【新教材】 新人教A版必修一 基本不等式 教案

数学公开课教案科目授课班级授课时间授课地点讲课人数学课题§2.2基本不等式（第一课时）教学目标1.知识目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值2.知识与技能：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。

3.情感态度价值观：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重点基本不等式在解决最值问题中的应用教学难点基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件教法启发式、探究式学法合作探究课前准备多媒体教学过程主要内容及教师活动设计意图一.复习引入回顾重要不等式：如果Rba∈,，则abba222≥+（当且仅当ba=时，取“=”号）如果0,0a b>>,我们用,a b分别代替,a b,可得什么不等关系?巩固知识，导入新课二.新课讲解1.用分析法证明abba≥+2,0,0a b>>2.如果a,b都是正数，那么2baab+≤，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为均值不等式。

其中2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。

文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.探究：如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能根据图形对基本不等式作出几何解释吗?几何解释：圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等学习新的知识点。

《2.2基本不等式2a b +≤》教学设计 教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a b+≤的证明过程； 【教学难点】1.2a b+≤等号成立条件； 2.2a b+≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀a,b ∈R ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得√ab ≤a+b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，a+b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b+≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥（1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b -≥0 （3） 要证（3），只要证 （-）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a bab +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x ），使∀x >0，都有x ＋1x ≥y .观察x +1x ，发现x ∙1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋1x ≥2√x ∙1x =2当且仅当x =1x ，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x （x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x =y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2√P；S2.（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14证明：因为x，y都是正数，所以x+y≥√xy.2（1）当积xy等于定值P时，x+y≥√P，2所以x+y≥2√P，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2√P.（2）当和x+y等于定值S时，√xy≤S,2所以xy≤1S2，4S2.当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值14例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z=150×48003+120（2×3x+2×3y）=240000+720（x+y）.由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z ≥240000+720×2√xy ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0 b ＋c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（a+b 2），几何平均数（√ab ）及它们的关系（a+b 2≥√ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤a 2+b 22，ab ≤（a+b 2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（共2课时）（第1课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。

从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。

引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

1.教学重点：的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；2.教学难点：基本不等式ab ba ≤+2等号成立条件； 多媒体2a b+新人教A 版 必修第一册教学过程教学设计意图 核心素养目标 （一）、情景导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ （二）、探索新知1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边 长为a,b （a ≠b ）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时， 正方形EFGH 缩为一个点，这时有．（通过几何画板演示当a=b 时的图像）2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数a,b ，我们有，当且仅当a=b 时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为通过介绍第24届国际数学家大会会标 的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。

Come go have do take pay spend build send cost put cut read run bring buy think teach catch tell sell say fly know throw draw see meet get eat hear leave make speak give swim find sleep sweep keep can will stand understand sit sing begin drink feel drive write ride forget win lose wear set choose breakCome/came go/went have/had do/did take/took pay/paid spend/spent build/built send/sent cost/cost put/put cut/cut read/read run/ran bring/brought buy/bought think/thought teach/taught catch/caught tell/told sell/sold say/said fly/flew know/knew throw/ threw draw/drew see/saw meet/met get/got eat/ate hear/heard leave/left make/made speak/spoke give/gave swim/swam find/found sleep/slept sweep/swept keep/kept can/couldwill/would understand/ understood stand/stood begin/began drink/drank sit/sat sing/sang feel/felt drive/drove write/wrote ride/rode forget/forgot win/won lose/lostGone with the windCome/came/comego/went/ gonehave/had/ haddo/did/donetake/took/takenpay/paid/paidspend/spent/spentbuild/ built/ builtsend/sent/sentcost/cost/costput/put/putcut/cut/cutread/read/readrun/ran/runbring/brought/brought buy/bought/bought think/thought/thought teach/taught/taught catch/caught/caught tell/told/toldsell/sold/soldsay/said/saidfly/flew/flownknow/knew/knownthrow/threw/thrown draw/drew/drawnsee/saw/seenmeet/met/metget/got/goteat/ate/eatenhear/heard/heard leave/left/leftmake/made/made speak/spoke/spoken give/gave/given swim/swam/swumbegin/began/begun drink/drank/drunksing/sang/sungfind/found/found sleep/slept/slept sweep/swept/swept keep/kept/keptcan/could/couldwill/would/would understand/ understoodstand/stood/stoodsit/sat/satfeel/felt/feltdrive/drove/driven write/wrote/written ride/rode/ridden forget/forgot/forgetten win/won/won lose/lost/lostWear-wore-wornSet-set-setChoose-chose-chosenChoice loss。

