南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指
定位置上 1．已知集合{}
2
10A x x =-=，{}1,2,5B =-，则A
B = ▲ .
2．已知复数21i
z i
+=
-（i 是虚数单位），则||z = ▲ . 3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，
则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .
5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中 从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ .
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点
(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ .
7．已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ .
8
．设一个正方体与底面边长为
▲ .
9．在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，4
A π
=，3
cos 5
B =
，则边c = ▲ . 10．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若
6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲ .
11．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3
BAC ∠=
，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ▲ .
12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22
:(1)5C x y -+=相交于,A B 两
点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲ . 13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22x
x m
f x =+
，设(),1,()(),1,
f x x
g x f x x >⎧=⎨-≤⎩ 若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .
14．设函数32,,
ln ,
x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角
S ←1
For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S
第4题图 A
B
C
D
第11题图
三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答
案写在答题纸的指定区域内 15．(本小题满分14分)
设函数()sin()(0,0,,)2
2
f x A x A x R π
π
ωϕωϕ=+>>-<<
∈的部分图象如图所示.
（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当[,]22
x ππ
∈-
时，求()f x 的取值范围.
16．(本小题满分14分)
如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，
2
ACB π
∠=
，M 是棱BC 的中点.
（1）求证：//OM 平面11ABB A ； （2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .
O x y
56π 第15题图 2 3π A
C
B
M O
A 1
C 1
B 1
第16题图
如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区. 为
了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆2
2:14
x C y +=上一点，从原点O 向圆222
00:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .
（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；
（2
）若5
r =.
①求证：121
4
k k =-；
②求OP OQ ⋅的最大值.
B A · ·
居民生活区 第17题图
第18题图
已知函数()x ax
f x e
=
在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；
（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有2
1
()2f x k x x
<
+-成立，求k 的取值范围； （3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12
()2
x x g +'的正负，并说明理由.
20．(本小题满分16分)
设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,
,i a a a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++中的最小项为i B ，(1,2,3,
,1)i i i r A B i m =-=-.
（1）若数列{}n a 的通项公式为2n
n a =，求数列{}i r 的通项公式；
（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；
（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等
比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.
