最新鲁教版五四制初一上册数学知识点资料

五四制鲁教版七年级数学知识点整式的加减一、代数式1、用运算符号把数或则表示数的字母联结而变成的式子，叫作代数式。

单独的一个数或字母也就是代数式。

2、用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。

二、整式1、单项式：(1)由数和字母的乘积共同组成的代数式叫作单项式。

(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

(3)一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。

2、多项式(1)几个单项式的和，叫作多项式。

(2)每个单项式叫做多项式的项。

(3)不不含字母的项叫作常数项。

3、升幂排列与降幂排列(1)把多项式按x的指数从小至大的顺序排列，叫作降幂排序。

(2)把多项式按x的指数从小到大的顺序排列，叫做升幂排列。

有理数1.如果按定义分，有理数可以分为整数(正整数;负整数;0)和分数(正分数，负分数)。

如果按正、负分，有理数可以分成正有理数(正整数;正分数)、0、正数有理数(正数整数;正数分数)。

2.所有的有理数都可以用分数表示，π不是有理数。

数轴相反数1.只有符号相同的两个数叫作互为相反数。

(0的相反数就是0)绝对值1.数轴上一点a至原点的距离则表示a的绝对值。

3.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

有理数的大小1.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

2.两个负数，绝对值小的反而大。

有理数的加法1.同号两数相乘，挑相同的符号，并把绝对值相乘。

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0。

一个数同0相加，仍得这个数。

3.在有理数的乘法中，加法交换率：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,和维持不变。

有理数的减法乘以一个数，等同于提这个数的相反数。

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘后得0。

山东版六年级上第一章丰富的图形世界§1.1.1生活中的立体图形多角度观察、认识立体图形。

§1.1.2图形是由点(point)、线（line）、面（plane）、构成的。

点动成线，线动成面，面动成体。

§1.2.1展开与折叠1、在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱(edge),相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

2、人们通常根据棱柱底面图形的边数，将棱柱分为三、四、五......棱柱。

长方体和立方体都是四棱柱。

3、认识棱柱的顶点、棱、面。

§1.2.21、将立方体沿某些棱剪开，认识其平面图形。

2、了解正多边形：边长相等，角也相等的多边形。

§1.3截一个几何体1、用一个平面去截一个几何体，截出的图形叫截面。

2、认识不同的截面。

§1.4从不同方向看1、从不同方向，不同角度观察立体图形、物体画出不同的视图。

2、主视图：把从正面看到的图叫做主视图；俯视图：从上面看到的图叫俯视图；左视图：从左面看到的图叫左视图。

3、俯视图通常画在主视图的下面，左视图通常画在主视图的左面。

§1.4.2画几何体的主视图、俯视图、左视图。

§1.5生活中的平面图形1、三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形（polygon）,它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。

2、圆上A、B两点之间的部分叫做弧（arc）,由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形（sector）.第二章有理数及其运算§2.1 有理数引入负数1、比赛得分与扣分。

带“—”号的得分比0分低。

生活中的负数，温度、收支、盈亏等等。

2、像5、1.2、1/2......这样的数叫做正数（positive number）,它们都比0大。

在正数前面加“—”号的数叫做负数（negative number）,如-10，-3，-1......3、零既不是正数，也不是负数。

初一数学期末复习知识点（上）鲁教版【本讲教育信息】一. 教学内容：初一数学期末复习（上）二. 学习重难点：重点：平方差、完全平方公式、平行线的判定和性质难点：平方差、完全平方公式、平行线的判定和性质变式训练。

三. 知识要点讲解：第七章整式知识结构1、单项式——数与字母的积组成的代数式叫做单项式。

注意：单独的一个数或一个字母也是单项式，如：2.5、x、π等2、多项式——几个单项式的和叫做多项式说明：多项式的项数是指——单项式相加的个数3、整式：单项式和多项式统称整式4、整式的加减运算：整式的加减运算的实质就是——合并同类项，如遇到括号，先去括号再合并同类项5、幂的运算法则：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即：nmnm aaa+=⋅（m、n为正整数）②幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：nmnm aa⋅=）（（m、n为正整数）③积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：nn n b a )b a (⋅=⋅ （n 为正整数）④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

n -m n m a a a =÷（m>n ，m 、n 为正整数）6、零指数幂与负整数指数幂： ①零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，即： a 0=1 （a ≠0）思考：为什么零指数幂中的底数不等于零呢？ ②负整数指数幂：一个不等于零的数的－m 次幂等于这个数的m 次幂的倒数。

即：mm ma 1a 1a ⎪⎭⎫⎝⎛==- （a≠0） 思考：为什么零指数幂、负指数幂中的底数不等于零呢？ 7、科学记数法：n 10a ⨯ 其中（1<a<10， n 为整数）8、单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。

9、单项式乘以多项式的运算法则单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加. 10、单项式乘以多项式的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.方法总结：在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行计算，这里再一次说明了整体性思想在数学中的应用。

