１＝6；当n≥２时，错误!故当n≥２时，a n＝错误!，所以a n＝错误!答案：a n＝错误!8．已知数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a错误!—２a n＋１（n∈N*），则a２0１8＝________．解析：因为a１＝１，所以a２＝（a１—１）２＝0，a３＝（a２—１）２＝１，a４＝（a３—１）２＝0，…，可知数列{a n}是以２为周期的周期数列，所以a２0１8＝a２＝0．答案：09．已知数列{a n}的前n项和S n＝２n＋１—２．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）设b n＝a n＋a n＋１，求数列{b n}的通项公式．解：（１）当n＝１时，a１＝S１＝２２—２＝２；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝２n＋１—２—（２n—２）＝２n＋１—２n＝２n.因为a１也适合此等式，所以a n＝２n（n∈N*）．（２）因为b n＝a n＋a n＋１，且a n＝２n，a n＋１＝２n＋１，所以b n＝２n＋２n＋１＝３·２n.１0．已知数列{a n}满足前n项和S n＝n２＋１，数列{b n}满足b n＝错误!且前n项和为T n，设c n＝T２n＋１—T n.（１）求数列{b n}的通项公式；（２）判断数列{c n}的增减性．解：（１）a１＝２，a n＝S n—S n—１＝２n—１（n≥２）．所以b n＝错误!（２）因为c n＝b n＋１＋b n＋２＋…＋b２n＋１＝错误!＋错误!＋…＋错误!，所以c n＋１—c n＝错误!＋错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＜0，所以c n＋１＜c n，所以数列{c n}为递减数列．１．（２0１8·湖南岳阳模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a１＝１，S n＝错误!，则a２0１7＝（）Ａ．２0１6 Ｂ．２0１7Ｃ．４0３２Ｄ．４0３４解析：选Ｂ．由题意知n≥２时，a n＝S n—S n—１＝错误!—错误!，化为错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝…＝错误!＝１，所以a n＝n.则a２0１7＝２0１7．故选Ｂ．２．（２0１8·湖北六校模拟）已知数列{a n}满足：a１＝１，a n＋１＝错误!（n∈N*）．若b n＋１＝（n—２λ）·错误!（n∈N*），b１＝—错误!λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）Ａ．λ<错误!Ｂ．λ<１Ｃ．λ<错误!Ｄ．λ<错误!解析：选Ａ．因为数列{a n}满足：a１＝１，a n＋１＝错误!（n∈N*），所以a n>0，错误!＝错误!＋１，则错误!＋１＝２错误!，所以数列错误!是等比数列，且首项为错误!＋１＝２，公比为２，所以错误!＋１＝２n.所以b n＋１＝（n—２λ）错误!＝（n—２λ）·２n（n∈N*），所以b n＝（n—１—２λ）·２n—１（n≥２），因为数列{b n}是单调递增数列，所以b n＋１>b n，所以（n—２λ）·２n>（n—１—２λ）·２n—１（n≥２），可得λ<错误!（n≥２），所以λ<错误!，又当n＝１时，b２>b１，所以（１—２λ）·２>—错误!λ，解得λ<错误!，综上，λ的取值范围是λ<错误!，故选Ａ．３．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝１时，有１个，n＝２时，有３个；n＝３时，有6个；n＝４时，有１0个；…，所以a n＝１＋２＋３＋４＋…＋n＝错误!.答案：a n＝错误!４．（２0１8·成都市第二次诊断性检测）在数列{a n}中，a１＝１，a n＝错误!a n—１（n≥２，n∈N*），则数列错误!的前n项和T n＝________．解析：由题意知错误!＝错误!＝错误!，所以a n＝a１×错误!×错误!×…×错误!＝１×错误!×错误!×…×错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝２错误!，所以数列错误!的前n项和T n＝２（错误!—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＋错误!—错误!）＝２错误!＝错误!.答案：错误!５．已知数列{a n}满足a１＝１，a２＝—１３，a n＋２—２a n＋１＋a n＝２n—6．（１）设b n＝a n＋１—a n，求数列{b n}的通项公式；（２）求n为何值时，a n最小．解：（１）由错误!得b n＋１—b n＝２n—6，b１＝a２—a１＝—１４．当n≥２时，b n＝b１＋（b２—b１）＋（b３—b２）＋（b４—b３）＋…＋（b n—b n—１）＝—１４＋（２×１—6）＋（２×２—6）＋（２×３—6）＋…＋＝—１４＋２×错误!—6（n—１）＝n２—7n—8，当n＝１时，上式也成立．所以数列{b n}的通项公式为b n＝n２—7n—8．（２）由（１）可知a n＋１—a n＝n２—7n—8＝（n＋１）（n—8），当n<8时，a n＋１<a n，即a１>a２>a３>…>a8，当n＝8时，a9＝a8，当n>8时，a n＋１>a n，即a9<a１0<a１１<…所以当n＝8或n＝9时，a n的值最小．6．设数列{a n}的前n项和为S n.已知a１＝a（a≠３），a n＋１＝S n＋３n，n∈N*.（１）设b n＝S n—３n，求数列{b n}的通项公式；（２）若a n＋１≥a n，n∈N*，求a的取值范围．解：（１）依题意得S n＋１—S n＝a n＋１＝S n＋３n，即S n＋１＝２S n＋３n，由此得S n＋１—３n＋１＝２（S n—３n），即b n＋１＝２b n，又b１＝S１—３＝a—３，因此，所求通项公式为b n＝（a—３）２n—１，n∈N*.（２）由（１）可知S n＝３n＋（a—３）２n—１，n∈N*，于是，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝３n＋（a—３）２n—１—３n—１—（a—３）２n—２＝２×３n—１＋（a—３）２n—２，a n＋１—a n＝４×３n—１＋（a—３）２n—２＝２n—２错误!，所以，当n≥２时，a n＋１≥a n⇒１２错误!错误!＋a—３≥0⇒a≥—9，又a２＝a１＋３＞a１，a≠３．所以，所求的a的取值范围是[—9，３）∪（３，＋∞）．。

