2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题
一．选择题（共9小题）
1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）
A．B．C．
D．
2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A．πB．C．D．
3．在正方体ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
中，E为棱CD的中点，则（）
A．A
1E⊥DC
1
B．A
1
E⊥BD C．A
1
E⊥BC
1
D．A
1
E⊥AC
4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．60 B．30 C．20 D．10
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（）
A．+1 B．+3 C．+1 D．+3
6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）
A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）
A．90πB．63πC．42πD．36π
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．已知直三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC
1
=1，则异面直线
AB
1与BC
1
所成角的余弦值为（）
A． B．C．D．
二．填空题（共5小题）
8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为．
9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．
10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．
11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．
12．如图，在圆柱O
1O
2
内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，
记圆柱O
1O
2
的体积为V
1
，球O的体积为V
2
，则的值是．
三．解答题（共9小题）
13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
14．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
15．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE ⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
16．如图，直三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长
分别为4和2，侧棱AA
1
的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A
1
M与平面ABC所成角的大小．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
20．由四棱柱ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
截去三棱锥C
1
﹣B
1
CD
1
后得到的几何体如图所示，四
边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A
1
E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）证明：A
1O∥平面B
1
CD
1
；
（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A
1EM⊥平面B
1
CD
1
．
