专题03(第三篇)-备战2121年高考满分秘籍之数学压轴题天天练(解析版)

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是“m 函数”， 分析命题③： 函数
即 定义域为
成立，故命题②是真命题。 ，
显然 时，
，此时函数 是单调递增函数，增区间为
数
不是“ 函数”，故命题③是假命题。
，而区间
没有长度，故函
分析命题④：函数
定义域
，
当
时， 是增函数，故只需
成立， 是增函数，
也就是
成立， 是增函数，构造二个函数，
专题 03
高考满分秘籍之高考数学压轴试题天天练 03
第一题 【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三二模理】已知直线
与椭圆 ：
相交于 ， 两点， 为坐标原点.当
的面积取得最大值时， （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】
由
，得
.
设
，
，则
，
，
.
又 到直线 的距离
由题意，
，
，设 在第一象限，则
，
，则直线 的方程为
，
以 为直径的圆的圆心为
，半径为 ，则 到直线 的距离为
，
则圆 截直线 所得的弦长为
，解得
.
第十二题
【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019 届高三 4 月联考理】设数列 的
前 项和为 满足：
，
则
____
【答案】
【解析】 由题意，
A． 为定值, 不为定值
B． 不为定值, 为定值
C． 与 均为定值
D． 与 均不为定值
【答案】B
【解析】
设平面 截得正方体的六个表面得到截面六边形为 ， 与正方体的棱的交点分别为
（如
下图），
将正方体切去两个正三棱锥
和
，得到一个几何体 ， 是以平行平面 和 为上下
底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形 的每一条边分别与 的底面上的一条边平行，设正方体棱
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（II）（1）由（I）频率分布直方图知， 分布列为
245
255
265
P
0.1
0.3
0.4
0.2
（2）① ，
，
，
，
② ， ， ，
，
③ ， ，
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， ，
时，
（元）.
故每天空运 245 支百合，四月后 20 天每天百合销售利润 的期望值最大. 第十五题
【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三二模理】椭圆 ：
时，
，即
，
时，
，
所以
，
，
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所以数列
是以 为首项， 为公比的等比数列，
则
，所以
，
故
.
第十三题
【四川省成都市 2018 届高三二诊理】已知直线
B 作 x 轴的平行线交抛物线的准线于点 M，O 为坐标原点，若 【答案】 【解析】
与抛物线
交于 A、B 两点，过
：
：2，则 ______．
联立
，
点
，动直线
与椭圆 交于 ， 两点，已知直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 ，
的乘积为 . （Ⅰ）若 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若
，求证：直线 过定点.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）过定点
【解析】 解：（Ⅰ）不妨设
，
，
.
（Ⅱ）设联立 由题意 设
得
，
，
， ， ， ， ，
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若
，直线 ：
，均符合 .
长为 ，
，则
，
，故
即周长为定值； 当
，同理可证明
，故六边形 的周长为 ，
都在对应棱的中点时， 是正六边形，计算可得面积
，
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三角形 的面积为 积一定会发生变化，不为定值。 故答案为 B.
，当 无限趋近于 时， 的面积无限趋近于 ，故 的面
第十题 【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三二模理】以抛物线
由 得，
；
所以直线 的斜率为
，因此直线 的方程为
，
由
得
；
由
得
，
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所以
，
，
，
又
，且
，所以
，即
，
因此 故答案为
，当且仅当 时，取等号.
第十一题
【四川省成都市 2018 届高三二诊理】已知抛物线 ：
的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 ，
是抛物线 上的点，且 【答案】 【解析】
轴.若以 为直径的圆截直线 所得的弦长为 ，则实数 的值为__________．
9000
11000
获得相
获得相
应职位
应职位
0.4
0.3
0.2
0.1
0.4
0.3
0.2
0.1
概率
概率
（1）根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由; （2）某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：
选择意愿 人员结构
40 岁以上（含 40 岁）男性 40 岁以上（含 40 岁）女性 40 岁以下男性 40 岁以下女性
大等边三角形，设
，则（ ）
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A．
C．
【答案】D 【解析】
设
，因此
所以
因此
；
延长 交 于 ，
记
，
，
B． D．
，又由题意可得
则
，所以
又由题意易知
，则
，
在三角形 中，由正弦定理可得
即
，因此
，
所以
，
因为
，所以
，即
整理得
，
所以
.
故选 D
， ，
； ，
，
，
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第五题 【四川省宜宾市 2019 届高三二诊理】若关于 x 的不等式
D．
【答案】B
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【解析】
根据题意，圆 C：
的圆心 C 为
，半径 ；
点 P 为直线 则有 则
上一点，PA、PB 为圆 C 的切线，则
，
，
，
则当 取得最小值时，四边形 PACB 面积最小，此时 CP 与直线
且
，则 C 到 AB 的距离 ，
又由
，则直线 AB 与直线
且设 AB 的直线方程为
，且长方体的底面边长为 2，高为 ；
取 中点为 ，上底面中心为 ，连接 ， ，则
，
，
因为三角形 为直角三角形，所以 点为三角形 的外接圆圆心，
因此三棱锥的外接球球心，必在线段 上，记球心为 ，设球的半径为 ，则
，
所以有
，
，
因此
，解得
，
所以该三棱锥的外接球表面积为
.