基本不等式一、教材分析基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重的基础的内容.前面的学习中, 学生已经学习了等式与不等式性质以及重要不等式a2+b2≥2ab的相关内容，对于两个数的大小关系的研究思路有一定的了解，基本不等式是几何平均数小于等于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均数不大于算术平均数.基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值与最小值.同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法.因此基本不等式内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模的素养.通过对这一节内容的学习,学生可以较为真切的体会到数形结合法的神奇之处,也加强了数学联系生活这一重要的数学观。

在学习过程中,要用心体会数学思想方法,为以后抽象数学思想方法做好铺垫。

二、学情分析在知识结构上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数与式的大小比较，也具备一定的平面几何的基本知识. 本节内容在复习、巩固不等式性质和重要不等式的前提下学习基本不等式，这为学生研究“基本不等式”提供了理论基础和探究方向．在能力水平上，刚进入高中的学生们缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点. 其次，基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解. 对于基本不等式的学习,学生的认知困难主要在两个方面: (1)什么是基本不等式？学生对新概念的理解和接受是比较困难的; (2)如何用数形结合的思路理解基本不等式？应该重视学生的独立思考和计算，重视课堂问题的讲解设计,引导学生掌握。

三、教学目标知识与能力目标：1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力。

新人教A版必修第一册【新教材】2.2基本不等式教学设计（人教A版）《基本不等式》在人教A版高中数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。

本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。

同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。

课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。

2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。

3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。

数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值；4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。

重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入：在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本44-45页，思考并完成以下问题1. 重要不等式的内容是？2.基本不等式的内容及注意事项？3.常见的不等式推论？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.重要不等式2.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:_____________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. 注意：一正二定三等.3.几个重要的不等式(1)a 2+b 2≥______(a,b∈R). (2) ≥____(a,b 同号). (3) (a,b ∈R).(4) (a,b ∈R). 4. 设a>0,b>0，则a,b 的算术平均数为___________,几何平均 数为______，基本不等式可叙述为：_____________________.四、典例分析、举一反三题型一 利用基本不等式求最值例1 求下列各题的最值. )0,0(2>>+≤b a b a ab b a a b +2)2(b a ab +≤222)2(2b a b a +≥+a>0,b>0 a=b 2ab 2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值；（2）x>0,求 的最小值；（3）x<3，求 的最大值； 【答案】见解析【解析】（1） 由x>0,y>0,xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.(2)∵x>0,等号成立的条件是 即x=2,∴f(x)的最小值是12.(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,当且仅当 即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.解题技巧：（利用基本不等式求最值）(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；(2)根据已知范围，确定两式的正负符号；(3)根据两式的符号求积或和的最值.总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”.跟踪训练一（1）已知x>0,y>0，且 求x+y 的最小值； y x z 52+=x x x f 312)(+=x x x f +-=34)(.2.210102105252min =∴=≥+=+z xy x y y x 则,123122312)(=∙≥+=∴x xx x x f ,312x x =,x x -=-334,13)3(3423)]3(34[3)3(3434)(-=+-∙--≤+-+--=+-+-=+-=∴x xx x x x x x x f ,191=+yx（2）已知x< 求函数 的最大值;（3）若x,y ∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y 的最小值.【答案】见解析【解析】题型二 利用基本不等式解决实际问题例2 （ １ ） 用篱笆围一个面积为１００ 的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ，所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？54124-+-=x x y ,45（ ２ ） 用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？【答案】见解析【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 ，篱笆的长度为 m.(1)由已知得由 ≥ ，可得 ≥所以 ≥ ,当且仅当 =10时，上式等号成立.(2)由已知得 ，矩形菜园的面积为由 = = 9,可得 81， 当且仅当 =9时，上式等号成立.解题技巧：(利用基本不等式解决实际问题)设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。

