幂函数
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维．
一、分类讨论的思想
例1 已知函数223n n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．
解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，
又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．
当0n =时，2233n n --=-不是偶数；
当1n =时，2234n n --=-为偶数；
当1n =-时，2230n n --=为偶数；
当2n =时，2233n n --=-不是偶数；
当3n =时，2230n n --=为偶数；
所以n 为1-，1或3．
此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．
二、数形结合的思想
例2 已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫
- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．
问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．
分析：由幂函数的定义，先求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可．
解：设()m f x x =，则由题意，得2(2)m =，
∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1
(2)4n =-，
∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出
()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知：
（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；
（2）当1x =±时，()()f x g x =；
（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．
小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()g x 的隐含条件0x ≠．
三、转化的数学思想
例3 函数1
224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（
）
． Ａ．(512)-，
Ｂ．(51)-+，∞
Ｃ．(22)-，
Ｄ．(1515)---+，
解析：要使函数1
224(42)
(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为2420mx x m +++>对一切实数都成立，
即0m >且244(2)0m m ∆=-+<． 解得51m >-． 故选（Ｂ）
幂函数中的三类讨论题
所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．
类型一：求参数的取值范围
例1 已知函数223()()m m f x x
m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 分析：函数223()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．
解：∵()f x 是偶函数，∴2
23m m -++应为偶数． 又∵(3)(5)f f <，即22232335m m m m -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫
< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312
m -<<． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1．
当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．
故m 的值为1，2
()f x x =．
评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础． 类型二：求解存在性问题
例2 已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，
上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．
解：∵2()f x x =，则42
()(21)1g x qx q x =-+-+．
假设存在实数(0)q q <，使得()g x 满足题设条件，
设12x x <，则4242121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x -=-+-+--
22122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--． 若(]124x x ∈--，，∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，则应有22
12()(21)0q x x q +--<恒成立．
∵14x <-，24x -≤，∴22
1232x x +>．而0q <，