故选 C
第三题
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【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三二模文】定义区间 ，
如下图所示：
通过图象可知：当
时，
，而
，所以
。从而有
时，
时，函数 是增函数，显然区间
长度为 ，而
所以函数
是“ 函数”，又
，即
。故命题④是真命题。
综上所述：正确的命题的个数为 3 个，故本题选 B。
第四题
【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三二模理】赵爽是我国古代
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
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【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 X，Y， 则 E（X）＝6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1＝7000， E（Y）＝5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1＝7000， D（X）＝（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1＝10002， D（Y）＝（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1＝20002， 则 E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）， 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司； 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司； （2）因为 k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值， 得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是 0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的 2×2 列联表如下：
.
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故不等式
恒成立，可得到
，
则
，即
，
因为
，所以
，则
，
故
.
第九题
【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019 届高三 4 月联考理】如图，在正
方体
中,平面 垂直于对角线 AC ,且平面 截得正方体的六个表面得到截面六边形,记
此截面六边形的面积为 ,周长为 ,则（ ）
双曲线 C：
的渐近线为
，与直线 交于
，
，设
，
则 因为
，
，
，所以
，
，
，
由于点
在双曲线上，故
，解得
，
则
（当且仅当
时取“=”）。
故答案为 B.
第七题
【四川省宜宾市 2019 届高三二诊理】过直线
上一点 P，作圆 C：
的
切线，切点分别为 A、B，则当四边形 PACB 面积最小时直线 AB 的方程是
A．
B．
C．
，
则 的面积
，
当且仅当
，即
时，
的面积取得最大值.
此时，
.
故选 A
第二题
【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三二模理】已知三棱锥的三 视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为
消去 x 得
，
设
，
，则
，则
，
，
，
：
：
，
，
，
， ，O，M 三点共线， ：2，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
第十四题 【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三二模理】一个经销鲜花产
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品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠 给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前 10 天，微店百合花的售价为每支 2 元，云南空运来的百合花每支进价 1.6 元，本地供应商处百合花每支进价 1.8 元，微店这 10 天的订单中百 合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.
分析命题①：
定义域为
，
D．1 个 ，
， 函数
在
上是单调递增，显然这个区间没有长度，因此函数
不是“ 函数”，故命题①是真命题。
分析命题②：
，定义域为
，
当
时，函数 是增函数，
构造两个函数，
，图象如下图所示：
通过图象可知当
，
而
，即
，
时，函数 是增函数，增区间的长度为 ，又因为
显然有
，所以当 成立，所以函数
成立，则 的最小值是
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】 令
， ，函数单调递增，
，函数单调递减，且 时，
，
绘制函数 的图象如图所示，
满足题意时，直线
恒不在函数 图象的下方，
很明显 时不合题意，当 时，令
可得：
，
故 取到最小值时，直线在 x 轴的截距最大，
令
可得：
，据此可得： 的最小值是 ．
故选：A．
（Ⅰ）求今年四月前 10 天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）预计四月的后 20 天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前 10 天相同，请根据（Ⅰ）中频率分 布直方图（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率）： （1）写出四月后 20 天每天百合花需求量 的分布列； （2）若百合花进货价格与售价均不变，微店从四月十一日起，每天从云南固定空运 支百合花，当 为多少时，四月后 20 天每天百合花销售利润 （单位：元）的期望值最大？ 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（1）见解析（2）每天空运 245 支百合，四月后 20 天每天百合销售利润 的期 望值最大 【解析】 解：（I）四月前 10 天订单中百合需求量众数为 255， 平均数 频率分布直方图补充如下：
数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵
爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵
爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个
焦点 为圆心， 为半径作圆交 轴于 ， 两点，连结 交抛物线于点 （ 在线段 上），
延长 交抛物线的准线于点 ，若
，且
，则
【答案】32 【解析】
由题意可得抛物线
的焦点为
，准线方程为
的最大值为_____． ，
所以以 为圆心， 为半径的圆的方程为
，
因为 ， 两点为圆
与 轴的两个交点，不妨令 为 轴正半轴上的点，
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第六题 【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019 届高三 4 月联考理】直线 与
双曲线 C：
的渐近线交于 A、B 两点,设 P 为双曲线 C 上的任意一点,若
(a、bR,O
为坐标原点),则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】
过
，与已知矛盾.
，直线 :
过定点 .
第十六题 【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019 届高三 4 月联考理】有甲、乙两 家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：
甲公司
乙公司
职位
A
B
C
D
职位
A
B
C
D
月薪/元 6000
7000
8000
9000
月薪/元 5000
7000
选择甲公司 110
120
140
80
选择乙公司 150
90
200
110
若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的 K2 的观测值为 k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关 系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联 性更大？
附：
0.050 3.841
，
则有
，解可得：
平行， 或 舍，
则直线 AB 的方程为
；
故选：B．
， 垂直，
第八题
【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019 届高三 4 月联考理】设函数
， ,若当 0
当时,不等式
恒成立,则实数 的取
值范围是（ ）
A．
B．
【答案】D
【解析】
由题意，
则
C．
D．
，令
，
Hale Waihona Puke Baidu
而 是 上的单调递增函数，又是奇函数，于是
， ， 的长度为 .如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为 （其中
，为
自然对数的底数），那么称这个函数为“ 函数”.下列四个命题：
①函数
不是“ 函数”；
②函数
是“ 函数”，且
；
③函数
是“ 函数”；
④函数
是“ 函数”，且
.
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4 个
B．3 个
【答案】B
【解析】
C．2 个