《2.2基本不等式2a b +≤》 教材分析：“基本不等式” 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a b+的证明过程； 【教学难点】 1.2a b+≤等号成立条件； 2.2a b+≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀a,b ∈R ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得√ab ≤a+b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality ）.其中，a+b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考: 上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b+≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤ 用分析法证明：要证2a b+≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3）要证（3），只要证 （ - ）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1： 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab .这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x ），使∀x >0，都有x ＋1x ≥y .观察x +1x ，发现x ∙1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋1x ≥2√x ∙1x =2当且仅当x = 1x，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x（x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x=y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x =y 时，和x +y 有最小值2√P ； （2）如果和x +y 等于定值S ，那么当x =y 时，积xy 有最大值14S 2.证明：因为x ，y 都是正数，所以x+y 2≥√xy .（1）当积xy 等于定值P 时，x+y 2≥√P ，所以x +y ≥2√P ，当且仅当x =y 时，上式等号成立.于是，当x =y 时，和x +y 有最小值2√P . （2）当和x +y 等于定值S 时，√xy ≤S2,所以xy ≤14S 2，当且仅当x =y 时，上式等号成立.于是，当x =y 时，积xy 有最大值14S 2.例3 （1）用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xy m2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm ，ym ，水池的总造价为2元.根据题意，有z =150×48003+120（2×3x +2×3y ）=240000+720（x +y ）.由容积为4800m 3，可得3xy =4800，因此xy =1600.所以z ≥240000+720×2√xy ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. 解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0 b ＋c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（a+b 2），几何平均数（√ab ）及它们的关系（a+b 2≥√ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤a2+b22，ab≤（a+b2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。

1．基本不等式：错误!≤错误!(1）基本不等式成立的条件：a >0，b >0。

（2）等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1）a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ）． (2）错误!＋错误!≥2(a ,b 同号)． （3）ab ≤错误!2(a ，b ∈R ）． (4）错误!≥错误!2 （a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b 。

3．算术平均数与几何平均数设a 〉0，b >0，则a ，b 的算术平均数为错误!，几何平均数为错误!，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x 〉0，y 〉0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2错误!。

（简记:积定和最小) （2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值错误!。

（简记：和定积最大） 概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋错误!的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋错误!的定义域是{x ｜x ≠0｝，当x <0时，y 〈0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1）函数f (x )＝cos x ＋错误!，x ∈错误!的最小值等于4。

( × ） （2)“x >0且y 〉0"是“错误!＋错误!≥2”的充要条件．（ × ) (3）(a ＋b ）2≥4ab (a ,b ∈R ）．（ √ )（4)若a 〉0，则a 3＋错误!的最小值为2错误!.( × )（5）不等式a 2＋b 2≥2ab 与错误!≥错误!有相同的成立条件．（ × ) (6）两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二 教材改编2．设x 〉0,y 〉0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x 〉0,y >0，∴错误!≥错误!，即xy ≤错误!2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，（xy )max ＝81.3．若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为错误!×(20－2x ）＝(10－x ）m ，其中0<x 〈10, ∴y ＝x （10－x ）≤错误!2＝25,当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25。

《2.2基本不等式》单元-课时教学设计一.内容和内容解析 1. 内容（1）本节的知识结构框图（梅州教研活动作者放“2（3）内容地位与作用”）（2）本节的知识内容：基本不等式的含义（概念、证明、几何解释）及其应用。

2. 内容解析（1）内容的本质“基本不等式”是求最值的常用方法之一，是两个量（正数）的“算术平均数”与“几何平均数”之间的大小关系，也可称为“均值不等式”（其实，可以推广到多个量）。

“基本不等式”体现“加法”与“乘法”两种运算之间的一种区别。

“基本不等式”在几何意义上，是“直径为最长弦长”。

（2）蕴含的数学思想方法本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法：①在基本不等式的证明和运用基本不等式时的转化思想； ②在基本不等式的几何解释时的数形结合思想； ②在解决实际问题中的建模思想。

