系综理论

系综系综理论简介姓名:毕思峰学号：130********摘要：通过查阅相关⽂献，本⽂简单介绍了系综理论的历史，阐述了Γ-空间、系综的统计分布及配分函数等基本概念，并总结了三则系综的相互关系。

希望对初学者能更好的理解系综理论有所帮助。

关键词：系综理论Γ-空间统计分布配分函数Abstract:To help fresh learners understand the ensemble theory better,this paper briefly introduce the history of the ensemble theory, giving some basic concept including Γ-space and statistics distribution and partition function of the ensemble theory by referring to related articles, and last, summarize the relationship of three types of ensembles.Key words: ensemble theory Γ-space statistics distribution partition function1、系综理论的由来系综的观念是由吉布斯继承和借鉴玻尔兹曼、麦克斯韦的思想发展⽽来的。

⾸先，吉布斯从玻-麦那继承了描述体系状态的动⼒学⽅法和统计⽅法[1]，并对其相空间的概念进⾏了改⾰，使玻尔兹曼、麦克斯韦的分⼦向空间发展为吉布斯的Γ-空间。

两者的区别⽽在于：前者只能描述相互作⽤微弱的⽽近乎独⽴的粒⼦组成的体系，⼀个相点只能描述⼀个粒⼦的相，⽽后者还能描述由相互作⽤强的粒⼦组成的体系，⼀个相点就可描述整个体系的相。

所以后者更具有实际意义。

其次，麦克斯韦的考察对象只是与外界既⽆物质也⽆能量交换的孤⽴系统，⽽吉布斯最初研究的是与外界有能量交换封闭系统，因此引⼊了外参量，并以此为基础上建⽴了正则系综。

热力学中的双状态系统与系综理论在物理学中，热力学是研究温度和能量转移的学科。

它主要关注系统和它的环境之间的热力学关系。

热力学中的双状态系统与系综理论是热力学的基础之一。

热力学中的双状态系统指的是具有两个状态的物理系统。

在这两种状态之间，它们的热力学性质有所不同。

最常见的双状态系统是衣架，衣架上可以悬挂衣物，也可以没有衣物。

当衣物悬挂在衣架上时，衣架的能量会发生变化，因此它的热力学性质也会发生变化。

热力学中的双状态系统可以通过系综理论来描述。

系综理论是热力学中的一种理论，用于研究大量处于同一温度下的分子系统。

系综理论主要包括三个概念：微正则系综，正则系综和巨正则系综。

微正则系综是一种系统，它的能量、体积和粒子数都是固定的。

这种系综是一种封闭的系统，它的能量是恒定的，因为不与外界发生热交换。

微正则系综的特点是各状态的概率是等价的。

正则系综是一种系统，它的体积和粒子数是恒定的，而能量可以发生变化。

正则系综是一种开放的系统，能够与外界交换热量。

由于能量可以变化，因此它们可以在不同的能量状态下存在。

正则系综的特点是各状态的概率取决于体系的能量和温度，通常是玻尔兹曼分布。

巨正则系综是一种系统，它的能量、体积和粒子数都可以变化。

巨正则系综是一种对数系综，它描述的是粒子数与能量的关系。

巨正则系综的特点是各状态的概率取决于体系的化学势、温度和粒子数。

热力学中的双状态系统可以通过这些系综理论来研究。

对于双状态系统，微正则系综通常用于描述它们在两种状态之间的变化。

而对于更复杂的系统，如分子系统，正则系综和巨正则系综则更为适用。

总之，热力学中的双状态系统与系综理论在研究热力学基本问题和一些物理问题中都有着重要的意义。

通过深入了解这些理论，我们可以更好地理解物理学，同时也可以将它应用于生产和生活中的一些实际问题中。

课程设计题目：系综理论的讨论及运用学院：电子与信息工程学院专业：物理学师范姓名：学号：指导老师: 时间: 系综理论的讨论及运用姓名：摘要系综是处在相同的给定宏观条件下的大量结构完全相同的系统的集合。

它是统计物理的一个想象中的工具，而不是实际客体。

本文从概念开始讨论系综理论内容和运用。

关键词概念；系综理论；正则分布；关系；运用系综理论的基本观点是，宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于系综平均。

