思想方法一、函数与方程思想
方法1 构造函数关系，利用函数性质解题
根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。
例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555
a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b
B a b c
C c a b
D b c a >>>>>>>>
例2 已知函数21()(1)ln , 1.2
f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性；
（2） 证明：若5,a <则对任意12121212()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有
方法2 选择主从变量，揭示函数关系
含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。
例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 .
方法3 变函数为方程，求解函数性质
实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
例4
函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
方法1 函数与不等式问题中的数形结合
研究函数的性质可以借助于函数的图像，从函数图像上能直观地观察单调性、周期性、对称性等性质。不等式问题与函数的图像也有密切的联系，比如应用二次函数的图像解决一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法。因此，解决不等式问题要常联系对应的函数图像，利用函数图像，直观地得到不等式的解集，避免复杂的运算。
例1 （10新课标全国卷）已知函数lg ,010,()16,10.2
x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是（ ）
.(1,10).(5,6).(10,12).(20,24)A B C D
变式：函数236,2,()2, 2.
x x f x x x x +≥-⎧=⎨+-<-⎩若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 . 方法2 解析几何中的数形结合
解析几何是用方程研究曲线的问题，蕴含着丰富的数形结合思想，往往要先把题目中的几何语言转化为几何图形，然后再结合这种图形（一般为曲线）的几何特征，用代数语言即方程表现出来，从而用代数的方法解决几何问题。
例 2 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
.(1,2].(1,2).[2,).(2,)A B C D +∞+∞
例3 已知P 为抛物线214
y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标为（2,0），则PA PM +的最小值是 .
方法3 参数范围问题中的数形结合
如果参数具有明显的几何意义，那么可以考虑应用数形结合思想解决问题。一般地，常见的对应关系有：
（1）y kx b =+中的k 表示直线的 ，b 表示直线在 轴上的 ；
（2）b n a m
--表示连接(,)a b 和(,)m n 两点直线的 ； （3
(,)a b 和(,)m n 之间的 ；
（4）导数'0()f x 表示曲线在点00(,())x f x 处的 。
利用这些对应关系，由数想形，可以巧妙的利用几何法解决。
例4 若直线1y kx =+与圆221x y +=交于P Q 、两点，且0
120POQ ∠=（其中O 为原点），则k 的值为（ ）
....A B C D -
变式：直线3y kx =+与圆2239()(3)24x y -+-=交于M N 、
两点，若MN ，则k 的取值范围值是（ ）
32.,0...,043A B C D ⎡⎡⎤⎡⎤⎡--⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
方法1 概念分类型
有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线的斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整得解决问题。
例1 若函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是
方法2 运算需要型
分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论.
例2 设函数329()62f x x x x a =-
+-. （1） 对于任意实数',()x f x m ≥恒成立，求m 的最大值.
（2） 若方程()0f x =有且仅有一个实数，求a 的取值范围.
方法3 参数变化型
很多问题中参数的不同取值会对结果产生影响，因此，需要对参数的取值进行分类，常见的问题有：含参不等式的求解；解析式中含有参数的函数的性质问题；含参二元二次方程表示的曲线类型；参数的几何意义等.
例3 已知函数22()+23(),.x
f x x ax a a e x R a R =
-+∈∈（）其中 （1） 当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2） 讨论函数()f x 的单调性.