（3）知识的上下位“基本不等式”是前面学习完不等式性质之后的第一个具体且重要的不等式（定理），在此章与“二次函数与一元二次方程、不等式”有着并列的地位，属于预备知识，为后面研究函数做好必要知识的铺垫。

（4）育人价值本节教科书充分关注了与实际问题的联系，体现数学应用的价值。

例如，教科书从“北京举办的24届国际数学大会”“篱笆围菜园”“建造长方体形无盖贮水池”等实际生活中的问题，有利用学生更好地感受“数学来源于生活、服务于生活”，促进学生关心生活、关注社会，增强社会责任意识，所以在教学中，我们结合具体的实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值。

①通过基本不等式的几何解析，可以培养学生“直观想象”的素养，并从中感受“数形一致”的数学魅力。

②通过严谨的证明活动，发展学生“逻辑推理”的素养。

③通过具体运用基本不等式求解相关函数最值时，培养学生数学运算素养 ④通过建立数学模型，并利用基本不等式求解最优化等实际问题，发展学生“数学建模”素养。

（5）教学重难点重点：基本不等式含义的理解与证明。

难点：利用基本不等式求最值的基本方法及实际应用。

《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中教科书·数学（A 版）》必修第一册课题：2.2 基本不等式（第一课时）一.教学内容分析《基本不等式》是高中教材人教A 版必修一第二章第二节的内容，是在系统地学习了等式性质和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，是从几何背景（赵爽弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。

本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)a b ab a b R +≥∈。

在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。

其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。

这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。

因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

二．教学目标设置《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。

根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想。

（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性。

三．学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式。

同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力。

基本不等式 例1:,,26,a b R a b ∈+=则的最小值是．解：()()()22221219332a b a b a b a b ⎛⎫++≥+⇒+≤⇒-≤+≤ ⎪⎝⎭,故最小值为3-。

例2：设函数()3142,f x x x =-+-则当x =时，()f x 的最大值是。

解：()()()()2221234314231425x x x x x x -+-+≥-+-⇒-+-≤⎡⎤⎣⎦，当且仅当221234x x --=时等号成立，此时3425x =。

解：()()()21111x y xy xy ++≥+⇒≤，故xy 最大值为1。

例4：已知m ＞0，n ＞0，1m n+=，则（m+1）(n+4）的最小值为（ ） A 49 B 7 C 36 D 6解:()()()()22141441216,1444236mn m n mn m n m n mn+=⇒+≥⇒≥++≥+=+=，故选C 。

1。

2x y z ++=已知：,222x y z ++则的最小值是． 2。

若0,0>>b a 且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是( ） A ．211>ab B ．111a b +≤C ．2≥ab D ．81122≤+ba 3。

已知：22236,x y +=则3x y +的最大值为。

4。

在的条件下，，00>>b a 三个结论:①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a ba ab +≥+22，其中正确的个数是 ( ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35.已知非负实数x ，y 满足x+y=1,则的最小值为( ）A ． 1B ． 2C ． 3D ．46。

设实数22,1,+0x y x y x y c c +=+=满足当时，的最大值是。

7.若0,0,x y x y x y >>+且恒成立，则a 的最小值为.模型一：一高一低和式配凑类型已知22x y +的值，求x y +的取值范围,或者已知x y +的值，求2223x y +的最值或者求x y +的最值即22222()()()x y m n mx ny ++≥+ 其中m 、n R +∈ 经常出现22222+22a b a b a b a b +++≥+≥（）（11）（）或者写成 模型二：同次积式配凑类型 已知xy 的值,求()()(),*x m y n m n R ++∈的最值，利用()()()2x m y n xy mn ++≥+求最值。