系综的一个基本假设是各态历经假说：只要等待足够长的时间，宏观系统必将经历和宏观约束相应的所有可达微观态。

1 概念系统的一种可能的运动状态，可用相与中的一个相点表示，随着时间的推移，系统的运动状态改变了，相应的相点在相宇中运动，描绘出一条轨迹，由大量系统构成的系综则可表为相宇中大量相点的集合，随着时间的推移，各个相点分别沿各自的轨迹运动，类似于流体的流动。

若系统具有s个自由度，则相宇是以s个广义坐标p （详写为p、p2 ••…ps）和s个广义动量q（详写为q1、q2 ••…qs）为直角坐标构成的2s 维空间。

在相宇内任一点（p，q ）附近单位相体积元内的相点数目D （p , q ,t ）称为密度函数。

D（p,q,t）在整个相宇的积分等于全部相点数，即等于系综所包含的全部系统数N ，与时间t无关。

定义P p,q,t)=D(p,q,t)/N ,称为系综的概率密度函数。

P(p ,q, t) dpdq表示在t时刻出现在(p, q)点附近相体积元dpdq 内的相点数在全部相点数中所占的比值，即表示任一系统在t 时刻其运动状态处于(p，q )附近的相体积元dpdq内的概率。

显然，概率密度函数p( p, q , t)满足归一化条件/p(p,q,t ) dpdq=1 。

统计物理学的认为系统的任意宏观量I (t)是相应微观量L (p , q )在一定宏观条件下对系统一切可能的微观运动状态的统计平均值，即I(t )=几(p , q) p(p , q , t) dpdq。

系综和相空间的关系
系综和相空间是统计力学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的关系。

首先，我们来看系综的概念。

系综是指描述一个宏观系统可能的微观状态的集合。

在统计力学中，我们通常无法精确地描述一个系统的每个微观粒子的状态，因此我们引入了系综的概念。

常见的系综包括微正则系综、正则系综和巨正则系综，它们分别对应着系统的能量、粒子数和体积可以变化和不变的情况。

系综理论通过对系统所有可能的微观状态进行统计，从而得到系统的宏观性质，比如温度、压强等。

而相空间则是描述系统所有可能的微观状态的空间。

在经典力学中，相空间是由系统的广义坐标和广义动量构成的，每个点代表着系统的一个微观状态。

在量子力学中，相空间则是由系统的波函数构成的。

相空间的维度取决于系统的自由度，对于一个由N个粒子组成的系统，其相空间是6N维的（每个粒子有三个坐标和三个动量）。

相空间中的体积元对应着一个微观状态。

系综和相空间之间的关系在于，系综理论通过对相空间中的微
观状态进行统计，得到了系统的宏观性质。

换句话说，系综理论是基于相空间的统计理论。

通过对相空间的探索，我们可以了解系统的微观状态分布，从而推导出宏观性质。

相空间中的每个微观状态都对应着系综中的一个可能状态，而系综中的统计规律则反映了相空间中微观状态的分布情况。

总之，系综和相空间是统计力学中密不可分的两个概念，系综理论是基于对相空间的统计分析而建立起来的，它们共同帮助我们理解和描述复杂系统的性质和行为。

第三章统计系综3.1 引言宏观性质B 应是系统辗转经历各种微观态时所表现的该性质的时间平均值。

∫=τττ0),(1d p r B B i i Gibbs 系综方法：系统性质对时间的平均等价于大量标本系统性质的平均。

这些标本系统的集合称之为系综（ensemble)。

r i (t ), p i (t ) 为质点的坐标和动量i = 1, 2, 3…N (~1024)需知，，6N 个一阶微分方程。

dtdp dt dr ii ,3.2 正则系综一、正则系综定义：若有一个体积为V，粒子数为N的热力学系统，置于一温度为T的大热浴中（保持恒温），为计算这个恒温封闭系统的热力学性质，需设计一个如下图的系综。

T, V, N指定的标本系统将大量（数目为）的体积为V，粒子N数为N，温度为T的标本系统堆积在一起，这些标本系统之间有导热壁隔开，可以彼此传递热量但不许粒子通过，这样的样本系统集合称之为正则系综，系综由绝热壁所包围。

