第四章控制系统的频率特性
本章要点
本章主要介绍自动控制系统频域性能分析方法。内容包括频率特性的基本概念，典型环节及控制系统Bode图的绘制，用频域法对控制系统性能的分析。
用时域分析法分析系统的性能比较直观，便于人们理解和接受。但它必须直接或间接地求解控制系统的微分方程，这对高阶系统来说是相当复杂的。特别是当需要分析某个参数改变对系统性能的影响时，需反复重新计算，而且还无法确切了解参数变化量对系统性能影响的程度。而频率特性不但可以用图解的方法分析系统的各种性能, 而且还能分析有关参数对系统性能的影响，工程上具有很大的实用意义。
第一节频率特性的基本概念
一、频率特性的定义
频率特性是控制系统的又一种数学模型，它是系统(或元件)对不同频率正弦输入信号的响应特性。对线性系统，若输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但是输出信号的幅值和相位一般不同于输入量，如图4-1。
若设输入量为r(t)=A「sin( 3 t+ u r)
其输出量为c(t)=A c sin@ t+ u c)
若保持输入信号的幅值A r不变，改变输入信号的角频率3,则输出信号的角频率
也变化，并且输出信号的幅值和相位也随之变化。
图4-1控制系统的频率响应
我们定义系统(或环节)输出量与输入量幅值之比为幅值频率
特性，简称幅频
M( 3 )表示。输出量与输入量的相位差为相位频率特
3变化，常用U (3 )表示。其数学定义为
M
"A
U ( 3 )= U c - U
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用
G(j 3 )表示。由此，幅频特性
M( 3 )又可
表示为|G(j ;i )，相频特性u (3 )又可表示为Z G(j ■)，三者可表示成下面的形式:
G(j a )=|G(j m )|Z G(j s )
M (co ) = G(jco) 「()二/G( j •)
二、频率特性与传递函数的关系
频率特性和传递函数之间存在密切关系：若系统(或元件)的传递函数为 G(s),
则其频率特性为 G(j 3 )。这就是说，只要将传递函数中的复变量 s 用纯虚数j 3代替， 就可以
得到频率特性。即
G(s) > G(j ■)
三、频率特性的表示方法 1 .数学式表示法
频率特性是一个复数，所以它和其他复数一 |
样，可以表示为极坐标式、直角坐标和指数坐标 三种形式。见图 4-2所示。
G(j •)二 G(j J- G(j )
二U (■) jVC )
-M ( )e j ()
显然，
M
=|G( j ⑷)| 2
(co )+V 2®)
w G(j "arcta
说
例4-1写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
特性，它随角频率 3变化，常用 性，简称相频特性，它也随角频率 其中 图4-2频率特性的表示方法
其频率特性为
1
G( j ■)=
j +1
幅频特性为
1
A()= ------------------
Jg )2 +1
相频特性为 (■)二 G(j ，)=0 〜arcta nT ，
2 •图形表示法
1 )极坐标图(又称奈奎斯特图)
当3从0^8变化时，G(j 3 )运动的轨迹称为极坐标图。根据频率特性的极坐标式 G(j 3 ) = M( 3 ) Z U ( 3 )，可以算出每一个 3值所对应的幅值 M( 3 )和U ( 3 )，将它们画 在极坐标平面图上，就得到了频率特性的极坐标图。 2)对数频率特性
对数频率特性是将频率特性表示在半对数坐标中，通常称为 Bode 图。
对数频率特性的定义为：
L( 3 )=20lgM( 3 )
U ( 3 )= Z G( 3 )
引入对数幅频特性 L( 3 ),可以把幅频特性相乘的关系转化成对数幅频特性相加的 关系从
而简化计算和方便作图。另外，以后的分析会表明， L( 3 )或它的渐近线大多与
lg 3成线性关系。因此，若以 L( 3 )为纵轴，lg 3为横轴，则其图线为直线，这也使频
率特性的计算和绘制过程大为简化。 ①对数幅频特性曲线
横坐标表示角频率 3 ,单位为弧度/秒(rad/s ) ，按 lg 3均匀分度，但对 3而言是不 均匀的，两者的相应关系参见图 4-3所示，频率从1到10的对数值见表4-1所示。在 横坐标上，3每变化10倍，横坐标就变化一个单位长度， 我们以后称为一个 “10倍频 程”(记为dec )。
纵坐标表示L( 3 )，单位为分贝(dB )，均匀分度，如图4-3所示。由于只有横坐标 为对数坐标，纵坐标不是对数坐标，所以又称为半对数坐标图。这一点在画图时必须
'VTT T 、\
■、、》；
要注意。
②对数相频特性曲线
解：惯性环节的传递函数为
G
(s )\s 1
横坐标表示角频率3,单位为弧度/秒 (rad/s),按lg 3均匀分度，但对3而言是不均匀的，纵坐标表示u(3 )，单位为度(°),均匀分度，如图4-4所示。
图4-3 Bode图坐标系
小 /异矗卜_r—i-a-ns—s 点屛耐鬲二
圈駅4筋血圈尝極系
第二节典型环节的Bode图
一、比例环节
C(s)
1 .传递函数为G(s) K
R(s)