基本不等式1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件．2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题．知识梳理1．基本不等式a ＋b 2≥ab(1)基本不等式成立的条件： a >0，b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时不等式取等号．2．几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R )；(2)a b ＋b a ≥ 2 (a ，b 同号)；(3)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22 ≥ (a ＋b 2)2. 3．基本不等式求最值(1)两个 正数 的和为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其积最大．(2)两个 正数 的积为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其和最小．利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．热身练习1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是(D)A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2A 、C 中，a ＝b 时不成立，B 中，当a 与b 均为负数时不成立，而对于D ，利用基本不等式x ＋y ≥2xy (x >0，y >0)成立，故选D.2．已知a ，b 为正数，则下列不等式中不成立的是(D)A ．ab ≤a 2＋b 22B ．ab ≤(a ＋b 2)2C.a 2＋b 22≥a ＋b 2D.2aba ＋b ≥ab易知A ，B 成立，对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，所以a 2＋b 22≥a ＋b2，故C 成立．对于D ，取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立．由以上分析可知，应选D.3．周长为60的矩形面积的最大值为(A)A ．225B ．450C ．500D ．900设矩形的长为x ，宽为y ，则2(x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30，所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2＝225，即S max ＝225.当且仅当x ＝y ＝15时取“＝”，故选A.4．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )(A)A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数f (x )＝－[(－2x )＋(－1x )]－1≤－22－1， 当且仅当x ＝－22时，等号成立，所以函数f (x )有最大值，所以选A.5．(2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为8 .因为直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， 所以1a ＋2b ＝1，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24ab ·b a ＝8， 当且仅当ba ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.利用基本不等式判断大小关系下列不等式一定成立的是A ．x 2＋1>2x (x ∈R )B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1＋1x 2＋1>2(x >0) D ．x ≥1x(x >0)对于A ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，A 不正确．对于B ，需要满足sin x >0，不等式成立，所以B 也不正确；对于C ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号，但x >0，所以不等式不能取到等号，故C 正确．对于D ，当0<x <1时，x <1x，故D 不正确．C运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用．1．(2018·福建莆田模拟)下列结论正确的是(C)A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x≥2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x的最小值不为4(因为sin x ＝2不成立)； 对于C ，当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.利用基本不等式求最值(1)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值． (2)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．(1)y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3 ≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，取等号． 故当x ＝1时，y max ＝1.(2)(方法一)因为x >0，y >0，1x ＋9y＝1， 所以x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x＋9x y ＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，且1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(方法二)由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)， 可知x >1，y >9，从而x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －y －＋10＝16，所以当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．2．(1)若x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 32. (2)(2018·江苏杭州一模)若对任意的x >1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是(B)A ．4B ．6C ．8D ．10(1)因为x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6.所以xy ＝16(2x )·(3y )≤16(2x ＋3y 2)2＝32， 当且仅当2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时，xy 取得最大值32. (2)a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min . 因为x 2＋3x －1＝x －2＋x －＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2， 因为x >1，所以(x －1)＋4x －1＋2≥2x －4x －1＋2＝6， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取“＝”，所以a ≤6. 故a 的最小值为6.基本不等式的实际应用(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为(3600x＋4x )万元． 因为3600x ＋4x ≥23600x ·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．30应用基本不等式解决实际问题的步骤：①先理解题意，设变量时一般把要求的最大(小)值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大(小)值问题；③利用基本不等式求函数的最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；④回到实际问题中，写出正确答案．3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 80 件．设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，分析其结构特点，有利于在运用过程中根据问题的结构特征灵活地对公式进行合理选择．2．基本不等式的应用主要是：(1)证明某些不等式；(2)求某些函数的最值．3．利用基本不等式求最值，有“和定积最大，积定和最小”的结论，利用它可以解决某些非二次的有关函数及多元函数的最大值或最小值问题，在具体解题时，要特别注意：“一正、二定、三相等”的条件．创造利用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目标在于满足“一正、二定、三相等”的条件．。

教学设计 高中课程标准 数学必修一2.2基本不等式（1）姓名： 学号：一、课前回顾判断下列四个命题的真假:（1）若a<b<0,则ba 11<； （2）若a>b>c,则有a|c|>b|c|;（3）若a>b,c<d,则有a-c>b-d; （4）若b<a<0,n ∈N,n>1,且n 为奇数,则有a n >b n .答案：（1）假命题（2）假命题（3）真命题（4）真命题设计意图：以小组为单位回顾，复习上一节重点知识，巩固不等式的性质二、揭示目标1.熟练掌握基本不等式及其应用.2.能够利用基本不等式求函数和代数式的最值.3.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.设计意图：教师揭示学习目标，让学生清楚重点，带着明确的目标进行学习。

