基本不等式
1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件．
2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题．
知识梳理
1．基本不等式错误!≥错误!
（1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号．
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）；
(3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）；
（4)错误!≥（错误!）2。
3．基本不等式求最值
（1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大．
（2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小．
利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．
热身练习
1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D）
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误!
C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2
A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D.
2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D)
A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2
C。错误!≥错误! D。错误!≥错误!
易知A,B成立，
对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2,
所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立．
对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立．
由以上分析可知，应选D.
3．周长为60的矩形面积的最大值为（A)
A ．225
B ．450
C ．500
D ．900
设矩形的长为x ,宽为y ，
则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30,
所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2
＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。
4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A)
A ．有最大值
B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1，
当且仅当x ＝－错误!时，等号成立，
所以函数f （x )有最大值，所以选A 。
5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。
因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2），
所以1a
＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8，
当且仅当b a ＝4a b
，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.
利用基本不等式判断大小关系
下列不等式一定成立的是
A．x2＋1〉2x(x∈R)
B．sin x＋错误!≥2(x≠kπ，k∈Z）
C．x2＋1＋错误!〉2（x〉0）
D．x≥错误!（x〉0)
对于A,当x＝1时，x2＋1＝2x，A不正确．
对于B，需要满足sin x>0,不等式成立,所以B也不正确；
对于C，x2＋1＋错误!≥2,当且仅当x2＋1＝错误!，即x＝0时，取等号，但x〉0，所以不等式不能取到等号，故C正确．
对于D,当0 C 运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用． 1．(2018·福建莆田模拟)下列结论正确的是（C) A．当x〉0且x≠1时，lg x＋错误!≥2 B．当x∈(0,错误!)时，sin x＋错误!的最小值为4 C．当x>0时，错误!＋错误!≥2 D．当0 对于A，当0 对于B,当x∈（0,错误!)时，sin x＋错误!的最小值不为4（因为sin x＝2不成立)； 对于C，当x〉0时,错误!＋错误!≥2错误!＝2，当且仅当x＝1时,等号成立； 对于D，当0〈x≤2时,x－错误!单调递增，所以当x＝2时，取得最大值,最大值为错误!。 利用基本不等式求最值 （1）已知x〈错误!，求函数y＝4x－2＋错误!的最大值． (2)已知x〉0，y>0,且错误!＋错误!＝1，求x＋y的最小值． （1）y＝4x－2＋1 4x－5 ＝－（5－4x＋错误!）＋3 ≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝错误!，即x＝1时,取等号． 故当x＝1时，y max＝1. （2）(方法一)因为x 〉0,y 〉0,1x ＋错误!＝1， 所以x ＋y ＝(错误!＋错误!）（x ＋y )＝错误!＋错误!＋10≥6＋10＝16. 当且仅当错误!＝错误!，且错误!＋错误!＝1，即x ＝4，y ＝12时,上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，（x ＋y )min ＝16。 （方法二)由1x ＋错误!＝1，得（x －1)(y －9）＝9（定值）， 可知x >1，y 〉9，从而 x ＋y ＝(x －1）＋(y －9）＋10 ≥2x －1y －9＋10＝16, 所以当且仅当x －1＝y －9＝3, 即x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (1）利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数,“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等"指满足等号成立的条件． （2）利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式． 2．（1)若x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 错误! 。 (2）(2018·江苏杭州一模)若对任意的x >1，错误!≥a 恒成立，则a 的最大值是(B ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 (1)因为x 〉0，y >0，且2x ＋3y ＝6. 所以xy ＝16 (2x ）·(3y ）≤错误!（错误!）2＝错误!， 当且仅当2x ＝3y ＝3,即x ＝错误!，y ＝1时，xy 取得最大值错误!. (2)a ≤错误!对x ∈(1，＋∞）恒成立,即a ≤(错误!)min 。 因为x 2＋3x －1 ＝错误!＝(x －1）＋错误!＋2， 因为x 〉1, 所以（x －1）＋错误!＋2≥2错误!＋2＝6， 当且仅当x －1＝错误!,即x ＝3时,取“＝"，所以a ≤6。