数列的概念与简单表示法目标认知学习目标：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）；通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式。

3.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系.重点：数列及其有关概念，数列的通项公式及其应用，数列的递推公式。

难点：数列的通项公式及其应用，数列的前n 项和与n a 的关系。

学习策略：数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。

关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.知识要点梳理知识点一：数列的概念⒈ 数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项。

注意：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号。

3. 数列的一般形式：数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a 。

其中n a 是数列的第n 项。

注意：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项。

知识点二：数列的分类1. 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列2. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

高中数学必修五数列教案
主题：数列的概念和性质
目标：通过本课的学习，学生能够掌握数列的定义、常见数列的性质和求解方法，提高数学思维和解题能力。

一、引入
1. 引导学生回顾数列的定义和简单性质，如等差数列、等比数列等。

2. 提出问题：在日常生活中，你认为还有哪些是数列的例子呢？
二、展示
1. 介绍数列的定义：数列是按照一定规律排列的数的集合。

2. 介绍常见的数列及其性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

3. 分别讲解等差数列和等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式等。

三、练习
1. 练习一：已知等差数列的前项和为50，公差为2，求该数列的第10个项。

2. 练习二：已知等比数列的前三项分别是2，6，18，求该数列的通项公式。

3. 练习三：给出一个数列，让学生判断其是等差数列还是等比数列，并求出其通项公式。

四、拓展
1. 拓展讨论：引导学生思考其他更为复杂的数列形式，如递推数列、调和数列等。

2. 拓展练习：设计一些应用题，让学生巩固对数列的理解和应用能力。

五、总结
1. 总结本课的重点内容和知识点，强调数列的重要性和应用价值。

2. 鼓励学生多进行数列相关练习和思考，提高数学解题能力和建模能力。

六、作业
1. 完成课堂练习题和拓展练习题。

2. 撰写一篇总结本课学习内容的感想。

以上为数列教案范本，希望能够对您的教学工作有所帮助。

数列的概念与简单表示法1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类：分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n(3)数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． [试一试]1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为________．2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________.1．辨明数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． 2．明确a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).[练一练]1．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的通项为a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2.若将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是________．2．(2014·苏锡常镇调研)设u (n )表示正整数n 的个位数，a n ＝u (n 2)－u (n )，则数列{a n }的前2 014项和等于________．考点一由数列的前几项求数列的通项公式1.(2014·南通二模)将正偶数按如下所示的规律排列：2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 …则第n (n ≥4)行从左向右的第4个数为________．2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9 999，….[类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二由an与S n的关系求通项a n[典例]已知下面数列{a n}的前n项和S n，求{a n}的通项公式：(1)S n＝2n2－3n；(2)S n＝3n＋b.[类题通法]已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式； (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写． [针对训练]已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，求{a n }的通项公式．考点三由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，归纳起来常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n . 角度一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n1．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[课堂练通考点]1．(2014·苏北四市质检)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2014＝________.2．(2013·盐城三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6， x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．3．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }前n 项的和，则S 2 013＝____________.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．。

高考数学第一轮复习第三章数列第一课时数列的概念教案第三章数列一、知识图谱：二、高考考纲要求：(1)理解函数的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．(2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．(3)有些应用问题可以转化为数列问题来解决，应掌握解决数列应用问题的方法．数列与函数、数列与不等式在应用题和综合题中常常出现，通过综合题的训练，提高等价转化能力及思维的灵活性，深刻领会化归及函数和方程的思想．三、2008年高考命题展望：在试验教材中，近10年高考试题内容，数列部分约占8％．命题总的趋势是“稳中有变”．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质一直是考查的重点．这方面的考题多以选择题、填空题出现，突出“小、巧、活”的特点．解答题中以中等难度的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容．试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本的数学方法．可以预测在今后的高考中，仍将以等差数列、等比数列的基本问题为主，突出重要思想方法的考查．为了考查学生的创新能力，主观题应是以考查数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列(点列)与解析几何等知识的综合，通过类似题目，更有效地测试考生对数学思想方法和理解深度，尤其是通过探索性的问题，测试考生的潜能和创新意识．测试考生应用数学知识和方法去解决实际问题的能力．第三章：数列第一课时：数列的概念教学目的：理解数列的概念，能用函数的观点认识数列；了解数列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意一项；知道递推公式是给出数列的一种重要方法，会根据数列的递推公式写出数列的前几项．教学重点：数列的概念及数列的通项公式。

教学难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式和根据递推关系求通项公式。

考点分析及学法指导：数列是初等数学和高等数学的一个衔接点历来是高考考察的重点，突出考察考生的思维能力、逻辑推理能力及解决问题的能力。

高一数学数列的概念与简单表示法第2课时教案●教学目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递a的关系推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与n过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项●教学难点理解递推公式与通项公式的关系●教学过程Ⅰ.课题导入[复习引入]数列及有关定义Ⅱ.讲授新课数列的表示方法1、通项公式法如果数列{}n a的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；2、图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3、递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。