三、自学指导阅读教材44-45页，回答下列问题⒈算术平均数与几何平均数：设b a 、是任意两个正数，把2b a +叫做正数b a 、的算术平均数；把ab 叫做正数b a 、的几何平均数。

⒉重要不等式：对于任意实数b a ,，ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

⒊基本不等式：如果b a ,是正数，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立。

注意：“一正、二定、三相等”的条件；主要技巧：“拆项”，“添项”，“配凑因式”。

设计意图：将本节重点知识梳理出来，让学生通过预习和阅读教材，弄清楚这几个问题。

四、当堂训练 的最小值求已知例xx x 1,0)1.(1+>2110,2,1,1,1,, 2.解：（1）因为所以当且仅当即时等号成立因此所求的最小值为x x x x x x x x x>+⋅====≥ 变式训练1.(1)求)0(254>+=x xx y 的最小值. (2)若0,0>>x a ，且a 为常数,则x a x y 4+=有最 小 值,其值为 a . 解:(1)因为x>0,所以202542254=⋅≥+=x x x x y ,当且仅当x x 254=,即25=x 时,等号成立.所以y 的最小值为20.（2）因为a>0,x>0,所以a x a x x a x =⋅≥+424,当且仅当xa x 4=,即2a x =时取等号. 例1.（2）已知)0,0(223>>=+b a ba ,求ab 的最小值. 解：因为)0,0(223>>=+b a b a 所以b a b a 232232⋅≥+=,即ab≥6,当且仅当b a 23=且223=+ba ,即2,3==b a 时,取等号.所以ab 的最小值是6. 变式训练2.若0,0>>y x 且1=xy ,则y x 4+的最小值是 4 .解： 因为x>0,y>0,且xy=1,所以442424==⋅≥+xy y x y x当且仅当y x 4=，即21,2==y x ，时取等号.例1.（3）已知31<<-x ,则)3)(1(x x y -+=的最大值是 4 .解：因为-1<x<3,所以1+x>0,3-x>0,所以22)3()1()3)(1(=-++≤-+x x x x .所以(1+x)(3-x)≤4,当且仅当1+x=3-x,即x=1时取等号.变式训练3.若0<x<4,求)28(x x y -=的最大值.解：因为0<x<4,所以4-x>0,所以22]2)4([2)4(2)28(=-+≤-=-=x x x x x x y .当且仅当x=4-x 即x=2时取等号,故y 的最大值为22例1.(4)已知x>3,求6242-+=x x y 的最小值. 解:因为x>3,所以2x-6>0,所以106226624)62(26624)62(6242=+⨯=+-+-≥+-+-=-+=x x x x x x y 当且仅当62462-=-x x ,即x=4时取等号.所以6242-+=x x y 的最小值是10. 变式训练4.若x>1,求112-+=x x y 的最小值. 解：令t=x-1,故x=t+1,则由x>1知t>0,则222221)1(2+≥++=++=t t t t y ,当且仅当2=t ,即12+=x 时取等号.所以112-+=x x y 的最小值为222+ 五、小组汇报小组先互助，再汇报。