初一数学（上）应知应会的知识点代数初步知识1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式（字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式）2.列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ；（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成23a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a3的形式； （6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a .3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ；（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ；（4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 .有理数1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a>⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|, ba b a=. 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明. 整式的加减1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

《认识三角形》知识点解读1三角形是平面内最简单、最基本的几何图形之一，在生活中随处可见。

他不仅是我们学习其他图形的基础，而且是现实生活中有着广泛的应用。

因此探讨三角形中的基本性质可以使我们更好的认识现实世界，为了更好的学好三角形，我们先着眼于三角形的一些基本概念和性质。

知识点1三角形的概念及表示（重点）不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边，三个内角，三个顶点。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。

解读：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

例1 如图所示，图中的三角形有（）A.6个B.8个C.10个D.12个分析：数三角形个数易遗漏或重复。

要做到不重不漏，就应按照一定的顺序去数。

如图，可按图形的形成过程去数，共有8个三角形，分别是：△ABC，△ADC，△ABD，△BCD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD。

答案：选B知识点2 三角形的内角和及其他性质（重点）三角形的内角和等于180°。

直角三角形的两锐角互余。

例2若一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于（）A.45°B.60°C.90°D.120°分析：因为三角形内角和为180°，条件中说三个内角不相等，最小角若大于60°，则内角和超过180°。

答案：应选B知识点3 三角形的分类（难点）按边分类：不等边三角形（三边均不相等）和等腰三角形（至少两边相等）【等边三角形：三条边都相等的三角形。

它是特殊的等腰三角形】按角分类：锐角三角形（三个角均为锐角）、直角三角形（有一个角为直角）、钝角三角形（有一个角为钝角）解读：（1）对三角形进行分类时，要做到不重不漏；（2）由定义知等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形，这两类三角形在三角形分类中不能并列出现。

鲁教版-初一数学上册知识点【-总结归纳】收集于网络，如有侵权请联系管理员删除初一数学（上）应知应会的知识点代数初步知识1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式（字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式）2.列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ；（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成23a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a3的形式；（6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a .3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ；（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ；（4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 . 有理数1.有理数：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a>⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|, ba b a=. 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.整式的加减1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

侧面是曲面底面是圆面圆柱，:⎩⎨⎧侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体，:侧面是曲面底面是圆面圆锥，:⎩⎨⎧侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体，:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数初一数学知识点汇总第一章 丰富的图形世界¤1.¤2. ¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面）¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。

①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。

几何的表面有平面和曲面； ②面与面相交得到线；③线与线相交得到点。

※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱。

※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱，所有侧棱长都相等。

¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。

¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形……¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。

¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。

¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。

第二章 有理数及其运算 ※ ※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。

※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。

※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

（0的相反数是0）※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。

¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。

正数在原点的右边，负数在原点的左边。

※绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

4.1 无理数◆无理数的定义：无限不循环小数就是无理数．题型一 认识无理数1.（2024春•庆云县校级月考）在实数1.414-，p ，3.14，2+，3.212212221¼中，无理数的个数是( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解： 1.414-是有限小数，3.14&&是无限循环小数，它们不是无理数；，p ，2+，3.212212221¼是无限不循环小数，它们是无理数，共4个；故选：D．2.（2024春•陵城区期末）下列各数：2p ，175，0.333333，1.212212212221¼¼（每两个1之间依次多一个2)，3.14，2中，无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：175是分数，0.333333，3.148=是整数，它们不是无理数；2p 1.212212212221¼¼（每两个1之间依次多一个2)，2是无限不循环小数，它们是无理数，共4个；故选：C ．3.（2024春•鱼台县校级月考）在3.14，23，，2p ，1.01001000100001¼（每两个相邻的1之间依次增加一个0)，这六个实数中，无理数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】首先思考无理数的定义，再根据定义逐个判断即可．4=，，2p，1.01001000100001¼（每两个相邻的1之间依次增加一个0)是无理数，所以无理数的个数是3个．故选：C ．4.（2024春•德城区校级月考）下列实数p ，227，0.121121112...，中，无理数的个数有( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据无限不循环小数是无理数，即可判断无理数的个数．【解答】解：227是分数，属于有理数，3=-是整数，属于有理数，\，p ，227，0.121121112...，p 0.121121112...，共3个．故选：B ．5.（2024春•庆云县校级月考）下列各数既是负实数，又是无理数的是( )A ．1B ．0C ．D ．23-【分析】根据无理数的意义，逐一判断即可解答．【解答】解：无理数是无限不循环小数，而1，0，23-是有理数，只有是无理数，也是负实数．故选：C ．6.（2024春•兖州区校级期末）下列各数：17，3p -，1.050050005，其中无理数个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：1735=是分数，1.050050005是有限小数，它们不是无理数；3p -是无限不循环小数，它们是无理数，共3个；故选：B ．1.（2024•青岛一模）下列实数中是无理数的为( )A ．3pB ．2C ．227D ．0.9【分析】根据无理数的定义无限不循环小数解答即可，【解答】解：A 、3p是无理数，符合题意；B 、2是有理数，不符合题意；C 、227是有理数，不符合题意；D 、0.9是有理数，不符合题意；故选：A ．2.（2024春•0，p -13，0.1010010001¼（相连两个1之间依次多一个0)，其中无理数有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．，p -，0.1010010001¼（相连两个1之间依次多一个0)，共3个．故选：C ．3.（2024春•嘉祥县月考）在实数2372p 3.1415926，0.15115111511115¼中，无理数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此解答即可．,0.151151115111152p¼，共有3个，故选：C ．4.（2024•，3.14，2p ，227中，无理数有()个．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．2=，是有理数，不是无理数，3.14和227是有理数，不是无理数，所以无理数有2p （共2个）．故选：B ．5.（2024•阳谷县一模）下列各数为无理数的是( )A ．3.14B ．13C D 【分析】根据无理数的定义进行判断即可．【解答】解：A ．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；B ．13是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；C =D 3=-，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：C ．6.（2023秋•威海期末）下列实数是无理数的是( )A ．227B C ．28D ．3.14【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：A ．227是分数，属于有理数，不符合题意；B 是无理数，符合题意；C ．28是整数，属于有理数，不符合题意；D ．3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意．故选：B ．7.（2024•天桥区开学）下列各数中，属于无理数的是( )A B C ．227-D ．0.4【分析】根据无理数的定义进行解答即可．是无理数；3=，227-，0.4是有理数．故选：A ．8.（2023秋•沂源县期末）实数0.618，0，4p 中，无理数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：4p 是无理数，故选：C ．9.（2023秋•泰山区期末）下列各数中不是无理数的是( )A ．2pB C D ．【分析】根据无理数的定义解答即可．【解答】解：A ．2p是无理数，故本选项不符合题意；B 是无理数，故本选项不符合题意；C 2=，是整数，属于有理数，故本选项符合题意；D ．是无理数，故本选项不符合题意．故选：C ．10.（2023秋•市南区期末）在下列实数74-，1.010010001，2p -无理数的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】无理数是无限不循环小数，利用这个定义即可判断．3=-=，所以在实数74-，1.010010001，2p -2p -，共2个．故选：B ．11.（2023秋•环翠区期末）下列各数：23，5p +，1.010010001，1.7&，其中无理数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】根据无理数的定义解答即可．3=-，5p +是无理数，共2个．故选：C ．12.（2023秋•章丘区期末）在实数，0，p ( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．【解答】解：0.5=-，是有限小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；p 是无理数；是无理数；3=是有理数．\无理数共有2个．故选：B ．13.（2024•从江县一模）在实数1-12，3.14中，无理数是( )A ．1-BC ．12D ．3.14【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：实数1-12，3.14故选：B ．14.（2024春•东港区校级月考）在 1.732-，p ，3.14，2+，3.212212221¼，3.14这些数中，无理数的个数为( )A．5B．2C．3D．4【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，据此即可判断．p，2+，3.212212221¼共4个．故选：D．。

《轴对称现象》知识点解读知识点1轴对称图形（重点）如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的图形能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形。

这条直线叫做图形的对称轴。

解读：（1）对称轴是一条直线，而不是射线，更不是线段。

（2）一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有两条，还可以有无数条，要视图形具体分析判断。

（3）判断一个图形是否为轴对称图形的方法：利用轴对称图形的定义，将图形对折，看折痕两边是否能完全重合，能够完全重合则该图形是轴对称图形，反之则不是。

例1 指出下列图形中的轴对称图形，并指出轴对称图形的对称轴。

（1）正方形；（2）长方形；（3）圆；（4）平行四边形。

分析：判断一个图形是否是轴对称图形，关键是能否找到一条直线使该图的两部分沿这条直线对折后完全重合。

解：（1）、（2）、（3）都是轴对称图形，（4）不是轴对称图形。

正方形的对称轴是两条对边中点所在的直线和正方形对角线所在的直线；长方形的对称轴是两条对边中点所在的直线；圆的对称轴是任意一条直径所在的直线。

说明：对称轴是一条直线，不是线段。

拓展：轴对称图形一定有对称轴，而且至少有1条对称轴，常见的例如：等腰三角形、等腰梯形、线段、角；有两条对称轴的常见图形有长方形；有三条对称轴的常见图形有等边三角形；正方形有4条对称轴；五角星和正五边形有5条对称轴；圆有无数条对称轴。

知识点2成轴对称（重点）如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。

例2 观察中（1）～（5），它们是不是轴对称图形?有什么共同特点?分析：本题主要考查两个图形成轴对称图形的理解．可以利用轴对称的概念加以判断，但不能把两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形的概念相混淆．解：它们都是轴对称图形，每一组中都有两个图形．可以沿某一条直线对折使两个图形能完全重合在一起，所以每幅图中的两个图形成轴对称．轴对称图形是一个图形．可以有一条或许多条对称轴．（1）～（5）两个图形成轴对称，一般来说只有一条对称轴．知识点3 轴对称图形和成轴对称的区别和联系（难点）轴对称图形成轴对称区别只有一个图形有两个图形至少有一条对称轴只有一条对称轴联系1．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合。