第2章习题解b
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2-12
体。设外壳脱离主体时相对于主体的速度为0,只有当下一级火箭发动后,才将上一级的外壳甩在后边。求第三级火箭的最终速率;
(2)若把48t 燃料放在12t 的外壳里组成一级火箭,问火箭最终速率是多少。 解: (1) p.50的 (2.10)式可写成
⎰
⎰
=-⇒-=v
v m
m m
m c v v m
dm c dv 0
00ln
对第一级火箭: 3ln 250040
6060ln
2500ln
01=-==m
m c v .
对第二级火箭: 3ln 50003/201010ln
250012=-+=v v .
对第三级火箭:s m v v /6.82393ln 75003
/211
ln
250023==-+=.
(2 )s m v /6.40235ln 250048
6060ln 2500==-=.
2-13 一宇宙飞船以恒速v 在空间飞行,飞行过程中遇到一股微尘粒子流,后者以dm/dt 的
速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为u ,方向与v 相反,在时刻t 飞船的总质量为M (t ),试问:要保持飞船匀速飞行,需要多大的力? 解: 由动量定理得: ])([)]()([dm u v t M v d v dm t M P P
+-++=-
dt F dm u d v v d t M
=-+≈)()( 两边求导得: F dt
dm
u v dt v
d t M =-+)()
(. ∵要求飞船匀速, 即 0=dt v
d , u v 与的方向相反, 以v 为正向, 则dt
dm
u v F )( -=,
即dt
dm u v F )
(+= 为向前的推力(此式的v 、u 为绝对值).
2-14 一水平传送带将沙子从一处运送到另一处,沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上,
传送带以恒定速率v 运动着(见本题图)。忽略机件各部位的摩擦。若沙子落到传送带上的速率是dm /dt ,试问:
(1)要保持传送带以恒定速率v 运动,水平总推力F 多大?
(2)若整个装置是:漏斗中的沙子落进以匀v 在平直光滑轨道上运动的货车里(见本题图b),以上问题的答案改变吗?
解: (1) 在水平方向上, 由动量定理得:
Fdt vdm mdv mv dv v dm m =+≈-++))((,
两边求导得 dt
dm v
dt
dv m
F +=.
即要求传送带以匀速运动时,水平总推力为 dt
dm v F =(向前)
(2) 光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速v 前进.现在沙子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重, 用力公式同上; 即沙子持续进来,便要持续施力dt
dm v
F = ,问题的答案不改变.
2-15 一质量为m 的质点在x-y 平面上运动,其位矢为 r = a cos ωt i +b sin ωt j ,求质点受力的
情况。 解: t b y t a x si n , cos ωω== , 轨迹为
12
22
2=+
b
y a
x 的椭圆. 又
j
t b i t a j dt
dy i dt dx v
ωωωωsin sin +-=+=,
r j t b i t a dt v d a
222sin cos ωωωωω-=--==.
质点受力 r m a m f
2ω-==,恒指向原点.
2-16 如本题图所示,一质量为m A 的木块A 放在光滑的水平桌面上,A 上放置质量为m B 的
另一木块B ,A 与B 之间的摩擦系数为μ,现施水平力推A ,问推力至少为多大时才能使A 、B 之间发生相对运动。
解: 对B : 0=-g m N B ,N a m f B B r μ==;得 g m a B B μ=. 对A : A A B r a m g m F f F =-=-μ ,得 A
B A m g
m F a μ-=
.
当B A a a > 时, A,B 之间发生相对运动, 即要求g m m F B A )(+>μ.
2-17 如本题图所示,质量为m 2的三角形木块,放在光滑的水平面上,另一质量为m 1的立
方木块放在斜面上。如果接触面的摩擦可以忽略,两物体的加速度各若干? 解: 对m 1: ⎩⎨⎧-=-=g m N a m N a m y x 1211211cos si n θθ, 对m 2 : ⎪
⎩⎪
⎨⎧=--==0
cos si n 222122222y y x a g m N N a m N a m θθ
;
又由运动学关系:
211'a a a
-=, x
x y y x y a a a a a a 212111''tan --==
θ, 解得 θtg a a a x x y )(211-=;
代入运算最后得 θθ
θ
c o s s i n N ,s i n N 2
1221222
12211m m g m m g m m m m m +=
++=
;
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+++-=++-=++-=+-=θθθθθθθθθθctg m tg m m gtg m m m m g m m a ctg m tg m m g m m m g m a y x
2212122
12211221221221)()(sin sin )()(sin cos sin ⎪⎩⎪⎨
⎧=++=+=0)(sin cos sin 222112
1212y x a ctg m tg m m g m m m g m a θθθθθ
2-18 在桌上有一质量m 1的木板。板上放一质量为m 2的物体。设板与桌面间的摩擦系数为
μ1,物体与板面间的摩擦系数为μ2,欲将木板从物体下抽出,至少要用多大的力? 解: ,111N f μ= g m m N )(211+=; ,222N f μ= g m N 22=.
又 2121a m f f F =--, 222a m f =, 且要求 21a a >; 由此得 g m m F ))((2121++>μμ.
2-19 设斜面的倾角θ是可以改变的,而底边不变。求(1)若摩擦系数为μ,写出物体自斜面顶
端从静止滑到底端的时间,与倾角θ 的关系,(2)若斜面倾角θ1= 60︒与θ2 = 45︒时,物体下滑的时间间隔相同,求摩擦系数μ.
解: (1)摩擦力θμμcos mg N f ==,由运动方程ma f mg =-θsin ,得)cos (sin θμθ-=g a .
此外由 2
2
1cos at d S =
=θ
, 可得 21
])
cos (sin cos 2[
θμθθ-=g d
t .
(2) 又由 21
21
])45cos 45(sin 45cos 2[
])
60cos 60(sin 60cos 2[
μμ-=-g d
g d
,
可得 268.0322
14121212
321
45
cos 60cos 45
sin 45cos 60sin 60cos 2
2
=-
=--=
--=
μ
2-20 本题图中各悬挂物体的质量分别为:m 1=3.0kg , m 2=2.0kg , m 3=1.0kg .求m 1下降的加速
度。忽略悬挂线和滑轮的质量、轴承摩擦和阻力,线不可伸长。 解: 各悬挂物体的运动方程分别为:
1121112a m T g m T g m =-=-, 2222a m T g m =-, 3332a m g m T =-;
运动学关系: 12'a a a -=, 13'a a a +=(其中a ’为m 2 , m 3相对于滑轮的加违度); 由此可得:
2
3
2321323211/58.01
24)12(3124)12(34)(4)(s m g g m m m m m m m m m m a =⨯⨯⨯++⋅⨯⨯-+⋅=
++-+=
.
2-21 在本题图所示装置中,m 1与m 2及m 2与斜面之间的摩擦系数都为μ,设m 1>m 2,斜面的
倾角θ 可以变动。求θ 至少为多大时m 1、m 2才开始运动。略去滑轮和线的质量及轴承的摩擦,线不可伸长。
解: m 2、m 2和斜面之间的摩擦力分别为
θμμcos 111g m N f ==,θμμcos )(2122g m m N f +==; m 2、m 2的运动方程为 T f g m a m --=111s i n θ,
f f
g m T a m ---=122sin θ.