研究最值问题的两个重要模型，为本节课的进一步学习做好铺垫a1. 基本不等式：如果a>0 ，b>0 ，那么<等号成立.2. 已知x，y 都是正数，（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2. （2）如果和x+y 等于定值S，那么当x=y 时，积xy 有最大值.教师追问：请同学们尝试用自然语言，一句话表达出上述（1）和（2）这两个基本问题.学生：当两个正数变量的积或和为定值时，它们的和有最小值或积有最大值.教师与学生共同完成问题一的解答过程如下.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m ，则篱笆的长度为2(x+y)m.（1）由已知，得xy= 100，教师追问：当我们已知两个正数的积为定值时，如何求它们的和的最小值呢？学生：运用基本不等式.根据基本不等式≥ ，可得x + y ≥ 2 = 2 = 20 ，所以，2(x+y)≥40.当且仅当ݔ=ݕ= 10 时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知，得2(ݔ+ݕ)=36 ，矩形菜园的面积为ݔݕm2.教师追问：当我们已知两个正数的和为定值时，如何求它们的积的最大值呢？学生：仍然是运用基本不等式根据基本不等式可得，< = = 9 ，所以，xy≤81.当且仅当x=y=9 时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是81 m2.【设计意图】通过对上述两个问题的研究，使学生体会如何运用基本不等式模型来理解和识别实际问题，从而利用基本不等式解决实际问题. 特别地，在解决这两个问题的过程中，分别有不同的侧重点：对于问题（1）重点分析变量的个数、已知条件、是否符合基本不等式的模型等特征，以说明解决问题中每一步的必要性；对于问题（2）侧重于运用基本不等式时判断等号是否成立的必要性的再认识，从而对实际问题的结果的合理性作出解释.解：设贮水池池底的相邻两条边的长分别为x m ，y m ，水池的总造价为z 元.根据题意，得z= 150xy+120(2×3x+2×3y)= 150xy+720(x+y)由容积为4800m3 ，可得3xy=4800，因此xy= 1600，根据基本不等式可得，x + y ≥ 2，根据不等式的基本性质可得，720(x+y) ≥720×2，所以，240000+720(x+y) ≥240000+720×2，则z=240000+720(x+y) ≥240000+720×2=240000+720×2=297600.当且仅当x=y=40 时，上式等号成立.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600 元.教师追问：同学们，你能自己设计一个有关最值问题的实际问题吗？并解决它.你可以改变上述问题二中的某个条件或某些条件，或者另外设计一个问题.预案：①将问题二中的“容积为4800m3 ”改为“容积为6000m3 ”；②将问题二中的“深为3m ”改为“深为4m ”；③将问题二中的“池底每平方米的造价为150 元”改为“池底每平方米的造价为180 元”；……【设计意图】通过对问题二中的实际问题的研究过程，使学生能够根据数学建模的数学思想，将实际问题转化为数学问题，再利用基本不等式模型进行求解，最后将数学问题回归到实际问题中，得出实际问题的设计方案；最后通过一个开放性问题，可以给学生一个自由发挥的空间，有利于学生对问题的再认识.3分钟归纳小结在此环节中，教师引导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，逐步提升数学学科的核心素养.（1）基本不等式：如果a>0 ，b>0 ，那么< ，当且仅当a=b时，等号成立；（2）两个基本模型：当两个正数的积为定值时，当这两个正数相等时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，当这两个正数相等时，它们的积有最大值；（3）通过对实际问题的分析与解决，经历了数学建模的基本过程，体会了数学建模的基本思想，逐步提升数学建模素养.。

《2.2基本不等式》教学分析课题 2.2基本不等式学情分析本课是在了解了等式的性质和不等式性质之后的一节课，在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要不等式——基本不等式，这对初入高中阶段的学生要求较高，教师需详细讲解。

教学目标1.推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是，当且仅当两个数相等。

2.通过实例探究抽象基本不等式，体会并掌握基本不等式。

3.积极倡导同学们几何与代数的结合运用，发现各实物之间的普遍联系。

教学重难点1.重点：探究基本不等式2a bab+≤的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值。

2.难点：基本不等式2a bab+≤等号成立条件。

教学设计教学内容师生活动设计意图一、情景引入，温故知新情景：我们都知道赵爽弦图是赵爽为了证明勾股定理而绘制的，它既标志着中国古代的数学成就，又像是一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

生1：初中就已验证过的勾股定理22=2a b ab+。

师追问：从面积方面能得到什么不等关系吗？生2：由正方形面积大于四个全等直角三角形面积得出2221422c a b ab ab=+≥⋅=，即222a b ab+≥。

师：事实上在上一节中我们也可由问1意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式222a b ab+≥。