一、正则分布EE n N n ii i ==∑∑(1)(2)设这些标本体系能够取得的能量状态为：E 1,, E 2,, E 3,,…E i …处于各能量状态（即量子态，包括了简并度）的相应体系数目为：n 1 ,n 2, n 3, …n i …设整个系综的总能量为E ，则限制条件为：由于系综中每一个标本系统彼此可以辨别，所以给出系综的一个分布n 1 ,n 2, n 3, …n i …的排列方法数－即系综的微观状态数Ω为：)!!...!/(!21i n n n N =Ω举例说明上式：abcd箱2bcd acd abd abc 箱14321排列序号共4种，即：4!1!3/!4==Ω(3)将a ，b ，c ，d 四个粒子放入两个箱中的方法各种各样，现求出n 1 = 3, n 2= 1这种方法的数目：（3）式可产生各种分布{n i }，当最可几分布时，愈易出现Ωn i * n i（3）式两边首先取对数，并应用Stirling 公式，ln !ln ,ln ln ln i iiN N N N N N n n =−Ω=−∑则(5)则Ω或ln Ω应为极值(4)ln ln i i i i i i in n n n ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑由式(1)与(2)可知，求最可几分布问题是一个求条件极值问题，按照求条件极值的拉格朗日(Lagrange)未定乘数法将式(1)左端乘以因子－α，式(2)左端乘以因子－β，再与式(5)相加，最后对n i 求导可得：ln 0,1,2i i i i i i n n E i n αβ∂⎛⎞Ω−−==⎜⎟∂⎝⎠∑∑Lln ln 0i i i i i i i i i i i i in n n n n n E n αβ⎛⎞∂⎛⎞⎛⎞−−−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑ln 1ln 10i i i i n n E αβ⎡⎤⎛⎞+−−−−=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∑(6)(7)(8)iE i i i ee N n E n N βαβα−−=∴=−−−0ln ln (10)将式(10)代入式(1)中，可消去α，得：∑−=iE iee βα(11)∑−−=iE E i iiee N n ββ(12)∑−−==iE E i i iiee Nn p ββ(13)(9)∴式(10)变为：∴一个体系取能量状态E i 的几率为：即亦称状态和）(),,(∑−=iE ieN V T Z β(14)∑==iii p E E U (15)N i i iii V E P P p P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−===∑(17)三、正则配分函数定义正则配分函数Z 为：下面求β的意义：由前述的力学量的时间平均等于系综平均的假定，热力学中的内能相当于系综的平均能量<E>，即压力对于压力来说，(16)将式(15)微分：i i i i i ii ii i i i i i i N i i idU d E p E dp p dE E E dp p dVV E dp P dV⎛⎞==+⎜⎟⎝⎠∂⎛⎞=+⎜⎟∂⎝⎠=−∑∑∑∑∑∑(18)与(19)对比得：∑=iii dp E S Td (19)(20)(18)dU Td S P dV=−Q把（21）代入式（20）中，得：()Z p E Z E p i i i i ln ln 1ln ln +−=∴−−=ββ(21)()()∑∑+−=+−=ii i i ii iZdp dp p dp Z p S Td ln ln 1ln ln 1ββ(22)将式（13）取对数得：由（23）式可见，β与热力学温度T成反比⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=∴=∴=∑∑∑∑i i i iiiii i p p d dp p S Td dp p ln 1ln 11(1iββ），几率和为ΘkT1=β∑−=∴ikTE i eZ /(23)(24)k 为比例常数，即Boltamann 常数3.2正则配分函数与热力学函数的关系()/ln ln /ln ln i E kTi i i iii i i iiS k p p k p eZ p E Uk p Z k k Z kT T−=−=−=+=+∑∑∑∑(26)(27)/ln /−∂⎛⎞===⎜⎟∂⎝⎠∑∑2i E kTi i i iiVZ U E p E eZ kT T 由式（23）得：由式（15）得：,,ln T V T VF Z kT N N μ∂∂⎛⎞⎛⎞==−⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠(29)(30)ln F U TS kT Z=−=−ln T TF Z P kT V V ∂∂⎛⎞⎛⎞=−=⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠(28)作业：已知VDW 方程：求范德华型配分函数。