在此基础上，引导学生认识基本不等式。

问1：你能在这个四边形ABDE 中找出一些相等关系或不等关系吗？ 问2：你能给出相应的证明吗？完全平方式得出。

我们把它叫做重要不等式。

（板书：22,2,a b R a b ab ∀∈+≥、有当且仅当a b =时，等号成立。

） 生3：黑板板书教学内容师生活动 设计意图二、1、归纳新知问3：特别地，当a>0,b>0时，在不等式222a b ab +≥中，以a b 、分别代替a 、b ，得到什么？教师板书，总结归纳：我们把2a bab +≤称为基本不等式，其中2a b+叫做正数a b 、的算术平均数，ab 叫做正数a b 、的几何平均数。

要证②，只要证2√ab−a−b≤0. ③要证③，只要证−(√a−√b)2≤0 ④要证④，只要证(√a−√b)2≥0 ⑤显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立.我们可以看到，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了.追问（1）：请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么？教师引导由②⟹①，由③⟹②,由④⟹③，由⑤⟹④的依据.教师总结：②⟹①（根据不等式性质，两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向）③⟹②（根据不等式性质，两边同时加上正数（a+b），所得不等式与原不等式同向）④⟹③（运用完全平方差公式打开计算）⑤⟹④（根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向）显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立.追问（2）：上述证明方法叫做“分析法”，你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.追问（3）:根据我们的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？师生活动：学生思考后回答.教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……”“只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然……成立。

下面我们一起来看问题3.5分钟几何解释同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想到从几何角度基本不等式也有背景对应呢?下面我们一起来探究一下?问题3：在图1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD.你能在这个图形中尝试找出2a b和ab所对应的是哪条线段吗?进而得出基本不等式的几何解释吗？师生活动：教师引导学生思考后回答，可证∆ACD∼∆DCB,因而CD=√ab。

基本不等式及应用典例精析题型一 利用基本不等式比较大小【例1】（1)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y ）＝1，则（ )A 。

x ＋y≥2（错误!＋1) B.x ＋y≤2(错误!＋1）C.x ＋y≤2（错误!＋1)2 D 。

x ＋y≥（错误!＋1)2（2）已知a ，b ∈R ＋，则错误!，错误!，错误!，错误!的大小顺序是 .【解析】(1）选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y ），又xy≤（错误!)2，所以（错误!)2≥1＋（x ＋y ）。

解得x ＋y≥2(2＋1)或x ＋y≤2（1－错误!)。

因为x ＋y ＞0，所以x ＋y≥2(错误!＋1).(2)由错误!≥错误!有a ＋b≥2错误!，即a ＋b≥错误!，所以错误!≥错误!。

又a ＋b 2＝错误!≤错误!，所以错误!≥错误!， 所以错误!≥错误!≥错误!≥错误!.【点拨】本题（2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用。

【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式错误!＋错误!＞错误!恒成立，则λ的取值范围是 .【解析】（－∞，4）。

因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0,a －c ＞0。

而（a －c ）(错误!＋错误!）＝［（a －b)＋（b －c ）]（错误!＋错误!）≥4，所以λ＜4. 题型二 利用基本不等式求最值【例2】（1）已知x ＜错误!，则函数y ＝4x －2＋错误!的最大值为 ；(2)已知二次函数f(x ）＝ax2＋bx ＋c 的导数f′(x)，f′（0）＞0，对任意实数x ，有f （x)≥0，则错误!的最小值为( )A 。

3 B.错误!C 。

2 D 。

错误!【解析】（1)因为x ＜错误!，所以5－4x ＞0.所以y ＝4x －2＋14x －5＝－（5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1。

当且仅当5－4x ＝错误!，即x ＝1时，等号成立.所以x ＝1时，ymax ＝1。

(2）选C.因为f （x ）≥0，所以⎩⎨⎧≤-=>.0402ac b Δa所以c≥错误!.又f′(x)＝2ax ＋b ，所以f′(0）＝b ＞0，错误!＝错误!＝1＋错误!≥1＋错误!≥1＋错误!＝2，当且仅当c ＝错误!且4a2＝b2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时,常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误。